变量的相关性、回归分析、独立性检验共30页
第3讲变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
1．两个变量的线性相关
(1)在散点图中，点散布在从左下角 到 右上角 的区域．对于两个
变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．如果在散点图
中，点散布在从左上角 到右下角 的区域，两个变量的这种相关 关系称为负相关．
(2)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近 个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． ，就称这两
思维点拨：利用相关系数r进行线性相关检验(也可利用散点图)．如果线性相 关，再求回归直线方程并加以判断．
因为r＞0.5，所以y与x有很强的线性相关关系． (2) ＝0.728 6x－0.857 1. ≤10⇒0.728 6x－0.857 1≤10，
(3)要使
所以x≤14.901 3.
所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下．
它在a，b，c，d 取不同值时，K2可能不同，而k是取定一组数a， b，c，d后的一个确定的值．
1．下列关系中，是相关关系的为(
)
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④
判断两个变量正相关还是负相关，有三种方法： 1．利用散点图；
2．利用相关系数r的符号；当r＞0时，正相关；r＜0时，负相关；
3．在已知两变量线性相关时，也可以利用回归方程 ＝a＋bx是增函数，两变量是正相关， 当b＜0时， ＝a＋bx是减函数， 两变量是负相关． ＝a＋bx.当b＞0时，
【例 1】 山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7块并排、形状大小相同的试
=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38(万元)，即估计使用10
变量的相关性、回归分析、独立性检验
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2 110 × （ 15 × 30 － 20 × 45 ） K2的观测值k＝ ≈2.829>2.706， 60×50×35×75
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学 成绩有差异．
n
.
通过求 Q＝ [yi－(b xi＋a )]2 的最小值而得出回
i＝1
归直线的方法， 即求回归直线， 使得样本数据的点到它 的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
－ x· y xiyi－n－
i ＝1
n
(5) 相关系数： r＝
n 2 2 －2 xi －n－ x y2 i －n y i＝1 i＝1
高频考点
课时小结
解析 (1)从甲校抽取 110× 1 000
1 200 1 200＋1 000
＝60(人)，
从乙校抽取 110× 故 x＝10，y＝7.
1 200＋1 000
＝50(人)，
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1学成绩的优秀率为50×100%＝40%. (3)表格填写如图，
甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
参考数据与公式：
2 n （ ad － bc ） 由列联表中数据计算K2＝ . （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
临界值表
P(K2≥k0) k0 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
高中数学 第2讲变量的相关性、回归分析及独立性检验
第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验一、知识回顾1.如何判断两个变量的线性相关：如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。
2.所求直线方程 ˆy=bx +a 叫做回归直线方程；其中 ⋅∑∑∑∑nnii i ii=1i=1nn222iii=1i=1(x-x)(y -y)x -nx yb ==,a =y -bx (x-x)x-nxy回归直线方程必过中心点(,)x y3．相关系数的∑nii (x-x)(y -y)r =性质• (1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．4. ˆˆ=-i i y y i 残差e=实际值-预测值2^^211()===-∑∑nniiii i e y y 总残差平方和:残差平方和越小,即模型拟合效果越好5. 两个分类变量的独立性检验：(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下计算随机变量 22n（ad -bc）K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)(3) 根据随机变量K 2查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率 典型例题：例1．（宁夏海南卷）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关1x 1y 1u 1v变式1. (韶关一模文、理)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，）()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁 例2.一系列样本点(,)(1,2,,)=⋅⋅⋅i i x y i n 的回归直线方程为23,∧=-y x 若117==∑nii X则1==∑ni i y变式1.某地第二季各月平均气温（℃）与某户用水量（吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量关于月平均气温的线性回归方程是( )A B. C. D. 例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）例4．(惠州一模)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪x y y x 5.115ˆ-=x y5.115.6ˆ-=x y 5.112.1ˆ-=x y5.113.1ˆ-=x y0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距 第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验课后作业：姓名： 学号：1．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为ˆ2504yx =+，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为2.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1 2 3 4用水量y5.443 5.2由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y +-=∧7.0，则=a3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A ．57.2 3.6B ．57.2 56.4C ．62.8 63.6D ．62.8 3.64．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ） A ．6B ．6C ．66D ．6.55.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32 C.1，2，3，4，5 D.7，17，27，37，476．(广州调研文、理)某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．7. (韶关一模文、理)一个社会调查机构就某地居民的 月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（如下图）。
第九章 第四节 相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
分析与独立性检验
9/30/2013
9/30/2013
1.相关性 （1）散点图：在考虑两个量的关系时，为了对_____之间的关 变量 系有一个大致的了解，人们通常将___________的点描出来， 变量所对应 这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间 的散点图.
1.利用统计量χ 2来判断“两个变量X,Y有关系”计算公式为：
2
（A）ad-bc越小，说明X与Y关系越弱
（B）ad-bc越大，说明X与Y关系越强 （C）(ad-bc)2越大，说明X与Y关系越强 （D）(ad-bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
a b c d a c b d
1 2
9/30/2013
【拓展提升】线性相关关系与函数关系的区别 （1）函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如，正 方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．
（2）相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变
量与随机变量之间的关系．例如，商品的销售额与广告费是相
关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
50 13 20－10 7） （ 4.844， 23 27 20 30
2
因为χ 2≥3.841，所以有
答案：95%
9/30/2013
考向 1
相关关系的判断
【典例1】（1）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，
10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui,vi)(i＝1,
9/30/2013
3.独立性检验
（1）2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：
变量间的相关关系及独立性检验
判断两个变量之间是否存在非线性相关关系可以通过绘制散点图或计算非 线性相关系数等方法来进行。
相关系数及其计算
相关系数是衡量两个变量之间相关关系的统计量，其计算方法有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系 数和斯皮尔曼秩相关系数。
皮尔逊相关系数使用积差法计算，其值介于-1和1之间，用于衡量线性相关关系的强度和方向。斯皮尔 曼秩相关系数则用于衡量等级数据之间的相关性。
变量间的相关关系及独立性检验
目录
• 变量间的相关关系 • 变量间的独立性检验 • 变量间的因果关系推断 • 相关性与独立性的区别与联系
01
变量间的相关关系
线性相关关系
线性相关关系是指两个或多个变量之间存在一种可以用直 线表示的依赖关系。当一个变量发生变化时，另一个变量 也会随之发生相应的变化。
独立性检验
常用于验证两个变量之间是否存在直 接的因果关系，例如在经济学中检验 货币政策是否对经济增长有影响，或 者在心理学中检验某种疗法是否对心 理健康有影响。
THANKS。
因果关系推断的方法
基于理论的推断
01
根据相关学科的理论和知识，推断变量之间的因果关
系。
基于相关关系的推断
02 通过分析变量之间的相关系数、相关图等，推断变量之间的因果关系。基于实验的推断03
通过实验的方式，控制其他变量的影响，观察单一变
量的变化对结果变量的影响，从而推断因果关系。
因果关系推断的局限性
相关性与独立性的联系
相关性和独立性是描述变量间关系的 两种不同角度，有时一个变量可能既 与另一个变量相关，又与第三个变量 独立。
在某些情况下，相关性和独立性可能 相互转化，例如当引入第三个变量时 ，两个原本独立的变量可能变得相关 。
第54讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验
7
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说 明理由. 【答案】（1）积极参加班级工作的学生的概率是 P1= 12 ，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一
25
般的学生的概率是 P2= 19 .（2）有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”
（参考公式： y a bx ，其中 b
i 1 n
, a y bx ）
2
xi2n x
i 1
【答案】解： (1)如下图
5
2013 年高考第一轮复习资—理科数学
【解析】略
考点二：独立性检验
【例 2】哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若 干。根据以往对 500 名 40 岁以下（含 40 岁）人员和 500 名 40 岁以上人员的统计调查，有如下一系列 数据：40 岁以下（含 40 岁）人员购买热饮等食品的有 260 人，不购买热饮食品的有 240 人；40 岁以上 人员购买热饮等食品的有 220 人，不购买热饮等食品的有 280 人，请根据以上数据作出 2 2 列联表， 并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄（按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？
n
x1 y1 nx y
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b i1
,a y bx ）
n
xi2
2
nx
i 1
【答案】见解析
5
5
【解析】（1） x 5, y 50. xi2 145, xi yi 1380
i 1
i 1
设回归方程为 y bx a
5
则 b xi yi 5x y i1
相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验
相关性最小二乘估计回归分析与独立性检验一、相关性相关性是指两个变量之间的相互关系程度。
在统计学中，常用的衡量相关性的指标是相关系数。
相关系数可以分为皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
1. 皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）：用于测量两个连续变量之间的线性相关性。
其取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关性。
2. 斯皮尔曼相关系数（Spearman correlation coefficient）：用于测量两个变量之间的单调相关性，适用于变量类型是有序或等级的情况。
与皮尔逊相关系数类似，斯皮尔曼相关系数的取值范围也是[-1,1]。
二、最小二乘估计最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，主要用于线性回归模型。
其思想是通过最小化残差平方和来寻找最优的模型参数。
在回归分析中，最小二乘估计可以帮助我们找到最佳拟合线，使得观测值与预测值之间的差异最小化。
具体而言，最小二乘估计的步骤如下：1.指定一个线性回归模型，并假设模型中的参数。
2.根据观测值和估计的参数计算预测值。
3.计算观测值与预测值之间的差异，即残差。
4.最小化残差平方和，得到最优的模型参数。
最小二乘估计的优点是计算简单，容易理解。
然而，最小二乘估计也有一些局限性，如对异常值敏感等。
三、回归分析回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，自变量用于预测因变量的取值。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相互作用，并可以用于预测未来值。
回归分析主要有两种类型：线性回归和非线性回归。
线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，而非线性回归假设关系可以是任意的。
回归分析的步骤如下：1.选择回归模型：确定自变量和因变量之间的关系类型。
2.收集数据：收集自变量和因变量的观测值。
3.估计参数：使用最小二乘估计等方法估计回归方程中的参数。
4.检验拟合优度：通过计算残差平方和等指标来评估回归模型的拟合优度。
方法技巧专题25回归分析与独立性检验
方法技巧专题25回归分析与独立性检验回归分析与独立性检验是统计学中常用的两种方法技巧。
本文将从基本概念、执行步骤、解析方法和实际应用等方面详细介绍回归分析与独立性检验。
一、回归分析回归分析是一种用来描述和解释变量之间相互关系的统计方法。
在回归分析中，一个或多个自变量被用来预测或解释一个或多个因变量。
基本概念包括以下几点：1. 自变量（independent variable）：研究者控制和操作的变量，用来预测因变量。
2. 因变量（dependent variable）：研究者感兴趣的变量，也是我们希望预测或解释的变量。
3. 简单线性回归（simple linear regression）：只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
4. 多元回归（multiple regression）：有两个或两个以上自变量和一个因变量之间的关系。
执行步骤如下：1.收集数据：收集自变量和因变量的数据。
2.绘制散点图：绘制自变量和因变量之间的散点图，观察两个变量之间的关系。
3.拟合回归线：通过回归线拟合数据，找到自变量和因变量之间的最佳关系。
4.计算回归方程：根据回归线的拟合情况，计算出回归方程，用来预测或解释因变量。
常用解析方法有以下几种：1.最小二乘法：通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定回归方程的参数。
2. 相关系数（correlation coefficient）：用来衡量自变量和因变量之间的线性相关性强弱，常用Pearson相关系数进行计算。
3.回归方程显著性检验：用来判断回归方程是否显著，即自变量是否对因变量有显著影响。
二、独立性检验独立性检验是用来检验两个或多个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。
基本概念包括以下几点：1. 分类变量（categorical variable）：变量的取值只能是一些有限的标称级别，而不能用具体的数值表示。
2. 单变量独立性检验（univariate independence test）：只包括一个分类变量和一个因变量的关系。
相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
【例1】关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中， 得到如下一组数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50 51 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 含量 判断它们是否有相关关系.
【解题指南】判断有无相关关系，一种常用的简便方法就是绘 制散点图. 【规范解答】本题涉及两个变量：年龄与脂肪含量，可以以年 龄为自变量，考查脂肪含量的变化趋势，分析相关关系通常借 助散点图.
高(x) 60
62 64 65
66 67
68
70 72 74
儿子身 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 高(y)
①画出散点图，说明变量y与x的相关性；
②如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程.
(已知：
2
x=66.8,y=67.01,x
【即时应用】
(1)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回 归直线方程y＝a＋bx，判断下面说法是否正确.(请在括号内打
“√”或“×”)
①任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程；
()
②直线y＝a＋bx至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)
(2)x与y的增长速度之比即约为回归方程的斜率的倒数
1 10 5 . 4.4 44 22
答案：(1)①× ②× ③√ ④√ (2)
5
22
3.独立性检验
(1)2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，
A2= A1 ；变量B：B1，B2= B1，通过观察得到如表所示的数据：
(完整版)回归方程和独立性检验知识点讲解
回归分析和独立性检验一、回归分析1、回归直线方程 a x b yˆˆˆ+= （x 叫做解释变量，y 叫做预报变量） 其中∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb121)())((ˆ＝∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221（由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一个）x b y aˆˆ-= （ 此式说明：回归直线过样本的中心点)(y x ， ，也就是平均值点。
） 2、几条结论：（1）回归直线过样本的中心点)(y x ，。
（2）b>0时，y 与x 正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y 与x 负相关，散点图呈下降趋势。
（3）斜率b 的含义（举例）：如果回归方程为y=2.5x+2， 说明x 增加1个单位时，y 平均增加2.5个单位； 如果回归方程为y=－2.5x+2，说明x 增加1个单位时，y 平均减少2.5个单位。
（4）相关系数r 表示变量的相关程度。
范围：1≤r ，即 11≤≤-rr 越大．，相关性越强．。
0>r 时，y 与x 正相关；0<r 时，y 与x 负相关。
（5）相关指数2R 表示模型的拟合效果。
范围：]10[2，∈R 2R 越大．，拟合效果越好．，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较均匀， 带状区域宽度越窄，拟合精度越高）。
2R 表示解释变量x 对于预报变量y 变化的贡献率。
例如：64.02≈R ，表明“x 解释了64%的y 变化”，或者说“y 的差异有64%是由x 引起的”。
（6）线性回归模型 e a bx y ++=， 其中e 叫做随机误差。
（y 是由x 和e 共同确定的。
）二、独立性检验1、原理：假设性检验（类似反证法原理）。
一般情况下：假设分类变量X 和Y 之间没有关系，通过计算2K 值，然后查表对照相应的概率P ， 发现这种假设正确的概率P 很小，从而推翻假设，最后得出X 和Y 之间有关系的可能性为(1－P), 也就是“X 和Y 有关系”。
回归分析与独立性检验
回归分析与独立性检验知识要点及解析1.函数关系与相关关系的区别?函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.2.回归公式∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iix n xyx n y x x x y yx x b1221121)())((ˆ x b y a ˆˆ-= a x b yˆˆˆ+= 3.回归分析的步骤?回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， 其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.4.回归直线的性质 a x by ˆˆ+= ⑴回归直线 过样本点的中心()y x ,其中解释变量x 的平均数为: ∑==n i i x n x 11 预报变量y 的平均数为： ∑==ni i y n y 11⑵回归直线的斜率的估计值bˆ的意义:解释变量x 每增加一个单位,预报变量y 就增加bˆ个单位. 5.求线性回归方程的五个步骤： ⑴计算y x x y x 、、、2⑵计算∑=ni ii yx 1⑶计算∑=ni ix12⑷代入系数公式求bˆ⑸代入公式计算a ˆ 例题1：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的能耗y (吨标准煤)的几组数据:⑴画出散点图;⑵求出线性回归方程a x b yˆˆˆ+= ⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)问求出的线性回归方程预测(估计)生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?例题2：从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表所示:⑴画出散点图;⑵求出根据身高预报体重的回归方程a x b yˆˆˆ+= ⑶根据以上回归方程预测一名身高为172cm 的女大学生的体重.例题3：下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由散点图可知：用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程为a x yˆ7.0ˆ+-=, 请你预测该厂5月份的用水量大约为多少百吨?6.线性回归模型y=bx+a+e 中随机误差e 产生的原因?⑴选用的函数模型不恰当引起的误差 ⑵忽略了某些因素的影响 ⑶存在观测误差 7.如何发现数据中的错误?先分别计算出残差a x b y y y e ii i i ˆˆˆˆ--=-=然后选取横坐标为编号或解释变量x 或预报变量y,纵坐标为残差,作出残差图;最后观察:如果样本点的残差较大(落在带状区域外),说明数据的采集有可能错误。
随机变量的独立性和相关性
随机变量的独立性和相关性引言在概率论和统计学中，随机变量的独立性和相关性是两个重要的概念。
随机变量是指具有随机特性的变量，独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
本文将介绍随机变量的独立性和相关性的概念以及它们的性质和重要性。
独立性随机变量的独立性是指当一个随机变量的取值不受另一个随机变量的取值影响时，两个随机变量是独立的。
具体来说，对于两个随机变量X和Y，如果它们的联合概率分布可以分解为它们各自的边缘概率分布的乘积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，那么X和Y是独立的。
独立性的性质：- 独立性是对称的，即如果X和Y独立，则Y和X也独立。
- 独立性是传递的，即如果X和Y独立，Y和Z独立，则X和Z独立。
独立性的重要性：独立性在概率论和统计学中具有重要的应用，例如：- 在概率计算和推导中，独立性假设可以简化问题的复杂性。
- 在统计推断中，独立性假设可以用来进行参数估计和假设检验。
相关性随机变量的相关性是指随机变量之间的线性关系程度。
具体来说，对于两个随机变量X和Y，它们的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。
协方差（covariance）是衡量两个随机变量之间的相关性的统计量，定义为两个随机变量的乘积的期望与两个随机变量各自的期望的乘积的差值。
协方差的值可以为正、负或零，分别表示正相关、负相关或无相关。
相关系数（correlation coefficient）是协方差标准化后的值，用于度量两个随机变量之间的线性关系程度。
相关系数的取值范围为-1到1，取得负值表示负相关，取得正值表示正相关，取得0表示无相关。
相关性的性质：- 相关性也是对称的，即X和Y的相关系数等于Y和X的相关系数。
- 相关性不一定表示因果关系，只是表示两个随机变量之间的线性关系程度。
相关性的重要性：相关性在统计分析和模型建立中具有重要的应用，例如：- 可以用相关系数判断两个随机变量之间是否存在线性关系。
- 可以用相关分析来探索随机变量之间的相互作用和影响程度。
第54讲变量的相关性回归分析独立性检验
第54讲变量的相关性回归分析独立性检验变量的相关性、回归分析和独立性检验是统计学中常用的方法，用于研究和分析变量之间的关系和影响。
相关性是用来描述两个变量之间关系程度的一种统计指标。
变量之间的相关性可以是正相关（当一个变量增加时，另一个变量也增加）、负相关（当一个变量增加时，另一个变量减少）或者没有相关性。
常用的相关性指标有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数等。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，而斯皮尔曼相关系数适用于有序分类变量或者非线性关系的连续型变量。
回归分析是用来研究一个或多个自变量如何影响一个因变量的方法。
回归分析可以用来预测因变量的取值，并确定自变量对因变量的贡献程度。
线性回归是常用的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间的关系可以用线性函数来描述。
回归分析还可以进行多元回归，考虑多个自变量对因变量的影响。
独立性检验用来检验两个或多个变量之间是否存在独立关系。
独立性检验常用于分析两个分类变量之间的关系，可以确定是否有足够的证据支持两个变量之间的关系不是偶然的。
常用的独立性检验方法有卡方检验和Fisher精确检验等。
在实际应用中，相关性、回归分析和独立性检验经常被用来研究和解释数据。
例如，在市场研究中，可以使用相关性分析来探索两个产品销售量之间的关系；在经济学中，可以使用回归分析来研究影响国内生产总值的因素；在流行病学中，可以使用独立性检验来研究吸烟和肺癌之间的关系。
总之，变量的相关性、回归分析和独立性检验是统计学重要的工具和方法，可以帮助研究者深入分析和理解变量之间的关系和影响。
通过运用这些方法，我们可以进行更准确的预测和推断，为决策提供更可靠的依据。
变量间的相关关系及独立性检验
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求 线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺 序中正确的是( ) A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③① 答案：D
9.3 变量间的相关关系、回归分析及 独立性检验
(会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系/了解最 小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程)
1．相关关系的量：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变 量之间的关系称为相关关系．
2．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析． 3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图． 4．正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 解析：由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由图(2)可知，各点整 体呈递增趋势，u与v正相关． 答案：C
判断两个变量正相关还是负相关，有三种方法： 1．利用散点图； 2．利用相关系数r的符号；当r＞0时，正相关；r＜0时，负相关； 3．在已知两变量线性相关时，也可以利用回归方程 ＝a＋bx.当b＞0时，
D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相 关关系
答案：C
3．(2009·宁夏、海南)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点 图(1)；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这 两个散点图可以判断( )
回归分析中的变量间关系检验方法(六)
回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究一个或多个自变量与因变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们需要对变量间的关系进行检验，以确保模型的有效性和准确性。
本文将重点介绍回归分析中的变量间关系检验方法，帮助读者更好地理解和运用这一分析工具。
一、相关性分析相关性分析是一种最基本的变量间关系检验方法。
在回归分析中，我们通常使用皮尔逊相关系数来衡量两个连续变量之间的线性关系强度。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，如果相关系数接近于1，表示两个变量呈正相关关系；如果相关系数接近于-1，表示两个变量呈负相关关系；如果相关系数接近于0，表示两个变量之间没有线性关系。
除了皮尔逊相关系数，我们还可以使用斯皮尔曼相关系数来衡量两个变量之间的非线性关系。
斯皮尔曼相关系数适用于变量不满足正态分布的情况，它是基于秩次的统计量，可以更准确地描述变量之间的关系。
二、多重共线性检验在多元回归分析中，我们常常会面临多重共线性的问题。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关或线性关系，这会导致回归系数的估计不准确，模型的解释性变差。
因此，我们需要对自变量之间的共线性进行检验。
一种常用的多重共线性检验方法是计算自变量之间的方差膨胀因子（VIF）。
VIF反映了自变量间的线性相关程度，当VIF值大于10时，表明自变量之间存在较强的共线性，需要对模型进行修正。
另一种方法是使用特征值和条件数来检验自变量间的共线性，通过计算自变量矩阵的特征值和条件数，可以评估模型的稳定性和准确性。
三、残差分析在进行回归分析时，我们需要对模型的残差进行分析，以检验模型的拟合效果和预测能力。
残差是因变量的观测值与模型预测值之间的差异，通过对残差的分布和特征进行分析，可以评估模型的合理性和可靠性。
残差分析包括对残差的正态性、独立性和同方差性进行检验。
我们可以使用正态概率图和残差的直方图来检验残差是否符合正态分布，通过Durbin-Watson统计量来检验残差的自相关性，以及通过残差与拟合值的散点图来检验残差是否具有同方差性。
回归分析中的变量间关系检验方法(Ⅰ)
回归分析中的变量间关系检验方法回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用来研究一个或多个自变量对因变量的影响程度以及它们之间的关系。
在进行回归分析时，我们需要关注变量之间的关系检验方法，以确定它们之间是否存在显著的关联。
本文将从回归分析中的变量间关系检验方法展开讨论。
一、相关性分析在进行回归分析时，首先需要进行相关性分析，以确定自变量和因变量之间的相关程度。
相关性分析通常使用相关系数来衡量变量之间的相关性，其中最常用的是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时表示变量之间存在较强的正相关关系，接近-1时表示存在较强的负相关关系，接近0时表示变量之间无线性相关关系。
在回归分析中，相关性分析是非常重要的一步，它可以帮助我们初步了解变量之间的关系，为后续的回归分析奠定基础。
二、多重共线性检验在回归分析中，多个自变量之间可能存在多重共线性问题，即它们之间存在较强的线性相关关系。
多重共线性会导致回归系数估计不准确，甚至产生错误的推断结果。
因此，我们需要进行多重共线性检验，以确定自变量之间是否存在多重共线性。
常用的多重共线性检验方法包括方差膨胀因子（VIF）和特征根分析。
方差膨胀因子是用来衡量自变量之间共线性程度的指标，通常当VIF大于10时表示存在较强的多重共线性。
特征根分析则是通过计算自变量矩阵的特征值来判断共线性程度，一般来说，特征根接近0时表示存在共线性。
通过多重共线性检验，我们可以排除自变量之间的共线性影响，得到更准确的回归分析结果。
三、残差分析残差分析是用来检验回归模型的适配性和误差性质的重要方法。
在进行回归分析时，我们需要对残差进行分析，以确定模型的拟合程度和误差分布是否符合假设。
常用的残差分析方法包括残差散点图、残差的正态性检验和残差的独立性检验。
残差散点图可以帮助我们观察残差与预测值的关系，以判断模型是否存在异方差性或非线性关系。
残差的正态性检验则是用来检验残差是否符合正态分布，通常使用Shapiro-Wilk检验或Kolmogorov-Smirnov检验。
变量间的相关关系与独立性检验
第3节 变量间的相关关系与独立 性检验
◆考纲·了然于胸◆ 1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认 识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法 及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
[解析] 由观测值 k＝27.63 与临界值比较，我们有 99.9% 的把握说打鼾与患心脏病有关．
[答案] 有关
考点一 相关关系的判断(基础型考点——自主练透)
[方法链接]
(1)相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈
带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性；若散点
图分布在从左下角到右上角的区域内，则正相关；若散点图分
[答案] A
考点二 回归方程的求法及回归分析(重点型考点——师
生共研)
【例 1】 (2014·新课标全国卷Ⅱ)某地区 2007 年至 2013
年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t
1234567
人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
i＝1 1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
7
ti－ t yi－ y
b∧＝i＝1
7
ti－ t 2
＝1248＝0.5，
i＝1
∧
∧
∧
a＝ y －b t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y＝0.5t＋
2.3.
变量间的相关关系与回归分析
基本思想、方法及初步应用.
一、相关关系
• (1)相关关系：当自变量的一取定值 时 ，
相因个关关变变系量量．随的之机性取间值的带关有系叫做
，那么这两
• 如果一个变量的值由小变大时，另一个 变量的值也由小到大，这种相关称为
正相关．
• 反之，如果一个变量的值由小变大，另 一个变量的值由大到负小相，关这．种关系为
• 画出散点图，并判断它们是否有相关关 系．
二、回归分析
（1）回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回 归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定 关系的某种确定性。
（2）回归直线：观察散点图的特征，如果各点 大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具 有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。
xi
yi
-n
x
y
n
i =1
xi2
-n
x
2
,其中x
=
1 n
n
i =1
xi
,
y
=
1 n
n
i =1
yi
.
a= y-bx.
• (4)最小二乘法：使残差平方和Q＝(y1－bx1－
a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2为最小
的方法，叫做最小二乘法．
（5）求线性回归方程的步骤：
第一步，计算平均数 x , y.
考试要求: （1 ①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点 图直观认识变量间的相关关系. ②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程.
(2)统计案例
①通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”
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41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于4、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚