ch3 数理方程第 3 4节 xin

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数理方程教学大纲-3页精选文档

课程的重点：掌握三类方程的基本形式、初始条件和边界条件的概念和各类定解条件的表达方法。

掌握分离变量法精神、解题步骤和适用范围，熟练应用分离变量法求解各类齐次、非齐次定解问题。

掌握行波法的解题要领并会使用行波法求解某些定解问题。

掌握用积分变换法求解数理方程的主要精神及一般步骤，会用Fourier变换法和Laplace变换法求解偏微分方程定解问题。

正确理解格林函数的定义及其物理意义。

掌握用电像法求半空间和球域格林函数的方法，并会用格林函数法求解这两种特殊区域狄氏问题的解。

理解贝塞尔方程的引出，记住贝塞尔方程的通解。

并掌握应用贝塞尔函数的性质理解勒让德方程的引出，记住贝塞尔方程的通解。

并掌握应用勒让德多项式的性质课程的难点：非齐次问题的求解；分离变量法、行波法、积分变换法在求解不同问题时的应用；格林函数法的理解和应用；两种特殊函数的性质的理解及应用。

解决办法：（1）课程组组织多种形式的教研活动，针对课程的重点内容和学生的特点，设计多角度的讲解方式，以加深学生对重点内容的理解和掌握。

例如对格林函数法，从物理角度解释，格林函数是电源的冲击相应，代表点电荷所形成的电位，电位函数满足泊松方程。

无源空间则满足拉普拉斯方程。

而从数学上解释，具有相同源分布和边界条件的二阶线性偏微分方程的解具有唯一性，格林函数是在求调和函数的积分表达式的时候，为了消去表达式中未知的部分，而引入的一个函数表达式。

等等这些不仅使学生从数学和物理两种角度理解问题，也切合了这门的题目“数学物理方程”。

（2）对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题。

例如“对特征值和特征函数的理解和认识”、“Fourier变换法和Laplace变换法求解偏微分方程定解问题的异同”、“格林函数求解问题的思路”等。

（3）精心设计例题，合理安排习题。

课程组根据教学内容，设计“提示例题”、“思路分析例题”和“详细讲解例题”。

大大丰富了课本上的习题数量。

“数理方程与特殊函数”是理工科专业学生的一门重要的数学基础课，所研究的问题直接来源于物理学、电子学、声学、力学等基础学科，是数学与这些学科之间联系的桥梁。

数理方程课件

数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。

随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。

一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。

它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。

在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。

在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。

其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。

二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。

常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。

例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。

常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。

例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。

3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。

常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。

例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。

三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。

数理方程公式大全

数理方程公式大集合1. 考察两端固定的弦的自由振动问题● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律:● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为2. 有界长杆的热传导问题3. 二维拉普拉斯方程的边值问题4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标)⎪⎩⎪⎨⎧====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0(),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψϕ sin )cos sin (),(1∑∞=+-=nn n tlxn l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin)(2dx lxn x la ln ⎰=πϕ,sin)(2dx lxn x an b ln ⎰=πψπ⎪⎩⎪⎨⎧===><<= ),()0,( ,0),( ,0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ϕ,sin ),(1)(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin)(20dx l x n x l a l n ⎰=πϕ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0,(),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin) (),(1∑∞=-+=n y an n y an n x an eb ea y x u πππ,sin )(20⎰=+an n xdx an x f a b a π,sin)(2⎰=+-ab an n b an n xdx an x g aeb ea πππ11),0(0r r <<5. 圆域内的泊松公式6. 无限长弦自由振动问题的达朗贝尔解为公式其中方程(3)的通解形式为7. 无限长弦强迫振动问题的解为公式和差化积sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2).(|θf u r r ==)20(πθ≤≤.)sin cos (21),(10∑∞=++=n n n n r n b n a a r u θθθ⎰=πθθθπ20cos )(1d n f r a n n ⎰=πθθθπ20sin )(1d n f r b nn), ,2 ,1 ,0( =n ),,2 ,1( =n ),( )(cos 2)(21),(0200220220r r d n r r r r r r f r u <--+-=⎰ϕϕθϕπθπ),0 ,( 2>+∞<<-∞=t x u a u xx tt)()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ.)(21⎰+-+atx atxd a ααψ).()(),(at x g at x f t x u ++-=(3)),0 ,( ),(2>+∞<<-∞+=t x t x f u a u xx tt )()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ⎰+-+atx atxd aααψ)(21..),(21)()(⎰⎰-+--+t t a x t a xd d f aτξτξττ222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆是三维拉普拉斯算子。

ch4 数理方程第3,4节(1)

l
将上式两边对x求导l次，若 2l − 2n < l ，则对应项求导后为零，因此只需计算 2l − 2n ≥ l ，
6
l 即 n ≤ 的项， 2
1 2 l ( x − 1) = l l l 2 2 l ! dx
1
⎡l ⎤ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ n
dl
(−1) n d l 2l − 2 n ∑ n !(l − n)! dxl x n =0
18
三、勒让德多项式的递推公式
从勒让德多项式的母函数表示式(3.10)可知
1 2 2
(1 − 2 xt + t ) w( x, t ) = 1
(3.18)
将此等式两边对t求偏导数，可知 w( x, t )
∂w (1 − 2 xt + t ) − ( x − t )w = 0 ∂t
2
满足如下的偏微分方程
Pn ( x) 为偶函数；当n为奇数时， ( x) 为奇函数， P
n
Pn (− x) = (−1)n Pn ( x)
(3.11)
8
Pn (1) = 1,
P2 n (0) = (−1) n
Pn (−1) = (−1) n .
(2n − 1) !! , (2n) !! P2 n +1 (0) = 0;
(3.19)
(3.10)
将
w( x, t ) =
1 1 − 2 xt + t
2
= ∑ Pn ( x) t n
n =0
∞
19
代入 (3.19) 右边可得
(1 − 2 xt + t )∑ nPn ( x) t
2 ∞ n −1 n =1
− ( x − t )∑ Pn ( x) t n = 0

数理方程总结完整终极版

00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法定解问题：初始条件.边界条件.其他波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。

定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。

• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。

分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。

把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。

适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。

数理方程复习讲解

0,

t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2V V(t02 ,
t)
a2 2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)

V
(x,
0)

0,

t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
方程为双曲型方程为抛物型
a122 a11a22 0
方程为椭圆型
南京邮电大学、应用数理系
行波法
数理方程
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
1 [(x at) (x at)] 1
(
x)

A sin
(2n 1)
2l
x,
n 0,1, 2,
ux x0 0
u 0 xl

2n 2l
1
2
,
X
n
(
x)

Acos (2n 1)
2l
x,
南京邮电大学、应用数理系
n 0,1, 2,
波动方程：
utt a2uxx 0
X ''(x) X (x) 0 T ''(t) a2T (t) 0
u u
x x
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)

wx wx
(0, t ) (l , t )

数理方程总结复习及练习要点-V1

数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。

在学习数学时，数理方程是必修课程之一。

但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。

下面我们一起来总结复习及练习中的要点。

一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。

数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。

二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。

这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。

三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。

例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。

2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。

3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。

四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。

例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。

2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。

3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。

五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。

2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。

3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。

总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。

只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。

数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件

张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧）考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).

数理方程第1讲-69页PPT资料

F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩，因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中，不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项，而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程。
例如：书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏微分方程。如书中例1.6

数理方程

两个自变量的方程的分类
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
2 a12 − a11a22 > 0 2 a12 − a11a22 = 0 2 a12 − a11a22 < 0
双曲型抛物型椭圆型
线性、非线性？线性、非线性？阶数？阶数？齐次、非齐次？齐次、非齐次？
utt − a u xx = 0
2
utt − a2uxx = f (x,t)
输运方程：一维扩散问题；输运方程：一维扩散问题；热传导问题
ut − a u xx = f ( x, t )
2
ut − a 2u xx = 0
恒定场方程：二维温度分布问题、恒定场方程：二维温度分布问题、静电场问题
∇ 2u = ∂u ∂u + 2 =0 2 ∂x ∂y
定解问题＝泛定方程定解条件定解问题＝泛定方程+定解条件
数学物理方法
定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
数学物理方程的分类
数学物理方法
分离变量(傅立叶级数) 分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。一、三类典型线性偏微分方程波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；电波传播

数理方程公式整理

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M M at atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t r ππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡⎤∂++++=+⎢⎥⎢⎥∂--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝傅立叶变换1()()2i xf x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质线性性质[]1212[][]F ff F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* 微分性质[][]F f i F f λ'=()[]()[]k k F f i F f λ=[][]dF f F ixf d λ=- ()()i xf f x e dx λλ+∞--∞=⎰1[()]dixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--= 00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]xF f d F f x i ξξλ-∞=⎰ .0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=- []12()F πδλ=22242ax aF ee λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1c o s ()21s i n ()2i a i ai a i aa e e a e e i --=+=-cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e d x π+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax c L ce p a p a=>- 21[]L x s =21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin k L kt s k =+ []22cos s L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==-Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥ 0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x s ττ=⎰[][()]nn n d L f L x f ds=-..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sxL x x e dx δδ+∞-==⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题 0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。

ch3 数理方程第3章

dr dr r
如果 u (r , ϕ , z ) 在 0 ≤ r ≤ a 上满足边界条件 (α u r + β u ) r =a = 0, 那么
α R ' (a) + β R(a) = 0. 还有自然边界条件
R(0) < +∞
8
原问题的求解归结为求 ⎧ d dR(r ) ν2 ) + (λ r − ) R ( r ) = 0 ⎪ (r dr r ⎨ dr ⎪α R ' (a ) + β R(a ) = 0，R (0) |< ∞ | ⎩ 的固有值问题。
1
内容：
第一节贝塞尔方程的引出第二节贝塞尔方程的求解第三节贝塞尔函数的性质第四节贝塞尔函数应用举例
2
第一节
贝塞尔方程的引出
问题：考虑一圆柱体内部的稳恒的温度分布。
三维拉普拉斯方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u Δu = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z
在柱坐标系 (r , ϕ , z ) 下转化为
即
c1[( ρ + 1) 2 −ν 2 ] = 0.
(n ≥ 2) :
x
n+ ρ −2
c n [(n + ρ )(n + ρ − 1) + (n + ρ − ν 2 )] + cn−2 = 0
16
或
cn − 2 cn = − 2 2 ( n + ρ ) −ν
(3)
由指标方程可得
ρ1 = ν , ρ 2 = −ν .
R ′′(r ) 1 R ′(r ) 1 Φ ′′(ϕ ) Z ′′( z ) + + 2 =− = −λ R(r ) r R(r ) r Φ(ϕ ) Z ( z)

数理方程总结完整版

该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数，即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t

a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

l

数理方程-总结复习及练习要点(1)

数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。

在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。

下面是数理方程的总结复习及练习要点。

一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。

二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。

三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。

因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。

数理方程课后习题答案

数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。

在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。

本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。

然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。

所以方程的解为x = 4。

2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。

首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。

然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。

将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。

解得y = -1。

将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。

解得x = 4。

所以方程组的解为x = 4，y = -1。

3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。

将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 2或x = 3。

4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。

观察方程，可以发现x = 1是一个解。

通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。

将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 1或x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。

数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二、空间变量常微与边界条件捆绑，构成本征值问题。（解本征值问题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0

数理方程

1. 基本概念偏微分方程：含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数；方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的；方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。

2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程；二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。

数理方程解法

0
X 0
X ( x) Ax B
AB0
X ( x) 0
2 0 X 2 X 0
X (0) A 0 n n , n 1,2,3, 10
X ( x) A cos x B sin x
X (10) B sin10 0
sin
n x l
n l
2 n
l
n na fn 2 2l
na 2l T v f nn a 2l n
驻波法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ( x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
令 u( x, t ) X ( x)T (t )
代入方程： X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) 令 X ''( x) T ''(t ) X ( x) a 2T (t ) X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a2T (t ) 0 代入边界条件 X (0)T (t ) 0,
2 2u u 4 0 x 10, t 0 t 2 10 x 2 , t 0 u (0, t ) u (10, t ) 0, x(10 x) u ( x,0) u ( x,0) 1000 , t 0, 0 x 10 来自数学物理方程与特殊函数

l
l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n X n ( x) Bn sin x (n 1, 2,3,) l