奥数讲义第10讲数字谜、数阵、数表深圳清华实验学校佘珊珊

第十讲数字谜、数阵、数表教学目标数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。

数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。

和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。

1．回顾常用的数字谜的解题技巧。

2．精讲经典数字谜、及数阵数表。

经典精讲数字谜（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。

（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。

（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。

（四）注意结合进位及退位来考虑。

（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。

【例1】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。

【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□＝0），且有“□+□＋1＝10+□”，从而□=9，☆=8。

再由个位加法，推知○+△=8．从而口+○+△+☆=9+8+8=25。

【拓展】（2008年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______。

s t v av t s tt t v t t+【分析】首先可以判断1t=，所以11s v+=，13v t t=++=，可解得1138s=-=，又因为a t t+=所以0a=，1038tavs=。

【例2】电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：。

【分析】⑴显然乘积的百位只能是2，⑵被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除⑶如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数。

所以被乘数十位是2，相应得乘数是8。

⑷被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：288224⨯=。

【例3】在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式。

⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜235235117570547055225⨯【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破。

可以判断“谜”1≠，由“⨯=数字谜谜谜”可知，，因此“谜”=5或6。

⑴若“谜”5=，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”2=，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字”，字是单数且小于5，故“字”1=或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意。

⑵若“谜”6=，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字 ，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件。

所以满足条件的算式是：【拓展】在算式：2⨯=的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是_____。

【分析】先从个位数考虑，有224⨯=，236⨯=，2612⨯=，2714⨯=，再考虑乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：2273546⨯=，2327654⨯=，2267534⨯=，其中只有546能被13整除，所以这个积是546。

【例4】 在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？【分析】显然的1D =，由AB A IF ⨯=可知，A 不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果3A =，那么B 也不能超过3，所以B 只能是2，这样的32396AB B ⨯=⨯=与AAH 矛盾，所以3A ≠，所以2A =，根据AB B AAH ⨯=，可以尝试出8B =时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：5I =，6F =，0E =，9G =，所以被除数DEFGF 是10696。

【例5】 （2008年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。

则被除数应是___________。

【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。

由88B -=,得6B =。

因为88XY AE ⨯=,所以，我们可以得知1Y =或者6，我们现来看看1可以不可以。

假设1Y =，则8Y ⨯没有进位，8X ⨯所得个位E 必是偶数，B 必是6,因为8816B =+=,所以，8 08 8 8 8W G DG D 8 0A B D A E F C HX YVC H 8 88 8必进位。

所以，F 必是奇数。

因为8W X F ⨯=， 所以，W 可能是2,3,4,6,7,9。

通过试值，逐个排除。

这里应用到倒除法，例：128X F ⨯说明：9X =,再结合算式中其它部分，例如继续计算：918728⨯=, 在算式中，F 出现矛盾。

所以，2W =不成立。

假设6Y =，分别将1至9代入X 进行计算，我们会发现，A ） 若1X =、2、3、6、7、8，会发现第一次除法后的余数都大于除数XY ，所以可以排除；B ）若4X =，得6E =，3A =，进而得到1F =，4W =，4H =，因为46V ⨯的结果是一个两位数，所以1V =或者2，当2V =的时候，92GD =，而4C -没有借位，所以结果最大为5，产生矛盾，故1V =，进而推出4G =，8C =，6D =，符合题目要求，被除数为38686； C ） 若5X =，由第一次除法可以推出3F =，6W =或者7，但是无论6W =还是7W =，都无法满足88F C F H -的结果为1位数，所以排除；D ）若9X =，则7A =，1F =，因为9618W C ⨯=，W 找不到满足这个等式的整数，所以9X =可以排除；综上所述，4X =，6Y =的时候满足题目中的式子，被除数为38686。

【例6】 （2008年迎春杯决赛）将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是 。

12008+【分析】三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845++=。

要使加数中的四位数最小，尝试百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125。

数阵图、数表【例7】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数.848926731【分析】1的两边只能是3与7，2的两边只能是6与9.因为在剩下的4，5，8三个数中，4与5，8都不能相邻，所以有下面四种可能：926731926731926731926731因为△处是4，所以只有第2图可得符合题意的一种填法。

【例8】 如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等? ⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．248668862244【分析】⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S 。

考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次。

即()42468360S =+++⨯=。

∴60415S =÷=,但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等．⑵能，右图是一种填法。

8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22。

【拓展】将3，5，7，11，13，17，19，23，29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等。

请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和。

【分析】设三个顶点○内所填的数为a ,b ,c ，每条边上的和为K ，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K +++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷=L L ，所以()a b c ++的和应被3除余2，a b c ++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K 的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=。

【例9】 一列自然数 0，1，2，3，L ，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是20240 3 8 15 …… 1 2 7 14 …… 4 5613 ……910 11 12 ……… … … … ……规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第______行和第______列。

【分析】第n 行的第1个数是()21n -。

224419362005202545=<<=。

第45行的第1个数是1936，第45列的第1个数是 202512024-=。

20242005120-+=。

2005在第20行第45列。

【附加】如图的数阵是由于77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个由一个平等四边形围住，它们的和是180。

把这个平行四边形沿上下,左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660。

那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是______。

【分析】六个和一共增加：660180480-=。

每个增加480680÷=,第一个数就变为2080100+=。

【例10】在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行出现的次数，那么第二行的五个数字依次是_____。

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 …………………142 144 146 148 150 152 154【分析】每一空格填一个数，共有5个空格，各个数出现的次数综合应该为5，即第二行所填的五数之和为5，即第二行所填无数之和是5，将5拆分有以下几种方法：=++++；541000=++++532000=++++531100=++++；522100=++++；521110=++++；511111将这几种拆分方法，按各个数字出现频数填入表格，可以发现，只有522100=++++不会出现矛盾，填法如下：【例11】将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件：1)填入的数能被它所在列的第一个数整除；2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大；那么，最后一行中5【分析】最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。