第一章1.2.2知能优化训练

1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C. 3 D ．2 3
解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝sin 60°＝3
2
.
2．已知△ABC 的面积为3
2
，且b ＝2，c ＝3，则( )
A ．A ＝30°
B ．A ＝60°
C ．A ＝30°或150°
D ．A ＝60°或120°
解析：选D.∵S ＝12bc sin A ＝32，∴12×2×3sin A ＝3
2.
∴sin A ＝3
2
.∴A ＝60°或120°.
3．在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝2，cos A ＝25
5
，则S △ABC ＝________.
解析：在△ABC 中，cos A ＝25
5
，
∴sin A ＝5
5，
∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×5×2×55＝2
2.
答案：2
2
4．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中，
cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝11
14
.
又0°＜C ＜180°，∴sin C ＝53
14
.
在△ABC 中，AC sin B ＝AB
sin C ，
∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314×2×7＝56
2.
一、选择题
1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3 解析：选A.∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即A ＝π
3
.
2．在△ABC ，下列关系一定成立的是( ) A ．a ＜b sin A B ．a ＝b sin A C ．a ＞b sin A D ．a ≥b sin A
解析：选D.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b
a
sin A .
又∵在△ABC 中，0＜sin B ≤1，
∴0＜b
a
sin A ≤1，
∴a ≥b sin A ．故选D.
3．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应三边之比a ∶b ∶c 等于( )
A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1 D ．2∶3∶1 解析：选D.由已知得A ＝90°，
B ＝60°，
C ＝30°.
又由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶32∶1
2
＝2∶3∶1.故选D.
4．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝7
8
，则△ABC 的面积等于( )
A.152
B.15
C ．2
D ．3
解析：选A.b 2－bc －2c 2
＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0. ∴b ＝2c .
由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 解得c ＝2，b ＝4，
∵cos A ＝78，∴sin A ＝15
8，
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×158＝15
2
.
5．三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为3
5
，面积为14，那么这个三角形的两边长
分别是( )
A ．3和5
B ．4和6
C ．6和8
D ．5和7
解析：选D.设a －b ＝2，∵cos C ＝35，∴sin C ＝4
5
.
又S △ABC ＝1
2
ab sin C ，
∴ab ＝35.由a －b ＝2和ab ＝35， 解得a ＝7，b ＝5.
6．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝( ) A.12
B ．1
C ．2 2 D.52
2
解析：选D.S △ABC ＝12ac sin B ＝2
4
c ＝2，∴c ＝4 2.b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82
×
22＝25，∴b ＝5.∴R ＝b 2sin B ＝52×
2
2
＝522. 二、填空题
7．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝5，c ＝3，则△ABC 是________三角形． 解析：法一：∵72＞52＋32，即a 2＞b 2＋c 2， ∴△ABC 是钝角三角形．
法二：∵cos A ＝52＋32－72
2×5×3
＜0，
∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角
8．(2011年江南十校联考)在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________．
解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 30°，
∴AC 2
－23AC ＋3＝0.∴AC ＝ 3.
∴S △ABC ＝12AB ·AC sin 30°＝12×2×3×12＝3
2.
答案：3
2
9．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3
2
，则边BC 的长为________．
解析：由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝3
2
，
即12×2AC ×32＝3
2，∴AC ＝1，由余弦定理得 BC 2＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC ·cos A
＝22＋12－2×2×1×1
2
＝3.
∴BC ＝ 3. 答案： 3 三、解答题
10．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形．
证明：由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
又cos C ＝a
2b ，∴a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2b
.整理得b 2＝c 2.
∴b ＝c .∴△ABC 是等腰三角形．
11．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.
(1)求角C ；
(2)求a 边的长．
解：(1)由于△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，
sin C ＝234＝3
2
，则C ＝60°.
(2)由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
则(21)2＝a 2＋42－2×a ×4×1
2
，即a 2－4a －5＝0.
所以a ＝5或a ＝－1(舍)． 因此a 边的长为5.
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝35，A B →·A C →
＝
3.
(1)求△ABC 的面积；
(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
解：(1)因为cos A ＝3
5
，
所以sin A ＝4
5.
又由A B →·A C →
＝3，得bc cos A ＝3， 所以bc ＝5.
因此S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝2.
(2)由(1)知，bc ＝5， 又b ＋c ＝6，
所以b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5. 由余弦定理，得
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝20， 所以a ＝2 5.。