中山大学研究生课程教学大纲

考核方式
开卷考试
先修课程要求
离散数学、线性代数
教材及主要参考书目、文献与资料
Zhe-Xian Wan, Lectures on Finite Fields and Galois Rings. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2006
课程负责人签名：
附件４
中山大学研究生课程教学大纲
课程中文名
有限域基础
课程编号
课程英文名
An Introduction to Finite Fieldsand Their Applications
开课学期
2012春
学分
3
总学时
其中实验课：
开课院系信科院来自课程负责人韦宝典授课对象
■博士■硕士
课程类别
□公共课□基础理论课□专业课■公共选修课□其他
本课程的主要教学内容包括以下几个方面：
一、相关代数和数论基础。包括集合、映射、等价关系、整数分解、线性同余方程(组)((扩展)欧几里德算法、(扩展)中国剩余定理)、二次同余问题(Legendre符号和Jacobi符号)、欧拉函数、欧拉定理、欧拉准则、高斯引理、二次互反律。应用例子为RSA公钥密码及其快速解密方法、Rabin公钥密码。
二、群论基础。包括群的概念、阿贝尔群、群的基本运算、群同态同构、子群及其判定、陪集、拉格朗日定理、循环群、生成元。应用例子为Zn*为循环群的条件判定问题。
三、环论基础。包括环和子环的概念、消去率等性质、环的同态、整环、单位、相伴、因子、素元、互素、(主)理想、主理想环等。
四、域的基础知识。包括域和子域的概念、例子和性质，特征、域的同构、素域、整环的分式域、分裂域等。
是否通过开课院系所在学位评议组审核：
院系审核意见：
主管领导（签名）：
年月日
研究生院审核意见：
如果上课方式是讲授+讨论，讲授课时间______学时，讨论课时间______学时。
课程简介（教学内容及基本要求）
本门课程所需预备知识较少，但其主要特点之一是抽象性(属抽象代数内容)。授课过程过将提供较多的实例说明，包括正例和反例，尤其是密码和编码应用中的例子，以加深学生对基本概念的理解、展示该学科的广泛应用性；此外，编写相关算法的实现软件，向学生演示软件界面及功能，将数学知识的抽象性通过编程来实现具体化，提高学生的兴趣和进一步深入学习的积极性和主动性；对一些成体系的、计算量比较大的方法、理论，通过电脑演示这些问题在通用数学软件上的解决过程，消除学生望而生畏的恐惧心理，增强其面临困难时解决困难的信心。
五、域上的多项式。主要讨论如何通过分解x^(qn)-x来确定域Fq上的所有n次不可约多项式，涉及特殊多项式及其相互间的关系、分圆多项式及其性质、莫比乌斯变换及反变换、Berlecamp算法，极小多项式、特征多项式、本原多项式，多项式周期的概念、性质以及确定方法，不可约的二项式、三项式的形式和求法。
六、有限域的结构和深层性质。包括有限域的存在性、唯一性、构造方法、乘法群的循环性质、Frobenius自同构、迹和范数、二次方程求解问题，基、多项式基、(自)对偶基、正规基。
教学目的（100字以内）
介绍有限域及相关近世代数内容在诸多现代科学与技术领域的重要应用，包括代数编码理论、密码学、通信工程、设计理论、代数系统理论、物理和化学等。掌握有限域的基础知识是研究生在相应科学、工程领域进行较高层次的实践、更深入的理论研究的必备条件。
上课方式（请打“√”选择）：全部讲授（√）、全部讨论（）、讲授+讨论（）