北师大九年级数学下 1.5 三角函数的应用 教案(2)
北师大版九年级下册数学教案设计：1.5三角函数的应用
极性.不过学生探究和解决问题的能力毕竟有限，尚待加强.本节课主要是在学生原有认知能力的基础上，进一步学习用锐角三角函数解决实际问题，经历把实际问题转化成数学问题的过程，建立相应的数学模型，以提高应用数学知识解决实际问题的能力.四、教学过程一、回顾与思考二、创设情境、引入课题三、引导探究，合作交流四、解决问题，共同提升五、教学过程教师活动预设学生活动设计意图一、回顾与思考1、直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2、互余两角之间的三角函数关系？3、同角之间的三角函数关系？4、30°、45°、60°角的三角函数值是多少？学生回答问题，其他学生补充通过复习直角三角形和三角函数的有关知识，进一步使学生熟记概念，理解三角形的边角关系，为本节利用三角函数解决实际问题做好准备。
二、创设情境、引入课题请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》引导学生交流，并提出本节课要探究的课题.从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性.三、引导探究，合作交流（一）探究一：船是否有触礁如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，师巡回指导，对学生画出的示意图中出现的问题予以纠正，及时提醒学生应注意的问题.通过在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 通过问题情境的创设和引导学生主动探究，主动参与，体会数学的应用意识，同时体验成功的快乐，（二）探究二：塔有多高小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)分组进行探究活动，每位同学要积极的参与到思考和交流中，使自己的解答过程得以顺利进行，并能勇敢的到黑板上代表自己的小组展示解答成果.在老师的引导下展开设想讨论.培养学生发展学生数学应用意识和解决问题的能力灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.四、解决问题，共同提升问题;钢缆问题一灯柱AB被一钢缆CD 固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m) .给学生充分思考时间，认真读题、认真审题，说出思路，再踊跃的拿出练习本，迅速的解答起来．深化认识、使自己又好又快的做完这些题.培养学生自主分析问题，自主解决问题的能力。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
1.5 三角函数的应用 -九年级下册数学教案教案(北师大版)
1.5 三角函数的应用 -九年级下册数学教案教案（北师大版）一、教学目标1.理解三角函数在实际生活中的应用；2.掌握三角函数在图形中的应用；3.能够解决与三角函数相关的实际问题。
二、教学重点1.了解三角函数的定义及其属性；2.掌握三角函数在图像中的应用。
三、教学难点1.解决与三角函数相关的实际问题；2.运用三角函数在图像中的应用。
四、教学过程1. 引入新知识通过展示一些实际生活中的例子，引导学生思考三角函数在实际中的应用，并让学生从自身经验出发，讨论三角函数的应用。
2. 三角函数的定义及其属性（1）三角函数的定义通过讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义式，引导学生理解三角函数的概念。
同时，还要强调角度的单位是弧度，在计算中要注意进行单位转换。
（2）三角函数的性质•正弦函数的值域是[-1,1]，在单位圆中，正弦函数的值等于角度对应弧长与半径之比。
•余弦函数的值域也是[-1,1]，在单位圆中，余弦函数的值等于角度对应弧长与半径之比。
•正切函数的定义域为全体实数，而值域不含1和-1。
3. 三角函数在图像中的应用（1）图像的绘制通过绘制三角函数的图像展示给学生，让学生观察并总结出三角函数图像的特点。
同时，提醒学生注意角度的变化对图像的影响。
（2）图像的分析让学生观察图像，找出图像的周期、最大值、最小值、零点等，培养学生对图像的分析能力。
（3）图像的应用通过一些例题，引导学生将三角函数的图像与实际问题相联系，运用三角函数的性质解决实际问题。
4. 实际问题的解决通过给出一些实际问题，引导学生运用三角函数解决问题。
在解决问题的过程中，要注重学生的思考和发现，以培养学生的解决问题的能力。
五、教学方法1.情境教学法：通过创设情境，引发学生兴趣，提高学习的积极性。
2.指导性教学法：在引导学生进行自主学习的同时，适时给予指导和帮助。
3.合作学习法：让学生之间相互合作，共同探讨问题，提高学生的学习效果。
六、教学评价根据学生的实际表现，进行课堂表现评价、书面作业评价和实际问题解决评价。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿2
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿2一. 教材分析《三角函数的应用》这一节的内容，主要让学生了解正弦、余弦函数在实际生活中的应用。
通过学习，学生能够理解正弦、余弦函数的图像和性质，以及如何利用这些函数解决实际问题。
这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生进一步学习高中数学的基础。
在教材中，通过丰富的例题和练习题，引导学生运用所学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
同时，这部分内容也考察了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在应用这些知识解决实际问题时，可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生如何将理论知识应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦、余弦函数在实际生活中的应用，掌握解决实际问题的方法。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：正弦、余弦函数在实际生活中的应用。
2.教学难点：如何将理论知识应用到实际问题中，解决具体问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究，培养学生的数学应用能力。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入正弦、余弦函数的应用。
2.实例分析：分析正弦、余弦函数在实际问题中的运用，引导学生理解函数的应用。
3.小组讨论：学生分组讨论，探讨如何解决实际问题，教师巡回指导。
4.总结规律：引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。
5.练习巩固：布置练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题。
6.课堂小结：回顾本节课的学习内容，强调正弦、余弦函数在实际生活中的应用。
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册 1.5《三角函数的应用》这一节主要让学生了解正弦、余弦函数在实际生活中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦、余弦函数在直角三角形中的应用，进一步理解三角函数的概念，并能解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了锐角三角函数的概念，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但是，对于如何将这些知识应用到实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握正弦、余弦函数在直角三角形中的应用，能够解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在直角三角形中的应用。
2.难点：如何将三角函数知识应用于解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法等，以学生为主体，教师为主导，引导学生主动探究、积极思考。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、三角板、实际问题案例等。
2.学生准备：课本、练习本、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示正弦、余弦函数在直角三角形中的应用，让学生直观地了解三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用所学的三角函数知识进行解答。
例如，测量一座塔的高度，或者计算一个物体的水平距离等。
学生分组讨论，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师针对学生解答实际问题的情况，进行点评和讲解，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）教师引导学生思考：除了直角三角形，还有哪些场景可以使用三角函数？让学生举例说明，进一步拓展学生的知识视野。
九年级数学下册 1.5 三角函数的应用课时教案 (新版)北师大版
1.5 三角函数的应用一、教学目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 二、课时安排 1课时 三、教学重点三角函数在解决问题过程中的作用 四、教学难点发展学生数学应用意识和解决问题的能力 五、教学过程 （一）导入新课如图,海中有一个小岛A,该岛四周10nmile 内暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西550的B 处,往东行驶20nmile 后到达该岛的南偏西250的C 处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的？与同伴进行交流。
（二）讲授新课要解决上面这个问题,我们可以将其数学化,如图:解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D,如果AD>10nmile,则无触礁的危险ABC根据题意,可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20nmile. 设AD=xnmile,00tan 55,tan 25,BD CDx x=== 00tan 55,tan 25.BD x CD x ∴== 00tan55tan 2520.x x ∴-=()002020.79.tan 55tan 25x nmile ∴=≈- ∵20.79nmile ＞10nmile∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. （三）重难点精讲例题1：如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m 至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).解:如图,根据题意可知∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,tan ,.tan tan 60CDRt BCD DBC BCCD CDBC DBC ∆∠=∴==∠在中，tan ,.tan tan 30CD CD CDRt ACD A AC AC A ∆=∴==在中， ∵AC-BC=AB0050,tan 30tan 60CD CD∴-= 解得 CD ≈43（m ） ∴该塔约有43m 高.例题2：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).【分析】如图,根据题意可知，∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD 的长,(2)AD 的长.01sin 40,BCRt BCD BD∆=解：（）在中， 0sin 40.BC BD ∴=0sin 35,BCRt ABC AB∆=在中， ()000sin 4040.64284.48.sin 35sin 350.5736BC BD AB m ⨯∴==≈≈()4.4840.48.AB BD m ∴-≈-=答:调整后的楼梯会加长约0.48m.02tan 40,BCRt BCD DC∆=（）在中， 0.tan 40BCDC ∴=0tan 35,BCRt ABC AC∆=在中， 0.tan 35BCAC ∴=AD AC DC ∴=-0011tan 35tan 40BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 00011sin 40tan 35tan 40BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0.61.m ≈答:楼梯多占约0.61m 一段地面.（四）归纳小结AB CD┌ 4m350400利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．（五）随堂检测1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B 点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？【答案】1.解：由点A作BD的垂线，交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理AF===在Rt△ABF中，tanAFABFBF∠=，3tan3012x=+解得x=6610.4 AF x==≈10.4 > 8没有触礁危险2.解：如图 ，在Rt △APC 中，PC ＝PA ·cos（90°－65°）＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC 中，∠B ＝34°sin PCB PB= 72.872.8130.23sin sin 340.559PC PB B ∴==≈≈ 当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130.23海里六．板书设计1.5 三角函数的应用（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．例题1： 例题2：七、作业布置 课本P20练习1、2 练习册相关练习 八、教学反思。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.5《三角函数的应用》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.5《三角函数的应用》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的应用》是学生在学习了三角函数基础知识后，对三角函数在实际问题中的应用进行探讨。
本节课的内容包括正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用，如测量角度、计算物体的高度等。
通过本节课的学习，学生能够了解三角函数在实际生活中的重要性，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角函数的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但学生在实际应用三角函数解决生活中的问题时，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用，能够运用三角函数解决测量角度、计算物体高度等问题。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生将理论知识与实际相结合的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：使学生认识三角函数在实际生活中的重要性，培养学生的学习兴趣，激发学生探索数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为三角函数问题，以及如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题，引导学生主动探究，将理论知识与实际相结合。
2.案例教学法：分析生活中的实际案例，使学生了解三角函数在实际中的应用。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备相关的实际问题案例，制作PPT，准备讲解稿。
2.学生准备：复习三角函数的基本知识，准备笔记本，记录学习内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，求∠A的正弦、余弦值。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》一节，主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会使用三角函数解决一些简单问题。
教材通过实例引入正弦、余弦函数的概念，引导学生理解三角函数的实际意义，培养学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用方面可能还存在困难，需要通过实例讲解和练习，让学生更好地理解和掌握三角函数的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角函数的基本概念，了解三角函数在实际生活中的应用。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会使用三角函数解决实际问题，培养学生的应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：三角函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何引导学生将实际问题转化为三角函数问题，并运用三角函数解决。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体实例，让学生了解三角函数在实际生活中的应用。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，并运用三角函数解决。
3.小组合作法：让学生在小组内讨论问题，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关实例，如建筑设计、航海导航等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个建筑设计实例，引入三角函数的概念。
例如，讲解在一个矩形建筑中，如何通过测量一个角的正弦值和余弦值，来确定建筑的高度。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数在实际生活中的其他应用，如航海导航、声音传播等。
通过多媒体展示实例，让学生更直观地了解三角函数的实际意义。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，提出一个问题，然后运用三角函数解决。
例如，一个物体从地面上抛，已知抛出角度和初速度，如何计算物体落地时的位置。
4.巩固（10分钟）讲解学生提出的问题，引导学生将实际问题转化为三角函数问题，并运用三角函数解决。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册的重要内容。
这部分内容主要介绍了三角函数的概念、性质及应用。
通过学习，学生可以了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容为后续学习三角函数的其他部分打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于三角函数这一部分内容，由于其抽象性和复杂性，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角函数的基本概念。
2.三角函数的性质。
3.运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解，使学生了解三角函数的基本概念和性质。
2.案例分析法：通过分析实际问题，使学生掌握运用三角函数解决问题的方法。
3.讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的课件，帮助学生直观地理解三角函数的概念和性质。
2.实际问题：准备一些与生活相关的实际问题，用于引导学生运用三角函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些有关三角函数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角函数相关的实际问题，引导学生思考并引入新课。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的基本概念和性质，让学生了解三角函数的定义和特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，并运用三角函数解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予学生反馈。
5.拓展（10分钟）讲解一些与三角函数相关的拓展知识，引导学生思考和探索。
北师大版九年级的数学下册1.5三角函数的应用教案
精选资料课题5 三角函数的应用 讲课人经历研究船能否有触礁危险的过程，进一步领会三角函数在知识技术解决问题过程中的应用．联合实质问题，弄清方向角的观点，经过解直角三角形，获数学思虑教 得用数学知识解决实质问题的经验．学 能够把实质问题转变为数学识题，能够借助于计算器进行有目问题解决关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．标经过把实质问题转变为数学识题的过程，感觉数学与生活的联系 感情态度，加强学生的数学应企图识；在学习过程中经过小组合作沟通，培育学生的合作沟通能力与数学表达能力.教课 领会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应企图识和解决问题要点的能力．教课 依据题意，认识相关术语，正确地画出表示图．难点讲课 课时新讲课种类教具 计算器、多媒体课件教课活动教课设计企图师生活动步骤师：谁能说一下，本章我们已经学习了哪些知识？ 生1：第一节我们主要学习了三角函数的定义：在Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90°， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边分别是 a ， b ， c ，则有sinA ＝∠A 的对边 ＝ a ； cosA ＝ ∠A 的邻边 ＝ b ； 斜边 斜边c c ∠ A 的对边 atanA ＝ ∠ A 的邻边 ＝ b .生2：第二节我们主要学习了特别角的三角函数值及其简学生回想并回答，为本课单应用：回首1，cos30°＝3， tan30 °＝ 3；的学习供给迁徙或类比方sin30 ＝°22 3法 .22sin45 ＝° 2 ， cos45°＝ 2 ， tan45 °＝1；sin60 ＝° 3， cos60°＝ 1， tan60 °＝ 3.2 2生3：第三节我们主要学习了利用计算器求随意角的三角函数值及其简单应用 .生4：第四节我们主要学习认识直角三角形及其简单应用 .1 / 6精选资料师：嗯，这是我们前方学过的比较简单的三角函数的应用，那么关于比较复杂的相关三角函数的问题，我们应当怎么解呢？这就是我们今日要点研究的内容．本课除了要用到已经学过的倾斜角、仰角和俯角等知识外，我们还要理解方向角的观点.生 5：方向角就是地理中常常碰到的依据“上北下南左西右东”原则来区分的角 .经过一段视频，进行音乐与 3D 电影成效的赏识，让学生有一些听觉与视觉【讲堂引入】课前 5分钟：学生赏识电影《泰坦尼克号》3D 版预告片视频 . 活动如图 1－ 5－ 6，泰坦尼克号 (RMS 一：Titanic) 是一艘奥林匹克级游轮，于1912年4月处女航时撞创建上冰山后淹没．“泰坦尼克号”为Titanic 常用的翻译， Ti 情境tan是希腊神话中的泰坦星，象征着力量和宏大．电影《导入泰坦尼克号》更是表达了一段浪漫、凄美的爱情故事．新课泰坦尼克号的淹没让人感觉遗憾，假如舵手能够分清方向、正确计算距离，或许“泰坦尼克号”的结局会是美丽的 .活动一：创建图 1－5－ 6情境导入同学们，假如你是船长，如何才能利用我们所学的知识来避新课免这样的灾害呢？本节课我们将一同商讨这个问题的冲击，感觉现代科技手段为电影带来的美感．感受生活是美的，我们的身边到处都是美，建立对美的追求．再让学生为泰坦尼克号的淹没感觉痛惜，进而，追忆淹没的原由，顺利进入本课数学知识的商讨 ..2 / 6活动二：实践研究沟通新知精选资料【研究 1】如图 1－ 5－ 7，海中有一个小岛 A ，该岛周围 10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55°方向的 B 处，图 1－5－ 7往东行驶 20海里后，抵达该岛的南偏西25°方向的 C处．以后，货轮持续往东航行，你以为货轮持续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与伙伴进行沟通.办理方式：第一我们可将小岛 A 确立，货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55°方向的 B 处，依据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左” 55°地点． C在 B的正东方，即 C在 B的右侧．且在A 的南偏东 25°方向处，即 C在 A 的“下偏左” 25°地点 .图 1－5－ 8【探究2】如图 1－ 5－8，小明想丈量塔CD 的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向行进50m至 B 处，测得仰角为 60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精准到 1 m)办理方式： (自主解决问题)( 鼓舞学生展现自己的解题过程)1.数学主旨：我们教育的学生，不仅需学会知识，更重要的是会用知识．将实质问题抛给学生，指引学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利地将实质问题转变为数学识题，进而学会用数学知识解决实际问题 .2.直角三角形的边角关系在航海、工程等丈量问题中有着宽泛的应用，通过活动二的问题，进一步让学生稳固用直角三角形的边角关系这一知识解决实质问题，提高3 / 6学生的建模、转变能力 .【应用举例】例 1如图 1－ 5－9，荆河公园管理处计划在公园里建一个以 A 为喷活动泉中心，且半径为 15m的圆形喷水池．公园里已建有 B ， C两个歇息亭， BC 是一条三：长 50 m的人行道，已测得∠ABC ＝ 45°，∠ ACB ＝ 30°.开放(1) 若要在人行道 BC 上安装喷泉用水控制阀门 E，使它到喷泉训练中心 A 的距离最短，请你在BC 上画出该点 E的地点 .表现(2)经过计算，你以为该圆形喷水池会影响人行道的通行吗？应用图 1－5－ 9(踊跃思虑，先独立达成，后集体沟通展现)变式：如图 1－ 5－ 10某商场准备改良本来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至 35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？ (结果精准到 0.01 m)活动三：开放训练图 1－ 5－ 10图 1－ 5－ 11表现办理方式：学生关于详细的问题经过自主思虑、小组应用沟通、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路．学生书写过程不规范，教师给出规范的步骤．依据图 1－ 5－ 11回答以下问题：(1)若 AC 代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？ 40°的角是哪个角？ (2) 在楼梯改造过程中，楼高能否发生了变化？实质问题的解决难点在于成立数学模型，即能否能画出切合题意的图形，并联合图形找寻问题中的已知量和未知量．在这个问题中，学生理解的难点在于改造后的楼梯终究是怎样的．所以，教师先指引学生明确在楼梯改造过程中，楼高没有发生变化．有4 / 6了这样一步指引，再让学生自主解决问题就不难了 .【拓展提高】例 2如图 1－ 5－ 12，水库大坝的截面是梯形ABCD ，此中 AD ∥ BC，坝顶 AD ＝ 6 m，坡长 CD ＝ 8 m，坡底 BC ＝ 30m，∠ ADC ＝ 135 °.图 1－ 5－12(1)求∠ ABC 的度数；(2)假如坝长 100m，那么修建这个大坝共需多少土石料(结果精准到 0.031 m ) ？( 踊跃思虑，先独立达成，后集体沟通展现)我们能够依据下边两图所示的方法结构直角三角形解决问题 .图 1－5－ 13你能独立达成解答过程吗？例 3如图 1－ 5－14，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定， CD 与地面成 40°夹角，且 DB ＝ 5m，在点 C上方 2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆 ED 的长度为多少？图1－5－145 / 6精选资料例 4 如图 1－ 5－ 15，某货船以 20海里 /时的速度将一批重要物质由 A处运往正西方向的 B 处，经 16小时的航行抵达，抵达后一定立活动即卸货．此时．接到气象部门通知，一台风中心正以40海里 /时的速度由 A 向北偏西 60°方向挪动，距台风中心200海里的圆三：形地区 (包含界限 )均会遇到影响 . 开放(1)B 处能否会遇到台风的影响？请说明原由. 训练(2) 为防止遇到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？( 表现参照数据：2≈ 1.4， 3≈ 1.7) 应用图 1－5－15 分层设置练习题，使学生的知识、技术呈螺旋式上涨，也是一种思想与能力的训练 .活动四：讲堂总结反省【当堂训练】1.课本 P20随堂练习2.课本 P21习题 1.6中T2、 T3、 T4【板书设计】【教课反省】① [ 讲课流程反省 ]本节课的主要学习目标：联合实质情形抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实质问题．学生被情境吸引，急迫想获取新知．经过“触礁”问题的解决，指引学生剖析问题，初步掌握数学建模的方法，而后再松手让学生自主解决问题．② [ 讲解成效反省 ]本节课的主要学习目标：联合实质情形抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实质问题．教课中鼓舞学生勇敢研究，充足训练学生由已知边角求其他边角的能力．利用三角函数来解决生活中的问题，关于学生来说仍是有必定难度的，应该着重基础，不宜拔太高．③ [ 师生互动反省 ]____________________________________________________________________________________________________________④ [习题反省 ]好题题号错题题号当堂检测，实时反应学习成效 .纲要挈领，要点突出 .反省，更进一步提升 .6 / 6。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》这一节主要介绍了三角函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，理解三角函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对正弦函数、余弦函数和正切函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面可能存在一定的困难，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够提高运用三角函数解决问题的能力，培养学生的数学思维。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。
2.教学难点：学生如何将实际问题转化为三角函数问题，如何灵活运用三角函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究，提高学生解决实际问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解三角函数在实际问题中的应用。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，激发学生学习兴趣，引导学生思考如何运用三角函数解决实际问题。
2.新课讲解：通过案例分析，讲解正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，引导学生理解三角函数的实际意义。
3.实践操作：学生分组讨论，选取一个实际问题，运用三角函数进行解决，培养学生的实际操作能力。
4.总结提升：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固学生对三角函数在实际问题中的应用的理解。
九年级数学下册 1.5 三角函数的应用课时教案 (新版)北
1.5 三角函数的应用一、教学目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 二、课时安排 1课时 三、教学重点三角函数在解决问题过程中的作用 四、教学难点发展学生数学应用意识和解决问题的能力 五、教学过程 （一）导入新课如图,海中有一个小岛A,该岛四周10nmile 内暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西550的B 处,往东行驶20nmile 后到达该岛的南偏西250的C 处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的？与同伴进行交流。
（二）讲授新课要解决上面这个问题,我们可以将其数学化,如图:解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D,如果AD>10nmile,则无触礁的危险ABC根据题意,可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20nmile. 设AD=xnmile,00tan 55,tan 25,BD CDx x=== 00tan 55,tan 25.BD x CD x ∴== 00tan55tan 2520.x x ∴-=()002020.79.tan 55tan 25x nmile ∴=≈- ∵20.79nmile ＞10nmile∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. （三）重难点精讲例题1：如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m 至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).解:如图,根据题意可知∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,tan ,.tan tan 60CDRt BCD DBC BCCD CDBC DBC ∆∠=∴==∠在中，tan ,.tan tan 30CD CD CDRt ACD A AC AC A ∆=∴==在中， ∵AC-BC=AB0050,tan 30tan 60CD CD∴-= 解得 CD ≈43（m ） ∴该塔约有43m 高.例题2：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).【分析】如图,根据题意可知，∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD 的长,(2)AD 的长.01sin 40,BCRt BCD BD∆=解：（）在中， 0sin 40.BC BD ∴=0sin 35,BCRt ABC AB∆=在中， ()000sin 4040.64284.48.sin 35sin 350.5736BC BD AB m ⨯∴==≈≈()4.4840.48.AB BD m ∴-≈-=答:调整后的楼梯会加长约0.48m.02tan 40,BCRt BCD DC∆=（）在中， 0.tan 40BCDC ∴=0tan 35,BCRt ABC AC∆=在中， 0.tan 35BCAC ∴=AD AC DC ∴=-0011tan 35tan 40BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 00011sin 40tan 35tan 40BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0.61.m ≈答:楼梯多占约0.61m 一段地面.（四）归纳小结AB CD┌ 4m350400利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．（五）随堂检测1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B 点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？【答案】1.解：由点A作BD的垂线，交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理AF===在Rt△ABF中，tanAFABFBF∠=，3tan3012x=+解得x=6610.4 AF x==≈10.4 > 8没有触礁危险2.解：如图 ，在Rt △APC 中，PC ＝PA ·cos（90°－65°）＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC 中，∠B ＝34°sin PCB PB= 72.872.8130.23sin sin 340.559PC PB B ∴==≈≈ 当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130.23海里六．板书设计1.5 三角函数的应用（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．例题1： 例题2：七、作业布置 课本P20练习1、2 练习册相关练习 八、教学反思。
北师大版九年级数学15三角函数的应用教案
教案：北师大版九年级数学15三角函数的应用【教学目标】1.掌握三角函数在实际问题中的应用。
2.运用三角函数解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
3.培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
【教学重难点】1.理解三角函数的定义和基本性质。
2.能够运用三角函数求解实际问题。
【教学准备】教师准备电脑、投影仪，教学PPT，学生准备课本、笔记本等。
【教学过程】一、导入（5分钟）1.引入教学话题：请学生思考一个问题：我们生活中有哪些与三角函数相关的实际问题？2.学生回答问题，教师进行总结，并激发学生的学习兴趣。
二、概念讲解（10分钟）1.通过PPT展示，简要概括三角函数的定义和基本性质，包括正弦、余弦和正切函数的定义和周期等。
2.通过例题的讲解，加深学生对三角函数的理解。
三、应用实例分析（35分钟）1.通过PPT展示一些实际问题，并引导学生分析问题，思考如何运用三角函数来解决。
2.以角度测量、三角恒等变换、海伦公式等为例，引导学生运用三角函数解决实际问题。
3.给学生提供一些实际问题，让他们自己思考如何用三角函数来解决，然后展示并讨论答案。
4.教师对学生的解答进行点评和指导，引导学生思考解题思路和方法。
四、拓展应用（20分钟）1.引导学生思考：三角函数在哪些领域有更广泛的应用？2.教师通过PPT展示三角函数在工程、物理等领域的应用案例，并引导学生进行讨论和思考。
3.教师组织小组讨论，要求学生结合实际问题，自行设计一道题目，并用三角函数解决。
五、课堂讨论（10分钟）1.教师组织学生就本节课所学知识进行讨论，及时解答学生的疑问。
2.教师提问学生：通过本节课的学习，你们对三角函数的应用有什么新的认识？你们学到了什么？3.学生回答问题并进行交流。
【教学反思】本节课通过引导学生分析实际问题，运用三角函数解决问题，培养了学生的数学建模能力和综合运用数学知识的能力。
同时，通过引导学生思考三角函数在不同领域的应用，拓宽了学生对数学知识的认识。
1.5三角函数的应用(教案)北师大版九年级数学下册
-举例：在分析一个复杂的多边形时，如何选择合适的三角形来简化问题。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，采用直观演示、实际操作、问题讨论等多种教学方法，帮助学生深入理解三角函数的概念和应用，提高解决问题的能力。同时，通过反复练习和实际案例的分析，加强对三角函数值的记忆，以及在实际问题中运用三角函数的技巧。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了三角函数的应用。我发现学生们对于三角函数在实际问题中的应用表现出很高的兴趣，尤其是当他们能够亲手操作，解决实际问题的时候。通过分组讨论和实验操作，学生们不仅加深了对三角函数概念的理解，还学会了如何将理论知识运用到实践中。
课堂上，我注意到有些学生在理解特殊角的三角函数值时遇到了一些困难。这让我意识到，对于这部分内容，我需要采用更直观、生动的方式来讲解，比如通过绘制图形或使用教具，帮助他们形象地理解和记忆。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角函数的定义及其在直角三角形中的应用：正弦、余弦、正切函数的定义，以及如何运用这些函数求解直角三角形中的未知量。
-举例：给定一个直角三角形，已知一个角和一条边的长度，求解另一条边的长度。
-特殊角的三角函数值：熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切值。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角函数的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，加深了对三角函数在现实生活中的应用理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级下册数学教案设计：1.5三角函数的应用
情境引入一、回顾与思考1、直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2、互余两角之间的三角函数关系？3、同角之间的三角函数关系？4、30°、45°、60°角的三角函数值是多少？二、创设情境、引入课题请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》引导学生复习刚才大家欣赏了动画影片《船要触礁了》，大家看到了什么？有什么感受？引导学生交流，并提出本节课要探究的课题.板书课题：§1.5三角函数的应用引入新课回答问题1、欣赏动画影片《船要触礁了》.2、回答老师提出的问题.从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性.教学环节教学内容教师活动设计学生活动设计自主合作探究发现三、引导探究，合作交流（一）探究一：船是否有触礁如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.（详细解答过程见课件展示）----仅提供参考（二）探究二：塔有多高小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)（详细解答过程见课件展示）1、在绝大部分学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用.2、教师对学生解答过程中闪光点给予肯定和表扬----比如在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形，供其他学生们学习.3、鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解.1、让学生在规定时间内完成并展示（投影）成果.2、巡回指导，对学生画出的示意图中出现的问题予以纠正，及时提醒学生应注意的问题.1、同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑.2、学生把自己的解决方案记录在纸上，为黑板上展示自己的解答过程做好准备.3、学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）交流合作，将问题转化为数学问题，画出示意图.教学教学内容教师活动设计学生环节活动设计自主合作探究发现（三）探究三：楼梯加长了多少深圳东门某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)（详细解答过程见课件展示）----仅提供参考四、解决问题，共同提升（一）问题一：钢缆问题一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m) .（详细解答过程见课件展示）----仅提供参考1、继续引导学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程，也可以利用投影仪展示出来，以备各组相互评价.2、询问部分学生的解答思路.指导部分学生：如果缺少数据，可以巧设未知数，起到解答的辅助作用.3、重点指导第二个问要求学生独立完成，把解答过程写到课堂练习本上．挑选三名同学到讲台前说出答案并讲述自己的思路.1、分组进行探究活动，每位同学要积极的参与到思考和交流中，使自己的解答过程得以顺利进行，并能勇敢的到黑板上代表自己的小组展示解答成果.2、每位同学都应具有认真读题、认真审题的习惯和能力.踊跃的拿出练习本，迅速的解答起来．深化认识、使自己又好又快的做完这些题.教学设计教学内容教师活动设计学生活动设计自主合作探究发现（二）问题二：大坝问题如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ) .（详细解答过程见课件展示）----仅提供参考1、引导学生展开合作，交流.2、选择具有代表性的解答方法投影展示.1、在老师的引导下展开设想讨论.2、动手操作.探究发现小结让语言组织能力强的学生代表归纳小结.学生讨论，交流，合作.布置作业1、必做题：习题第1题、第2题.2、选做题：习题第3题、第4题.教师提出要求独立完成。
2020春北师大版九年级数学下册教案：1.5三角函数的应用
-将实际问题抽象成三角函数模型，学生往往难以从复杂的实际问题中提取关键信息；
举例：如何引导学生从测量物体高度的问题中，抽象出三角形的直角边和斜边的关系，进而运用正切函数。
-特殊角的三角函数值记忆与应用，学生容易混淆不同特殊角的函数值；
举例：通过记忆口诀、图形联想等方法，帮助学生记忆特殊角的三角函数值，并在实际问题中正确运用。
2.掌握特殊角的三角函数值，并能熟练运用；
举例：复习并巩固30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切函数值。
3.应用三角函数的性质和图像，解决一些简单的三角方程问题。
举例：求解简单的正弦、余弦方程，如sinθ = 0.5，cosθ = 0.6等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的应用和特殊角的三角函数值这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度、计算物体运动的速度等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量实际物体的高度，让学生亲身体验三角函数的应用。
在讲授特殊角的三角函数值时，我使用了记忆口诀和图形联想的方法，大多数学生反馈这样的方法很有帮助。但是，也有一部分学生在记忆和应用这些值时仍然感到困难，这可能需要我在未来的复习课上再次强调和巩固。
对于三角方程的求解，我认为学生们在理解基本求解方法上做得不错，但在面对一些稍微复杂的情况时，他们还不太能够灵活运用所学的知识。我意识到需要提供更多的例题和练习，让学生在不断的实践中掌握解题技巧。
北师大九年级数学下 1.5 三角函数的应用 导学案(2)
1.5 三角函数的应用一．学习三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、学习重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、学习过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．学习时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。
如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ 中解决。
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=斜边的对边A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．（三）．巩固练习1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）2．如图6-17，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为+2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到1m)四、布置作业。
北师版九年级数学下册学案1.5 三角函数的应用
1.5 三角函数的应用一．学习三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、学习重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、学习过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．学习时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。
如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ 中解决。
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=斜边的对边A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．（三）．巩固练习1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）2．如图6-17，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为+2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到1m)四、布置作业。
北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用教学设计
北师大版九年级数学下册1.5三角函数的应用教学设计1.5三角函数的应用教学目标（一）知识目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.（二）能力目标能够把实际问题抽象成数学问题，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力.（三）情感目标1.在弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的兴趣. 教学重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用.2.提高学生数学应用意识和解决问题的能力. 教学难点根据题意，了解有关术语、准确地画出示意图, 将（二）指导尝试，自主探究【师】我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？【生】应该是“上北下南，左西右东”.【师】请同学们根据题意在练习本上画示意图，然后说明你是怎样画出来的，【生】首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处，示意图如下：【师】货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？【生】根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D 为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较.【师】这位学生分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求，根据题意，有哪些已知条件呢？【生】已知BC=20海里，∠BAC＝55°，∠CAD=25°【师】在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD 和Rt△ACD，你能在哪个三角形中示求出AD呢？【生】在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求出AD.【生】在Rt△ABD中知道∠BAD＝550，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.【师】那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？【生】我发现了这两个三角形有联系，AD是它们公共直角边，而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.【师】有何联系呢？【生】在Rt△ABD中，tan550＝BD，BD＝AD·tan550，AD在Rt△ACD中，tan250＝CD，CD＝AD•tan250.AD【生】利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan550－ADtan250=20.【师】太棒了！没想到方程在这个地方帮了我们的忙，其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生共析】解：过A作BC的垂线，交BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD,从而BD=AD tan550,CD=AD tan250,由BD-CD=BC,又BC=20海里，得AD·tan550–AD·tan250=20 AD·(tan550–tan250)=20 AD≈20.79海里这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.(三)变式训练，形成能力【师】接下来，我们再来研究一个问题，还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰塔顶，测得仰角为300，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）【师】我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，300仰角、600的仰角分别指哪两个角？【生】当从低处观测高处的目标时，视线与水平所成的锐角称为仰角，300的仰角指∠DAC, 600的仰角指∠DBC.【师】很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.（教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导）【生】首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan300＝CD,即BC＝30tan CD,在RtAC△BDC中，tan600＝CDBC即BC＝CD,又∵AB＝AC－BC＝50m,得60tanCD－60tan CD＝50解得CD≈43(m)tan30即塔CD的高度约为43m.【生】我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.【师】这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为 1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？【生】示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CD≈43m，则CD＝43+1.6=44.6m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6m.【师】同学们的表现太棒了，现在我手里有一个楼梯改造问题，想请同学们帮忙解决一下.多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由400减至350，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.001）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题.（先独立完成同，然后相互交流，讨论各自的想法）【生】在这个问题中，要注意调整前后的楼梯高度是一个不变量，根据题意可画出示意图（如右图），其中AB表示楼梯的高度，AC是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度，DB是调整后楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后楼梯的倾角，转化为数学问题即为：如图，AB⊥DB,∠ACB＝400，∠ADB＝350，AC＝4m，求AD－AC及DC的长度.【师】这位同学把这个楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式，我相信同学们一定能用计算器很快地解决它，开始吧！【生】解：由条件可知，在Rt △ABC 中，sin400=ACAB,即AB ＝4sin400m.原楼梯占地长BC ＝4cos400.调整后，在RT △ABD 中，sin350=AD AB 则AD ＝35sin AB ＝35sin 40sin 4ｍ, 楼梯占地长DB ＝35tan 40sin 4m ∴调整后楼梯加长AD －AC ＝35sin 40sin 4－4≈0.48(m). 楼梯比原来多占DC ＝DB －BC ＝3540sin 4tin －4cos400≈0.61(m)(四)反馈矫正，拓展思维 1． 如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成400夹角，且DB ＝5m ，现再在C 点上方2m 处加固中另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少？解：在Rt △CBD 中，∠CDB ＝400，DB ＝5m ， sin400＝DB BC，BC ＝DBsin400=5sin400(m) 在Rt △EDB 中DB ＝5m BE ＝BC+EC ＝2+5sin400(m)根据勾股定理，得DE ＝7.96(m)所以钢缆ED 的长为7.96m2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m，坡底BC＝30m，∠ADC＝1350⑴求∠ABC的大小；⑵如果坝长100m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01m2）解：过A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,E.F为垂足.⑴在梯形ABCD中，∠ADB＝1350∴∠FDC＝450，EF＝AD＝6m，在Rt△FDC中，DC＝8m，DF＝FC＝CDsin450=42(m).∴BE＝BC－CF＝30－42－6＝24－42(m) 在Rt△AEB中，AE＝DF＝42（m）,tan∠ABC=AE=242424--262-≈0.308.∴∠ABC≈BE1708/21″(2)楼梯ABCD的面积S＝1（AD+BC）•AE＝212（6+30）·42＝722（m2）坝长为100m，那么建筑这个大坝共需土石料100〤722≈10182.34(m3)综上所述，∠ABC＝1708/21″建筑大坝共需10182.34m3土石料.(五)讨论归纳，形成知识【生1】本节课我们学到了：运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析问题和解决实际问题的能力.【生2】我们还知到：解决与直角三角形有关的实际问题的关键是构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题.然后列方程求解，并合理解释答案.【生3】通过“读一读”的学习，了解“三角学”的发展历史，使我们对“三角学”更感兴趣.(六)课后作业习题1.6第1，2，3题.(七)活动与探究（2019年贵阳）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必需立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A处向北偏西600方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受影响.（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：2≈1.4 3≈1.7）提示：这是一道需借肋三角知识的应用题，需抓住问题的本质特征，在转化、抽象成数学问题上下功夫〕解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D，依题意，得∠BAC＝300，在Rt△ABD中，BD＝21AB＝21⨯2019⨯＝160<200,∴B处会受到台风影响.⑵以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E、F，由勾股定理可求得DE＝120，AD＝1603AE＝AD－DE＝1603－120∴401203160-＝3.8（小时）因此，该船应在3.8小时内卸完货物.附：板书设计§1.5三角函数的应用一．船有触礁有危险吗1．根据题意，画出示意图，将实际问题转化为数学问题.2．用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.3．解释最后的结果.二．测量塔高三．改造楼梯教学反思⑴本节课容量较大，有五个实际应用问题，学生对每个问题逐个探究解答，时间难以把握，换句话说，本节课很难完成设计的教学内容.若时间感觉比较紧，又该怎样来解决这个问题呢？⑵本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题，对优生来说，他们学习还较容易，讨论也热烈；从作辅肋线构建直角三角形，再利用方程解答题目，直至描述答案都显得轻松自如.但对另外还有相当一部分学生来说，他们基础较差，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理构造直角三角形，也不能列出合理的方程进行解答，又该怎样体现面向全体学生的原则，达到共同进步的目的.在课堂教学过程中，怎样安排培优与转差的过程等等，却值得我们深思.点评：本节课的教学结合具体的教学内容，采用了“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式.让学生亲身经历知识形成与应用过程，从而更好地理解教学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展了学生运用数学意识和能力，增强了学生学好数学的愿望和信心.具体有一下几个特点：第一，教学素材来源于现实生活实际，如：船有触礁的危险吗、小明测楼高、怎样改造楼梯、货船会受台风影响吗等问题的设计，都是学生关注和感兴趣的实例作知识背景，激发学生求知欲，使学生感受到数学知识就在身边，与现实世界密切联系，把以上的几个问题用适当的方式呈现给学生，从而激发了学生学习的热情和主动探究的精神，并激励学生与同伴合作交流自己的想法. 第二，内容设计有一定的层次性并富有弹性，在教学过程中，教师把一个知识对象用多样化的载体予以呈现，体现了知识发展的阶梯，符合学生认知规律和逻辑思维习惯，层层递进，但总有一个重要的数学思想即转化思想贯穿始终，在解决实际问题中，必须建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，同时，在问题2中，又富有弹性，问题的条件设计成开放性的，便于学生发散思维，也容易激发学生的学习兴趣，对问题进行变式、探究与创新. 第三，关注数学学习过程.从教师对教学过程设计上看，学生数学学习的过程，是建立在经验基础上的一个主动建构过程，学习过程中对各个问题的解决都充满了观察、猜想、推理和交流等丰富多彩的数学活动，学生不仅获得了计算能力，而更重要的是获得自己去探究数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得对客观事实尊重的理性精神和对科学执着追求的态度，让学生亲眼目睹数学过程的形象而行动的性质，亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.5 三角函数的应用
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点)
2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点)
一、情境导入
为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°
.
你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究
探究点：三角函数的应用
【类型一】 利用方向角解决问题
某船以每小时36海里的速度向正东
方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，
已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外；
(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不
在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三
角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问
C 到AB 的距离即C
D 是否大于16，
如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．
解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝1
2x ，CD
＝
3
2
x .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴32x 18＋12x
＝3
3
.∴x ＝
18.∵18>16，∴点B 是在暗礁区域外；
(2)∵CD ＝
3
2
x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．
方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型二】 利用仰角和俯角解决问题
某中学九年级学生在学习“直角三
角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD 为18米，求①号楼AB 的高度(结果保留根号)．
解析：根据在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE
CE ，
求出BE 的值，再根据在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝
AE
CE
，求出AE 的值，最后根据AB ＝AE ＋BE ，即可求出答案．
解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝BD ＝18米．在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18米．在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AE
CE ，∴AE
＝CE ·tan ∠ACE ＝18×tan30°＝63(米)，∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)．
所以，①号楼AB 的高为(18＋63)米．
方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题
【类型三】 求河的宽度
根据上消息，益阳市为了改善市区交
通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．
解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．
解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝
AB
AC
，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝
AB
AD
，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×410
3
≈546.7m.
所以，AB 的长约为546.7m.
方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练” 第5题
【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用
如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想
要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE 的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i ＝1∶1(即tan ∠CED ＝1)的斜坡步行15分钟抵达C 处，此时，测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE 的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．
解析：作辅助线EF⊥AC于点F，根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的长度．
解：作EF⊥AC于点F，根据题意，得CE
＝18×15＝270(米)．
∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.
∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝1 2
CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝2EF＝1352≈190.4(米)．
所以，娱乐场地所在山坡AE的长度约为190.4米．
方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三、板书设计
三角函数的应用
1．方向角的概念
2．三角函数的实际应用
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。