2012年数学建模机器人避障问题

机器人避障问题

摘要

本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律2

1.0100

e 1)(ρ

ρ-+=

=v v v 的分析可知，当过弯

半径13ρ=时，机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13ρ>时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着ρ的不断变大，其路线总长不断变大，这时ρ越小O A →所用时间最短；2）当13ρ≤时，统计计算ρ分别为10、11、12、13时，过弯速度v 也不断变化，计算所用时间发现随ρ不断变大，O A →所用时间越短，此时当13ρ=时，时间最短.综合上述可知：当

13ρ=时，时间最短.

关键词：

质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径

1 问题重述

在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，

物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位.

机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为

2100.11

0()(1e

)

v v v ρρ--==+，其中ρ是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发

生侧翻，无法完成行走.

下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：

(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径.

2 问题分析

2.1问题一：

该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯.

如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二：

由于O→A 过程中，机器人至少要经过一

次转弯；因为转弯时的速度一般小于直线行走的最大速度，又由分析指出转弯次数越多，转弯路径越远，转弯所花费的时间也越长.所以可以确定有且只有一次转弯时才存在最短时间路径.就仅考虑只经过一次转弯的情形.

3 模型假设

1）假设机器人可准确执行运动轨道，无任何偏差；

2）假设机器人为一可运动的质点，即质点机器人不考虑其外形尺寸； 3）假设机器人的行进速度可瞬时加减变化，不受条件限制；

4）假设机器人可到达边界线而不会发生碰撞，即对边界线不再加10个单位.

4 符号说明

hij D ： 机器人的行走路径上各切点，h 表示路径目的地（A 、B 、C ）

，i 表示到达h 机器人行走路线的第(1,2,3,)i i = 种方案，j 表示机器人在该路线上所经过的第(1,2,3,)i i = 个点；

hij L : 机器人的行走路径上的线段长或弧长，h 、i 、j 同上定义；

ij D ：机器人的行走路径上的障碍物的顶点，i 、j 同上定义；

`hj D ：机器人在O A B C O →→→→环道中的各线切点h 、j 同上定义

5 模型准备

5.1建立机器人运动坐标系：

以O 为原点，两对应坐标轴，水平方向为X 轴，垂直方向为Y 轴

5.2建立机器人可安全运动到达的区域图：

由于保持安全距离10个单位，则机器人的实际可到达到区域应由各障碍物的外延10个单位的区域组成如图所示图5.2.1实线外的空白部分.

5.3圆弧角三角形定理：

定义1：平面内若两不平行直线所夹的角被一同时与这两条直线相切的圆弧段取代而形成的角，叫做圆弧角.

如图5.3.2，称为凸圆弧角（本

文主要讨论）；如图 5.3.3，称为凹圆弧角.

定义2：由有一内角为凸圆弧角的三角形为圆弧角三角形.

圆弧角三角形定理：圆弧角`DHD ∠在直线`DD 及上方

范围完全包含圆弧角`DGD ∠（即圆弧角DGD ’各边均在圆弧角`DHD ∠的边与线段DD ’所构成的封闭区间内，如图5.3.1所示）时，则有曲线段`DGD 的长度恒小于曲线段`DHD 成立.

证明：如图 5.3.1，过圆弧 'EGE

的一个端点E 作该圆弧在该点的切线的垂线交曲线DH 于点F ，同样过圆弧 'EGE

的另一个端点'E 也作相应的垂线交曲线'D H 于点'F ，两条直线的交点O 显然为圆弧 'EGE 所在圆的圆心. （1）,EF DE ⊥ 90DEF ∴∠=︒ ；

,DF DE ∴> 曲线段DF DF ≥， ∴曲线段DF DE >.

（2）'''',E F D E ⊥ '''90D E F ∴∠=︒；

'''',D F D E ∴> 曲线段''''D F D F ≥；∴曲线段''''D F D E >.

（3）将''EFF E 分成n 等份（如图5.3.5），每部分（见图5.3.4）中，,(1,,)

i i M N i n = 是 MN 与边界的交点.令i i M N 为i M ，i N 两点间直线长度，''i i M N 为`i A ,`i E 两点间直线长度，则圆弧 MN 长度=1

lim n

i i n i M N →∞

=∑，曲线`AE 长度=''1

lim n

i i

n i M N →∞

=∑