电磁感应中的能量

电磁感应中的能量转化复习目标：理解电磁感应现象中能量转化的实质，掌握能量转化的分析方法。

授课班级：高三（2） 授课教师：蔡忠义授课时间：2008年4月22日 一体化训练：例2、如图，倾角θ=300，宽度L=1m 的足够长的U 形平行光滑金属导轨，固定在磁感强度 B =1T ，范围充分大的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用平行于导轨、功率恒为6w 的牵引力F 牵引一根质量为m=0.2kg ，电阻R=1Ω放在导轨上的金属棒ab ，由静止开始沿导轨向上移动{ab 始终与导轨接触良好且垂直}，当ab 棒移动2.8m 时，获得稳定速度，在此过程中，金属棒产生的热量为5．8J(不计导轨电阻及一切摩擦，取g=10m ／s 2)， 求：(1)ab 棒的稳定速度。

(2)ab 棒从静止开始达到稳定速度所需时间。

5.如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于倾角θ=30°的斜面上，导轨上、下端各接有阻值R =10Ω的电阻，导轨自身电阻忽略不计，导轨宽度L =2m ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B =0.5T ．质量为m =0.1kg ，电阻r =5Ω的金属棒ab 在较高处由静止释放，金属棒ab 在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好．当金属棒ab 下滑高度h =3m 时，速度恰好达到最大值v =2m/s ．求：（1）金属棒ab 在以上运动过程中机械能的减少量．（2）金属棒ab 在以上运动过程中导轨下端电阻R 中产生的热量．（g =10m/s 2）5解：（15分）（1）杆ab 机械能的减少量 |ΔE|= mgh －12mv 2 = 2.8 J ①（2）速度最大时ab 杆产生的电动势e =BLv = 2 V ② 产生的电流 I= e/(r+R /2) = 0.2 A ③此时的安培力 F =ILB = 0.2N ④由题意可知，受摩擦力 f = mg sin300－F = 0.3 N ⑤由能量守恒得，损失的机械能等于物体克服摩擦力做功和产生的电热之和 电热Q = |ΔE |－fh /sin300 = 1 J ⑥ 由以上各式得：下端电阻R 中产生的热量Q R = Q /4 = 0.25 J ⑦评分标准：①式3分，②、③、④、⑤、⑥、⑦式各2分．14．(12分)如图所示，在高度差h =0.50m 、水平平行的虚线范围内，有磁感强度B =0.50T 、方向垂直于竖直平面的匀强磁场，正方形线框abcd 的质量m =0.10kg ，边长L =0.50m ，电阻R = 0.50Ω，线框平面与竖直平面平行，静止在位置“I ”时，cd 边跟磁场下边缘的距离H =9.6m 。

现用一竖直向上的恒力F 向上提线框，该线框从位置“I ”由静止开始向上运动，穿过磁场区，最后到达位置“Ⅱ”（ab 边恰好出磁场），线框平面在运动中保持在竖直平面内，且cd 边保持水平。

设cd 边刚进入磁场时，线框恰好开始做匀速运动。

(g 取l0m/s 2)(1)求线框所受恒力F 的大小？(2)线框由位置“I ”到位置“Ⅱ”的过程中，恒力F 做的功是多少?线框内产生的热量是多少?14．解析：（1）在恒力F 作用下，线圈开始向上做匀加速直线运动，设线圈的加速度为a ，据牛顿第二定律有：F —mg=ma ①设线圈进入磁场的速度为v l ，则：aH v 221= ②cd 边产生的感应电动势为E=BLv l ③ 线框中产生的感应电流为I=E/R ④ 线框所受的安培力为F 安=BIL ⑤ 因线框做匀速运动，则有F =F 安+mg ⑥ 联立上述几式，可解得：F =4N ⑦ （2）恒力F 做的功W=F (H +L +h )=42.4J ⑧从cd 边进入磁场到ab 边离开磁场的过程中，拉力所做的功等于线框增加的重力势能和产生的热量Q ，即：F (L +h )=mg (L +h )+Q ⑨解得：Q =(F —mg )(L +h )=3.0J ⑩( 或=+⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛==v L h R R BLv Rt I Q 223.0J )［例3］一个质量m ＝0.1kg 的正方形金属框总电阻R ＝0.5Ω，金属框放在表面是绝缘且光滑的斜面顶端，自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB ’平行、宽度为d 的匀强磁场后滑至斜面底端BB ’，设金属框在下滑时即时速度为v ，与此对应的位移为S ，那么v 2－S 图象如图2所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上。

试问：（1）分析v 2－S 图象所提供的信息，计算出斜面倾角 θ 和匀强磁场宽度d 。

（2）匀强磁场的磁感强度多大？金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少？（3）现用平行斜面沿斜面向上的恒力F 作用在金属框上，使金属框从斜面底端BB ’静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端。

试计算恒力F 做功的最小值。

⑪本题的关键信息隐含在图像中，只有读懂两副图，才能够掌握运动过程。

从S ＝0到S ＝1.6米的过程中，由公式v 2＝2as ， 得 该段图线斜率a ＝5m /s 2，根据牛顿第二定律 mgsin θ＝ma从线框下边进磁场到上边出磁场，均做匀速运动（看图得出） ∴ ⑫线框通过磁场时，∴ t ＝t 1＋t 2＋t 3＝0.8＋0.25＋0.2＝1.25秒 ⑬在未入磁场时 F －mgsin θ＝ma 2进入磁场F ＝mgsin θ＋F 安， ∴F 安＝m a 2sv d t 25.045.02212=⨯==st at t v S S 2.0 ,21,8.06.24.33233133=+==-=米)1(/25.22,212212分s m mRS L B v S v m R BLv BL ===s a v t 8.05411===10161622====a s v k ︒====30,21105sin θθg a m m L S d m S 5.021,16.16.2==-∆==-=∆θsin ,/4,16121mg F s m v v ===安此时)1(sin 1分θm g RBLv BL=)1(5.0sin 11分特==v m gR LB θ∴ 最小功两根金属导轨平行放置在倾角为θ=30°的斜面上，导轨左端接有电阻R =10Ω，导轨自身电阻忽略不计。

匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B =0.5T 。

质量为m =0.1kg ，电阻可不计的金属棒ab 静止释放，沿导轨下滑。

如图所示，设导轨足够长，导轨宽度L =2m ，金属棒ab 下滑过程中始终与导轨接触良好，当金属棒下滑h =3m 时，速度恰好达到最大值v =2m/s 。

求此过程中电阻中产生的热量。

解法1：当金属棒速度恰好达到最大速度时，受力分析， 则mg sin θ=F 安+f据法拉第电磁感应定律：E =BLv ；据闭合电路欧姆定律：I=E R∴F 安=ILB =B 2L 2vR =0.2N ；∴f=mg sin θ－F 安=0.3N下滑过程据动能定理得：mgh －fh sin θ－W = 12mv 2解得W =1J ，∴此过程中电阻中产生的热量Q =W =1J 解法2：当金属棒速度恰好达到最大速度时，受力分析，则sin 0.5mg N θ=据法拉第电磁感应定律：E =BLv ；据闭合电路欧姆定律：I =ER ∴F 安=BIL由以上各式解得F 安=0.2N ；所以导体受到的摩擦力为0.3f N =下滑过程据动能定理得：2sin 0mgh Q f h mv θ--=-； 解得1Q J =如图所示，水平的平行虚线间距为d =50cm ，其间有B=1.0T 的匀强磁场。

一个正方形线圈边长为l =10cm ，线圈质量m=100g ，电阻为R =0.020Ω。

开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为h =80cm 。

将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等。

取g =10m/s 2，求：⑪线圈进入磁场过程中产生的电热Q 。

⑫线圈下边缘穿越磁场过程中θsin )(2321S S S mg d F W F +++⋅=安)2(98.1sin )(232122分焦=+++=θS S S m g Rd v L BR v l B F 22=⑫3位置时线圈速度一定最小，而3到4线圈是自由落体运动因此有 v 02-v 2=2g (d-l )，得v =22m/s⑬2到3是减速过程，因此安培力 减小，由F -mg =ma 知加速度减小，到3位置时加速度最小，a=4.1m/s 219．（12分）正方形金属线框abcd ，每边长l =0.1m ，总质量m =0.1kg ，回路总电阻02.0=R Ω，用细线吊住，线的另一端跨过两个定滑轮，挂着一个质量为M =0.14kg 的砝码。

线框上方为一磁感应强度B =0.5T 的匀强磁场区，如图，线框abcd 在砝码M 的牵引下做加速运动，当线框上边ab 进入磁场后立即做匀速运动。

接着线框全部进入磁场后又做加速运动（g =10m/s 2）。

问：（1）线框匀速上升的速度多大？此时磁场对线框的作用力多大？（2）线框匀速上升过程中，重物M 做功多少？其中有多少转变为电能？解：（1）当线框上边ab 进入磁场，线圈中产生感应电流I ，由楞次定律可知产生阻碍运动的安培力为F=BIl 由于线框匀速运动，线框受力平衡，F+mg= 联立求解，得I =8A 由欧姆定律可得，E=IR =0.16V 由公式E=Blv ，可求出v =3.2m/s F=BIl=0.4N （2）重物M 下降做的功为W=Mgl =0.14J由能量守恒可得产生的电能为04.0=-=mgl Mgl E 电J【设计意图】 通过本例使学生知道如何从图像中提取关键信息，并结合线框的受力和运动情况进行求解，以及电磁感应问题与力学综合问题的分析方法．［例4］有一种磁性加热装置，其关键部分由焊接在两个等大的金属圆环上的n 根间距相等的平行金属条组成，成“鼠笼”状，如图12—3—16所示．每根金属条的长度为l ，电阻为R ，金属环的直径为D 、电阻不计．图中虚线所示的空间范围内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场的宽度恰好等于“鼠笼”金属条的间距．当金属环以角速度ω绕过两圆环的圆心的轴 OO ′转动时，始终有一根金属条在垂直切割磁感线．“鼠笼”的转动由一台电动机带动，这套设备的效率为η，求电动机输出的机械功率．【解析】 处于磁场中的金属条切割磁感线的线速度为v ＝2Dω 产生的感应电动势为E ＝Blv ＝2DBl ω通过切割磁感线的金属条的电流为I ＝磁场中导体受到的安培力为F ＝BIl克服安培力做功的功率为P 安＝Fv ＝电动机输出的机械功率为P ＝P 安／η 联立以上各式解出P ＝nRDBl n n RR E2)1(1ω-=-+Rn D l B n ηω4)1(2222-DF ω21［例5］磁悬浮列车的原理如图所示，在水平面上，两根平行直导轨间有竖直方向且等间距的匀强磁场B 1，B 2，导轨上有金属框abcd ，金属框的面积与每个独立磁场的面积相等，当匀强磁场B 1，B 2同时以v 沿直线导轨向右运动时，金属框也会沿直线导轨运动，设直导轨间距为L ＝0.4m ，B 1＝B 2＝1T ，磁场运动速度为v ＝5m/s ，金属框的电阻为R ＝2欧姆。