2009中考数学第一轮复习轴对称专题训练_3
人教版中考数学第一轮复习第七章图形与变换
第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
中考数学专题复习练习：轴对称与轴对称图形
典型例题一例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）（A ）有两个角相等的三角形（B ）有一个内角是的直角三角形︒45（C ）有一个内角是，另一个内角为的三角形︒30︒120（D ）有一个角是的直角三角形︒30分析：在（A ）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）. 而（B ）和（C ）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么（D ）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D ）不是轴对称图形.解答：选（D ）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.典型例题二例02．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）求作：点P ，使P 在MN 上，并且最小.BP AP +作法 1．作点A 关于直线MN 的对称点.A '2．连结交MN 于PA A '点P 就是所求作的点.说明 这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.典型例题三例03．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点，，连结交OA 1P 2P 21P P 于M ，交OB 于N ，若，则的周长为多少？cm P P 521=PMN ∆作法：略.解答：如图（b ）所示，∵，P 关于OA 对称，1P ∴PMM P =1同理可得.PN N P =2∴的周长PMN ∆MN PN PM ++=N P MN M P 21++=cmP P 521==∴的周长为. PMN ∆cm 5 说明 准确作图是关键.典型例题四例04．已知：（如图）四边形ABCD 和过点D 的直线MN ，求作：四边形，使四边形与四边形ABCD 关于MN 对称.D C B A ''''D C B A ''''作法 1．作，垂足为E ；延长BE 到，使，得到点B 的对称MN BE ⊥B 'BE E B ='点.2．同法作点A 和点C 的对称点.C A ''3．因为D 在对称轴MN 上，所以点D 的对称点重合.D '4．连结、、.B A ''C B ''D C ''四边形即为所求.D C B A '''' 说明 关键是掌握概念和基本作图.典型例题五例05．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A 地同测取一点，使B 与河岸距离等于与河B 'B '岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A 、，欲在直线上求一B '点，使这一点与A 、距离之和最短.B '已知：如图，河岸AB 两地求作：线段CD ，使CD 与、均互相垂直，并且最小.1l 2l BD CD AC ++作法：（1）作，与、分别交点、E ，并且1l B B ⊥'1l 2l E 'BEE B =''（2）在上取一点使（或者找到点关于的对称点）E E 'B ''E B E B ''='''B '1l B ''（3）连结，与交于C 点，作，与交于D 点，CD 即为所求作的线段.B A ''l 2l CD ⊥2l 典型例题六例06．如图所示，P 是平分线AD 上一点，P 与A 不重合，.BAC ∠AB AC >求证：ABAC PB PC -<-分析：用对称法. 可利用轴对称图形的知识找出点B 关于直线AD 的对称点，因AD B '为的平分线，故在AC 上，连结，从而构造与两个轴对称图BAC ∠B 'P B 'P B A '∆ABP ∆形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明.证明：作点B 关于直线AD 的对称点，连结.B 'P B '∵AD 是的平分线，BAC ∠∴点在AC 上（是以角平分线AD 所在直线为对称轴的轴对称图形），B 'BAC ∠又∵AP 在对称轴AD 上，∴，P B BP B A AB '='=,在中，C B P '∆∵，C B B P PC '<'-，AB AC B A AC C B -='-=' ，P B BP '=∴.AB AC BP PC -<-说明：和就是利用角平分线AD 构造出的轴对称图形，这种方法对于证BAC ∆P B A '∆明有关线段的不等关系非常方便、有效.典型例题七例07．如图，E 、F 是的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使的ABC ∆EMF ∆周长最小.分析 因为E 、F 是定点，所以EF 是定值. 要使△EMF 的周长最小，只要MF ME +最小.解答 （1）作点F 关于直线BC 的对称点.F '（2）连结交BC 于M ，点M 就是所求.F E '说明 这类问题在日常生活中经常可以遇到.典型例题八例08．如图，过C 作的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作交AC 于BAC ∠AB DE //E .求证：.CE AE =分析 由已知条件容易得到，从而. 要证明，只须证明32∠=∠DE AE =CE AE =，联想到AD 是角平分线又是垂线，若延长CD 交AB 的延长线于P ，则C 、P 关CE DE =于直线AD 对称，于是问题可以解决.解答 延长CD 交AB 的延长线于P .在和中，ADP ∆ADC ∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADP ADC ADAD 21∴（角边角）ADC ADP ∆≅∆故.ACD P ∠=∠又∵，AP DE //∴，P ∠=∠4则.,4CE DE ACD =∠=∠∵，AB DE //∴，31∠=∠又∵，21∠=∠∴，32∠=∠∵（等边对等角），AE DE =∴.CE AE =说明 全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形. 等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径.典型例题九例09．如图，AD 是中的平分线，且.ABC ∆BAC ∠AC AB >求证：.DC BC>分析 由于AD 是的平分线，所以可以以AD 为轴构造轴对称图形，即把BAC ∠ADC ∆沿AD 翻折，这样，就可以在中解决问题.︒180DC DE =BED ∆证明 在AB 上截取AE ，使，连结DE .AC AE =∵AD 是的平分线，BAC ∠∴，21∠=∠在和中，AED ∆ACD ∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已证作图AD AD AC AE ∴（边角边），ACD AED ∆≅∆∴，DC DE =∴（全等三角形对应边对应角相等），43∠=∠∵，（内角和定理的推论），3∠>∠BED B ∠>∠4∴（大角对大边），ED BD B BED >∠>∠,∴.DC BD >说明 本题中的的就是利用角平分线构造出来的轴对称图形. 本题还有AED ∆ACD ∆其他构造轴对称图形的方法，比如把沿AD 翻折，也可证明结论.ADB ∆︒180选择题1．选择题（1）在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形②两个关于直线对称的图形是全等形l ③等边三角形是轴对称图形④线段有三条对称轴正确命题的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）下列图形是一定轴对称图形的是（）（A ）任意三角形 （B ）有一个角等于的三角形︒60（C ）等腰三角形 （D ）直角三角形（3）P 为内一点，且，则P 点是（）ABC ∆PC PB PA ==（A ）三条中线的交点 （B ）三条高的交点（C ）三个角的平分线的交点 （D ）三边垂直平分线的交点（4）已知：D 为的边BC 的中点，且，下面各结论不正确的是（）ABC ∆BC AD ⊥（A ） （B ）ACD ABC ∆≅∆CB ∠=∠（C ）AD 是的平分线 （D ）是等边三角形BAC ∠ABC ∆（5）正五角星的对称轴有（）（A ）1条 （B ）2条 （C ）5条 （D ）10条（6）等边三角形的对称轴共有（）（A ）1条 （B ）3条 （C ）6条 （D ）无数条（7）下列四个图形①等腰三角形 ②等边三角形 ③等腰直角三角形 ④直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（8）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）（A ）线段 （B ）角 （C ）三角形 （D ）等腰直角三角形参考答案：1．选择题（1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）C （8）C 填空题1．填空题（1）等边三角形的对称轴有______条.（2）如果沿着一条直线折叠，两个点能互相重合，那么这两个点叫做_______.（3）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形_______.（4）如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_______.参考答案1．填空题（1）3 （2）对称点 （3）轴对称 （4）轴对称图形解答题1．如图，已知线段AB 及直线MN ，求作线段AB 关于MN 的对称图形.2．如图，已知及直线EF ，求作关于EF 的对称图形.ABC ∆ABC ∆3．如图，已知折线ABC 及直线PQ ，求作折线ABC 关于直线PQ 的对称图形.4．如图，已知，分别以OM ，ON 为对称轴作三角形与它对称.ABC ∆5．在中，，，垂足为H ，点B 关于AH 的对称点是. ABC ∆C B ∠=∠2BC AH ⊥B '求证：.AB C B ='6．如图，已知：在直线MN 的同侧有两点A 和B .求作：MN 上一点，使.BCN ACM ∠=∠7．如图，EFGH 是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A ，B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，求能使A 先碰撞台边EF 反弹后两击中白球B ？参考答案1．略 2．略 3．略 4．略5．证明：连结，则易证，B A 'B A AB '=B B A B '∠=∠∵，∴，即.B CAC B B A '∠+∠='∠B ∠=C ∠=2B CA C '∠=∠AB C B AB =''=6．作法：作点A 关于MN 的对称点，连结，与MN 的交点为C ，则点C 就是所A 'A B '要求作的点. 证明：略.7．作点A 关于EF 的对称点，连结与EF 的交点为C ，则沿AC 方向撞击黑球A 'B A '就可以满足要求.。
中考数学复习轴对称图形专题训练
中考数学复习轴对称图形专题训练一、选择题1．①直角三角形②线段③平行四边形④梯形⑤角⑥等腰三角形上述图形中，不是轴对称图形的有（）A．②⑤B．③⑤C．③④D．①③④2．将A、B、C、D、E、F、G、H、I、J这十个字母竖立在镜子前，在镜子中看到的像能与原字母相同的有（）个．A．3 B．4 C．5 D．63．如图，下列图案是几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个4．下图中，不是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．5．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如下图示，则电子表的实际时刻是（）A．10：51 B．10：21 C．15：01 D．12：01不6．已知：下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，与其他三个．．同的是（ ）A ． ①B ． ②C ． ③D ．④7．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线对称，将向右平移得到△A 2B 2C 2．由此得出下列判断：（1）AB//A 2B 2；（2）∠A=∠A 2；（3）AB= A 2B 2．其中正确的是（ ）A ．（１）（２）B ．（２）（３）C ．（１）（３）D ．（１）（２）（３） 8．已知点P 1（a ，3）和P 2（4，b ）关于轴对称，则（a+b ）2020的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ． 72020 D ．－72020第７题图 第９题图9．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. ∠=∠+∠A 12 B. 212∠=∠+∠A C. 3212∠=∠+∠A D. )21(23∠+∠=∠A 10．如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题11．设A，B关于直线EF对称，则AB______EF．12．关于直线EF对称的两个图形_________（填“一定”或“不一定”）全等．13．在等腰△ABC中，∠A=108°，D，E是BC上的两点，且BD=AD，AE=•EC，•则图中共有_______个等腰三角形．14．在△ABC中，高AD，BE交于O点，且BO=AC，则∠ABC=________．15．等腰三角形有一底角的外角为105°，那么它的顶角的度数为________．16．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于D，且BD=10cm，则DC=_________．17．在△ABC中，∠A=78°，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，BD=BE，CD=CF，•则∠EDF=_______三、作图题18．如图，给出了一个轴对称图形的一半，其中直线l为这个图形的对称轴，请你画出这个图形的另一半（不用写作法，但要保留作图痕迹）．解：第１8题图四、能力提高19．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，•且AB=AE ，AC=AD ，求证∠DBC=12∠DAB ．20．如图所示，△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，求线段DE 的长．21．某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案．22．如图所示，△ABC 中，D ，E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥BA ，交AE 于点F ，•DF=AC ，求证AE 平分∠BAC ．CE BADCE BAD F答案一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8.D 9.C 10.A二、11．垂直平分12．一定13．6 14．45°15．30°16．20cm 17．51°三、18.略19．解：在AC边上取一点E，使AE=AB，连接DE，在△BAD和△EAD中，,,,AB AEBAD EAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD≌△EAD（SAS），所以BD=DE，因为AC=AB+BD，所以AC=AE+DE，又因为AC=AE+EC，所以DE=EC，所以∠EDC=∠C=30°，所以∠AED=∠EDC+∠C=60°，因为△BAD≌△EAD，所以∠B=∠AED=60°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=90°．20．解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又因为∠OBC=∠OCA，EBADF所以∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB），因为∠BOC=110°，所以∠OBC+∠OCB=70°，所以∠ABC+∠ACB=140°，所以∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=40°．四、21．略22．证明：延长FE到G，使EG=EF，连接CG，在△DEF和△CEG中，ED=EC，∠DEF=∠CEG，FE=EG，所以△DEF≌△CEG，所以DF=GC，∠DFE=∠G，因为DF∥AB，所以∠DFE=∠BAE，因为DF=AC，所以GC=AC，所以∠G=∠CAE，所以∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．。
2022-2023学年九年级下学期数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题训练
2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB 于点F，M是直线EF上的动点．（1）当MD⊥BC时．①若ME＝1，则点M到AB的距离为；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；（2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点的坐标分别为；（2）△ABC的面积是；（3）在x轴上作一点P，使P A+PB的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，2）．（1）如图1，在y轴上是否存在一点P，使P A+PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图2，点C坐标为（4，1），点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，G，H分别是AD，BC边上的点，且AG ＝CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）填空：①当AG＝时，四边形GEHF是矩形；②当AG＝时，四边形GEHF是菱形；（3）求四边形GEHF的周长的最小值．6．如图，C为线段BD上﹣动点，分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，连接AC、EC，已知AB＝3、DE＝2、BD＝12，设CD＝x．（1）直接写出用含x的代数式表示的AC+CE的长（无需化简）；（2）观察图形并说明在什么情况下AC+CE的值最小？最小值是多少？写出计算过程；（3）综上，直接写出代数式的最小值．7．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．8．问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小．例如：（1）对于任意两个代数式M，N的大小比较，有下面的方法：当M﹣N＞0时，M＞N；当M﹣N＝0时，M＝N；当M﹣N＜0时，M＜N．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法”．（2）对于比较两个正数a，b的大小，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0，∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同．当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b；当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b；当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b．问题解决（3）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x ＞y，张丽同学的用纸总面积为S1，李明同学的用纸总面积为S2，回答下列问题：①S1＝（用含x，y的代数式表示）；S2＝（用含x，y的代数式表示）；②试比较谁的用纸总面积更大？（4）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，向A，B两镇供气，已知A，B到l 的距离分别是3km，4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝km（用含x的代数式表示）；②在方案二中，a2＝km（用含x的代数式表示）；③请分析说明哪种方案铺设的输气管道较短？（5）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次购买的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去1000元，而不管购买多少饲料．设两次购买的饲料单价分别为m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n），试分析哪位采购员的购货方式合算？9．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4），以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．（1）当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时，①求AB解析式；②求C点坐标；（2）当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．10．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．11．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．12．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O、点E是CD的中点，过点C 作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若四边形ABCD的周长为4，△AOB的周长为3+，求四边形OCFD的面积；（3）在（2）问的条件下，BD上有一动点Q，CD上有一动点P，求PQ+QE的最小值．14．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF ⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G．（1）求证：AG＝CF；＝5，求MN+AN （2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC＝5，S△ABC 的最小值．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C是y轴正半轴上一点，点P在BC的延长线上．（1）若点P的坐标为（﹣1，2），①求△P AB的面积；②已知点Q是y轴上任意一点，当△P AQ周长取最小值时，求点Q的坐标；（2）连接AC，若∠APC＝∠ACP，∠APC比∠P AB大20°，求∠ABC的度数．16．已知如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，CE，BE＝CE，BE ⊥CE，点F是EC上一动点，连接BF．（1）如图1，当BF⊥AB时，连接DF，延长BE，CD交于点K，求证：FD＝DK；（2）如图2，以BF为直角边作等腰Rt△FBG，∠FBG＝90°，连接GE，若DE＝，当点F在运动过程中，求△BEG周长的最小值．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，AC＝4，求OE的长；（3）若点P是BD上一动点，在（2）的条件下，请求出△PCE周长的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB＝6，OD＝1，点C为线段AB的中点．（1）直接写出点C的坐标为；（2）点P是x轴上的动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标；（3）在平面内是否存在点F，使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．（1）求证：AF＝EG；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的长；②连结AG、EF，求AG+EF的最小值．20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E为边AB上一点，连接CE．（1）如图1，以CE为边作等腰三角形DCE，DE＝DC，连接AD，且满足条件AB⊥AD，∠B＝∠ADE，∠ACD＝3∠B，求证：DE⊥DC．（2）如图2，∠BAC＝120°，过点A作直线AM⊥BC交BC于点M，点F为直线M上一点，BE＝AF，连接CF，当CE+CF最小时，直接写出∠ECF的度数．参考答案1．解：（1）①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中点，∴A、M、D共线，∴AD是△ABC的对称轴，∵ME＝1，∴点M到AB的距离为1，故答案为：1；②∵D是BC的中点，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等边三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周长为BC+BM+MC＝18；（2）连接AD交EF于点M，∵EF是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面积为40，∴AD＝10，∵D是BC的中点，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周长最小值为14，故答案为：14．2．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，为AC长，最小值是8cm．3．解：（1）如图A1（﹣1，1）B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），故答案为：（﹣1，1）、（﹣4，2）、（﹣3，4）；（2）△A1B1C1的面积＝（2+3）×3÷2﹣＝7.5﹣1﹣3＝3.5．（3）如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，再连接A'B，与x轴的交点P即为所求．4．解：（1）作A点关于y轴的对称点M（﹣1，1），连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，如下图所示：设直线BM的解析式为y＝kx+b，代入M（﹣1，1），B（3，2），，解之得，∴直线BM解析式为，令x＝0，解得y＝，∴存在点P的坐标，且P（0，）；（2）当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD，设D（m，0），由中点坐标公式可知：线段AC的中点坐标为，即，线段BD的中点坐标为，即，又线段AC与BD中点为同一个点，∴，解得m＝2，故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为（2，0），又速度为1个单位每秒，∴经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠GDF＝∠HBE，∵AG＝CH，∴DG＝BH，∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，∴DF＝BE，在△DGF和△BHE中，，∴△DGF≌△BHE（SAS），∴GF＝HE，∠DFG＝∠BEH，∴∠EFG＝∠FEH，∴GF∥HE，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）①当AG＝时，四边形GEHF是矩形．理由如下：连接GH，如下图，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4，∴AD＝，∵AG＝CH＝，AD＝BC＝2，∴，∵AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∵GH＝AB＝2，∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，∴EF＝BD＝2，∴EF＝GH，∵四边形GEHF是平行四边形，∴四边形GEHF是矩形，故答案为：；②当AG＝时，四边形GEHF是菱形．理由如下：连接BG、DH、GH，如下图，∵AG＝CH，AD＝BC，∴DG＝BH，∵DG∥BH，∴四边形BHDG是平行四边形，∵AG＝，AB＝2，∠A＝90°，∴DG＝AD﹣AG＝，BG＝，∴BG＝DG，∴四边形BHDG是菱形，∴GH⊥BD，即GH⊥EF，∵四边形GEHF是平行四边形，∴四边形GEHF是菱形．故答案为：；（3）解：过E作EM⊥AD于M，延长EM到点N，使得MN＝EM，连接FN，NG，过F 作FP⊥EM于点P，如下图，则MN＝EM＝DE＝，FP∥AD，EG＝NG，∴∠EFP＝∠ADB＝30°，∴EP＝EF＝1，∴PN＝EM+MN﹣EP＝2，PF＝，∵EG+FG＝NG+FG≥FN，当F、G、N三点共线，EG+FG＝NG+FG＝FN的值最小，其值为FN＝，∴四边形GEHF的周长的最小值为：2（EG+FG）＝2．6．解：（1）∵AB⊥BD，AB＝3，CD＝x，∴BC＝12﹣x，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵ED⊥BD，DE＝2，在Rt△DEC中，CE＝＝，∴AC+CE＝，故答案为：；（2）如图，当C是AE和BD交点时，延长ED与AB的垂线AF交于点F，∴AC+CE＝AE＝＝＝13，∴AC+CE的最小值为13；（3）如图，AB＝3，ED＝2，DB＝4，连接AE交BD于点C，∴AE＝的最小∴AE的长即为代数式的最小值，∵四边形ABDF为矩形，∴AB＝DF＝1，AF＝BD＝4，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE＝＝＝5，即代数式的最小值为5．7．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．8．解：（3）①S1＝3x+7y，S2＝2x+8y．故答案为：3x+7y，2x+8y．②S1﹣S2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，∵x＞y∴x﹣y＞0∴S1﹣S2＞0∴S1＞S2∴张丽同学的用纸总面积更大．（4）①a1＝AB+AC＝（3+x）km，故答案为：（3+x）．②作BF⊥A′A于点F，在Rt△BAF中，由勾股定理得BF2＝AB2﹣AF2＝x2﹣1，在Rt△BF A′中，由勾股定理得A′B＝A′P+BP＝AP+BP＝＝km，∴a2＝km，故答案为：．③a12﹣a22＝（x+3）2﹣（）2＝6x﹣39，由6x﹣39＝0，得，此时a12﹣a22＝0，即a1＝a2，两种方案铺设的输气管道一样长；由6x﹣39＞0，得，此时a12﹣a22＞0，即a1＞a2，方案二铺设的输气管道较短；由6x﹣39＜0，得，此时a12﹣a22＜0，即a1＜a2，方案一铺设的输气管道较短．（5）＝＝＝∵m≠n∴所以乙采购员的购货方式合算．9．解：（1）①∵A（0，4），AB＝8，∴OB＝＝4，∴B（4，0），设直线AB的解析式为y＝kx+4，∴0＝4k+4，k＝﹣，∴AB解析式：y＝﹣x+4；②过点A作x轴的平行线，分别过点C、B作y轴的平行线，交于G、H．则△AHB≌△CGA（AAS）∴AG＝HB＝4，CG＝AH＝4，∴C（﹣4，4﹣4）；（2）由△AGC≌△BHA可知AG＝4，（B在x轴负半轴同理可说明）点C在直线x＝﹣4上运动，作点O关于直线x＝﹣4的对称点O'，∴OC＝O'C＝4，OO'＝4+4＝8，∴AC+OC＝AC+O'C．AC+OC的最小值为AO'＝＝＝4，此时OB＝AH＝CG＝2，∴B（2，0）．10．证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中点，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②延长PD、ME交于Q点，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，∵点O是直线AE上的动点，∴当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．11．解：（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，∴CF＝AF，∴AF＝EF；（2）连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN＝AF，NG＝CF，即MN+NG＝（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，即MN+NG的最小值为；12．解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案为：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△P AB周长的最小值等于P′P″的长．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠OP A＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．13．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵AC⊥CF，CF∥BD∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∴四边形OCFD是矩形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为4，∴AB＝BC＝CD＝DA＝，∠COD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，∵△AOB的周长为3+，∴AB+AO+BO＝3+，∴AO+BO＝3，∴CO+DO＝3，在Rt△COD中，CO2+DO2＝（CO+DO）2﹣2CO•DO＝CD2，∴32﹣2CO•DO＝（）2，∴CO•DO＝2，∴四边形OCFD的面积＝CO•DO＝2；（3）解：如图，过点O作OG⊥AD于点G，过点E作EH⊥AD于点H，则四边形OGHE 是矩形．∴OG＝EH，由（2）可知，OA•OD＝2，AD＝，∴•OA•OD＝•AD•OG，∴OG＝，∴EH＝OG＝∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，作点P关于DB的对称点P′，连接QP′，∴PQ+QE＝EQ+QP′≥EH＝，∴PQ+QE的最小值为．14．（1）证明：如图1，连接AD，DC，∵BD平分∠ABC，DG⊥BA，DF⊥BC，∴DG＝DF．又∵点D在边AC的垂直平分线上，∴DA＝DC．在Rt△DGA和Rt△DFC中，，∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．∴AG＝CF．（2）解：∵BD平分∠ABC，点M在线段AB上，∴点M关于BD的对称点M′在边BC上．如图2，作点M关于BD的对称点M′，连接M′N，过点A作AP⊥BC于点P，∴MN＝M′N．∴MN+AN＝M′N+AN≥AP．∴当点A，N，P在同一条直线上且AP⊥BC时，MN+AN的值最小，最小值即为AP的长．＝5，∵S△ABC∴．∵BC＝5，∴AP＝2．∴MN+AN的最小值为2．15．解：（1）①∵点A（﹣2，0），B（2，0），P（﹣1，2），∴△P AB的面积为4×2＝4；②如图，连接QB，∵A和B关于y轴对称，∴QA＝QB，∴QA+QP＝QB+QP，∴当P、Q、B三点共线时QB+QP最小，即△P AQ周长取最小，∴点Q为直线PB与y轴的交点，设直线PB为y＝kx+b，直线过点B（2，0），P（﹣1，2），∴，解得，∴y＝﹣x+，∵当x＝0时，y＝，∴Q（0，），∴当△P AQ周长取最小值时，点Q的坐标（0，）；（2）如图，连接AC，设∠ABC＝x，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝x，∴∠PCA＝∠CAB+∠ABC＝2x，∴∠APC＝∠ACP＝2x，∴∠P AB＝2x﹣20°，∵∠P AB+∠PBA+∠APB＝180°，∴2x﹣20°+2x+x＝180°，解得x＝40°，∴∠ABC的度数为40°．16．（1）证明：如图1中，延长BF交CD于点T．∵EB＝EC，∠BEC＝90°，∴∠ECB＝∠EBC＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DEC＝∠ECB＝45°，∵∠CEK＝90°，∴∠DEK＝∠DEF，∵AB⊥BF，AB∥CD，∴BT⊥CD，∴∠BEF＝∠CTF＝90°，∵∠EFB＝∠TFC，∴∠EBF＝∠ECK，在△BEF和△CEK中，，∴△BEF≌△CEK（ASA），∴EF＝EK，在△DEK和△DEF中，，∴△DEK≌△DEF（SAS），∴DK＝DF；（2）解：如图2，作BK⊥BE，GK⊥BK于点K，延长KG交射线CE于点P，∵∠EBK＝∠FBG＝90°，∴∠KBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，∵∠K＝∠BEF＝90°，BG＝BF，∴△BKG≌△BEF（AAS），∴BK＝BE；∵∠EBK＝∠K＝∠BEP＝90°，∴四边形BEPK是正方形，∴PE＝BE＝CE，∴当点F在CE上运动时，点G在PK上运动；延长EP到点Q，使PQ＝PE，连接BQ交PK于点G，∵PK垂直平分EQ，∴点Q与点E关于直线PK对称，∵两点之间，线段最短，∴此时GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，∵BE为定值，∴此时GE+GB+BE即△BEG的周长最小；作DH⊥CE于点H，则∠DHE＝∠DHC＝90°，∵∠ECB＝∠EBC＝45°，∴∠HED＝∠ECB＝45°，∴∠HDE＝45°＝∠HED，∴DH＝EH，∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝（）2，∴DH＝EH＝1；∴CH＝＝＝2，∴BE＝CE＝EH+CH＝1+2＝3，∴EQ＝2PE＝2BE＝6，∵∠BEQ＝90°，∴BQ＝＝3，∴GE+GB+BE＝3+3，∴△BEG周长的最小值为3+3．17．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．（3）如图，连接AE交BD于点P，连接PC，∵A，C关于BD对称，∴PC+PE＝P A+PE＝AE，此时PC+PE最小，即△PCE周长的最小，根据菱形ABCD的面积得BC•DE＝BD•AC，∴2DE＝8×4×，∴DE＝，∴AE＝，∵CE＝，∴△PCE周长的最小值为+．18．解：（1）∵OA＝OB＝6，∴A（6，0），B（0，6），∵点C为线段AB的中点，∴点C的坐标为（3，3）；故答案为：（3，3）．（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接CB'交x轴于点P，此时PB+PC的值最小，由已知得，点B的坐标为（0，6），∴点B关于x轴的对称点B'（0，﹣6），由（1）知，C（3，3），可设直线CB'的解析式为y＝kx+b，∴，解得∴直线CB'的解析式为y＝3x﹣6，令y＝0，∴3x﹣6＝0，∴x＝2，∴P（2，0）；（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，如图所示：①当AC为对角线时，∵A（6，0），C（3，3），D（1，0），CF1＝AD＝5，CF1∥DA，∴点F1的坐标为（8，3）；②当AD为对角线时，∵A（6，0），C（3，3），D（1，0），AC＝DF2，AC∥DF2，∴点F2的坐标为（4，﹣3）；③当CD为对角线时，∵A（6，0），C（3，3），D（1，0），CF3＝AD＝5，CF3∥DA，∴点F3的坐标为（﹣2，3）．综上所述，点F的坐标是（8，3），（4，﹣3）或（﹣2，3）．19．（1）证明：如图1，过点G作GP⊥AB交于P，∵AH⊥EG，∴∠AEH+∠DAH＝90°，∵∠PEG+∠PGC＝90°，∴∠EAH＝∠PGE，∵PG＝AB，∴△ABF≌△GPE（AAS），∴AF＝EG；（2）①∵BF＝2，∴PE＝2，∵AB＝6，BE＝3，∴AE＝3，∴AP＝1，在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，∴AG＝＝；②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，∴四边形EFQG为平行四边形，∴GQ＝EF，∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，∵EG＝AF，EG＝FQ，∴AF＝FQ，∵AF⊥EG，∴AF⊥FQ，∴△AFQ是等腰直角三角形，∵AF＝＝2，∴AQ＝4，∴AG+EF的最小值为4．20．（1）证明：设AD与BC交于点O，∵∠AOB＝∠COD，∴∠B+∠BAO＝∠ADC+∠OCD，∵AB⊥AD，∴∠BAO＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACD＝3∠B＝∠ACB+∠OCD，∴∠OCD＝2∠B，∴∠ADC＝90°+∠B﹣2∠B＝90°﹣∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝90°，∴DE⊥DC；（2）解：作∠GBA＝∠BAM，且BG＝AB，连接BE，GA，CG，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM＝，∠ACB＝∠ABC＝30°，∴∠GBE＝∠EAC＝60°，∵BE＝AF，BG＝AC＝AB，∴△GBE≌△CAF（SAS），∴GE＝CF，∴CE+CF＝GE+CE，当C，G，E在一条直线上时，CE+CF最短，∵∠GBA＝60°，AB＝BG，∴△GBA是等边三角形，∴∠GAB＝60°，∵∠BAC＝120°，∴C，G，A在一条直线上，∴当CE+CF最小时，E与A重合，∴BE＝AF＝AB＝AC，∵∠F AC＝60°，∴△AF'C是等边三角形，∴∠ACF＝60°，即∠ECF＝60°．。
初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题
初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题1 / 19图形的轴对称一、选择题1. 下列图案属于轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.2. 下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A. 清华大学B. 北京大学C. 中国人民大学D. 浙江大学4. 给出下列图形名称：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）长方形，在这五种图形中是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（）A.B.C.D. 7cm6.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（）A. △是等腰三角形B. MN垂直平分，C. △与△面积相等D. 直线AB、的交点不一定在MN上7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断①②两部分，则展开①后得到的是（）A. B. C. D.9.如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（）A. 1个初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题3 / 19B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O 、点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是（ ）A.B.C.D.12. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边的中点，将△ABE 沿AE 所在直线折叠得到△AGE ，延长AG 交CD 于点F ，已知CF =2，FD =1，则BC 的长是（）A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm二、填空题13.如图，在A BCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为______．14.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，C点落在C′处，D点落在D′处，ED′交BC于点G．已知∠EFG=50°，则∠BGD′的度数为______ ．15.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有________种选择.16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA=8，CF=4，则点E的坐标是______．17.如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点C（-4，0），点P为直线一动点，当PC+PO值最小时点P的坐标为______．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）18.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题5 / 19了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，画出△ABD 和△ACD 的对称图形，点D 的对称点分别为点E ，F ，延长EB 和FC 相交于点G ，求证：四边形AEGF 是正方形；（2）设AD =x ，建立关于x 的方程模型，求出AD 的长．19. 如图，它是一个8×10的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上．（1）画出△ABC 关于直线OM 对称的△A 1B 1C 1．（2）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形______（填“是”或“不是”）轴对称图形．20.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．（1）证明：△ADF≌△AB′E；（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．初三数学中考复习专题图形的轴对称练习试题答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．故选：A．根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，由此即可得出结论．本题考查了轴对称图形，解题的关键是分别寻找四个选项中图形的对称轴．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过寻找给定图象有无对称轴来确定该图形是否是轴对称图形是关键．2.【答案】C【解析】解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有三条对称轴，故②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；综上有②、③两个说法正确．故选C．7 / 19要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形中的对称轴．4.【答案】D【解析】解：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（5）长方形是轴对称图形，共4个，故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴．5.【答案】A【解析】初三数学中考复习专题图形的轴对称练习试题解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM=MQ，PN=NR，∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，∴RN=3cm，MQ=2.5cm，即NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．故选：A．利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出NQ 的长，即可得出QR的长．此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确；直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误；故选：D．据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．7.【答案】C【解析】9 / 19解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8.【答案】C【解析】解：如图，展开后图形为正方形．故选：C．由图可知减掉的三角形为等腰直角三角形，展开后为正方形．本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了画轴对称图形.找出对称轴，根据对称轴的性质画图是解题的关键.根据网格可知，画三角形ABC的对称图形共有3个符号题意得对称轴，所以可以画3个符合题意的三角形即可解答.【解答】解：根据题意画出图形如下：初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题11 / 19，共有三条对称轴，分别是a ，b ，c ，根据画轴对称图形的方法可以画3个符合题意的三角形.故选C.10.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF ，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，由折叠知，BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH==，则BF=， ∵FE=BE=EC ，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选D．11.【答案】C【解析】解：如图，连接OB，∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠CEF=∠CEO=50°．故选：C．连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．该题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题13 / 1912.【答案】B【解析】解：连接EF ，∵E 是BC 的中点，∴BE=EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE=EG ，∴EG=EC ，∵在矩形ABCD 中，∴∠C=90°， ∴∠EGF=∠B=90°， ∵在Rt △EFG 和Rt △EFC 中，，∴Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），∴FG=CF=2，∵在矩形ABCD 中，AB=CD=CF+DF=2+1=3，∴AG=AB=3，∴AF=AG+FG=3+2=5，∴BC=AD===2．故选B ．首先连接EF ，由折叠的性质可得BE=EG ，又由E 是BC 边的中点，可得EG=EC ，然后证得Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），继而求得线段AF 的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意证得FG=FC 是关键．17.【答案】80°【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质和轴对称的性质.首先由平行线的性质得出∠DEF=∠EFG=50°，然后由折叠性质得出∠DEG=100°，最后根据对顶角相等得出∠BGD′的度数即可.【解答】解：∵四边形ED′C′F 由四边形EDCF 折叠而成，∴∠DEG=2∠DEF=2∠D′EF．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=50°，∠AEG=∠EGF，∴∠GEF=∠DEF=50°，∴∠DEG=∠GEF+∠DEF=100°．∴∠AEG=180°-∠DEG=80°∴∠EGF=80° ,∴∠BGD′=∠EGF=80°.故答案为80°.18.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形的概念．此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有多种画法．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．【解答】解：如图所示，有3个位置使之成为轴对称图形．故答案为3．19.【答案】（-10，3）【解析】解：设CE=a，则BE=8-a，由题意可得，EF=BE=8-a，∵∠ECF=90°，CF=4，∴a2+42=（8-a）2，解得，a=3，初三数学中考复习专题图形的轴对称练习试题设OF=b，∵△ECF∽△FOA，∴，即，得b=6，即CO=CF+OF=10，∴点E的坐标为（-10，3），故答案为（-10，3）．根据题意可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20.【答案】（-，）【解析】【分析】本题考查的是一次函数的应用和轴对称的性质，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求．求出AB两点的坐标，据此可得出∠BAO及∠ACC′的度数，根据轴对称的性质得出△ACC′是等腰直角三角形，故可得出C′点的坐标，利用待定系数法求出直线OC′的坐标，进而可得出P点坐标．【解答】解：如图，作点C关于直线y=x+6的对称点C′，连接AC′，OC′交直线y=x+6于点P，则点P即为所求，15 / 19∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，∴A（-6，0），B（0，6），∴∠BAO=45°．∵CC′⊥AB，∴∠ACC′=45°．∵点C，C′关于直线AB对称，∴AB是线段CC′的垂直平分线，∴△ACC′是等腰直角三角形，∴AC=AC′=2，∴C′（-6，2）．设直线OC′的解析式为y=kx（k≠0），则2=-6k，解得k=-，∴直线OC′的解析式为y=-x，∴，解得，∴P（-，）．故答案为（-，）.21.【答案】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题17 / 19∴AE =AF ．∴矩形AEGF 是正方形；（2）解：设AD =x ，则AE =EG =GF =x ．∵BD =6，DC =4，∴BE =6，CF =4，∴BG =x -6，CG =x -4，在Rt △BGC 中，BG 2+CG 2=BC 2，∴（x -6）2+（x -4）2=102．化简得，x 2-10x -24=0解得x 1=12，x 2=-2（舍去）所以AD =x =12．【解析】（1）先根据△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF ，从而说明四边形AEGF 是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x 的方程模型（x-6）2+（x-4）2=102，求出AD=x=12．本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x 的方程模型的解题思想．要能灵活运用．22.【答案】是【解析】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）如图，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2组成的图形是轴对称图形，其对称轴为直线l ．（1）根据△ABC与△A1B1C1关于直线OM对称进行作图即可；（2）根据△ABC与△A2B2C2关于点O成中心对称进行作图即可；（3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．本题主要考查了利用轴对称变换以及中心对称进行作图，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，∴∠DAF=∠B′AE，在△ADF和△AB′E中，，∴△ADF≌△AB′E（ASA）．（2）由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，初三数学中考复习专题图形的轴对称 练习试题19 / 19 在Rt △ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，∴122+（18-x ）2=x 2．解得x =13．∵△ADF ≌△AB ′E （已证），∴AE =AF =13，∴S △AEF = = =78．【解析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA 即可判定△ADF ≌△AB′E ；（2）先设FA=FC=x ，则DF=DC-FC=18-x ，根据Rt △ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，即可得出方程122+（18-x ）2=x 2，解得x=13． 再根据AE=AF=13，即可得出S △AEF==78．本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．。
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-轴对称图形
2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习轴对称图形【课标要求】1.进一步认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.了解轴对称与轴对称图形的区别和联系；4.进一步巩固和掌握基本图形（线段.角.等腰三角形.矩形.菱形.正多边形.圆）的轴对称性及其相关性质，并能运用这些性质解决问题；5.能利用轴对称进行图案设计.【要点梳理】1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做＿＿＿＿＿；把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么称这个图形是＿＿＿＿＿＿，这条直线就是对称轴.2.轴对称的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.线段是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.角是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.直角三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.等边三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【规律总结】1.图形的轴对称与图形的平移.旋转是近两年的新题型.热点题型，在试题中的比重逐年上升.考查的形式以填空题.选择题为主，与其他知识如三角形.平行四边形综合的解答题也时有出现，分值在5～12分左右；2.解决与轴对称相关的问题时，一定要充分利用轴对称的性质，有时需要结合题目条件添加适当的辅助线来解决问题；3.轴对称知识的一个重要体现形式是折叠问题，此类问题常常需要联系全等三角形以及勾股定理，并结合方程思想来解题，故解题时一定要充分挖掘题目中的隐含条件；4.在解决等腰三角形的相关问题时，要运用其轴对称的本质特性来分析和解决问题. 【强化训练】一、选择题1.下列图形中，为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）3.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆4.如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．355.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点第4题第5题第6题6.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A ．B．2 C ．D．3第7题第8题第9题8.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°, 则图中∠1的度数为（）A B C D E F A ．115° B ．120° C ．130° D ．140°9.图1为某四边形ABCD 纸片，其中∠B=70°, ∠C=80°. 若将CD 叠合在AB 上，出现折线MN, 再将纸片展开后，M.N 两点分别在AD.BC 上，如图2所示，则∠MNB 的度数为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°二、填空题10.等腰三角形中，有一个角是80°，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿.11.直角三角形斜边上的中线和面积分别是5cm.20cm 2，则它斜边上的高是＿＿＿cm12.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿cm 2.第12题 第13题 第14题13.如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将△CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若AE ＝5，则GE 的长 ． 14.如图，过边长为4的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为____________.三、解答题15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF （顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l ．（1）将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF 关于直线l 对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E=________________．16.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．17.已知：如图，△ABC.△CDE都是等边三角形，AD.BE相交于点O，点M.N分别是线段AD.BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．18.一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C’的位置，BC’交AD于点G.（1）求证：AG＝C’G.（2）如图（2），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.19.如图，在矩形纸片ABCD中，点E.F分别在矩形的边AB.AD上，将矩形纸片沿CE.CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C.H.G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE ＝2，求DF的长.。
2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若BC＝10，则PB+PH的最小值为（）A．B．10C．12D．132．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值是（）A．3B．C．D．3．在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝2+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（）A．2+2B．+3C．2+2D．+44．如图，菱形ABCD的边长是4，∠B＝120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则△PDE的周长的最小值为（）A．6B．C．8D．5．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，动点P满足，则点P到A，B 两点距离之和最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°7．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）A．B．C．D．28．如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．9．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．2+3B．2C．2D．10．如图，已知∠ACB＝30°，M为∠ACB内部任意一点，且CM＝5，E，F分别是CA，CB上的动点，则△MEF的周长的最小值为（）A．2.5B．3C．4D．511．如图所示，在四边形ABCD中．AD∥BC，AC＝1，BD＝，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点．则PC+PD的最小值为（）A．1B．C．D．312．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E在BC上，BE＝2，∠BAD＝120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（）A．6B．5C．4D．213．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点B在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9D．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE＝CG，BF＝DH，且AB＝10，BC＝5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）A．10B．10C．5D．515．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足BE ＝CF，则AE+AF的最小值为（）A．6B．C．D．16．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．B．C．﹣2D．﹣217．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A．3B．5C．2D．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．B．α﹣90°C．2α﹣180°D．α﹣45°19．已知三点，当MA﹣MB的值最大时，m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．220．在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（）A．B．C．5D．6参考答案1．解：连接AP，AH，∵MN是AB的垂直平分线，∴PB＝P A，∴PB+PH的最小值为AH的长，∵AB＝AC，点H为BC的中点，∴BH＝BC＝5，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝＝12，∴PB+PH的最小值为12，故选：C．2．解：连接PC，PD，∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，∴CP＝EF，在Rt△EDF中，DP＝，∴CP＝DP，∴点P在CD的垂直平分线上运动，作A关于CD垂直平分线的对称点A'，∴P A+PB的最小值为A'B，在Rt△AA'B中，A'B＝＝2，故选：C．3．解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH．∴CP+PQ＝CP+PH，∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．∵∠ABC＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝＝＝，∴CH＝＝3+．故选B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴点B与点D关于直线AC对称，如图，连接BE与AC相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD的中点，∴∠CBE＝30°∠BEC＝90°，∵BC＝4，∴CE＝2，∴，即PE+PD的最小值为2，∵E为CD的中点，CD＝4，ED＝2，∴△PDE的周长的最小值为PE+PD．故选：B．5．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由题意得，h AB＝，∴h AB＝AD＝2，∴点P在距离AB两个单位且与AB平行的两条直线上，作点B关于l的对称点B′，连接AB′，在Rt△ABB′中，AB＝5，BB′＝4，∴AB′＝＝，故选：B．6．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵∠C＝40°，∴∠DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠F AD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，故选：A．7．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2＝4，∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故选：A．8．解：作点M关于直线m的对称点M′，连接M′N交直线m于点P，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．故选：C．9．解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝，故选：D．10．解：分别作点M关于CA、CB的对称点P、Q，连接PQ，分别交CA、CB于点E、F，连接CP、CQ、MP、MQ．∵点M关于CA的对称点为P，关于CB的对称点为Q，∴ME＝PE，CM＝CP，∠PCA＝∠MCA；∵点M关于OB的对称点为Q，∴ME＝QE，CM＝CQ，∠QCB＝∠MCB，∴CP＝CQ＝CP＝5，∠PCQ＝∠PCE+MCE+QCF+∠MCF＝2∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ＝CP＝CQ＝5cm．∴△PMN的周长的最小值＝ME+MF+EF＝PE+EF+QF≥PQ＝5．故选：D．11．解：∵直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，∴点A与点D关于直线MN对称，∴AC与这些MN的交点即为点P，PC+PD的最小值＝AC的长度＝1，故选：A．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．∵∠BAD＝120°，∴∠ABE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，又∵BE＝CE，∴AE⊥BC，∴AE＝＝2．故选：D．13．解：连接BP，BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DP＝BP，∴DP+PE＝BP+PE，∴BP+PE的最小值为BE的长，∵AB＝3，DE＝2CE，∴CE＝1，BC＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理得，BD＝＝＝，∴PE+PD的最小值是，故选：A．14．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝＝5．∴C四边形EFGH＝2E′G＝10．故选：A．15．解：连接DE，根据正方形的性质及BE＝CF，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′＝2AB＝6，此时，在Rt△ADA′中，DA′＝＝＝3，故AE+AF的最小值为3．故选：C．16．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故选：A．17．解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故选：A．18．解：作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，A'B＝AB，连接A'A''，分别交线段BC和线段DE于点M和点N，连接AM，AN，这时候△AMN的周长取最小值．∵∠B＝∠E＝90°，∴A'M＝AM，∴AN＝A''N，∴∠AA'M＝∠A'AM，∠AA''N＝∠A''AN，∴∠AMN＝2∠A'AM，∠ANM＝2∠A''AN，∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α，∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°，∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°，∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α，∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，故选：C．19．解：如图，在平面直角坐标系中作直线：y＝x，作B（0，1）关于直线y＝x的对称点B'（1，0），则直线AB'与直线y＝x交于点M，此时MA﹣MB的值最大，∵M（m，m），∴点M在直线y＝x上，∵B（0，1），∴B（0，1）关于直线y＝x的对称点B'（1，0），∵A（2，），∴设直线AB'的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，∴，∴直线AB'的解析式为：y＝，联立得：，∴，∴M（﹣1，﹣1），∴m的值为﹣1，故选：A．20．解：如图所示，作N关于AB的对称点N'，取DC中点F，连接DM，FM，GN'．可得GN＝GN'，∵M在以DE为直径的圆上，∴DM⊥EC，∴△DMC为直角三角形，∵F为Rt△DMC斜边的中点，∴MF＝＝＝5，此时当MF，MG，GN'三边共线时，有MF+MG+GN'长度的最小值等于FN'，∵F，N分别是DC，CB的中点，∴FC＝＝5，BN'＝BN＝＝3，∴CN'＝BC+BN'＝9，∴FN'＝＝，∴MF+MG+GN'长度的最小值为，∵MF＝5，GN＝GN′∴GM+GN的最小值为﹣5，故选：A．。
江苏省2023年中考备考数学一轮复习 轴对称图形 练习题
江苏省2023年中考备考数学一轮复习 轴对称图形 练习题一、单选题1．（2022·江苏盐城·统考一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·江苏南通·统考中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江苏连云港·统考中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在ABC 中，70B ∠=︒，沿图中虚线EF 翻折，使得点B 落在AC 上的点D 处，则12∠+∠等于（ ）A ．160°B ．150°C ．140°D ．110°5．（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（ ）A B ．9 C ．6 D ．7．26．（2022·江苏盐城·统考二模）如图，AB CD ∥，AE 平分CAB ∠．下列说法错误的是（ ）A ．13∠=∠B ．12∠=∠C ．3=4∠∠D ．45∠=∠7．（2022·江苏连云港·统考一模）如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF △为等边三角形，则AFC ∠等于（ ）A ．108︒B ．120︒C ．126︒D ．132︒8．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm 和5cm ，则这个等腰三角形的周长是（ ）A ．8cmB ．13cmC ．8cm 或13cmD ．11cm 或13cm9．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，E 为AC 的中点，若10AB =，则DE 的长是（ ）A ．8B ．6C ．5D ．410．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片ABCD ，5AB =，7AD =，将这张纸片折叠，使得点B 落在边AD 上，点B 的对应点为点B '，折痕为EF ，若点E 在边AB 上，则DB '长的最小值等于_________．12．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，在△ABC 中，△B =30°，△C =50°，通过观察尺规作图的痕迹，△DAE 的度数是 _____．13．（2022·江苏盐城·统考三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，,αβ是两面互相平行的平面镜，一束光线m 通过镜面α反射后的光线为n ，再通过镜面β反射后的光线为k ．光线m 与镜面α的夹角的度数为x ︒，光线n 与光线k 的夹角的度数为y ︒．则x 与y 之间的数量关系是______．14．（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，EF 垂直平分AB ，AC=3，BC=4，则AE+CE 的最小值是________．15．（2022·江苏南通·统考二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：△以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；△分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； △作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．16．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E ，D ，30B ∠=︒，50C ∠=︒，则△DAC 的度数是______．17．（2022·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．18．（2022·江苏南京·统考一模）如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．19．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC 中，AB=BC ，△ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若△BAE=25°，则△ACF=__________度．20．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，A 、B 、C 、D 为一个外角为40︒的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则OAD ∠=__．21．（2022·江苏常州·统考二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，△BAC =100°，BD 平分△ABC ，且BD =AB ，连接AD 、DC ．则△BDC 的度数为__________°．三、解答题22．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．23．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．（1）依题意补全图形；（2）若ADF α∠=．△求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；△请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．24．（2022·江苏宿迁·统考三模）如图，在ABC 中，42B ∠=︒，50C ∠=︒，通过尺规作图，得到直线DE 和射线AF ，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：(1)直线DE 是线段AB 的________线，射线AF 是EAC ∠的________线；(2)求EAF ∠的度数．25．（2022·江苏常州·统考二模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，连接AC ．(1)求证：AB CD =：(2)用直尺和圆规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E （不写作法，保留作图痕迹），若四边形ABCD 的面积是20，5AB =，求CE 的长．26．（2022·江苏南通·统考一模）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．27．（2022·江苏徐州·一模）如图，长方形ABCD 中，AB ＞AD ，把长方形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ．(1)图中有 个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）(2)求证：△ADE △△CED ；(3)请证明点F 在线段AC 的垂直平分线上．28．（2022·江苏苏州·统考一模）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．(1)如图1，已知等腰直角△ABC，△ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；(2)理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，△ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；(3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°（0＜△BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．参考答案：1．A【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．2．D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．3．A【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．C【分析】由70B ∠=︒得110BEF BFE ∠+∠=︒，再根据翻折知BEF DEF ∠=∠，BFE DFE ∠=∠，即可求出12∠+∠的值．【详解】解：70B ∠=︒，110BEF BFE∴∠+∠=︒，翻折，BEF DEF∴∠=∠，BFE DFE∠=∠，2()2110220BED BFD BEF BFE∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，121802220140∴∠+∠=︒⨯-︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．5．B【分析】要求AEBE的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF△AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．【详解】解：作CF△AD交AD的延长线于点F，则△CFD=90°，△CE△AB，△△CEB=90°，△△CFD=△CEB=90°，△△BAC=△DAC，△AC平分△BAD，△CE=CF，△四边形ABCD对角互补，△△ABC+△ADC=180°，又△△CDF+△ADC=180°，△△CBE=△CDF，在△CBE和△CDF中，CEB CFDCBE CDFCE CF，△△CBE△△CDF（AAS），△BE =DF ，在△AEC 和△AFC 中，AECAFC EACFAC AC AC ，△△AEC △△AFC （AAS ），△AE =AF ，设BE =a ，则DF =a ，△AB =15，AD =12，△12+2a =15，得 1.5a =，△AE =12+a =13.5，BE =a =1.5， △13.591.5AE BE ==， 故选B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．6．D【分析】利用平行线的性质、角平分线的性质以及对顶角相等知识对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A ．AB CD ∥，1=3∴∠∠（两直线平行，同位角相等），选项正确，不符合题意． B ．AE 平分CAB ∠，1=2∴∠∠（角平分线的性质），选项正确，不符合题意．C ．根据对顶角相等可知3=4∠∠，选项正确，不符合题意．D ．根据题干信息无法判断45∠=∠，选项错误，符合题意．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质以及对顶角相等知识，熟知相关性质是解决本题的关键．7．C【分析】根据多边形内角和公式可求出△ABC 的度数，根据正五边形的性质可得AB =BC ，根据等边三角形的性质可得△ABF =△AFB =60°，AB =BF ，可得BF =BC ，根据角的和差关系可得出△FBC 的度数，根据等腰三角形的性质可求出△BFC 的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】△ABCDE 是正五边形，△△ABC =(52)1805-⨯︒=108°，AB =BC ，△ABF △为等边三角形，△△ABF =△AFB =60°，AB =BF ，△BF =BC ，△FBC =△ABC -△ABF =48°，△△BFC =1(180)2FBC ︒-∠=66°， △AFC ∠=△AFB +△BFC =126°，故选：C ．【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．8．D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，△3＋3＞5，△3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm ），当5是腰时，△3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm ），则三角形的周长为11cm 或13cm ．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．9．C【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．【详解】△10AB AC ==，AD 平分BAC ∠，△AD BC ⊥，△90ADC ∠=︒，△E 为AC 的中点， △152DE AC ==，故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．10．C【分析】分AB 为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C 的个数．【详解】解：如下图：当AB 为腰时，分别以A 、B 点为顶点，以AB 为半径作圆，可找出格点C 的个数有2个；当AB 为底时，作AB 的垂直平分线，可找出格点C 的个数有1个，所以点C 的个数为：2+1=3．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB 为底和以AB 为腰两种情况，并画出图形是解题关键． 11．2【分析】根据题意，EB EB '=，当E 点与A 点重合时，符合题意，据此即可求解．【详解】解：△将这张纸片折叠，使得点B 落在边AD 上，点B 的对应点为点B '，△EB EB '=，而B E AE AB ''≥+,当E 点与A 点重合时，5EB AB AB ''===，此时DB '的长最小，△752DB AD AB AD AB ''=-=-=-=．故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当E 点与A 点重合时DB '的长最小是解题的关键．12．35°【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得△BAD =30°，结合三角形内角和定理求出△CAD ，根据角平分线的定义即可求出△DAE 的度数．【详解】解：△DF 垂直平分线段AB ，△DA =DB ，△△BAD =△B =30°，△△B =30°，△C =50°，△△BAC =180°-△B -△C =180°-30°-50°=100°，△△CAD =△BAC -△BAD =100°-30°=70°，△AE 平分△CAD ，△△DAE =12△CAD =12×70°=35°， 故答案为：35°．【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．13．2180x y +=【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【详解】解：△入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，△反射后的光线n 与镜面α夹角度数为x ︒，△,αβ是两面互相平行的平面镜，△反射后的光线n 与镜面β夹角度数也为x ︒，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，△反射后的光线k 与镜面β的夹角度数也为x ︒，180x x y ∴︒+︒+︒=︒ ，2180x y ∴+= ．故答案为：2180x y +=．【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．14．4【分析】由题意可知当点E 为BC 与EF 的交点时，AE+CE 最小，根据垂直平分线的性质得到AE=BE ，可得AE+CE 的最小值为BC ．【详解】解：△EF 垂直平分AB ，△A ，B 关于EF 对称，AE=BE ，当点E 为BC 与EF 的交点时，AE+CE 最小，此时，AE+CE=BE+CE=BC=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解此题的关键是找出符合题意的点E的位置．15．45 2【分析】过G作GH△BC于H，GM△AB于M，由作图步骤可知BG为△ABC的角平分线，可得GM=GH ,然后再结合已知条件和三角形的面积比求得求出S△BCG解答即可．【详解】解：过G作GH△BC于H，GM△AB于M，由作图作法可知：BG为△ABC的角平分线△GM=GH△162921932ABGBCG BCGAB GMS ABS BC SBC GH⋅=====⋅,272BCGS=∴△S△ABC=S△ABG+S△BCG=2745 922 +=故答案为452．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．16．70︒【分析】先由线段垂直平分线的性质及30B ∠=︒求出30BAD ∠=︒，再由三角形内角和定理得到100BAC ∠=︒，再根据DAC BAC BAD ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：DE 是线段AB 的垂直平分线，30B ∠=︒，DB DA ∴=，30BAD B ∴∠=∠=︒，50C ∠=︒，180100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，70DAC BAC BAD ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：70︒．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．17．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．18．1【分析】将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE PF +的值．【详解】解：连接AP ，如下图：PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，1ABC APC APB S S S =+= 1122APC APB S S AC PF AB PE +=⋅+⋅ 2AB AC ==，1APC APB S S PF PE +=+=，1PE PF ∴+=，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和来解答．19．70【分析】先利用HL 证明△ABE△△CBF ，可证△BCF=△BAE=25°，即可求出△ACF=45°+25°=70°.【详解】△△ABC=90°，AB=AC ，△△CBF=180°-△ABC=90°，△ACB=45°，在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CBF(HL)，△△BCF=△BAE=25°，△△ACF=△ACB+△BCF=45°+25°=70°，故答案为70.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.20．30°##30度【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360︒，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出△AOD 的度数，再由正多边形的半径OA =OD ，根据等腰三角形的性质求解即可.【详解】多边形的每个外角相等，且其和为360︒，据此可得多边形的边数为：360940， △△AOD =3×3609︒=120°， △OA =OD ，△△OAD=△ODA=1801202︒-︒=30°，故答案为：30°.【点睛】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．130【分析】延长AD到点E，使得AE=BC，证得DBC△△CAE，设△CDE=△CED=α，表示出△BDC=△ACE=100°+α，然后根据三角形的内角和定理求得已知角即可．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△ABC=△ACB=40°，△BD平分△ABC，△△ABD=△DBC=20°，△BD=AB，△△ADB=△DAB=80°，△△CAD=20°，△△CAD=△DBC，延长AD到点E，使得AE=BC，△BD=AB=AC，△CAD=△DBC=20°，△△DBC△△CAE，△CD=CE，△BDC=△ACE，△△CDE=△CED=α，△△ADB=80°，△△BDE=100°，△△BDC=△ACE=100°+α，△20°+100°+α+α=180°，△α=30°，△△BDC =130°．故答案为：130．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是根据题意结合等腰三角形的性质得到各个角之间的关系．22．(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；【详解】（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△BAE DCG AB CD ABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ △()ABE CDG ASA ∆≅∆，△BE DG AEB CGD =∠=∠，，△BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，△ABCD 的周长为56，△28AB BC +=，△BE 平分ABC ∠，△6EQ EF ==， △()1138422ABC ABE EBC S S S EF AB EQ BC AB BC ∆∆∆=+=⋅+⋅=+=． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23．（1）补图见解析；（2）△90EDG α∠=︒-；△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据题意画出图形解答即可；(2) △根据轴对称的性质解答即可；△根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．【详解】解：（1）补全图形，如图所示，（2）△△ADF α∠=，△180BDF α∠=︒-，由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，△DF DE ⊥，△90EDF ∠=︒，△1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，如图,连接,GF GE ，由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，△D 是AB 的中点，△AD BD =，△GD BD =，△AD GD =，△90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，△GDE ADE ≌，△,EGD EAD AE GE ∠=∠=，△90EAD B ∠=︒+∠，△90EGD B ∠=︒+∠，△9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒，△以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，△以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．24．(1)线段垂直平分；角平分(2)23°【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；【详解】（1）解：根据作图痕迹可知，直线DE 是线段AB 的线段垂直平分线；射线AF 是EAC ∠的角平分线；（2）△DE 垂直平分AB△AE BE =△42BAE B ∠=∠=︒△50C ∠=︒△180180504828BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒=-︒︒△884246EAC BAC BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒△AF 平分EAC ∠ △11462322EAF EAC ∠=∠=⨯︒=︒ 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．25．(1)见解析(2)图见解析，4【分析】（1）运用已知条件，证得ABC 和CDA 全等即可证得AB CD =．（2）运用尺规作图的方法，过点C 作AB 的垂线．由（1）中结论ABC CDA △△≌，得到1102ABC ABCDS S ==四边形△，再运用三角形面积公式，求得CE 的长． (1)证明：△AB CD ∥，△BAC DCA ∠=∠，在ABC 和CDA 中，B D BAC DCA AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CDA △△≌（AAS ）△AB CD =．(2)解：作图如下，△ABC CDA △△≌， △12ABC ABCD S S =四边形△．△四边形ABCD 的面积是20，△10ABC S =△， △1102AB CE ⋅=， △5AB =，△4CE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及尺规作图法，证明ABC CDA △△≌是解题的关键．26．（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证；（2）先求出△ADE ，再利用平行线的性质求出△ ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠． DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒， 即35EBC ∠=︒．【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．27．(1)2(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意知CE =BC =AD ，△EAC =△BAC =△DCA ，有△ACF 为等腰三角形；在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，知ADE CED △△≌，有△DEA =△EDC ，有△DEF 为等腰三角形； （2）在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可得ADE CED △△≌； （3）由于ADE CED △△≌，DEA EDC ∠=∠，DEF EDF ∠=∠，有EF DF =，AE CD =，故AE EF CD DF -=-，FA FC =进而可得出结果．(1)解：有△ACF 和△DEF 共2个等腰三角形证明如下：由折叠的性质可知CE =BC =AD ，△EAC =△BAC△AB CD△△EAC =△DCA△△ACF 为等腰三角形；在ADE 和CED △中△AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()ADE CED SSS ≌△△△△DEA =△EDC△△DEF 为等腰三角形；故答案为：2．(2)证明：△四边形ABCD 是长方形△AD CE =，AE CD =由折叠的性质可得：BC CE =，AB AE =△AD CE =，AE CD =在ADE 和CED △中，AD CE AE CD DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()ADE CED SSS △△≌．(3)证明：由（1）得ADE CED △△≌△DEA EDC ∠=∠，即DEF EDF ∠=∠△EF DF =又△AE CD =△AE EF CD DF -=-△FA FC =△点F 在线段AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等知识．解题的关键在于灵活运用知识．28．(1)见解析；(2)见解析；(3)42000元.【分析】（1）如图1，作ABC ∆的中线AE ，AEC ∆与ABE ∆的面积相等（作中线BF 也可以）; （2）如图2，过点E 作EH GA ⊥交GA 的延长线于H ．证明()AHE ACB AAS ∆≅∆，推出EH BC =可得结论; （3）首先，过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆≅∆，得AM BN =，则22100ACD BCE m S S ∆∆==；其次，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆≅∆，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆≅∆，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积得12BCE S BE CF ∆=⋅，求出70()CF m =，即可求解． （1）如图1中，作ABC ∆的中线AE ，AEC ∆与ABE ∆的面积相等（作中线BF 也可以）;（2）证明：如图，过点E 作EH GA ⊥交GA 的延长线于H ;四边形ABDE ，四边形ACFG 都是正方形，AE AB ∴=，AC AG =，90EAB CAG HAC ∠=∠=∠=︒，EAH BAC ∴∠=∠，90H ACB ∠=∠=︒，()AHE ACB AAS ∴∆≅∆，EH BC ∴=，12ABC S AC BC ∆=⋅⋅，12EAG S AG EH ∆=⋅⋅， ABC EAG S S ∆∆∴=，ABC ∴∆与AEG ∆为偏等积三角形;（3）首先，过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图所示，则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒，ACM BCN ∴∠=∠，在∆ACM 和BCN ∆中，AMC BNC ∠=∠，ACM BCN ∠=∠，AC BC =，()ACM BCN AAS ∴∆≅∆，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅， 22100ACD BCE S S m ∆∆∴==，其次，如图，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCD ∠=∠，AGN DGC ∠=∠，AG DG =，()AGN DGC AAS ∴∆≅∆，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=，//AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE =，CAN BCE ∠=∠，AC CB =，()ACN CBE SAS ∴∆≅∆，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥，12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， CF ∴=22210070()60BCE S m BE ∆⨯==， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACM BCN ∆≅∆和ACN CBE ∆≅∆是解题的关键，属于中考常考题型．。
2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第7章 图形的变化第28讲 图形的对称、平移与旋转
经过中心对称变换后的图形
3.图形的折叠 实质
图形的对称
性质
(1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称； (2)折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、 面积等均相等； (3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
考点 21 图形的平移与旋转
内容 图示 要素
性质
作图步骤
平移
(1)确定平移方向和平移距离；
(3)旋转前后的图形 点的对应点；
全等
(4)按原图形顺次连接得到
的各关键点的对应点，得
到旋转后的图形
甘肃5年中考真题及拓展 命题点 1 对称图形的判断(省卷：5年2考；兰州：2022.3) 1．[2022兰州3题]下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、 1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中 是轴对称图形的是( D )
轴对称
中心对称
(1)确定对称轴；
(1)确定对称中心；
(2)确定图形中的关键点；
(2)确定图形中的关键点；
作图 (3)由关键点向对称轴引垂线， (3)连接关键点和对称中心，并
方法 并延长相同长度，找到对应点；延长相同长度，找到对应点；
(4)连接各对应点，得到原图形 (4)连接各对应点，得到原图形
经过轴对称变换后的图形
拓展训练 6．[2024甘孜州]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折 叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E， 则CE的长为_3_．
拓展训练
7．[2024雅安]如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点 E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是__2245__．
中考数学专题讲练 线段最值问题二
线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′， 把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，． 故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值． 【答案】 （1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）． 将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3， 此时P （-12m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3， 此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2-， 对称轴x=﹣1122-⨯=1； （2）当y=0，0=12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2， 故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2． （2）． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。
九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练
九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠ABC＝68°，求∠AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB＝8，BC＝6，求△PBC周长的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，3），B（﹣1，﹣2）．（1）请在x轴上画出点C，使|AC﹣BC|的值最大．（2）点C的坐标为，|AC﹣BC|的最大值为．3．探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，点D作AB⊥BD，ED⊥BD，分别连接AC，EC．已知AB＝5，ED＝1，BD＝8．设CD＝x．（1）AC+CE的值为．（用含x的代数式表示）（2）请问：当点A、C、E时，AC+CE的值最小，最小值为．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图并求出代数式+的最小值．4．在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm （a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB+BA（km）（其中BP⊥l 于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝P A+PB（km）（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）．观察计算：（1）在方案一中，d1＝km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小强为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2＝km（用含a的式子表示）．探索归纳：（3）①当a＝4时，比较大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；②当a＝6时，比较大小：d1d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（4）请你把a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，如何对这两个方案进行选择？5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）M，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，MN，求AN+MN的最小值．6．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．7．如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D 和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为ts，0＜t≤10，DC和BE交于点F．（1）在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由：（2）连接DE，求t为何值时，DE∥BC；（3）若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t＝7s时，PD+PE 的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．8．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，AC的中垂线DE交AC于D，交BC于点E．（1）如图1，连接AE，则AE＝；（2）如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长；（3）如图3，点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为．9．如图，△ABC内接于半径为2的⊙O，其中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB 交⊙O于D，点M、N分别是线段CD、AC上的动点，求MA+MN的最小值．10．最值问题．（1）如图1，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，求AP+BP+CP 的最小值．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M在AC边上，且AM＝2，MC＝6，动点P在AB边上，连接PC、PM，能使PC+PM的长度最短．①请通过画图指出点P的位置．②求出PC+PM的最短长度．11．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C ＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．12．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．13．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．14．如图1，点P是正方形ABCD对角线BD上一点（不与B，D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接P A、EF．（1）请探究线段AP与线段EF的大小关系；（2）如图2，若AB＝4，点H是AD的中点，求AP+HP的最小值．15．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S时，求t的值．△OBG（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．16．问题提出：（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE的最小值为；（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；问题解决：（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．17．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．18．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为D，P为AD上的动点，Q在BA的延长线上，且∠CPQ＝60°．（1）如图，当P与A、D不重合时，PC与PQ的数量关系是什么？说明理由；（2）M为BC上的动点，N为AB上的动点，BC＝5，直接写出AM+MN的最小值．19．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．20．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四边形AECD＝，则它们满足的关系式为，经化简，可得到勾股定理．【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC ＝16千米，则两个村庄的距离为千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值（0＜x＜16）参考答案1．解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝68°，∴∠C＝∠ABC＝68°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣68°﹣68°＝44°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣44°＝46°；（2）当点P与点E重合时，△PBC的周长最小，理由：∵PB+PC＝P A+PC≥AC，∴当点P与点E重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝AB+BC＝8+6＝14．2．解：（1）如图所示；（2）设直线AB′的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，3），B′（﹣1，2）代入得，解得，∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+，令y＝0，则0＝﹣x+，解得x＝5，∴C（5，0），∵AB′＝＝，∴|AC﹣BC|的最大值为，故答案为：（5，0），．3．解：（1）AC+CE＝+＝+，故答案为：+；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，连接AE．则DF＝AB＝5，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝5+1＝6，所以AE＝＝＝10，则AC+CE的最小值为10．故答案为：三点共线，10；（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED ＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式+的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE＝＝＝13即代数式+的最小值为13．4．解：（1）∵如图1，作A关于执行l的对称点A′，连接P A′，∵A和A'关于直线l对称，∴P A＝P A'，d1＝PB+BA＝PB+P A'＝a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2＝a2﹣1，A'B2＝BK2+A'K2＝a2﹣1+52＝a2+24，所以d2＝；故答案为：；（3）①当a＝4时，d1＝6，d2＝，d1＜d2；②当a＝6时，d1＝8，d2＝，d1＞d2；故答案为：＜，＞；（4）d12﹣d22＝（a+2）2﹣（）2＝4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20＝0，即a＝5时，d12﹣d22＝0，∴d1﹣d2＝0，∴d1＝d2；③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2；综上可知：当a＞5时，选方案二；当a＝5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5时，选方案一．5．（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，在△BDF与△ABC中，，∴△BDF≌△ABC（AAS）；（2）解：∵AB＝15，AC＝12，∴BC＝＝9，∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝9，BF＝AC＝12，∴FC＝BF+BC＝9+12＝21．如图，连接DN，∵顶点A与顶点D关于BE对称，∴AN＝DN．如使得AN+MN最小，只需D、N、M在一条直线上，由于点M、N分别是AC和BE上的动点，作DM1⊥AC，交BE于点N1，垂足为M1，∵DF∥AC，∴AN+MN的最小值等于DM1＝FC＝21．6．解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．7．解：（1）由已知可得AD＝t，EC＝t，∴AD＝CE，∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠ACB＝60°，BC＝AC，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE＝CD，∴CD与BE始终相等；（2）∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝AC＝10，∴AD＝AE，∴t＝10﹣t，∴t＝5；（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，∵DP＝D'P，∴DP+PE＝D'P+PE＝D'E，∵t＝7，∴AE＝BD＝3，AD＝CE＝7，∵DD'⊥BM，BM⊥AC，∴DD'∥AC，∵BD＝BD'，∠ABC＝60°，∴DD'＝3，∴四边形ADD'E是平行四边形，∴AD＝D'E＝7，∴PD+PE的最小值为7．8．解：（1）∵DE是AC的中垂线，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，即AE＝，故答案为：；（2）∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，设AF＝CF＝y，则BF＝y﹣2，在Rt△BCF中，由勾股定理得：（y﹣2）2+42＝y2，解得：y＝5，即CF的长为5；（3）方法一：连接CF，过B作BM⊥CF于M，交直线DE于P'，过P'作P'Q'⊥BF于Q'，如图3所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∴∠AFD＝∠CFD，∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，∴P'M＝P'Q'，则点M与Q'关于DE对称，此时BM＝BP'+P'M＝BP'+P'Q'，即BP+PQ的值最小＝BM，由（2）得：AF＝CF＝5，AB＝2，∴BF＝AF﹣AB＝3，∵∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴△BCF的面积＝CF×BM＝BF×BC∴BM＝＝＝，即BP+PQ的最小值为，故答案为：．方法二：作点B关于DE的对称点H，交DF于G，过点H作HQ⊥AB于Q，交DE于点P，如图4所示：则点P、Q就是使BP+PQ最小的点，由对称得：∠AFD＝∠CFD，∠AFD＝∠HFD，BP＝HP，FB＝FH，∴∠CFD＝∠HFD，∴点C、H、F三点共线．BP+PQ＝HP+PQ＝HQ，由“垂线段最短”得：BP+PQ的最小值为HQ．在等腰△BFH中，∵FB＝FH，HQ⊥BF过B作BM⊥CF于M，∴HQ＝BM（等腰三角形两腰上的高相等）．由方法一得：BM＝．∴BP+PQ的最小值为．故答案为：．9．解：连接OA，OC，∵∠ABC＝45°，OA＝OC＝2，∴∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝2．过点A作AE⊥AC，交CD于点E，过点E作EA′⊥BC于点A′过点A′作A′N′⊥AC于点N′，∵CD平分∠ACB交⊙O于D，∴点A与点A′关于直线CD对称，∴A′N′的长即为MA+MN的最小值，AC＝A′C＝2，∵∠ACB＝60°，∴A′N′＝A′C•sin60°＝2×＝，即MA+MN的最小值是．10．解：（1）从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP＝x，则CP＝5﹣x，在Rt△ABP中，BP2＝AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2＝BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得x＝1.4，在Rt△ABP中，，∴AP+BP+CP＝AC+BP＝5+4.8＝9.8．故答案为：9.8﹒（2）如图，过点C作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'＝OC，连接MC'，交AB于P，则点P为所求；②此时MC′＝PM+PC'＝PM+PC的值最小，连接AC′，∵CO⊥AB，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴，∵CO＝OC'′，CO⊥AB，∴AC′＝CA＝AM+MC＝8，∴∠OC′A＝∠OCA＝45°，∴∠C'AC＝90°，∴C′A⊥AC，∴．∴PC+PM的最小值为，故答案为：．11．（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．12．解：（1）在△PCD中，PC+PD≥CD，当取等号时，P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合，此时PC+PD最小，∴AP＝AE，∵AE：BE＝1：2，AB＝12cm，∴AE＝AB＝4cm，∴t＝＝4s，故m＝4时，PC+PD有最小值；（2）当t＜m即t＜4时，点P在AE上，过点P作PH∥a，如图：又∵a∥b，∴PH∥a∥b，∴∠PCM＝∠CPH，∠PDA＝∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPH+∠DPH，∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD，∴当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD；（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH∥a，如图：又∵a∥b，∴PH∥a∥b，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当12≥t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．当t＞12时，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．13．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．14．解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），∴GB＝GP，同理：PE＝BE，∵AB＝BC＝GF，∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，∴AG＝PF，在△AGP和△FPE中，，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴AP＝EF；（2）取CD的中点G，连接AG，交BD于P，∵四边形ABCD是正方形，H是AD的中点，G是CD的中点，∴H、G关于BD对称，由轴对称确定最短路线问题，点P即为所求作的使AP+HP最小的点，AP+HP的最小值为AG的长度，∵AB＝4，∴AD＝4，DG＝2，∴AG＝＝＝2，∴AP+HP的最小值为2．15．解：（1）结论：四边形BOCE是矩形．理由：∵BE∥OC，EC∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形BOCE是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∵S△ABG＝2S△OBG，∴AG＝2OG，∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3），解得t＝1或t＝3，∴满足条件的t的值为1或3．（3）如图2中，设OG＝x，则BG+BH＝+，欲求BG+BH的最小值，相当于在x轴上找一点P（x，0），使得点P（x，0）到A（0，4）和B（3，4）的距离最小，如图3中，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，连接BP，此时P A+PB的值最小，∵A（0，4），B′（3，﹣4），∴AP+PB＝AP+PB′＝AB′＝＝，∴BG+BH的最小值为．16．解：（1）∵AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD＝3，则AE的最小值为3，故答案为：3；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，DE＝1cm，∴AD＝CD＝2DE＝2cm，在RtABD中，BD＝2AD＝2CD＝4（cm），AB＝AD tan60°＝2（cm），∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2+4+2＝6+2（cm）．（3）延长CB到点D，使得AB＝DB，延长BC到点E，使得CE＝AC，连接AD、AE，∴∠ADB＝∠DAB＝ABC，∠AEC＝∠CAE＝ACB，AB+BC+AC＝DB+BC+CE ＝DE，∴DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值．∵∠DAB+∠CAE＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝45°，∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝135°，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，∠EAD ＝180°﹣DOE＝135°，∴点A在弦DE所对的劣弧，过点A作AP⊥DE于P，过点O作OH⊥DE于H，连接OA，则AP＝2，设DH＝x，则DE＝2x，OH＝x，OA＝OD＝x，则AP+OH≤AO，可得2+x≤x，∴x≥．∴DE的最小值为2x＝＝4+4．∴AB+BC+AC的最小值为（4+4）km．17．解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：，∵，∴方案1更合适；（2）（方法不唯一）如图，①若AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，（或）＞4∴（不合题意，舍去）②若AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，，③当AQ3＝BQ3时，设DQ3＝x，则有x2+42＝（4﹣x）2+128x＝1∴，即：；故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．18．解：（1）PQ＝PC，理由：如图1，连接BP，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BP＝PC，∴∠BPD＝∠CPD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∴∠APQ＝180°﹣∠DAQ﹣∠BQP＝180°﹣120°﹣∠BQP＝60°﹣∠BQP，∵∠APQ+∠CPQ+∠DPC＝180°，∴∠DPC＝180°﹣∠APQ﹣∠CPQ＝180°﹣（60°﹣∠BQP）﹣60°＝60°+∠BQP，∴∠DBP＝90°﹣∠BPD＝90°﹣∠DPC＝90°﹣（60°+∠BQP）＝30°﹣∠BQP，∵∠DBP+∠PBQ＝30°，∴∠PBQ＝30°﹣∠DBP＝30°﹣（30°﹣∠BQP）＝∠BQP，∴BP＝PQ，∵BP＝PC，∴PQ＝PC；（2）如图2，作A关于BC的对称点A'，作A'N⊥AB于点N，交BC于点M，则此时AM+MN 的值最小，且AM+MN＝A'N，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°连接A'B，∴△A'BA是等边三角形，∴A'N＝BD＝，即：AM+MN的最小值是．19．解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；②如图1∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；∵AB＝AC，∴BD＝BC＝1；（2）∠BCE+∠BAC＝180°；理由如下：如图2，AD与CE交于F点，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD，∵∠BAC＝∠F AE，∠BCE+∠ECD＝180°，∴∠BCE+∠BAC＝180°；20．解：【小试牛刀】答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）＝b（a﹣b）+c2．【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC＝AE，CE＝AB，∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，∴CD＝＝＝41千米，∴两个村庄相距41千米．故答案为41．（2）如图2②所示：设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，∵PC＝PD，∴x2+242＝（40﹣x）2+162，解得x＝16，即AP＝16千米．【知识迁移】：如图3，代数式+的最小值为：＝20．。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)-单选题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）-单选题专训及答案翻折变换（折叠问题）单选题专训1、(2019大连.中考真卷) 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.则D′F的长为（）A . 2B . 4C . 3D . 22、(2018苏州.中考模拟) 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（）A .B . 6C . 4D . 53、(2019吴兴.中考模拟) 如图，将长BC=8cm，宽AB=4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A . 4cmB . cmC . cmD . c4、(2019.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（）A . 40°B . 36°C . 50°D . 45°5、(2019.中考模拟) 如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C，D点分别落在点C1， D1处．若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为（）A . 15°B . 20°C . 25°D . 30°6、(2020金华.中考模拟) 将正方形纸片按如图折叠，若正方形纸片边长为4，则图片中MN的长为A . 1B . 2C .D .7、(2018浙江.中考模拟) 如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（）A . y=-B . y=-C . y=-D .8、(2017台州.中考真卷) 如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（）A .B . 2C .D . 49、(2017绍兴.中考真卷) 一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A .B .C .D .10、(2015湖州.中考真卷) 如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G 分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A . CD+DF=4B . CD﹣DF=2 ﹣3C . BC+AB=2 +4D . BC﹣AB=211、(2011温州.中考真卷) 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O 相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（）A . 3B . 4C .D . 212、(2017肥城.中考模拟) 如图，将矩形纸片ABCD中折叠，使顶点B落在边AD的E 点上折痕FG交BC于G，交AB于F，若∠AEF=20°，则∠FGB的度数为（）A . 25°B . 30°C . 35°D . 40°13、(2017天桥.中考模拟) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG = S△FGH．其中正确的是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个14、(2018湖北.中考模拟) 如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把C点折叠在折痕MN上，折痕为DE，点C在MN上的对应点为G，沿AG．DG剪下，这样剪得的△ADG中（）A . AG=DG≠AD B. AG=DG=AD C . AD=AG≠DG D . AG≠DG≠AD15、(2019福田.中考模拟) 如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，再将其打开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G．则下列结论：①BG＝DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG＝，其中正确的有（）＝；④S△DFGA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个16、(2019花都.中考模拟) 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若，则CD＝（）A . 2B .C .D . 117、(2018深圳.中考模拟) 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E，F分别是AD、BC 上的点），使点B与四边形CDEF内一点重合，若°，则等于（）A . 110°B . 115°C . 120°D .130°18、(2019桂林.中考模拟) 如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝10cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A .B .C .D .19、(2015.中考真卷) 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A . （4，8）B . （5，8）C . （，）D . （，）20、(2019南充.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=6．E是BC边上一动点，F是CD边的中点．将△ABE沿AE折叠到△AB'E，则B'F的最小值为（）．A . 1B . 1．5C . 2D . 2．521、(2018内江.中考真卷) 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为（）A .B .C .D .22、(2016广元.中考真卷) 如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A .B .C .D .23、(2012遵义.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A . 3B . 2C . 2D . 224、(2020台州.中考模拟) 如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE ＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A . 6B . 8C . 10D . 1225、(2020酒泉.中考模拟) 如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A . 3B . 4C . 5D . 626、(2022蒙阴.中考模拟) 如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A . 80°B . 90°C . 100°D . 110°27、(2020台州.中考真卷) 把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位:cm）为（）A . 7+3B . 7+4C . 8+3D . 8+428、(2021郑州.中考模拟) 如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（）A .B .C .D .29、(2021宿迁.中考真卷) 折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（）A .B . 2C .D . 430、如图，在□ABCD中，∠ABD＝25°，现将□ABCD沿EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，点 C 落在点G 处，若G 在AD 延长线上，则∠GDF的度数是（）A . 45°B . 50°C . 60°D . 65°翻折变换（折叠问题）单选题答案1.答案：C2.答案：B3.答案：C4.答案：B5.答案：B6.答案：D7.答案：A8.答案：A9.答案：B10.答案：A11.答案：C12.答案：C13.答案：C14.答案：B15.答案：C16.答案：A17.答案：B18.答案：B19.答案：C20.答案：B21.答案：D22.答案：A23.答案：B24.答案：C25.答案：D26.答案：C27.答案：28.答案：29.答案：30.答案：。
中考数学专题训练第13讲轴对称与旋转1(解析版)
轴对称与旋转（压轴题组）1．综合与实践问题情境：数学活动课上.老师出示了一个问题：如图①.在平行四边形ABCD中.BE⊥AD.垂足为E.F为CD的中点.连接EF.BF.试猜想EF与BF的数量关系.并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题.实践探究：（2）希望小组受此问题的启发.将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠.如图②.点C的对应点为C′.连接DC′并延长交AB于点G.请判断AG与BG的数量关系.并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想.将▱ABCD沿过点B的直线折叠.如图③.点A的对应点为A′.使A′B⊥CD于点H.折痕交AD于点M.连接A′M.交CD于点N．该小组提出一个问题：若此平行四边形ABCD的面积为20.边长AB＝5.BC＝25.求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题.直接写出结果．【答案】（1）EF=BF.理由见解析. （2）AG=BG.理由见解析. （3）223．【详解】解：（1）结论：EF=BF.理由如下：如图.过点F作FH∥AD交BE于点H.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.∵FH∥AD.∴DE∥FH∥CB.∵F为CD的中点.即DF=CF.∴1EH DF HB FC== ∴EH =HB .∵BE ⊥AD .FH ∥AD .∴FH ⊥EB .∴EF =BF .（2）结论：AG =BG .理由如下：连接CC ' .由折叠知识得：BF CC '⊥ .FC FC '= .∵DF =FC .∴DF FC FC '==.∴,CC F C CF C DF DC F ''''∠=∠∠=∠ .∴CC D CC F DC F C CF C DF '''''∠=∠+∠=∠+∠.∴90CC D '∠=︒，∴CC GD '⊥ .∴DG ∥BF .∵DF ∥BG .∴四边形DFBG 是平行四边形.∴DF =BG .∵12AB CD DF CD ==， . ∴12BG AB = . ∴AG =GB .（3）如图.过点D 作DJ ⊥AB 于点J .过点M 作MT ⊥AB 于点T .∵S 平行四边形ABCD =AB ×DJ .∴DJ =20=45. ∵BC ＝5∴()222225-4=2AJ AD DJ =-= . 在平行四边形ABCD 中.AB ∥CD .∵A B CD '⊥ .∴A B AB '⊥ .∵DJ ⊥AB .∴∠DJB =∠JBH =∠DHB =90°.∴四边形DJBH 是矩形.∴BH =DJ =4.∴541A H A B BH ''=-=-= .∵MT ⊥AB .DJ ⊥AB .∴MT ∥DJ .∴ △ATM ∽△ADJ .∴MT AT DJ AJ = . ∴4=22MT DJ AT AJ ==. 设AT =x .则MT =2x .根据折叠得：45ABM MBA '∠=∠=︒ .∴MT =TB =2x .∴3x =5.解得：53x = . ∴103MT = . ∵,90A A AJD NHA ''∠=∠∠=∠=︒ .∴ △ADJ ∽△A ＇NH .∴DJ AJ NH A H='.∴422NH DJA H AJ==='.∴NH=2.∴110255233 ABM A BMS S'==⨯⨯=.∴2512212323A BM NHABHNMS S S''=-=-⨯⨯=四边形．2．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标.及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标.（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图.在平面直角坐标系中.点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点.点B的横坐标为1.过点B作x轴的垂线.交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C.分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'.连接BC、CC'、B C''、BB'．①当四边形BB C C''为正方形时.求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时.直接写出a的取值范围．【答案】（1）(1.﹣2).(1.2).（2）y＝2（x﹣1）2﹣5.（3）①a＝23.②34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣15【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1.﹣2）. 由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1.2）.故答案为：（1.﹣2）.（1.2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5.∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①当x＝1时.y＝1﹣3a.∴B （1.1﹣3a ）.∴C （1.3a ﹣1）.∴BC ＝|1﹣3a ﹣（3a ﹣1）|＝|2﹣6a |.∵抛物线L 的对称轴为直线x ＝42a a--＝2. ∴点B '（3.1﹣3a ）.∴BB '＝3﹣1＝2.∵四边形BB 'C 'C 是正方形.∴BC ＝BB '.即|2﹣6a |＝2.解得：a ＝0（舍）或a ＝23． ②抛物线L 的对称轴为直线x ＝2.顶点坐标为（2.1﹣4a ）.∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称.∴整点数也是关于x 轴对称出现的.∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个.L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个.（i ）当a ＞0时.∵L 开口向上.与y 轴交于点（0.1）.∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点.两个区域内各有4个整点.∴当x ＝1时.﹣2≤1﹣3a ＜﹣1.当x ＝2时.﹣3≤1﹣4a ＜﹣2. 解得：34≤a ≤1. （ii ）当a ＜0时.∵L 开口向下.与y 轴交于点（0.1）.∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点.两个区域内各有3个整点.∴当x ＝2时.1＜1﹣4a ≤2.当x ＝﹣1时.5a +1＜0. 解得：1145a -≤<-. 综上所述：34≤a ≤1或﹣14≤a ＜﹣15． 3．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图1.在Rt ABC △中.90C ∠=︒.边6,8AC BC ==.点M N 、分别在线段AC BC 、上.将ABC 沿直线MN 翻折.点C 的对应点是点C '.（1）当M N 、分别是边AC BC 、的中点时.求出CC '的长度.（2）若2CN =.点C '到线段AB 的最短距离是________.（3）如图2.当点C '在落在边AB 上时.①点C '运动的路程长度是______.②当3611AM =时.求出CN 的长度． 【答案】（1）245.（2）85.（3）①4.② 6011. 【详解】 解：（1）设MN 交CC '于O∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点∴AM =CM .CN =BN∴MN ∥AB （中位线定理）.12MN AB =∵MC MC '=.NC NC '=∴MN 垂直平分CC '∴OC OC '=.12OC CC '= ∴CC AB '⊥且点C '落在AB 上∵∠C =90°∴2210AB AC BC =+=∵1122AC BC AB CC '= ∴245AC BC CC =AB '=（2）如图2中.过点N 作NH ⊥AB 与H∵2NC NC ='=.BC =8∴6BN BC CN =-= ∵sin NH AC B BN AB ==∠ ∴185AC BN NH AB == ∵点C '是在以N 为圆心.C N ' 长为半径的圆上.∴当点C '落在线段NH 上时.点C '到线段AB 的距离最短∴最短距离85NH NC '=-=.（3）①如图3-1所示.当点N 与B 重合时.BC '的值最大.最大值=BC =8. 如图3-2中.当M 与A 重合时.BC '的值最小.最小值=AB -AC '=AB -AC =4 观察图形可知.当点C '落在AB 上时.点C '的运动的路程长度为4②如图3-3中.过点M 作ME ⊥AB 于E .过点N 作NF ⊥AB 于F .设CN =x .则BN =8-x . ∵sin NF AC B BN AB ==∠.cos BF BC B BN AB ==∠ ∴()385AC BN NF x AB ==-.()485BC BN BF x AB ==- ∵A A ∠=∠.90AEM ACB ==∠∠∴MEA BCA △∽△∴AM AE EM AB AC BC== ∴10855AE =.1445ME =∵363061111MC MC AC AM '==-=-= ∴22223014442115555EC MC ME ⎛⎫⎛⎫''=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()108424804108855555115C F AB AE EC BF x x ''=---=----=-- 由翻折的性质得：90ACB MC N '==∠∠∴90EC M FC N ''+=∠∠∵90EC M EMC ''+=∠∠∴EMC FC N ''=∠∠∴MEC C FN ''△∽△∴EM EC FC FN'=' ∴()()144425558043881155x x =--- 解得6011x = 经检验6011x =是分式方程的解 ∴6011CN =4．（2021·湖北当阳·一模）如图.在矩形ABCD 中.11AB =.6AD =.点E 是边AB 上的点（不与点A .B 重合）.将A ∠沿DE 折叠.点1A 是点A 的对应点.点F 是边BC 上的点.将B 沿EF 折叠.点1B 是点B 的对应点.且点1B 在直线1EA 上．（1）若DE EF =.求CF 的长.（2）若点F 是BC 的中点.求tan ADE ∠的值.（3）当点1B 恰好落在边DC 上时.求四边形1DEBB 的面积．【答案】（1）1.（2）13或32.（3）44213+或44213- 【详解】解：（1）将A ∠沿DE 折叠.点1A 是点A 的对应点.∴△AED ≌△.∴1EDA DEA ∠=∠.∵将B 沿EF 折叠.点1B 是点B 的对应点.∴EFB △≌1EFB △.∴1BEF B EF ∠=∠.∴90DEF ∠=︒.∵90EDA DEA DEA FEB ∠+∠=∠+∠=°.∴DEA FEB ∠=∠.∵DE EF =.∴DAE △≌EBF △（AAS ）.∴BF AE =.DA BE =.∵11AB =.6AD =.∴6EB =.5AE BF ==.∴1CF =.（2）由（1）知.DAE △∽EBF △.∴AE AD BF BE=. ∵点F 是BC 的中点.∴3BF =.∴6311AE AE=-. ∴2AE =或9AE =.在Rt ADE △中.1tan 3ADE ∠=或3tan 2ADE ∠=. （3）连接BB '.交EF 于M 点.∵点1B 恰好落在边DC 上.∴EF 是BB '的垂直平分线.∴BM EF ⊥.∴FEB FBB '∠=∠.∵ADE FEB ∠=∠.∴ADE CBB '∠=∠.∵AD BC =.90A C ∠=∠=︒.∴△AED ≌CBB '△（AAS ）.∴AE B C '=.∴BE DB '=.∵//BE DB '.∴四边形DEBB '是平行四边形.设AE y =.BF x =.则B F x '=.6CF x =-.B C y '=.在Rt B CF '△中.()2226x y x =+-.∴21236x y =+.∵DAE △∽EBF △. ∴611y x y =-. ∴2611x y y =-.∴2236222y y y +=-. 解得11133y ±=. ∴四边形1DEBB 的面积44213=±,综上：四边形1DEBB 的面积为44+213或44213-．5．（2021·河北竞秀·一模）如图.平行四边形ABCD 中.AB ＝9.AD ＝13.tan A ＝125.点P 在射线AD 上运动.连接PB .沿PB 将△APB 折叠.得△A 'PB ．（1）如图1.点P 在线段AD 上.当∠DP A'＝20°时.∠APB ＝ 度.（2）如图2.当P A '⊥BC 时.求线段P A 的长度.（3）当点A'落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上时.求线段P A 的长度.（4）直接写出：在点P 沿射线AD 运动过程中.DA ′的最小值是多少？【答案】（1）80或100.（2）线段P A 的长度为15313.（3）线段P A 的长度为4513或9或1175.（4）DA ′的最小值是4109-．【详解】解：（1）当PA '在直线AD 的右侧时.△APB 折叠得到△A 'PB . 1=(18020)802APB A PB '∴∠=∠︒-︒=︒ 当PA '在直线AD 的左侧时.1=(18020)1002APB A PB '∴∠=∠︒+︒=︒. 故答案为：80或100.（2）如图.作BH AD ⊥于H .平行四边形ABCD 中.//,AD BC PA BC '⊥PA AD '∴⊥90APA '∴∠=︒45APB A PB '∴∠=∠=︒PH BH ∴=12tan 5A = 设12,5BH x AH x ==.22139AB AH BH x ∴=+==913x ∴=1081213BH x ∴== 45513AH x == 10813PH BH ∴== 10845153131313PA PH AH ∴=+=+=. （3）①当点A '在AD 上时.,AB A B PA PA ''==BP AD ∴⊥12tan 5A = 5451313AP AB ∴==. ②当点A '在BC 上时.由折叠可知.,AB A B AP A P ''==//AD BCAPB PBA ABP '∴∠=∠=∠AB PA ∴=∴四边形ABA P '是菱形.9AP ∴=.③当点A '在AB 的延长线上时.1902ABP ABA '∠=∠=︒1311755AP AB ∴== 综上所述.线段P A 的长度为4513或9或1175. （4）如图.作DH AB ⊥于H .连接,BD DA '.1213,tan 5DH AD A AH=== 12,5,954DH AH BH ∴===-=22410BD DH BH ∴+=DA BD BA ''≤-DA BD A B ''∴≤-9A B AB '==DA '∴的最小值是4109．6．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在平面直角坐标系中.二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的图象与x 轴交于 A 、B 两点.与y 轴交于点C .过点D （53,24-）且顶点P 的坐标为（﹣1.3）．（1）求二次函数的解析式.（2）如图1.若点M 是二次函数图象上的点.且在直线CD 的上方.连接MC .MD ．求△MCD 面积的最大值及此时点M 的坐标.（3）如图2.设点Q 是抛物线对称轴上的一点.连接QC .将线段QC 绕点Q 逆时针旋转90°.点C 的对应点为F .连接PF 交抛物线于点E .求点E 的坐标．【答案】（1）222y x x -=-+.（2）△MCD 面积的最大值为12564.M 的坐标：547(,)416-（3）(2,2)E - 【详解】解：（1）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点P 的坐标为（﹣1.3）.∴设二次函数的解析式为2(1)3y a x =++ 将点53(,)24D -代入.得 2351342a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭解得1a =-∴二次函数的解析式为()213y x =-++222x x =--+∴222y x x -=-+ （2）如图.过点M 作MN y ∥轴.交直线DC 于点N .222y x x-=-+.令0x=.则2y=()0,2C∴53(,)24D-设直线CD的解析式为y kx b=+则53242k bb⎧-+=⎪⎨⎪=⎩解得122kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线CD的解析式为122y x=+点M是二次函数222y x x-=-+图象上的点.N是122y x=+上的点. 设()2,22M m m m--+.1(,2)2N m m+则12MCD C DS x x MN=⨯-⨯△2151(222)222m m m=⨯⨯--+--25542m m⎛⎫=-+⎪⎝⎭255125()4464m=-++当54m=-时.222m m--+=()213m-++25147(1)3341616=--++=-=547(,)416M∴-此时.△MCD 面积的最大值为12564 （3）设点(1,)Q n -.如图.当2n <时.过点Q 作HG x ∥轴.交y 轴于点G .过点F 作FH HG ⊥于点H .将线段QC 绕点Q 逆时针旋转90°.点C 的对应点为F . 90CQF ∴∠=︒.QC QF =.90CGQ FHQ FQC ∠=∠=∠=︒CQG FQH CQG QCG ∴∠+∠=∠+∠QCG FQH ∴∠=∠∴HQF GCQ △≌△,HQ CG FH QG ∴==(0,2)C ,(1,)Q n -1,2QG CG n ∴==-213,1HG n n FH ∴=-+=-=(3,1)F n n ∴-+(1,3)P -设直线PF 的解析式为y ax b =+.则31(3)a b n a n b =-+⎧⎨+=-+⎩解得14a b =⎧⎨=⎩∴直线PF 的解析式为4y x =+2422y x y x x =+⎧∴⎨=--+⎩解得1113x y =-⎧⎨=⎩.2222x y =-⎧⎨=⎩ (2,2)E ∴-②如图.当2n >时.过点C 作CK PQ ⊥于点K .过点F 作FL PQ ⊥于点L .同理可得.LQF KCQ △≌△2,211QK LF n LK n n ∴==-=-+=-(1,1),(3,1)L n F n n ∴-+--同理可得.直线PF 的解析式为4y x =+2422y x y x x =+⎧∴⎨=--+⎩解得1113x y =-⎧⎨=⎩.2222x y =-⎧⎨=⎩ (2,2)E ∴-③当2n =时.旋转后的C 点与F 点重合.此时过P 的点的直线由无数条.不能确定点E 的坐标.根据题意舍去.E ．综上所述.(2,2)7．（2021·湖北新洲·九年级期中）问题背景：（1）如图1.等边△ABC.点P在△ABC左侧且∠APC＝30°.将△APC绕点A顺时针旋转60°.画出图形．探究思考：（2）在（1）的条件下.求证：PB＝AC.拓展创新：（3）如图2.等边△ABC.∠AMC＝60°.AM＝6.CM＝4.直接写出BM的长．【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）192．【详解】（1）解：如图所示.（2）证明：如图2.连接PP'.由旋转得.AP'＝AP.∠P AP'＝60°.∠AP'B＝∠APC＝30°.∴△APP'是等边三角形.∴∠AP'P＝60°.AP＝AP'＝PP'.∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°.∵AP'＝PP'.∠PP'B＝∠AP'B.BP'＝BP'.∴△AP'B≌△PP'B（SAS）.∴PB＝AB.∵△ABC是等边三角形.∴AB＝BC.∴PB＝AC．（3）解：当点M在AC的右侧时.如图3.将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG.连接CG.过点B作MH⊥BG.交BG的延长线于点H.设AG交BC于点T.由旋转得.AG＝AM.∠MAG＝60°.∠AGB＝∠AMC＝60°.BG＝CM＝4.∠ABG＝∠ACM. ∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝∠ABC＝60°.∴∠AGB＝∠ACB＝60°.∵∠BTG＝∠ATC.∴△BTG∽△ATC.∴BT GT AT CT=.∵∠ATB＝∠CTG.∴△ATB∽△CTG.∴∠BAT＝∠BCG.∠AGC＝∠ABC＝60°.∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°.∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°.∴点G、C、M三点共线.∵AG＝AM.∠MAG＝60°.∴△AGM是等边三角形.∴GM＝AM＝6.∵∠AGM＝∠AGB＝60°.∴∠MGH＝60°.∵MH⊥BG.∴GH＝12GM＝3.MH3＝3∴BH＝BG+GH＝4+3＝7.∴BM22227(33)BH MH+=+19当点M在AC的左侧时.如图4.将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG.连接BM.同图3理可证.点G、B、M三点共线.GM＝AM＝6.BG＝CM＝4.∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2.综上所述.BM的长为219或2．故答案为：219或2．8．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中.CA＝CB.CA⊥CB.点D是射线AC上一动点.连接BD.将BD绕点D逆时针旋转90°得ED.连接CE．（1）如图1.当点D在线段AC上时.若DE＝10.BC＝3.求△ABD的周长.（2）如图2.点D在AC延长线上.作点C关于AB边的对称点F.连接FE.FD.将FD绕点D 顺时针旋转90°得GD.连接AG.求证：AG＝CE.（3）如图3.点D在AC延长线上运动过程中.延长EC交AG于H.当BH最大时.直接写出CD AB的值．【答案】（1）32102.（2）见解析.（3102+【详解】（1）解：如图1.在Rt△BCD中.BC＝3.BD＝DE＝10.∴CD＝1.∴AD＝AC﹣CD＝BC﹣AD＝3﹣1＝2.∵CA＝CB.CA⊥CB.∴AB＝22+＝32.CA CB∴△ABD的周长是：3210++2.（2）证明：如图2.连接BG交EF于N.连接CF交AB于M.AB与EF交于点P.DF与BG交于O. ∵∠BDE＝∠GDF＝90°.∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF.即：∠BDG＝∠FDE.∵DE＝BD.DG＝DF.∴△BDG≌△EDF（SAS）.∴BG＝EF.∴∠BGD＝∠DFE.∵∠DOG＝∠FOB.∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°.∵∠BPN＝∠MPF.∴∠CFE＝∠ABG.∵CF＝2CM＝2AM＝AB.∴△GAB≌△ECF（SAS）.∴AG＝CE.（3）如图3.由（2）得.△GAD≌△ECF.∴∠GAB＝∠ECF.∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM. ∴∠CAB＝∠BCM＝45°.∴∠GAC＝∠ECB.∵∠ACB＝90°.∴∠ACH+∠ECB＝90°.∴∠ACH+∠GAC＝90°.∴∠AHC＝90°.∴点H在以AC为直径的⊙I运动.如图4.当BH 过I 时.BH 最大.不妨设半径AI ＝CI ＝HI ＝1.∴BC ＝AC ＝2.∴IB 22IC BC +5作HT ⊥AC 于T .作EK ⊥AD 于K .∴∠HTI ＝∠ACB ＝90°.∴HT ∥BC .∴△HTI ∽△BCI . ∴HT BC ＝TI IC ＝HI IB . ∴2HT ＝1TI 5∴HT 25.TI 5∵∠BCD ＝∠BDE ＝∠K ＝90°.BD ＝DE .由“一线三等角”得.△BCD ≌△DKE .∴CD ＝EK .BC ＝DK ＝2.∵tan ∠KCE ＝tan ∠HCT . ∴EK CK ＝HT CT. ∴CD CD BC +25551+2555+∴CD BC 2555-2AB 2555-∴CD AB 102+ 9．（2021·河南汝阳·九年级期中）如图1.矩形AEGH 的顶点E 、H 在矩形ABCD 的边上.且AD ：AB ＝AH ：AE ＝1：2．（1）请直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）.（2）如图2.矩形AEGH 绕点A 旋转一定角度.此时HD ：GC ：EB 的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化.写出变化后结果并说明理由.若无变化.请说明理由．【答案】（1）HD ：GC ：EB ＝1：5：2.（2）无变化.见解析【详解】解：（1）如图1.作GF ⊥CD 于点F .连接AG .则∠DFG ＝∠GFC ＝90°.∵四边形AEGH 和四边形ABCD 都是矩形.∴∠D ＝∠AHG ＝∠EGH ＝90°.AB ＝DC .AE ＝HG .∴∠DHG ＝180°﹣∠AHG ＝90°. ∴四边形DFGH 是矩形.∴HG ＝DF .HD ＝GF .∠FGH ＝90°. ∴12AD AH AB AE ==. ∴G D DC A AH H =. ∴AH HD DF FC ++＝AH HG . ∴AH GF HG FC ++＝AH HG. 整理得GF AH＝FC HG . ∵∠GFC ＝∠AHG .∴△GFC ∽△AHG .∴∠FGC ＝∠HAG .∴∠FGC +∠HGA ＝∠HAG +∠HGA ＝90°.∴∠FGC +∠HGA +∠FGH ＝180°.∴点A 、G 、C 在同一条直线上.∴点G 在矩形ABCD 的对角线AC 上.由GF AH ＝FC HG 得GF FC ＝AH HG ＝AH AE ＝12. ∴FC ＝2GF .∴GC ＝22(2)GF GF +＝5GF .∴GF ：GC ：FC ＝GF ：5GF ：2GF ＝1：5：2.∵∠FGH +∠EGH ＝180°.∴点E 、G 、F 在同一条直线上.∵∠B ＝∠BCF ＝∠CFE ＝90°.∴FC ＝EB .∴HD ：GC ：EB ＝1：5：2．（2）无变化.理由：由（1）得：AH AD ＝AG AC ＝AE AB . ∴AH AG ＝AD AC .AG AE ＝AC AB. ∵AE ＝HG ＝2AH .∴AG ＝22(2)AH AH +＝5AH .∴AH ：AG ：AE ＝AH ：5AH ：2AH ＝1：5：2.如图2.由旋转得.∠DAH ＝∠CAG ＝∠BAE .∴△DAH ∽△CAG ∽△BAE .∴HD GC ＝AH AG＝15.GC EB ＝AG AE ＝52. ∴HD ：GC ：EB ＝1：5：2.∴HD ：GC ：EB 的结果无变化．．10．（2021·湖北汉川·九年级期中）如图.若抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数.且0a ≠）与直线l 交于点()1,0A -.()2,3C -.与x 轴另一交点为()3,0B ．（1）则抛物线的解析式为______.（2）若将直线AC 绕点A 逆时针旋转90°交抛物线于点P ．①求点P 的坐标.此时AC AP的值为______. ②若M 是抛物线上一动点.过点M 作x 轴的垂线.垂足为N .连接BM .是否存在点M 使MN AC BN AP=若存在.请求出点M 的坐标.若不存在.请说明理由． 【答案】（1）223y x x =--.（2）①35.②存在.251,525⎛⎫-- ⎪⎝⎭.869,525⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【详解】解：（1）将A 、B 、C 三个点的坐标代入可得：0930423a b c a b c a b C -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩. 解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩. ∴解析式为：223y x x =--.（2）①作点C 关于x 轴的对称点C '.交x 轴为点D .则()2,3C '.作直线AC '与抛物线交与点P .则点P 为所求.根据题意中可得：3CD =.3AD =. ∴45CAD ∠=︒.∴'90CAC ∠=︒.设直线AC '的解析式为y mx n =+.由题意得：032m n m n =-+⎧⎨=+⎩. 解得：11m n =⎧⎨=⎩. ∴直线AC '的解析式为1y x =+.将直线和抛物线的解析式联立得：2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩. 解得1110x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或2245x y =⎧⎨=⎩. ∴点P 的坐标为（4.5）.根据图象可得：223332AC =+=225552AP +=∴此时35AC AP =. ②假设存在点M 使MN AC BN AP=． 设点()2,23M m m m --. ∵35AC AP =. ∴35MN BN =. ∴223335m m m --=-.解得25m=-或85m=-.3m=（舍去）当25m=-时.2512325m m--=-.∴251,525M⎛⎫--⎪⎝⎭.当85m=-.2692325m m--=.∴869,525M⎛⎫-⎪⎝⎭.∴存在符合条件的点M.M的坐标为251,525⎛⎫--⎪⎝⎭.869,525⎛⎫-⎪⎝⎭．。
数学 中考 第一轮 单元讲义(含中考真题)第12章 轴对称
第十二章轴对称本章小结小结1 本章概述本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．小结2 本章学习重难点【本章重点】1．轴对称的概念和性质和判定．2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．2．书写推理证明过程．小结3 学法指导1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．知识网络结构图轴对称轴对称图形(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等②对称轴垂直平分连接对应点的线段(2)性质(3)垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上作轴对称图形用坐标表示轴对称轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P′(x，－y)P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P″(－x，y) 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形．叫做等腰三角形(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)专题总结及应用一、知识性专题专题1 轴对称及轴对称图形【专题解读】此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．例1 如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为( )分析本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．规律〃方法判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．专题2 利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．例2 如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．解：如图12－114②所示．【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可．专题3 等腰三角形的性质和判定【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．例3 如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质解决问题．证明：连接BC，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．∴BF＝CF(等角对等边)．【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．专题4 等边三角形的性质和判定【专题解读】 等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．例4 如图12－116所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝4，若将△ADC 沿直线AD 折叠，则C 点落在点E 的位置上，求BE 的长．分析 本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．解：由折叠得∠ADE ＝∠ADC ＝60°，CD ＝DE ．又∵BD ＝DC ，∴DE ＝BD ．∵∠ADE ＝∠ADC ＝60°，∴∠BDE ＝180°－60°－60°＝60°．∴△BDE 为等边三角形．∴BE ＝BD ＝21BC ＝2． 【解题策略】 本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．专题5 含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用【专题解读】 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．例5 如图12－117所示，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ．求证BE ＝3AD ．分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)．又∵∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°．∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°．∴∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ＝120°－90°＝30°．∴∠B ＝∠BAD ． ∴BD ＝AD (等角对等边)．在Rt △ADC 中，∵∠C ＝30°，∴CD ＝2AD ．∴BC ＝BD ＋CD ＝AD ＋2AD ＝3AD ．二、规律方法专题专题6 正确作辅助线解决问题【专题解读】 本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结论．例6 如图12－118所示，∠B ＝90°，AD ＝AB ＝BC ，DE ⊥AC ．求证BF ＝DC ．证明：连接AE ．∵ED ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°．又∵∠B ＝90°．∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，⎩⎨⎧==,,AE AE AD AB∴Rt △ABE ≌Rt △ADE (HL)，∴BE ＝ED ．∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠C ．又∵∠B ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°．∴∠C ＝45°．∵∠EDC ＝90°，∴∠C ＝∠DEC ＝45°．∴DE ＝DC ，∴BE ＝DC ．例7 如图12－119所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使BE ＝CF ，EF 交BC 于G ．求证EG ＝FG ．证明：过E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ，则∠EMB ＝∠ACB ，∠MEG ＝∠F ．又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ．∴∠B ＝∠EMB ，∴EB ＝EM ．又∵BE ＝CF ，∴EM ＝FC ．在△MEG 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠),()()(已证对顶角相等已证CF EM ，FGC EGM ，F MEG∴△MEG ≌△CFG (AAS)．∴EG ＝FG ．三、思想方法专题专题7 分类讨论思想【专题解读】 本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．例8 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm 和15 cm 两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．分析 这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13 cm 和15 cm 两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．解：如图12－120所示，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，所以AD ＝CD ，由题意知⎩⎨⎧=+=+,15,13CD BC AD AB 或⎩⎨⎧=+=+,13,15CD BC AD AB 解得AB ＝AC ＝326，BC ＝332或AB ＝AC ＝10，BC ＝8． 即此等腰三角形的腰长与底边长分别为326cm ，332cm 或10 cm ，8 cm ． 规律〃方法 本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．专题8 数形结合思想【专题解读】 数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．例9 (开放题) 如图12－121所示，△ABC 中，已知AB ＝AC，要使AD＝AE，需添加的条件是．分析从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．例10 (探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?分析以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O 作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO 为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形． (2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．例11 (动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．分析在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．2011中考真题精选1.（2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A、B、C、D、考点：轴对称图形。
2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化(提升卷)
2024年中考数学一轮复习章节测试及解析—第七章：图形的变化（提升卷）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD ．当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A ．ABC ADC ∠=∠B ．CB CD=C ．DE DC BC +=D ．AB CD∥【答案】D【分析】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，即可求出60ADC ∠=︒，由于60ABC ∠<︒，则可判断ABC ADC ∠≠∠，即A 选项错误；由旋转可知CB CE =，由于CE CD >，即推出CB CD >，即B 选项错误；由三角形三边关系可知DE DC CE +>，即可推出DE DC CB +>，即C 选项错误；由旋转可知DC AC =，再由60ADC ∠=︒，即可证明ADC 为等边三角形，即推出60ACD ∠=︒．即可求出180ACD BAC ∠+∠=︒，即证明//AB CD ，即D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDC BAC ∠=∠=︒，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18060ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∵60ABC ∠<︒，∴ABC ADC ∠≠∠，故A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CB CE =，∵120EDC ∠=︒为钝角，∴CE CD >，∴CB CD >，故B 选项错误，不符合题意；∵DE DC CE +>，∴DE DC CB +>，故C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DC AC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴60ACD ∠=︒．∴180ACD BAC ∠+∠=︒，∴//AB CD ，故D 选项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为A ．10B ．6C ．3D ．2【答案】C 【解析】如图所示，n 的最小值为3，故选C ．【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．5.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=22-，()2020202020212,2A ∴，故选：C ．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为（）A ．(2--,或2)-B ．(2,C ．(2,-D ．(2--,或(2,【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点A 有两次落在x 轴上，当点A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，易证此时C′′与点A 重合，即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，则23tan AOE=2∠，，∴∠AOE=60°，∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 是等边三角形，当A 落在x 轴正半轴时，点C 落在点C′位置，此时旋转角为60°，∵∠BOC=60°，∠COF=30°，∴∠C′OF=60°-30°=30°，∵OC′=OA=4，∴OF=C'O cos ∠，C′F=C'Osin C'OF=2∠，∴C′（2,--），当A 落在x 轴负半轴时，点C 落在点C′′位置，∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°又∵OA=OC′′，∴此时C′′点A 重合，C C′′(2,，综上，点C 的对应点的坐标为(2--,或(2,，故答案为：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A 的运动情况，分情况讨论．8.如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴=10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=25 4，∴CE=2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．9.在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10.如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，B β∠=∠．当AC 平分''B AC ∠时，α∠与β∠满足的数量关系是（）A ．2αβ∠=∠B ．23αβ∠=∠C ．4180αβ∠+∠=︒D ．32180αβ∠+∠=︒【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AB=AC ，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=α∠，根据AC 平分''B AC ∠可得∠B′AC=∠CAC=α∠，即可得出4180αβ∠+∠=︒，可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，B β∠=∠，∴AB=AC ，∴∠BAC=∠BCA=1(180)2B ︒-∠=1(180)2β︒-∠，∵将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α∠得到菱形'''AB C D ，∴∠CAC′=∠BAB′=α∠，∵AC 平分''B AC ∠，∴∠B′AC=∠CAC=α∠，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2α∠=1(180)2β︒-∠，∴4180αβ∠+∠=︒，故选；C ．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．12.如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D 的位置，则阴影部分的面积是______________；【答案】2323-【分析】CD 交11B C 于点E ，连接AE ；根据全等三角形性质，通过证明1AB E ADE △≌△，得1EAB EAD ∠=∠；结合旋转的性质，得130EAB EAD ∠=∠=︒；根据三角函数的性质计算，得1EB ，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】解：如图，CD 交11B C 于点E ，连接AE根据题意，得：190AB E ADE ∠=∠=︒，11AB AD ==∵AE AE=∴1AB E ADE△≌△∴1EAB EAD∠=∠∵正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到111AB C D ∴130BAB ∠=︒，90BAD ∠=︒∴119060B AD BAB ∠=︒-∠=︒∴130EAB EAD ∠=∠=︒∴111tan 3EB EAB AB =∠=∴13EB =∴111112236AB E ADE S S AB EB ==⨯=⨯=△△∴阴影部分的面积()()122AB E ADE AB BC S S =⨯-+△△23=-故答案为：23-．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．13.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝8，点D 在AB 上，且BD点E 在BC 上运动．将△BDE 沿DE 折叠，点B 落在点B′处，则点B′到AC 的最短距离是_____．【答案】2【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝，∵BD，∴AD＝AB﹣BD＝，∵∠AHD＝90°，∴DH＝12AD＝332，∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB ∴B′J≥DH﹣DB′，∴B′J≥3 2，∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为3 2；故答案为2．【点睛】本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识．14.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==2222543BC OB OC =--∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．15.如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF ，连接EF ．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF=__________．【答案】13【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3，AC=AF=2，∵∠B+∠BAC=90°，且α+β=∠B ，∴∠BAC+α+β=90°，∴∠EAF=90°，∴22AE AF +1313【名师点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．16.如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D ''' 的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM=1，再由CM//C D ''证明△CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM//C D ''交B C ''于点M ，∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形AB C D '''∴AB AB '=，,AD AD '=B AB C D D '''∠=∠=∠=∠，BAD B AD ''∠=∠∴BAB DAD ''∠=∠，B D '∠=∠∴ABB ADD ''∆∆∽∴3,4BB AB AB DD AD BC ''===∵1BB '=∴43DD '=∴C D C D DD ''''=-CD DD '=-AB DD '=-433=-53=AB C AB C CB M ABC BAB '''''∠=∠+∠=∠+∠ ∴∠CB M BAB ''=∠∵413B C BC BB ''=-=-=∴B C AB'=∵AB AB '=∴∠AB B AB C ABB ''''=∠=∠∵//AB C D '''，//C D CM''∴//AB CM'∴∠AB C B MC'''=∠∴∠AB B B MC''=∠在ABB '∆和B MC '∆中，BAB CB M AB B B MC AB B C ∠=∠⎧⎪∠='''∠''⎨⎪=⎩∴ABB B CM''∆≅∆∴1BB CM '==∵//CM C D'∴△CME DC E'∆∽∴13553CM CE DC DE '===∴38CE CD =∴333938888CE CD AB ====故答案为：98．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．17.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C的距离分别为4则正方形ABCD 的面积为________【答案】314【解析】【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【详解】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵2，∠PBM=90°，∴2PB=2，∵PC=4，3，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90°，∵∠BPM=∠BMP=45°，∴∠CMB=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPM=180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH=HM ，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=（）2+12，∴正方形ABCD 的面积为14+4．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．18.如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE △按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．【答案】5【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF=AE ，DF=DE ，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x ，DN=5x ，则BE=1-2x ，CN=1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x -=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=．∴103DE ===．过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP=y ，则2BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222210233y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得，223y =．∴222210222333EP E D DP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴在Rt △DEP 中，253sin 5103EP EDP ED ∠==．即5sin 5EDM ∠=．故答案为：55【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB=3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x=-4，即A （-4，3），∴OB=3，AB=4，，由旋转可知：OB=O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA=O 1A=O 2A 1=…=5，AB=AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA+AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：387 5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解析】（1）如下图所示，点A1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A（4，1），∴=∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：290(17)360⨯π⨯=174π．【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）1511BM =；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠，90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅ ，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA ' 的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【详解】（1）在Rt ABC 中，4AC ==．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =．∵1122ABC S AB CD AC BC == ，即543CD ⨯=⨯，∴125CD =．在Rt BCD 中，2295DB BC CD =-=，∴185BE =．∴335C E BE BC ''=+=．∵//CE A B '，∴BM BC CE C E '='，即33335BM =，∴1511BM =．（3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D '' 中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅ ，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA ' 的中位线，∴12DE A C '=，即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为1．【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．23.已知在 ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将 AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当∠BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC ＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．【答案】（1）AE CF =；（2）成立，证明见解析；（3）5113【分析】（1）结论AE CF =．证明()AOE COF SAS ∆≅∆，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明90AED ∠=︒，再利用相似三角形的性质求出AE ，利用勾股定理求出DE 即可．【详解】解：（1）结论：AE CF =．理由：如图1中，∠=︒，OC OB=，BAC，90=AB AC⊥，∴==，AO BCOA OC OB∠=∠=︒，90AOC EOF∴∠=∠，AOE COF，OE OFOA OC==，∴∆≅∆，AOE COF SAS()∴=．AE CF（2）结论成立．理由：如图2中，，OC OB=，BAC∠=︒90∴==，OA OC OB，AOC EOF∠=∠∴∠=∠，AOE COFOA OC=，OE OF=，()AOE COF SAS∴∆≅∆，AE CF∴=．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE OA=，OA OD=，5OE OA OD∴===，90AED∴∠=︒，OA OE=，OC OF=，AOE COF∠=∠，∴OA OE OC OF=，AOE COF∴∆∆∽，∴AE OA CF OC=，5CF OA== ，∴5 53 AE=，253 AE∴=，5113 DE∴=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接,AF CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是__________．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（090a ︒<<︒）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN DM =，连接CN ）②求证：AF DM ⊥；③若旋转角45α=︒，且2EDM MDC ∠=∠，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）【答案】（1）AF=2DM （2）①成立，理由见解析②见解析③622+【解析】【分析】（1）根据题意合理猜想即可；=，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明（2）①延长DM到点N，使MN DM△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．【详解】（1）猜想AF与DM的数量关系是AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM仍然成立，=，连接CN，理由如下：延长DM到点N，使MN DM∵M是CE中点，∴CM=EM又∠CMN=∠EMD，∴△MNC≌△MDE∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB=∠EDA∴△ADF≌△DCN∴AF=DN∴AF=2DM②∵△ADF≌△DCN∴∠NDC=∠FAD，∵∠CDA=90°，∴∠NDC+∠NDA=90°∴∠FAD+∠NDA=90°∴AF ⊥DM③∵45α=︒，∴∠EDC=90°-45°=45°∵2EDM MDC ∠=∠，∴∠EDM=23∠EDC=30°，∴∠AFD=30°过A 点作AG ⊥FD 的延长线于G 点，∴∠ADG=90°-45°=45°∴△ADG 是等腰直角三角形，设AG=k,则DG=k ，k ，k ，∴故ADED 622+=．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．25.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．【答案】（1）1；（2）12π；（3）23OF =【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案；（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt △CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）即可求出阴影面积；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，先解Rt △EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH=x ，则CO 和OE 2都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt △BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB=60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF=1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE=3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F=60°，EF=1，∴13,22FH EH ==，∴CH=13222-=，设OH=x ，则32OC x =-，2222223324OE EH OH x x⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，∵OB=OE ，∴2234OB x =+，在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得：16x =，∴112263OF =+=．【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．26.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，BE BC =，EF CD ⊥，垂足为F ．将四边形CBEF 绕点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到四边形CB E F '''．B E ''所在的直线分别交直线BC 于点G ，交直线AD 于点P ，交CD 于点K ．E F ''所在的直线分别交直线BC 于点H ，交直线AD 于点Q ，连接B F ''交CD 于点O ．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形；（2）如图2，当点Q 和点D 重合时．①求证：GC DC =；②若1OK =，2CO =，求线段GP 的长；（3）如图3，若//BM F B ''交GP 于点M ，1tan 2G ∠=，求'GMB CF H S S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3）125-【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据BE BC =证得结论；（2）①证明''CGB CDF ≅ 即可得到结论；②方法一：设正方形边长为a ，根据'~'B KO F CO ，求出11''22B K BC a ==，利用勾股定理得到222''B K B C CK +=，求出a，得到5B C '=，5B K '=，根据B KC ' ∽△CKG ，求出KG ，再根据PKD GKC ≅ ，求出答案；方法二：过点P 作PM GH ⊥于点M ，根据CG CD =，2CD CK =求出6CG =，由26PM CK ==，12GM =，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，证明~'GBM CRF ，求出'1'2F H CF =，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，证明'~'RB C RF H ，求得2'''22CF R CF H S S x == ，由'~'GB C GE H，求出)21GB x =-，利用~'GBM CRF ，求出'6255GMB CF R S S -= ，即可得到答案；方法二，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，求得(2'465GBN CHF S GB S CH -⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，证明~'GBN GCB，求出55GB GC =，再证明~''MBN B F C ，求出答案；方法三：设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，证明~'MBN F OC，得到(2'9620MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，根据12GBN S BG BN =⨯⨯ ，求出答案．【详解】（1）在矩形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，∵EF AB ⊥，则90EFB ∠=︒，∴四边形BEFC 是矩形．∵BE BC =，∴矩形BEFC 是正方形．（2）①如图1，∵90GCK DCH ∠=∠=︒，∴'90CDF H ∠+∠=︒，90KGC H ∠+∠=︒，∴'KGC CDF ∠=∠，又∵''B C CF =，''GB C CF D ∠=∠，∴''CGB CDF ≅ ，∴CG CD =．②方法一：设正方形边长为a ，∵PG ∥CF '，∴'~'B KO F CO ，∴'1'2B K OK CF CO ==，∴11''22B K BC a ==，∴在'Rt B KC 中，222''B K B C CK +=，∴222132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴5a =．∴5B C '=，5B K '=，∵90,CB K GCK B KC GKC ''∠=∠=︒∠=∠，∴B KC ' ∽△CKG ，∴2CK B K KG '=⋅,∴KG =∵1,,2B K a KE DKE B KC DE K KB C ''''''==∠=∠∠=∠，∴△B’CK ≌△E’KD ，∴DK=KC ，又∵∠DKP=∠GKC ，∠P=∠G ，∴PKD GKC ≅ ，∴PG=KG ，∴PG =；方法二：如图2，过点P 作PM GH ⊥于点M ，由''CGB CDF ≅ ，可得：CG CD =，由方法一，可知2CD CK =，∴6CG =，由方法一，可知K 为GP 中点，从而26PM CK ==，12GM =，从而由勾股定理得PG =．（3）方法一：如图3，延长''B F 与BH 的延长线交于点R ，由题意可知，'//CF GP ，'//RB BM ，∴~'GBM CRF ，'G F CR ∠=∠，∴'1tan tan ''2F HG F CH CF ∠=∠==，设'F H x =，'2CF x =，则CH =，∴''''''2CB CF E F B E BC x =====，∵'//'CB HE ，∴'~'RB C RF H ，∴''1''2F H RH RF B C RC RB ===，∴CH RH =，'''B F RF =，∴2CR CH ==，2'''22CF R CF H S S x == ，∵'//'CB HE ，∴'~'GB C GE H ，∴'22'33GC B C x GH E H x ===，'2'3B C E H ==，∴)21GB x =，∵~'GBM CRF ，∴22'216255GMBCF Rx S GB S CR ⎡⎤-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∵'''2CF R CF H S S =，∴'125GMB CF HS S -= ．方法二，如图4，过点B 作BN PG ⊥，垂足为点N ．由题意可知，'//CF GP ，'//HE BN ，∴~'GBN CHF ，∴2'GBN CHF S GB S CH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵'//CF GP ，∴'NGB F CH ∠=∠，∴'1tan tan ''2CB FH G F CH GB CF ∠=∠===，设FH x =，则'''''2CF B E E F BC x ====，'4GB x =，∴CH =，CG =，则)21GB x =，∴(22'21465GBN CHF x S GB S CH ⎛⎫--⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∵2'1'2CF H S CF FH x =⋅= ，∴(2465GBNSx -=，∵'//HE BN ，∴~'GBN GCB，∴55'5GB GC CB BN -===，∵'//CB BN ，//''BM B F ，'//'CF GB ，∴~''MBN B F C ，∴22''55625'55MBN B F C S BN S CB ⎛⎫-⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(2''26655MBNB FC SS x --==，∴(((222462626555MBGNBG MBN SS S xxx ---=-=-=，∴'12455GMB CF H S S -= ．方法三：如图5，设AB 与PQ 交于N 点，设FH x =，则'''''2CF CB B E E F BC x =====，'4GB x =，由题意可知，'//CF GP ，//''BM B F ，//BN CO ，∴~'MBN F OC ，∴2'MBN F OC S BN S CO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由方法（2）可知，)251GB x =，所以)51BN x =-，又∵22533CO CK x ==，∴(2'96520MBN F OC S BN S CO -⎛⎫==⎪⎝⎭ ，∴((229625362542035BMNSxx --=⨯=，∵)(222151652GBN S BG BN x x =⨯⨯==- ，∴(((2223625262562555GBMGBN NBM SS S x xx --=-=--=，∴2'1''2CF H S CF F H x =⨯⨯= ，∴'12455GMB CF H S S -= ．【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．。
中考数学第一轮复习坐标系专题训练
中考数学第一轮复习专题训练一、填空题：（每题3分，共36分）１、点A （3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。
２、P （2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。
３、P （－2，3）到 轴的距离是＿＿＿＿＿。
４、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿＿＿号。
５、以坐标平面内点A （2，4），B （1，0），C （－2，0）为顶点的三角形的面积是＿＿。
６、如图１，△AOB 的顶点A 的坐标为＿＿＿＿＿。
７、如图１，△AOB 沿x 轴向右平移1个单位后，得到△A'O'B'，则点A'的坐标为＿＿＿＿。
８、如图２，矩形ABOC 的长OB ＝3，宽AB ＝2，则点A＿＿＿。
９、如图３，正方形的边为2，则顶点Ｃ的坐标为＿＿＿＿＿。
10、如图４，△AOB 和它缩小后得到的△COD 。
则△AOB 和△COD 的相似比为＿＿＿＿。
11、小东要在电话中告诉同学如图５的图形，他应当怎样描述。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、如图６，一个机器人从O 点出以，向正东方走3米到达A 点，再向正北方走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，n)，在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三名象限D 、第四象限２、若P （m ，2）与点Q （3，n ）关于 轴的对称，则m 、n 的值是（ ） A 、－3，2 B 、3，－2 C 、－3，－2 D 、3，2 ３、A 在B 的北偏东30°方向，则B 在A 的（ ）A 、北偏东30°B 、北偏东60°C 、南偏西30°D 、南偏西60°４、下列说法正确的是（ ）A 、两个等腰三角形必是位似图形B 、位似图形必是全等图形C 、两个位似图形对应点连线可能无交点D 、两个位似形对应点连线只有一个交点５、将△ABC 的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）yy x 东 （6）x ）A 、关于 x 轴对称B 、关于 轴对称C 、关于原点对称D 、原图形向 轴负方向平移1个单位６、如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A 、B 的位置，下列说法错误的是（ ）A 、B 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 A 重合B 、A 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 B 重合C 、B 在 A 的东北方向且相距 22 个单位D 、若点 B 的坐标为（0，0），则点 A 的坐标为（－2，－2）三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只子的位置分别是A （b ，3），B （d ，5），C （f ，7），D （h ，2），请在图中描出它们的位置。
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2009中考数学第一轮复习 轴对称专题训练
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、正方形是轴对称图形，它有＿＿＿＿条对称轴。
２、角是轴对称图形，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
３、汉字中，有很多字是轴对称图形，如“王”、“工”等，请你再写出三个不同的轴对称汉字＿＿＿＿＿＿＿＿。
４、已知p 点在线段AB 的垂直平分线上，且PB ＝4cm ，则PA ＝＿＿＿＿cm 。
５、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，则∠ADB ＝＿＿＿＿。
６、补全图形，使它成对轴对称图形。
７、一枚印章上刻有，那么印在纸上的数字是＿＿＿＿。
８、如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC 边，AB ＝5，CD ＝3， 那么△ABC 周长为＿＿＿＿。
９、我国传统木结构房屋，窗子常用各种图案装饰， 如图是一种常见的图案，这个图案有＿＿＿＿条对称轴。
10、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，DE ＝4cm ， 则DF ＝＿＿＿＿cm 。
11、不重合的两点的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12
、在照镜子时，小明发现其上衣右上部有一个口袋，则小明上衣上的口袋应在＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）
１、下列几何图形中，①线段；②角；③圆；④等腰三角形；⑤直角三角形；其中是轴对称图形的有（ ） A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
２、下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）
A B C D ３、观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（ ）
A B C D
４、将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B ”，再把它铺开，你可见到（ ） A
B C D
537
第６题
A
B
C
第８题
┐
┐
A E F
D
B
C
第10题
第９题
５、下列说法错误的是（ ）
A 、若A ，A' 是以BC 为轴对称的点，则 AA' 垂直平分BC
B 、线段的一条对称轴是它本身所在的直线
C 、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点
D 、等边三角形是轴对称图形
６、在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是（ ） A 、21:02 B 、21:05 C 、20:15 D 、20:05 三、解答题：（每题 9 分，共 54 分） １、画出下列图形的对称轴。
① ② ③ ２、以虚线为对称轴，画出已知图形的轴对称图形。
３、在由小正方形组成的L 形的图中，用三种不同方法添画一个小正方形，使它成为轴对称图形。
方法一 方法二 方法三
４、已知：在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8cm ，△ABE 的周长是14cm ，求AB 的长。
５、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ∶∠BAC ＝1∶3，求∠B 的度数。
A B
６、如图所示，牧童在A 处放牛，他的家在B 处，晚上回家时要到河边 l 让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？
四、（10分）如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪一条线。
①猜一猜，将纸打开后你会得到怎样的图形？ ②这个图形有几条对称轴。
五、（12分）已知，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在 x 轴， 轴上，点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以OA 为轴对折后，使点C 落在点D 处，求点D 坐标。
六、（14分）已知，矩形ABCD
①作出点C 关于BD 所在直线的对称点C'
②连结C'B ，C'D ，若△C'BD 与△ABD 垂叠部分的面积等于△ABD 面积的 2
3， 求∠CBD 的度数。
y
x
A B
D
C
参考答案
一、1、4 2、角平分线所在的直线3、日田由4、4 5、90°6、略7、537 8、16
9、2 10、4 11、这两点为端点的线段的中垂线12、左上部
二、1、D 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B
三、1－3 略4、AB＝6cm 5、∠B＝22.5°6、略
四、①轴对称图形三条
五、解：C（33，3）、D（－33，3）
六、①如图②∠CBD＝30°∵S△BED＝2
3S△ABD∴S△AEB∶S△BED＝1∶2 ∴EB＝ED ∵AE
EB
＝1
2
∴∠ABE＝30°∠AEB＝60°∴∠EBC＝∠AEB＝60°易知BD平分∠CBE
∴∠CBD＝1
2
∠EBC＝30°。