高等数学第9章参考答案

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.

二、求下列函数的定义域：

1、2

221)

1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x

y

z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x

三、求下列极限：

1、22

2)0,0(),(sin lim y x y

x y x +→ （0） 2、

x y x x y

3)2,(),()1(lim

+∞→ (6e )

四、证明极限 24

2)0,0(),(lim y

x y

x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2

x y =趋于（0，0）时，极限为2

1

, 二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22

y x y x y

x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，

)0,0(01

sin lim 2

2)0,0(),(f y

x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数

1、设z=x y

x e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂y

z

y

x z x 证明：x y

x y

x y

e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y

+=++=∂∂+∂∂y

z

y x z x 4

2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：

2、求空间曲线⎪⎩⎪

⎨⎧=+=Γ2

1

:2

2y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y

x y xy y x f arcsin )1(),(2

-+=, 求)1,(x f x ( 1)

4、设y

z x u =, 求

x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，z

u ∂∂ 解：1

-=∂∂y z

x y z x u ，x x y

z y u y z

ln 2-=∂∂ x x y z u y z

ln 1=∂∂ 5、设2

2

2

z y x u ++=，证明 : u z

u y u x u 2

222222=∂∂+∂∂+∂∂

6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

⎪⎩

⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222

22

2y x y x y

x x y x f )0,0(0),(lim 0

0f y x f y x ==→→ 连续； 201

sin lim )0,0(x

f x x →= 不存在， 000

0lim )0,0(0=--=→y f y y

7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x

b x a f b x a f x )

,(),(lim

--+→

（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：

1）x y e z = )1

(2dy x dx x

y e dz x y

+-=

2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=

3）z

y

x u = 解：xdz x z

y

xdy x z dx x z y du z y

z y

z y

ln ln 121-+=-

3、设)2cos(y x y z -=， 求)4

,0(π

dz

解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4

,

0(|π

dz =

dy dx 2

4

π

π

-

4、设2

2),,(y

x z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251

dz dy dx +--

5、讨论函数⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠++=)

0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2

22

2y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性

解：)0,0(01

sin )(lim 2

222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。 0)

0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim

)0,0()0,0(),()

0,0(),(=∆-∆==∆-∆=→→y

f y f f x f x f f y x y y x x

0)

()(0),(2

2

→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则

1、 设t

v e v t u u z ===,sin ,，求dt

dz

解：dt

dz =1cos .(sin )ln sin (sin )t t

e t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅ 2、 设,)

(32y

x y x z -+=，求y

z x z ∂∂∂∂, 23123(23)()3()ln(),x y x y z

x y x y x y x y y

---∂=-+-++∂ 3、 设)(2x

y f x z n

=，f 可微，证明nz y z y x z x =∂∂+∂∂2 4、 设)2,(2

2

xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2

2x

z

∂∂，y x z ∂∂∂2， 22y z ∂∂ 解：1222z xf yf x

∂''=+∂ ,

1222z

yf xf y

∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂ =2

2

1111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+