快速傅里叶变换 FFT

因为
，所以：
上式中X1(k)和X2(k)分别为x2(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 X(k)又可表示为：
，以
即将一个N点的DFT分解成为两个N/2点的DFT。 上述运算可用右下图来表示，称为蝶形运算符号。
从右图可知，要完成一 个蝶形运算需要进行一 次复数相乘和两次复数 相加运算。
对于象雷达、通信、声纳等需要实时处理的信号， 因为其运算量更大，所以无法满足信号处理的实时 性要求。迫切需要有新的算法。
二、DFT运算的特点
实际上，DFT运算中包含有大量的重复运算。在WN
矩阵中，虽然其中有N2个元素，但由于WN的周期
性，其中只有N个独立的值，即
，且
这N个值也有一些对称关系。总之，WN因子具有如 下所述周期性及对称性：
N 1
X (k) x(n)WNkn n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
k 0,1,2, , N 1 n 0,1,2, , N 1
计算X(k)的运算量：需要N2次复数乘法，N(N－1)
次复数加法。在N较大时计算量很大。
例如：N＝1024时, 需要1,048,576次复数乘法, 即 4,194,304次实数乘法
1.对称性
2.周期性 由上述特性还可得出：
利用上述对称特性，可使DFT运算中有些项可以合 并，这样，可使乘法次数减少大约一半；利用WN 矩阵的对称性及周期性，可以将长序列的DFT分解 为短序列的DFT，N越小，运算量能够减少。 例如，对于四点的DFT，直接计算需要16次复数乘 法，根据上述特性可以有以下形5年，J. W. Cooley和J. W. Tukey巧妙应用DFT中 W因子的周期性及对称性提出了最早的FFT，这是 基于时间抽取的FFT。具有里程碑式的贡献(运算量 缩短两个数量级)
1966年，G. Sand提出了基于频率抽取的FFT算法
1975 年 ， Winogard 提 出 WFTA 法 ； 1977 年 Kolha 和 Parks提出素因子算法（PFA）
四、按时间抽取(DIT)的FFT－－库利-图基算法
1.基本原理
设序列x(n)的长度为N，且满足N＝2M，M为自然
数，按n的奇偶将x(n)分解为两个N/2的子序列： x1(r)=x(2r), r=0,1,2,…,N/2-1 x2(r)=x(2r+1) r=0,1,2,…,N/2-1
则x(n)的DFT为：
总的复数加的次数为：
直接计算时复数乘的次数为N2，加为N(N-1)次。当
N>>1时，
，使运算量大大减少。
以N＝1024为例，其运算量与直接计算的比例为：
即运算效率提高了200多倍。易知N越大，优越性 越明显。另外，在N＝2048时，直接运算需要3个 小时，而采用FFT则只需不到一分钟就能完成！ 3.DIT－FFT的运算规律 (1)原位计算
1984年，P. Dohamel和H. Hollmann提出分裂基快速 算法，进一步减少了计算量，提高了计算速度（目 前最理想的算法）
FFT的各种算法
纵观FFT的发展历程，FFT算法分成两大类： (1) 针对N等于2的整数次幂的算法，如基2算法、基 4算法、实因子算法和分裂基算法 (2) 针 对 N 不 等 于 2 的 整 数 次 幂 的 算 法 ， 其 以 Winograd 为 代 表 的 一 类 算 法 ( 素 因 子 法 PFA 、 Winograd算法WFTA) 简要介绍库利-图基算法和桑得-图基算法
下图是N＝8时的一个分解运算图。
从上图可知，经过一次分解后，计算一个N点的 DFT共需要计算两个N/2点FFT和N/2个蝶形运算。
计 算 一 个 N/2 点 DFT 需 要 (N/2)2 复 数 乘 和 N/2(N/2-1) 次复数加法。所以按刚才的方法计算N点DFT总的 运算量为2(N/2)2+N/2=N(N+1)/2≈N2/2(N>>1时)复数 次乘法和N(N/2-1)+2N/2=N2/2次复数加法运算。
根据运算流图可知，DIT-FFT的运算很有规律。N ＝2M点的FFT共进行M级运算，每级运算有N/2个 蝶形运算构成；同一级中，每个蝶形的两个输入数 据只对计算本蝶形有用，并且每个蝶形的输入、输 出数据节点又同在一条水平线上，这意味着计算完 一个蝶形后所得数据可立即存入原输入数据所占用 的存贮单元，这样，经过M级运算后，原来存放输 入序列数据的N个存贮单元中并依次存放了X(k)的N 个值。这种利用同一存贮单元存贮计算输入、输出 数据的方法称为原位（址）计算。
这样，又将N/2点的DFT分解为两个N/4点的DFT。 依次类推，经过M-1次分解，最后将N点DFT分解 成N/2个2点DFT。一个完整的8点DFT-FFT运算流 图如下图所示。
2.运算量的比较
从上述分析过程可知，在N＝2M时，每一级都由 N/2个蝶形运算构成，即每级都需要N/2次复数乘 和N次复数加，所以总的复数乘的次数为：
则有： 第二列和第三列交换，则：
由此得出：
从上例可知，通过应用对称性和周期性，4点的DFT 实际上只需要进行一次复数乘法。
三、FFT发展简介 FFT的实质：快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新 的变换，是为了改进和提高离散傅里叶变换(DFT) 运算速度基于DFT运算特点而发展起来的DFT快 速算法，其实质还是DFT。 FFT发展的原因：DFT是信号分析与处理中的一 种重要变换，广泛应用于通信、图像处理、雷达 及声纳等领域，由于其计算量与变换区间长度N的 平方成正比，在N较大时，计算量很大，使得直接 应用DFT进行实时处理信号是不现实的。
本讲在分析直接计算DFT的特点的基础上介绍 DFT的快速算法-快速傅里叶变换(FFT)；同时 简要介绍了FFT算法的发展历程；此外还要介 绍FFT的两种最常用的算法－－基于时间抽取 的FFT（DIT：库利－图基算法）和基于频率 抽取的FFT（DIF：桑德－图基算法）。
一、直接计算DFT存在的问题 N点序列x(n)的DFT变换定义为：
由此可见，仅仅经过一次分解就能使运算量减少近 一半！
因为N/2仍然是偶数，可以作进一步的分解：
与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4 的子序列x3(l)和x4(l), 即：
则，X1(k)又可表示为：
同理，X3(k)和X4(k)的周期性和WN的对称性，到最 后我们能够得到：
同理可得： 其中：