浙江省西湖区初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)
浙教版九年级上册数学期中考试试卷带答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列事件为必然事件的是（）A ．购买二张彩票，一定中奖B ．打开电视，正在播放极限挑战C ．抛掷一枚硬币，正面向上D ．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球2．△ABC 的外心在三角形的内部，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断3．若将函数22y x =的图象向右平行移动1个单位,再向上平移5个单位,可得到的抛物线是A ．22(1)5y x =--B ．22(1)5y x =-+C ．22(1)5y x =+-D ．22(1)5y x =++4．抛物线y ＝a （x ＋1）（x －3）（a≠0）的对称轴是直线（）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝－3D ．x ＝35．如图：点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数是（）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°6．A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线22(1)y x k =-++上三点，y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 3＞y 2B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 17．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，连接OB 、CB ，已知⊙O 的半径为2，AB=,则∠BCD 的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．15°8．下列命题正确的是（）A．三点确定一个圆B．直径所对的圆周角为直角C．平分弦的直径必垂直于这条弦D．相等的弦所对的圆心角相等9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)移动时，点P()A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分 BD D．随点C的移动而移动11．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O 的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（）A．214B．334C．D．D3二、填空题13．从﹣1、0、0．3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为_____．14．若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=______度．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为_____．17．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为______．18．如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为____________．19．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ，则①∠DAC ＝∠DBA ；②AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2；③AP ＝FP ；④DF ＝BF ，这些结论中正确的是______．（请写序号）20．如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ．则线段OQ 的最大值是______．三、解答题21．从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为23．(1)求该班级男女生数各多少？(2)若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？22．如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点．(1)在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O ；(2)求弧AC 的长．23．某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B 的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y ＝﹣212123x x ++c ．(1)求c 的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点,E G 是弧AC 上一点，连接AD AG GD 、、．（1）求证ADC AGD ∠=∠；（2）若2,6BE CD ==，求O 的半径．25．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y （袋）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．销售单价x（元） 3.5 5.5y（袋）280120销售量（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．参考答案1．D【解析】【分析】由题意根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．2．A【解析】【详解】试题解析：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．B【解析】【分析】根据图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入可得：y=2（x-1）2+5．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4．A【解析】【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.【详解】∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是13x12-+==.故选A．5．C【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得结果．【详解】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着 AB∴11723622ACB AOB∠=∠=⨯︒=︒故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键．6．C【解析】【详解】试题解析：∵抛物线y=-2（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=-1，而A（-2，y1）离直线x=-1的距离最近，C（2，y3）点离直线x=-1最远，∴y1＞y2＞y3．故选C．7．A【详解】解：∵直径CD 垂直弦AB 于点E ，AB=EB=12O 的半径为2，∴sin ∠EOB=EB OBEOB=60°，∴∠BCD=30°．故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及特殊角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．8．B 【解析】【分析】利用确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；B.直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意；C.平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故原命题错误，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．9．B 【解析】【详解】由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=cx的图象在第二、四象限，故选B ．10．B【详解】连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点，即点P的位置不变，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．11．C【解析】【详解】当P与O重合时，∠APB的度数为90度；P向C运动过程中，∠APB的度数逐渐减小；当P运动到C时，利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度；当P在弧CD上运动时，∠APB的度数不变，都为45度；当P从D运动到O时，∠APB的度数逐渐增大，作出函数y与t的大致图象，如图所示：故选C.12．B【解析】【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），∴y＝a（x+2）2+2，∵与y轴交于点A（0，3），∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝1 4∴原抛物线的解析式为：y＝14（x+2）2+2，∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），∴平移后的抛物线为y＝14（x﹣1）2﹣1，∴当x＝0时，y＝3 4-，∴A′的坐标为（0，34-），∴AA′的长度为：3﹣（34-）＝334．故选：B．【点睛】本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．13．1 3【解析】【详解】试题分析：由从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，即：、π；∴抽取到无理数的概率为：21 63=．故答案为1 3．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．2(1)2y x=-+【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．15．36【解析】【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB BC CD DE EA=====72°，∴∠ADB=12×72°=36°．故答案为36．考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆．16．10【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，∴CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，∵AP＝8，∴OP＝8﹣R，在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，即（8﹣R）2+42＝R2，解得：R＝5，∴⊙O的直径为2×5＝10，故答案为：10．17．1或7【解析】根据题意画出符合的两种图形，先根据垂径定理求出CE和AF长，再根据勾股定理求出OE 和OF长，再求出EF即可．【详解】解：有两种情况：①如图1，圆心O在弦AB和弦CD之间，过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC、OA，∥，∵AB CD∴OF⊥AB，∵OE ⊥CD ，OE 过圆心O ，CD ＝6，∴CE ＝DE ＝3，同理AF ＝BF ＝4，由勾股定理得：OE 4=，OF 3==，∴EF ＝OE+OF ＝4+3＝7；②如图2所示，此时EF ＝OE ﹣OF ＝4﹣3＝1，即弦AB 与CD 的距离是1或7，故答案为：1或7．18．y=x 2-4x+3【解析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式．【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2），∴，∵半径为2，∴1，∵A（1，0），B（3，0），∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，故答案为：y=x2-4x+3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．19．①②③【解析】【分析】①正确．根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，以及∠CBD＝∠DBA得出答案即可；②正确．利用勾股定理证明即可；③正确．首先得出∠ADB＝90°，再根据∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB ＝90°，得出∠PDF＝∠PFD，从而得出PA＝PF；④错误．用反例说明问题即可．【详解】解：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA，故①正确，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA，∵∠DFA+∠DAC ＝∠ADE+∠PDF ＝90°，且∠ADB ＝90°，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，故③正确，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴AD 2+BD 2＝AC 2+BC 2＝AB 2，∴AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2，故②正确，如图1中，当△ABC 是等腰直角三角形时，显然DF≠BF ，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．20．3.5【解析】【分析】连接PB ，当B 、C 、P 三点共线，且点C 在PB 之间时，PB 最大，而OQ 是△ABP 的中位线，即可求解．【详解】令21404y x =-=，则x ＝±4，故点B （4，0），∴OB=4设圆的半径为r ，则r ＝2，连接PB ，如图，∵点Q、O分别为AP、AB的中点，∴OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，∵C（0，3）∴OC=3在Rt△OBC中，由勾股定理得：5BC===则111()(52) 3.5 222OQ BP BC r+⨯+=＝＝=，故答案为3.5．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．21．(1)该班级男女生数各有24人，12人；(2)选得女生为班长的概率为3 7【解析】【分析】（1）根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人数；（2）根据概率公式即可得到答案．(1)设有男生x人，∵男生的概率为23，即2363x=，解得x＝24（人）；∴女生36﹣24＝12（人），答：该班级男女生数各有24人，12人；(2)女生12+6＝18（人），全班36+6＝42（人），选得女生为班长的概率为183 427=．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．22．(1)见解析；(2) AC【解析】【分析】（1）线段AB、线段BC的垂直平分线的交点即为圆心O；（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，然后根据弧长公式即可得到结论．(1)如图，连接AB，BC作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，则点O即为所示；(2)连接AC，AO，OC，∵AC2＝62+22＝40，OA2=22+42=4+16=20，OC2=42+22=16+4=20，∴OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，∴AC 2＝OA 2+OC 2，∴∠AOC ＝90°，在Rt △AOC 中，∵OA ＝OC ＝∴ AC =，【点睛】本题考查尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长，掌握尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长是解题关键．23．(1)53c =；(2)铅球距离地面的最大高度为3m【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中，即可求得c 的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中得：12100100123c -⨯+⨯+=解得：53c =(2)当x ＝﹣42b a =时，y 最大＝12516431233-⨯+⨯+=所以铅球距离地面的最大高度为3m ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．24．（1）见解析；（2）O 的半径为134．【解析】【分析】（1）由题意易得 AC AD=，进而问题可证；（2）连接OC ，设OC r =，则有3,2CE OE r ==-，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）证明：AB CD ⊥ ，AC AD∴=，ADC AGD ∴∠=∠；（2）解：连接OC ，设OC r =，如图所示：2,6BE CD == ，3,2CE OE r ∴==-，在Rt OEC ∆中，()22232r r +-=，解得134r =，O ∴ 的半径为134．【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．25．（1）y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【解析】【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k 、b 的值即可得；（2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得；（3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得．【详解】解：（1）设y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，得3.52805.5120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得80560k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）由题意，得（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，整理，得x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6，∵3.5≤x≤5.5，∴x=4，答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w=（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=﹣80x 2+800x ﹣1760=﹣80（x ﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x=5时，w 有最大值为240，故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键．26．(1)234y x x =--+，C （1，0）；(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；(3)Q的坐标为（﹣2﹣，﹣2﹣）【解析】【分析】（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．(1)解：如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴16404b cc--+=⎧⎨=⎩，解得34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，∴C（1，0）；(2)解：如图2，设D（t，0），∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；△ABP的形状为直角三角形，证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，∴BA2+BP2＝AP2，∴△ABP的形状为直角三角形；(3)解：如图，过P作AB的平行线l，设直线l的解析式为：y＝x+m，代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，∴直线l'：y＝x，令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，解得：x＝﹣或﹣2﹣，∴Q的坐标为（﹣）或（﹣2﹣2﹣．【点睛】此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．。
杭州市九年级上期中数学试卷含答案解析
浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．55．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120°C．100°D．40°6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．【解答】解：设a=2k，则b=9k．==，故选A．【点评】考查比例性质的计算；得到用k表示的a，b的值是解决本题的突破点．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．【解答】解：x=﹣=﹣1，把x=﹣1代入得：y=﹣2+4﹣5=﹣3．则顶点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选D．【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；分式的定义．【专题】应用题；压轴题．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题与定理．【分析】根据圆周角，圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件即可求解．【解答】解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故错误；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③圆中两条平行弦所夹的弧相等，正确；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，正确，故选A．【点评】本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．5．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20° B．120°C．100°D．40°【考点】扇形面积的计算．【分析】先设出半径，再根据圆的面积公式和扇形的面积公式计算．【解答】解：设圆的半径为r，则扇形的半径为3r，根据两者面积相等得：πr2=，解得n=40°．故选D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．熟记扇形的面积公式是解题的关键．6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先由AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，根据平行线分线段成比例定理得到DF：FA=1：2，再根据平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似得到△CDE∽△CAB，根据三角形相似的性质得S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，则CD：CA=1：4，通过代换得到CD：CF=1：2，再次根据三角形相似的性质得到S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，即可计算出△CFG的面积．【解答】解：∵AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，∴DF：FA=1：2，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，∴CD：CA=1：4，设CD=a，则CA=4a，∴DA=3a，∴DF=a，∴CF=2a，∴CD：CF=1：2，而DE∥FG，∴S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，而△CDE的面积为2，∴△CFG的面积S=4×2=8．故选B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．【考点】正多边形和圆；轴对称图形．【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比．【解答】解：如图，设圆的圆心为O，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点O．过A作AD⊥BC于D，则AD必过点O，且AO=2OD；设△ABC的边长为2x，则BD=x，AD=x，OD=x；∴正方形的边长为：x，面积为x2，三个正方形的面积和为2x2；易求得△ABC的面积为：×2x×x=x2，∴等边三角形与三个正方形的面积和的比值为，故选A．【点评】此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下，故a＜0；当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因为2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】计算题；探究型；数形结合．【分析】分两种情况：点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点与点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点，利用等腰三角形的性质与相似三角形对应边的比相等的性质进行分析求解即可．【解答】解：如图1，当A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b﹣2，CF=b﹣4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，∴点B与点C、点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF，∴BE：CD=ED：DF=BD：CF，即（b﹣2）：a=3：2=a：（b﹣4），解得a=，∴BC=2a=；如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点时，设BA=AC=a，BD=CD=b，则BE=b ﹣3，CF=b﹣2，∵BD=CD，∴∠B=∠C，∴点B与点C为对应点，若点E与点F、点A与点C为对应点，由△BEA∽△CFA，可得BE：CF=EA：FA=BA：CA，即（b﹣3）：（b﹣2）=2：4=a：a，无解；若点E与点A，点A与点F为对应点，由△BEA∽△CAF，可得BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b﹣3）：a=2：4=a：b﹣2，解得a=，b=，此时BA=，BE=b﹣3=，BE、BA、EA不能构成三角形，故此种情况不成立；综上所述，这个等腰三角形底边长为．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，解答本题的关键是正确画出图形，并熟知相似三角形对应边的比相等的性质，同时注意分类讨论思想与方程思想的运用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是y=﹣x2+4x﹣3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式为﹣y=x2﹣4x+3，∴所求解析式为：y=﹣x2+4x﹣3．故答案为：y=﹣x2+4x﹣3【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是120°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程求出x，计算出各角的度数，比较得到答案．【解答】解：设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补，得3x+6x=180°，∴x=20°则这三个内角为60°、80°、120°，所以第四个内角是180°﹣4x=100°，所以该四边形内角中最大度数是120°，故答案为：120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．【考点】概率公式；三角形三边关系．【专题】压轴题．【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作OF⊥PQ于F，连接OP，根据已知和图形证明四边形MEOF为正方形，设半径为x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根据勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．【解答】解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，则MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为5．【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-直接开平方法；勾股定理．【分析】由题可知△CBD∽△ACD，则可根据相似比和勾股定理求解．【解答】解：∵∠DCB=∠A，∠D=∠D∴△CBD∽△ACD∴BD：CD=CB：AC∵BD：DC=1：2∴CB：AC=1：2设CB为x，则AC=2x，AB=5根据勾股定理可知：x2+4x2=25，解得x=，即CB=，AC=2∴△ABC的面积为×÷2=5．【点评】本题的关键是先判定三角形相似，然后利用相似比和勾股定理求得BC、AC的值，从而求出三角形的面积．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是①⑤．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；②将点A（1，3）代入得a=即可判断；③将x=0分别代入和，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2﹣y1的值；④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令=3，=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断．【解答】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；②将点A（1，3）代入抛物线，得a（1+2）2﹣3=3，解得a=，故本选项错误；③当x=0时，y1==﹣，=，y2﹣y1=+=，故本选项错误；④令y2=y1，则有=，解得x1=1，x2=﹣35．几何图象可知，y2＞y1，﹣35＜x＜1，故本选项错误；⑤令=3，解得，x1=1或x2=﹣5；AB=5+1=6；=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5﹣1=4；则2AB=3AC．故本选项正确．故答案答案为①⑤．【点评】本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】连接OF，可得出∠BOF=∠EOF，根据同圆中圆心角相等，可得出弦相等，从而得出AB=BF．【解答】解：连接OF，∵AE，DB是⊙O的直径，∠AOB=60°，∴∠BOE=120°，∵F是的中点，∴∠BOF=∠EOF=60°，∴AB=BF．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在等圆或同圆中圆心角相等，所对的弦相等是解题的关键．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可．【解答】解：（1）列表如下：1 2 3 4甲乙1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，则P（甲、乙在同一层楼梯）=；（2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）=，P（小芳胜）=1﹣，∵＞，∴游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题．【分析】（1）分别作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；（2）作直径AE，连结BE，如图，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，∠C=∠E，则可证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后利用相似比计算出AE即可得到△ABC的外接圆O半径的长．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）作直径AE，连结BE，如图，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=∠E，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴=，即=，∴AE=，∴OA=AE=，即△ABC的外接圆O半径的长为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决（2）小题的关键是构建Rt△ABE与△ADC相似．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．【考点】二次函数的最值；勾股定理的逆定理．【分析】根据顶点横坐标公式，得b+c=2a①，由x=1，y=，得c=b②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状；再根据锐角三角函数的定义求出∠A的余弦值．【解答】解：（1）∵当x=1时有最小值，∴，解得，，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形．（2）∵在△ABC中，∠B=90°，∴cosA==．【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理及余弦函数的定义．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得y=500﹣10（x﹣50）．（2）用配方法化简1的解析式，可得y=﹣10（x﹣70）2+9000．当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大．（3）令y=8000，求出x的实际取值．【解答】解：（1）由题意得：y=500﹣10（x﹣50）=1000﹣10x（50≤x≤100）（2）S=（x﹣40）（1000﹣10x）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000当50≤x＜70时，利润随着单价的增大而增大．（3）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000=800010x2﹣1400x+48000=0x2﹣140x+4800=0即（x﹣60）（x﹣80）=0x1=60，x2=80当x=60时，成本=40×[500﹣10（60﹣50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．当x=80时，成本=40×[500﹣10（80﹣50）]=8000＜10000符合要求．∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，用配方法求出最大值．23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2（，），B2（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，∴△P1OD∽△N2OB2，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线，∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴l OD：y=﹣x，∵l OD：y=x，∴OD⊥OB，∵△POD∽△NOB，∴N（﹣，）旋转90°后N1（，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣），∵OB=4，OD=2，∴，∵P为ON1或ON2中点，∴P1（，），P2（，）．【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．。
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区翠苑中学教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区翠苑中学教育集团九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）2．若＝，则的值为（）A．B．C．D．3．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（）A．15B．20C．25D．304．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形B．两个边长不等的正五边形C．任意两个平行四边形D．两个等腰三角形5．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB＝3OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积的比为（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：96．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．47．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（）A．1B．C．D．8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（）A．2πB．πC．D．9．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（）A．1B．3C．2D．010．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
浙教版九年级上册数学期中考试试题含答案
浙教版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（﹣3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．83．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是3B．面朝上的点数是奇数C．面朝上的点数小于2D．面朝上的点数不小于34．（2011?黑河）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）A．70°B．65°C．55°D．35°6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于2，则此正方形ABCD 的面积等于（）A．6B．12C．16D．207．如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为．AB-1C．D8．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（）A．变大B．变小C．先变大再变小D．保持不变9．如图，已知⊙O中，半径OA⊥OB，则圆周角∠ACB是（）A．45ºB．90ºC．60ºD．30º10．如图所示，在抛物线y=－x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C ，则AC +BC 最短距离为（）A ．5B ．C ．D ．二、填空题11．将抛物线y ＝4x 2先向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是_____．12．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为___．13．一个正多边形的每个内角等于144°，则它的边数是_________．14．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为CD 边上的动点，当△ADP 与△BCP 相似时，DP=__．15．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．16．如图，△ABC 中，AB ＝4，∠ACB ＝75°，∠ABC ＝45°，D 是线段BC 上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为_____．三、解答题17．已知a：b＝3：2，求：（1）a bb+；（2）274a bb-的值．18．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．（1）求△ABC的面积；（2）在格点图中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，面积比为2：1．19．现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）20．小明同学在用描点法画二次函数y1＝ax2+bx+c的图象时，由于粗心，他算错了一个y 值，列出了下面表格：x…﹣10123…y＝ax2+bx+c…1252514…（1）请求出这个二次函数解析式；（2）请指出这个错误的y 值，并说明理由；（3）若直线y 2＝mx+n 经过（0，5）和（3，14）两点，则当y 1＜y 2时，请直接写出x 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．以BC 为直径画圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）当△ABC 中，∠B ＝70°且BC ＝12时，求 DE 的长．22．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为()21566y x =--+．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，10m OE =， 1.8m,EF EF OD =⊥．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．23．已知函数y ＝x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象经过(﹣2，4)．（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该图象的顶点坐标是(m ，n)，当b 的值变化时，①求n 关于m 的函数关系式；②若函数y ＝x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与x 轴无交点，求n 的取值范围．24．AB 为O 的直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）如果O 的半径为4，CD =，求BAC ∠的度数；（2）若点E 为 ADB 的中点，连结OE ，CE ．求证：CE 平分OCD ∠；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC 距离为3的点有多少个？并说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】根据二次函数的解析式可直接得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2（x ﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1）．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，解题的关键是掌握()2y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ．2．C【解析】【分析】根据垂径定理得出BC=12AB，再根据勾股定理求出OC的长：【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=12AB=8．在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，∴OC6===．故选C．3．D【解析】【分析】分别求出各选项的事件的概率，再比较各个概率的大小，就可得出可能性较大的事件的概率．【详解】A．掷一枚骰子面朝上的点数是3的概率为1 6；B．掷一枚骰子面朝上的点数是奇数有1，3，5三个数，此事件的概率为：31 62 =；C．掷一枚骰子面朝上的点数小于2的只有1，此事件的概率为：1 6；D．掷一枚骰子面朝上的点数不小于3数有3、4、5、6，此事件的概率为：42 63 =；∴1112 6623 =<<．故选：D．【点睛】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n．4．B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故①正确；②根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a＞0；故②正确；③又对称轴x=-b2a=1，∴b2a＜0，∴b＜0；故本选项错误；④该函数图象交于y轴的负半轴，∴c＜0；故本选项错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确．所以①②⑤三项正确．故选B．5．A【解析】【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，CB＝CB′，∴∠CBB′＝∠B′＝55°，∴∠α＝70°，故选A.【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．6．B【解析】【分析】首先根据正方形的性质推出△AFD∽△EFB，即可得到ADBE=DFBF，再结合题意推出DF：BF=2：1，则进一步推出S△BEF和S△DEC，最终求出正方形面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFD∽△EFB，∴ADBE=DFBF，∵E是BC的中点，∴AD：BE=2：1，∴DF：BF=2：1，∵S△DEF=2，∴S△BEF=1，∴S△DEC=S△DBE=S△DEF+S△BEF=3，∴S正方形ABCD=4S△DEC=12，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的面积计算等，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．7．B【解析】【分析】从图中可看出阴影部分的面积=扇形面积-正方形的面积．然后依面积公式计算即可．【详解】连接OD，则2=OA根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．∴S阴影=S ACDF=AC•CD=（OA-OC）2故选B.【点睛】本题考查弧长的计算，解题的突破口是连接OD.8．D【解析】【分析】根据题意连接OD，OE，OC，MN．证明点M在线段OD上，点N在OE上，进而推出△ODE 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，连接OD，OE，OC．∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°，DA＝DC，∵OA＝OC，∴OD垂直平分线段AC，∴点M在线段OD上，∴∠ODC＝45°，同法点N在OE上，∠OED＝45°，∴∠DOE＝90°，∵∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE，∵OM＝ON，∴DM＝EN，∴DM：EN的值不变．故选：D．【点睛】本题考查圆的综合应用以及中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识．9．A【解析】【详解】试题分析：根据图像可知∠ACB和∠AOB为同弧所对的圆周角和圆心角．所以半径OA⊥OB 时∠AOB=90°=2∠ACB.所以∠ACB=45°.选A.考点：圆周角定理.10．B【解析】【详解】因为在抛物线y=－x2上A，B两点，其横坐标分别为1，2；所以纵坐标是-1，-4，所以A（1，-1）B（2，-4），取点A关于y轴的对称点为'A，则点'A的坐标是（-1，-1），则AC+BC最短距离='A B==．故选：B．考点：1．二次函数；2．轴对称；3．勾股定理．11．y＝4（x﹣1）2+3【解析】【分析】由题意直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行分析解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝4x2向右平移一个单位所得直线的解析式为：y ＝4（x﹣1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝4（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝4（x﹣1）2+3．故平移后的抛物线的函数关系式是：y＝4（x﹣1）2+3．故答案为：y＝4（x﹣1）2+3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是解题的关键．12．4 7【解析】【详解】447=713．10##十【解析】【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n-2）×180°得到（n-2）×180°=144°×n，然后解方程即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∴（n-2）×180°=144°×n，∴n=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n-2）×180°；n边形的外角和为360°．14．1或4或2.5【解析】【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．【详解】设DP=x，则CP=5-x，分两种情况情况进行讨论，①当△PAD∽△PBC时，ADBC=DPCP∴225xx =-，解得：x=2.5，②当△APD∽△PBC时，ADCP=DPBC，即25x-=2x，解得：x=1或x=4，综上所述：DP=1或4或2.5【点晴】本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位．15．（2，2）或（2，-1）【解析】【详解】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=-42 2-=∴设点A坐标为（2，m）如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2∴∠APO=∠AQO′=90°∴∠QAO′+∠AO′Q=90°∵∠QAO′+∠OAQ=90°∴∠AO′Q=∠OAQ又∠OAQ=∠AOP∴∠AO′Q=∠AOP在△AOP 和△AO′Q 中APO AQO AOP AO Q AO AO ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴△AOP ≌△AO′Q （AAS ）∴AP=AQ=2，PO=QO′=m则点O′坐标为（2+m ，m-2）代入y=x2-4x 得：m-2=（2+m ）2-4（2+m ）解得：m=-1或m=2∴点A 坐标为（2，-1）或（2，2）故答案是：（2，-1）或（2，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．166【解析】【分析】连接OE 、OF ，过O 点作OM ⊥EF ，如图，利用垂径定理得到EM ＝FM ，再计算出∠BAC ＝60°，根据圆周角定理得到∠EOF ＝120°，易得∠OEF ＝∠OFE ＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到EF，所以当OE 的值最小时，EF 的值最小，根据垂线段最短，当AD 垂直BC 时，AD 的值最小，过A 点作AH ⊥BC 于H ，则AH ＝2AB ＝从而得到AD 的最小值为，于是得到EF 的最小值．【详解】解：连接OE 、OF ，过O 点作OM ⊥EF ，如图，则EM ＝FM ，∵∠ACB ＝75°，∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝60°，∴∠EOF ＝2∠EAF ＝120°，∵OE ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE ＝30°，∴OM ＝12OE ，∴EM =，∴2EF EM ==，当OE 的值最小时，EF 的值最小，∵D 是线段BC 上的一个动点，AD 为直径，∴当AD 垂直BC 时，AD 的值最小，即OE 的值最小，过A 点作AH ⊥BC 于H ，∴∠ABH=90°，∵∠ABH ＝45°，∴∠BAH=∠ABH=45°，∴AH=BH ，∵222AH BH AB +=，∴222=16AH AB =，∴AH AD 的最小值为∴OE ，∴EF ．．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够根据题意把求EF的最小值转化成求AD的最小值．17．（1）52；（2）-1【解析】【分析】根据已知条件设a：b＝3：2＝k（k≠0），得出a＝3k，b＝2k，（1）代入a bb+进行计算即可得出答案．（2）代入274a bb-进行计算即可得出答案．【详解】解：∵a：b＝3：2，∴设a＝3k，b＝2k，（1）a bb+＝322k kk+＝52；（2）274a bb-＝237242k kk⨯-⨯⨯＝614888k k kk k--==﹣1．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单．18．（1）72；（2）见解析【解析】【分析】（1）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出相似比为2【详解】解：（1）由图形可知，△ABC的面积为1117 331223132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（2）根据相似三角形的性质可得，△A1B1C1与△ABC11A B===11B C===11A C===作出相应的线段，如图所示，△A1B1C1即为所求，【点睛】此题考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的性质．19．（1）14；（2）13【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可．【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为1 4；故答案为：1 4（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=41 123=【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．20．（1）y1＝3x2﹣6x+5；（2）y错误的值是12，理由见解析；（3）0＜x＜3【解析】【分析】（1）根据表中数据确定函数的对称轴，再用待定系数法求函数解析式；（2）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案；（3）根据两函数的交点以及图象判断即可．【详解】解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得（0，5），（1，2），（2，5）在函数图象上，把（0，5），（1，2），（2，5）代入函数解析式y1＝ax2+bx+c中，则52 425ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：365abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数解析式y1＝3x2﹣6x+5；（2）当x＝﹣1时，y1＝3+6+5＝14，∴表中y错误的值是12；（3）∵直线y2＝mx+n经过（0，5）和（3，14）两点，由函数的图象和性质得：当0＜x＜3时，y1＜y2．∴当y1＜y2时，0＜x＜3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，求函数值，图像法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．21．（1）见解析；（2）103π【解析】【分析】（1）由题意连接CD 和BE ，由圆周角定理知∠BDC=∠CEB=90°，由AB=AC 即可得到∠ABC=∠ACB ，进而得到∠BCD=∠CBE ，然后根据圆周角定理得证；（2）根据题意先求得弧所对的圆周角的度数，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）证明：如图1，连接CD 和BE ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠CBE ，∴ BDCE =，∴BD ＝CE ．（2）解：如图2，连接OD 、OE ，∵AB ＝AC ，∠B ＝70°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∴∠DOC ＝140°，∵OE ＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE ＝70°，∴∠COE ＝40°，∴∠DOE ＝100°，∵BC ＝12，∴⊙O 的半径为6，∴ DE 的长＝1006180π⨯＝103π．【点睛】本题考查了圆周角定理以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理并求得弧所对的圆心角的度数是解题的关键．22．（1）11m 6；（2）22米；（3）不会【解析】【分析】（1）求雕塑高OA ,直接令0x =，代入()21566y x =--+求解可得；（2）可先求出OD 的距离，再根据对称性求CD 的长；（3）利用()21566y x =--+，计算出10x =的函数值y ，再与EF 的长进行比较可得结论．【详解】解：（1）由题意得，A 点在图象上．当0x =时，21(05 )66y =--+2511666=-+=11(m)6OA ∴=．（2）由题意得，D 点在图象上．令0y =，得21(5)606x --+=．解得：1211,1x x ==-（不合题意，舍去）．11OD ∴=222(m)CD OD ∴==（3）当10x =时，21(105)66y =--+，25116 1.866=-+=>，∴不会碰到水柱．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于y 轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．23．（1）c ＝2b ；（2）①n=﹣m 2﹣4m ；②n ＞0时，抛物线与x 轴无交点【解析】【分析】（1）将（﹣2，4）代入函数解析式求解．（2）①由顶点坐标公式可得m ＝﹣2b ，n ＝244c b -，将c ＝2b 代入求解．②根据图象开口方向和顶点纵坐标为n 求解．【详解】解：（1）把（﹣2，4）代入y ＝x 2+bx+c得4＝4﹣2b+c ，∴c ＝2b ．（2）①∵y ＝x 2+bx+c 图象顶点坐标为（m ，n ），∴m ＝﹣2b ，n ＝244c b -，∵c ＝2b ，∴n＝244c b-＝284b b-，b＝﹣2m，∴n＝21644m m--＝﹣m2﹣4m．②∵抛物线y＝x2+bx+c开口向上，顶点坐标为（m，n），∴n＞0时，抛物线与x轴无交点．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数顶点公式，掌握二次函数与方程的关系．24．（1）30°；（2）见解析；（3）2个，理由见解析【解析】【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB∴CH＝CD＝2在Rt△COH中，sin∠COH==∴∠COH=60°∴∠BAC=∠COH=30°（2）∵点E是ADB的中点∴OE⊥AB∴OE∥CD∴∠ECD=∠OEC又∵∠OEC=∠OCE∴∠OCE=∠DCE∴CE平分∠OCD（3）圆周上到直线AC的距离为3的点有2个因为劣弧 AC上的点到直线AC的最大距离为2，ADC上的点到直线AC的最大距离为6，236<<，根据圆的轴对称性，ADC到直线AC距离为3的点有2个。
浙教版九年级上册数学期中考试试卷附答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列各式中y 是x 的二次函数的是（）A ．2y ax bx c=++B ．2(1)y x x =++C ．22(2)y x x =-+D ．22y x =2．下列命题中，正确的是（）A ．圆心角相等，所对的弦相等B ．三点确定一个圆C ．长度相等的弧是等弧D ．弦的垂直平分线必经过圆心3．在一个不透明的布袋中装有45个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黑球的个数可能有（）A ．18B ．27C ．36D ．304．如图，O 是ABC 的外接圆，已知40ABO ∠=︒，则ACB ∠等于（）A ．30°B ．45︒C ．50︒D ．60︒5．用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为（）A ．y=（x ﹣4）2+7B ．y=（x+4）2+7C ．y=（x ﹣4）2﹣25D ．y=（x+4）2﹣256．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60︒得A B C ''V ，则点B 转过的路径长为（）A ．3πB ．3C ．23πD ．π7．已知二次函数22y x mx =-+，以下点可能成为函数顶点的是（）A ．()3,9-B ．()2,3C ．()1,1--D ．()2,4--8．如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6πB ．C ．D ．2π9．如图所示，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长度为（）A ．B ．8C ．D ．10．已知二次函数图象的对称轴为1x =，且过点()3,0A 与30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（）①当01x ≤≤时，函数有最大值2；②当01x ≤≤时，函数有最小值2-；③点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，则PAB △面积的最大值为32；④对于非零实数m ，当11x m>+时，y 都随着x 的增大而减小．A ．④B ．①②C ．③④D ．①②③二、填空题11．一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是______．12．已知点A(11,x y )、B(22,x y )在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则y 1______y 2．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则 BD的度数为____________．14．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，从A 到B 只有路弧AB ，一部分市民走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB ，通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了_______步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考1.7≈，π取3）15．已知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22242m n m ++-的最小值等于___________．16．在O 中，弦AB 和弦AC 构成的48BAC ∠=︒，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，则MON ∠的度数为_______．三、解答题17．将抛物线245y x x =--向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求得到的新抛物线解析式．18．操作题：如图，⊙O 是 ABC 的外接圆，AB=AC ，P 是⊙O 上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P 的平分线；（2）结合图①，说明你这样画的理由．19．如图某野生动物园分A 、B 两个园区．如图是该动物园的通路示意图，小明进入入口后，任选一条通道．(1)他进A 园区或B 园区的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；(2)求小明从中间通道进入A 园区的概率．20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ，花园的面积为S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式；（2）若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．21．如图，点C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径8AB =，连接AD ，AC ，作DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ．（1）求证：AF DF =．（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式()21y ax a x =++，其中0a ≠．（1）若此函数图象过点()1,3-，求这个二次函数的表达式；（2）函数()21(0)y ax a x a =++≠，若()1122(),,,x y x y 为此二次函数图象上的两个不同点，①若124x x +=，则12y y =，试求a 的值；②当123x x >≥-，对任意的1x ，2x 都有12y y >，试求a 的取值范围．23．已知P 是O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B （不与P ，Q 重合），连接AP 、BP ．若APQ BPQ ∠=∠．（1）如图1，当45APQ ∠=︒，1AP =，22BP =时，求C 的半径；（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ 的面积（3）如图2，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P 、M 重合），连接ON 、OP ，若290NOP OPN ∠+∠=︒，探究直线AB 与ON 的位置关系，并说明理由．参考答案1．B 【解析】【分析】若函数解析式化简后是关于自变量的二次多项式，则称此函数为二次函数，其一般形式为2(0)y ax bx c a =++≠，且a 、b 、c 是常数，根据二次函数的定义即可作出判断．【详解】A 、当a≠0时是二次函数，否则不是二次函数；B 、化简后为22y x x =++，是二次函数；C 、224(2)4y x x x =-=+--，是一次函数，不是二次函数；D 、函数解析式不是整式，不是二次函数；故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的概念，理解二次函数的概念是关键．2．D 【解析】【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案．【详解】解：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；C.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；D.弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．3．D 【解析】【分析】设黑球的个数为x 个，根据频率可列出方程，解方程即可求得x ，从而得到答案．【详解】设黑球的个数为x 个，由题意得：0.445xx=+解得：x=30经检验x=30是原方程的解则袋中黑球的个数为30个故选：D 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解方程，根据概率列出方程是关键．4．C 【解析】【分析】由,40,OA OB ABO =∠=︒证明40,BAO ABO ∠=∠=︒再利用三角形的内角和定理求解,AOB ∠再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：,40,OA OB ABO =∠=︒ 40,BAO ABO ∴∠=∠=︒180240100,AOB ∴∠=︒-⨯︒=︒150,2ACB AOB ∴∠=∠=︒故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.5．C 【解析】【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y=x 2-8x-9=x 2-8x+16-25=（x-4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．6．B 【解析】【分析】先在ABC ∆中利用ABC ∠的余弦计算出2cos30BC =︒=，再根据旋转的性质得60BCB ∠'=︒，然后根据弧长公式计算点B 转过的路径长．【详解】解：在ABC ∆中，90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，cos BCABC AB∴∠=，2cos 302BC ∴=︒=，ABC ∆ 绕直角顶点C 逆时针旋转60︒得△A B C '''，60BCB ∴∠'=︒，∴弧BB '的长．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．7．A 【解析】【分析】配方后，根据顶点坐标的特点即可判断．【详解】∵2222()y x mx x m m =-+=--+∴顶点坐标为2()m m ，即顶点的纵坐标是顶点横坐标的平方，且纵坐标非负所以满足上述特点的只有A选项故选：A【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，根据顶点式确定顶点坐标，关键得到顶点坐标后，抓住两个坐标的特点．8．A【解析】【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴AB=OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB =60366360ππ⋅⨯=故选A．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．9．D【解析】【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，CD＝1，根据垂径定理可求得AC＝BC＝4，然后设OA＝x，利用勾股定理可得方程：42+（x-2）2＝x2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案．【详解】连接BE∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8∴AC＝BC＝4设OA＝x∵CD＝2∴OC＝x-2在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2∴42+（x-2）2＝x2解得：x＝5∴OA＝OE＝5，OC＝3∴BE＝2OC＝6∵AE是直径∴∠B＝90°∴CE=故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、三角形中位线、圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、三角形中位线、圆周角、一元一次方程的性质，从而完成求解．10．B【解析】【分析】设二次函数解析式为y ＝a （x−1）2＋b ，然后将点A 、B 的坐标代入求出a 、b ，从而得到抛物线解析式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，判断出①②正确；利用待定系数法求出直线AB 的解析式，过点P 作PQ ∥y 轴交AB 于Q ，设出P 点坐标，表示出PQ ，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题求解；根据二次函数的增减性分m 是正数和负数两种情况讨论求解．【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为x ＝1，设二次函数的解析式为y ＝a （x−1）2＋b ，∴把点A （3，0）与30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入y ＝a （x−1）2＋b ，得：4032a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝12-（x−1）2＋2，∴在01x ≤≤的范围内，当x ＝1时，函数有最大值2，故①正确；当x＝1时，函数有最小值，最小值＝12-（1−1）2＋2＝−2，故②正确；如图，设直线AB 的解析式为y ＝kx+b （k≠0），把点A （3，0）与30,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：3032k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的解析式为y ＝12-x ＋32，过点P 作PQ ∥y 轴交AB 于Q ，设P （x ，12-（x−1）2＋2），则Q （x ，12-x ＋32），∴PQ ＝12-（x−1）2＋2−（12-x ＋32）＝21322x x -+，∴△PAB 的面积＝22113332732224216x x x 骣骣琪琪´-+´=--+琪琪桫桫，∴当x ＝32时，△PAB 的面积有最大值2716，故③错误；当m ＜0时，11m +＜1，在11x m+<<1的范围内，y 随x 的增大而增大；当m ＞0时，11m +＞1，在11xm>+的范围内，y随x的增大而减小，故④错误，综上所述，说法正确的是①②．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质及应用，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值问题等，难点在于③表示出△PAB的面积．11．1 2【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，∴两次摸到的球是一白一红的概率为21 42 =，故答案为：1 2．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．【解析】【详解】由二次函数2(1)1y x =-+的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1∵121x x >>∴y 随x 的增大而增大∴1y >2y 13．50°【解析】【分析】连接CD ，如图，先根据三角形内角和计算出∠B ＝65°，再根据等腰三角形的性质由CB ＝CD 得到∠B ＝∠BDC ＝65°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD ＝50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【详解】解：连接CD ，如图，∵∠C ＝90°，∠A ＝25°，∴∠B ＝90°−25°＝65°，∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠BDC ＝65°，∴∠BCD ＝180°−65°−65°＝50°，∴ BD的度数为50°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．【解析】【分析】取AB 的中点C ，连接OC ，则有OC ⊥AB ，由三角函数知识可求得AC 从而求得AB 的长，由弧长公式可求得弧AB 的长，比较即可得结果．【详解】取AB 的中点C ，连接OC ，如图∵OA=OB∴OC ⊥AB ，∠OAC=1(180)302AOB ︒-∠=︒∴cos3020AC OA =⨯︒=⨯∴234AB AC ==≈(米)∵ 1202040401803AB l ππ⨯==≈(米)∵40346-=(米)，60.512÷=(步)故答案为：12【点睛】本题考查了求弧长及解三角形，作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是关键．15．-13【解析】【分析】由21m n -=可得21,n m =-再代入22242m n m ++-，再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解： 21m n -=，21,n m \=-()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m =+-()231313,m =+-≥-所以22242m n m ++-的最小值是13-故答案为：-13【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键.16．132︒或48︒##48°或132°【解析】【分析】连接OM ，ON ，利用垂径定理得OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，再分类讨论，当AB ，AC 在圆心异侧时（如图1），利用四边形内角和得结果；当AB ，AC 在圆心同侧时（如图2），利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：连接OM ，ON ，∵M 、N 分别是AB 和AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，当AB ，AC 在圆心异侧时（如图1），∵∠BAC=48°，在四边形AMON 中，∴∠MON=360°-90°-90°-48°=132°；当AB ，AC 在圆心同侧时（如图2），∵∠ADM=∠ODN ，∠AMD=∠OND ，∴∠MON=∠BAC=48°．故答案为：132°或48°．【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理，三角形的内角和定理，垂径定理的应用，分类讨论，数形结合是解答本题的关键．17．263y x x =-+【解析】【分析】把245y x x =--化为顶点式，得()229,y x =--再按照抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案.【详解】解： ()224529,y x x x =--=--∴把()229y x =--向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得：()22193,y x =---+即抛物线为：()2236=6 3.y x x x =---+【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解本题的关键.18．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可；（2）由AB=AC 得到 AB AC =，再利用圆周角定理可得．【详解】解：（1）如图①，连接AP ，即为所求角平分线；如图②，连接AO 并延长，与⊙O 交于点D ，连接PD ，即为所求角平分线．（2）∵AB=AC ，∴ AB AC ，∴∠APB=∠APC ．【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键．19．(1)见解析;(2)16.【解析】【分析】（1）此题可以采用树状图法求解．一共有6种情况，其中进入A 园区的有2种可能，进入B 园区的有4种可能，所以进入B 园区的可能性较大；（2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入A 园区的概率．【详解】解：（1）画出树状图得：∴由表可知，小明进入园区后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A 园区的有2种可能，进入B 园区的有4种可能，所以进入B 园区的可能性较大；（2）由（1）可知小明进入A 园区的通道分别是中入口和右入口，因此从中间通道进入A 园区的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．20．（1）S ＝﹣x 2+28x （0＜x ＜28）；（2）195m 2．【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S 关于x 的函数解析式；（2）由树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m 求出x 的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）∵AB ＝xm ，∴BC ＝（28﹣x ）m ．则S ＝AB•BC ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x ．即S ＝﹣x 2+28x （0＜x ＜28）．（2）由题意可知，62815x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得6≤x≤13．由（1）知，S ＝﹣x 2+28x ＝﹣（x ﹣14）2+196．∵当6≤x≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝195，即花园面积的最大值为195m 2．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S 与x 的函数关系式是解题关键．21．（1）见解析；（2）83π-【解析】【分析】（1）连接OD ，OC ，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD 是等边三角形，OA=4，得到DE=扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OC ，∵C 、D 是半圆O 上的三等分点，∴ AD CD BC ==，度数都是60°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，∵DE ⊥AB ，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=180°-90°-30°-30°=30°，∴∠DAC=∠ADE=30°，∴AF=DF ；（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD ，AB=8，∴△AOD 是等边三角形，OA=4，∵DE ⊥AO ，OA=4，∠ADE=30°，∴AE=2，=∴S 阴影=S 扇形AOD-S △AOD=260418436023ππ⋅⨯-⨯⨯-．【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（1）y ＝﹣2x 2﹣x ；（2）①15a =-；②0＜a≤15【解析】【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；（2）①利用题意，121222x x a a ++-==，求解a ；②由已知当x 1＞x 2≥﹣3，对任意的x 1，x 2都有y 1＞y 2，则在x 1＞x 2≥﹣3时，二次函数是递增的，再分两种情况结合图象即可求解．【详解】解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），∴将点代入y ＝ax 2+（a+1）x ，13,a a ∴++=-解得a ＝﹣2，∴二次函数的解析式为y ＝﹣2x 2﹣x ；（2）①函数y ＝ax 2+（a+1）x 的对称轴是直线12a x a+=-，∵（x 1，y 1），（x 2，y 2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x 1+x 2＝4，则y 1＝y 2，∴1212,22x x a a ++-==∴15a =-；②函数y ＝ax 2+（a+1）x 的对称轴是直线12a x a +=-，∵123x x >≥-，对任意的x 1，x 2都有y 1＞y 2，当a ＞0，132a a +-≤-时，符合题意，解得：0＜a≤15；∴0＜a≤15；当a ＜0时，不符合题意舍去；∴0＜a≤15．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．23．（1）32；（294；（3）//AB ON ；见解析【解析】【分析】（1）连接AB ，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB 是⊙O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；（2）证明ABQ △是等腰直角三角形，得出2AQ BQ ==，根据ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+四边形可得结论；（3）连接OA 、OB 、OQ ，由∠APQ=∠BPQ 证得»»AQ BQ =，即可证得OQ ⊥AB ，然后根据三角形内角和定理证得∠NOQ=90°，即NO ⊥OQ ，即可证得AB ∥ON ．【详解】（1）连接AB ，如图1，∵45APQ BPQ ∠=∠=︒，∴90APB APQ BPQ ∠=∠+∠=︒，∴AB 是O 的直径，∴3AB ===，∴O 的半径为32；（2）连接AQ ，BQ ，如图2，∵90APB ∠=︒∴18090AQB APB ∠=︒-∠=︒∵45APQ BPQ ∠=∠=︒∴45ABQ BAQ ∠=∠=︒∴ABQ △是等腰直角三角形∵3AB =，∴3222AQ BQ AB ===⨯=∴119122224ABP ABQ APBQ S S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯四边形（3）//AB ON ，理由如下：连接OQ ，如图3，∵APQ BPQ ∠=∠，∴»»AQ BQ =，∴OQ AB⊥∵OP OQ =，∴OPN OQP ∠=∠，∵180OPN OQP PON NOQ ∠+∠+∠+∠=︒，∴2180OPN PON NOQ ∠+∠+∠=︒，∵290NOP OPN ∠+∠=︒，∴90NOQ ∠=︒，∴NO OQ⊥∴//AB ON【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．。
浙江省杭州市九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若圆内接四边形ABCD的内角满足：∠A：∠B：∠C=2：4：7，则∠D=（）A. B. C. D.3.已知⊙O的弦AB长为8厘米，弦AB的弦心距为3厘米，则⊙O的直径等于（）A. 5厘米B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米4.设P是抛物线y=2x2+4x+5的顶点，则点P位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.下列各式的变形中，正确的是（）A. B.C. D.6.如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB=24米，拱高CD=8米，则该圆弧的半径r=（）A. 8 米B. 12 米C. 13米D. 15 米7.如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC=（）A.B.C.D.8.在长为3cm，4cm，6cm，7cm的四条线段中任意选取三条线段，这三条线段能构成三角形的概率是（）A. B. C. D.9.抛物线y=-x2+2x-2经过平移得到抛物线y=-x2，平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位10.设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D的左侧）．若点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=-．其中正确的是（）A. ①②④B. ①③④C. ②③D. ②④二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知圆O的半径长为6，若弦AB=6，则弦AB所对的圆心角等于______ ．12.已知一次函数的图象经过点A（0，2）和点B（2，-2），则y关于x的函数表达式为______ ；当-2＜y≤4时，x的取值范围是______ ．13.A，B两同学可坐甲，乙，丙三辆车中的任意一辆，则A，B两同学均坐丙车的概率是______ ．14.在平面直角坐标系中，以点（1，1）为圆心为半径作圆O，则圆O与坐标轴的交点坐标是______．15.在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB=16，CD=10，则弦AB，CD之间的距离是______ ．16.设直线y=-x+m+n与双曲线y=交于A（m，n）（m≥2）和B（p，q）两点．设该直线与y轴交于点C，O是坐标原点，则△OBC的面积S的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.计算：×[（-2）-3-23]．18.在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别．（1）求从袋中任意摸出一个球是黄球的概率；（2）若从袋中取出若干个黑球（不放回），设再从袋中摸出一个球是黑球的概率是，问取出了多少个黑球？19.在平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-5x-6与x轴分别交于A，B两点，且点A在点B的左边，与y轴交于C点．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴，以及抛物线与坐标轴的交点坐标，并画出这条抛物线；（2）设O为坐标原点，△BOC的BC边上的高为h，求h的值．20.设点A、B、C在⊙O上，过点O作OF⊥AB，交⊙O于点F．若四边形ABCO是平行四边形，求∠BAF的度数．21.某商店购进一批玩具，购进的单价是20元．调查发现，售价是30元时，月销售量是320件，而售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？22.如图，已知△ACB和△DCE为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE．（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数；（3）若△ACB和△DCE为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连结BE．①计算∠AEB的度数；②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．23.设二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A（0，10），B（-4，0），C三点．（1）求二次函数的表达式及点C的坐标；（2）设点F为二次函数位于第一象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连结CD，CF，DF，记三角形CDF的面积为S．求出S的函数表达式，并求出S的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；B、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；C、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；D、该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∴∠A=2×=40°，∠B=7×=140°，则∠C=4×=80°，∠D=180°-80°=100°，故选：B．根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：连接OC，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4cm，在直角△AOC中，OA===5cm．则直径是10cm．故选C．根据垂径定理即可求得AC的长，连接OC，在直角△AOC中根据勾股定理即可求得半径OA的长，则直径即可求解．本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵y=2x2+4x+5=2（x+1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（-1，3），∴P点坐标为（-1，3），∴点P在第二象限，故选B．把解析式化为顶点式可求得P点坐标，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】D【解析】解：∵x6÷x=x5，故选项A错误，∵=，故选项B错误，∵x2+x3不能合并成一项，故选项C错误，∵，故选项D正确，故选D．计算出各个选项中式子的正确结果即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决．本题考查分式的混合运算、合并同类项、同底数幂的除法、配方法的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．6.【答案】C【解析】解：拱桥的跨度AB=24m，拱高CD=8m，∴AD=12m，利用勾股定理可得：122=AO2-（AO-8）2，解得AO=13m．即圆弧半径为13米．故选C．将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵∠ABC+∠AOC=90°，∠ABC=，∴∠AOC=60°，故选：C．根据圆周角定理可得∠ABC=，再由∠ABC+∠AOC=90°可得∠AOC的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.【答案】A【解析】解：由题意知，本题是一个古典概率．∵试验发生包含的基本事件为3，4，6；3，4，7；4，6，7；3，6，7共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为：3，4，6；4，6，7；3，6，7共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率，故选：A．根据古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．本题考查了概率公式以及三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．9.【答案】B【解析】解：∵y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1得到顶点坐标为（1，-1），平移后抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．故选B．由抛物线y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10.【答案】D【解析】解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；根据顶点坐标公式，=3，令y=0，则ax2+bx+c=0，设方程的两根为x1，x2，则CD2=（x1+x2）2-4x1x2=（-）2-4×=，根据顶点坐标公式，=3，∴=-12，∴CD2=×（-12）=-，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-2）=3，∴-=32=9，解得a=-，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选D．根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，解题的关键是灵活运用所学知识，题目比较难，属于选择题中的压轴题．11.【答案】120°【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB，则AC=BC=AB=3，在Rt△AOC中，OC==3，∴OC=OA，∴∠A=30°，∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．∴弦AB所对的圆心角的度数为120°．故答案为120°．如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB，利用垂径定理得到AC=BC=AB=3，再利用勾股定理计算出OC==3，则OC=OA，所以∠A=30°，则可计算出∠AOB，从而得弦AB所对的圆心角的度数．本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．12.【答案】y=-2x+2；-1≤x＜2【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b，把A（0，2）、B（2，-2）代入得：，解得：．则一次函数解析式为y=-2x+2；∵y=-2x+2，∴函数y随x的增大而减小．∵当y=-2时，x=2；当y=4时，x=-1，∴当-2＜y≤4时，-1≤x＜2．故答案为：y=-2x+2，-1≤x＜2．设一次函数解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数表达式；再分别令y=-2与y=4求出x的对应值即可．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．13.【答案】【解析】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A，B两同学均坐丙车的有1种情况，∴A，B两同学均坐丙车的概率是：．故答案为：．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B两同学均坐丙车的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】（0，3）、（0，-1）、（3，0）、（-1，0）【解析】解：如图，设⊙P与坐标轴分别交于A、B、C、D．作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F．易知四边形PEOF是正方形，边长为1，由勾股定理可得AE=DF=BF=CE=2，∴A（0，3），B（-1，0），C（0，-1），D（3，0），故答案为（0，3）、（0，-1）、（3，0）、（-1，0）；如图，设⊙P与坐标轴分别交于A、B、C、D．作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F．易知四边形PEOF是正方形，边长为1，由勾股定理可得AE=DF=BF=CE=2，由此即可解决问题．本题考查勾股定理、直线与圆的位置关系、正方形的判定、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】±6【解析】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE=AB=8，CF=DF=CD=5，在Rt△AOE中，OE==6，在Rt△OCF中，OF==5，当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF=5+6，当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF=5-6，∴AB、CD之间的距离为±6．故答案为±6．过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE=BE=AB=8，CF=DF=CD=5，再利用勾股定理计算出OE，OF，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF，当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用．16.【答案】＜S≤【解析】解：如图，直线y=-x+m+n与x轴交于点D，C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），∴S=S△OBC=（m+n）•n=mn+n2，∵点A（m，n）在双曲线y=上，∴mn=1，即n=∴S=+（）2∵m≥2，∴0＜≤，∴0＜（）2≤，∴＜S≤．故答案为：＜S≤．先确定直线y=-x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得到S△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题，关键是掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．17.【答案】解：×[（-2）-3-23]=8×[-8]=-1-64=-65．【解析】根据算术平方根、立方以及负整数指数幂进行计算即可．本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．18.【答案】解：（1）∵在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别，∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为：=；（2）设取出了x个黑球，则=，解得x=5，经检验x=5是原方程的解，且符合题意，答：取出了5个黑球．【解析】（1）由在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先设取出了x个黑球，由概率公式则可得方程：=，解此方程即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．注意根据概率公式得到方程=是关键．19.【答案】解：y=x2-5x-6，y=（x-2.5）2-12.25，抛物线y=x2-5x-6的顶点坐标是（2.5，-12.25），对称轴是直线x=2.5，由x=0得y=-6，抛物线与y轴的交点坐标是（0，-6），由y=0得x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6，抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（6，0），画出抛物线为：（2）BC==，则h=6×6÷6=．【解析】（1）把二次函数y=x2-5x-6化为y=（x-2.5）2-12.25即可求出顶点及对称轴，由x=0得y=-6，由y=0得x2-5x-6=0，可求抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过列表、描点、连线画出该函数图象即可；（2）先根据勾股定理求出BC，再根据等积法求出h的值．本题主要考查了二次函数的图象，性质及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟记二次函数的图象，性质．20.【答案】解：连结OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠BOA=60°，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=∠BOA=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°．【解析】连结OB，利用平行四边形的性质可得OC=AB，然后证明△AOB为等边三角形，进而可得∠BOA=60°，然后利用等腰三角形的性质可得∠BOF=∠AOF=∠BOA=30°，再根据圆周角定理可得答案．此题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，求出∠BOA=60°是解决问题的关键．21.【答案】解：（1）依题意得y=（30+x-20）（320-10x）=-10x2+220x+3200，自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；（2）y=-10x2+220x+3200=-10（x-11）2+4410，∵0＜x≤10且x为正整数，当x=10时，y有最大值，最大值为：-10（10-11）2+4410=4400（元），答：每件玩具的售价定为40元时，可使月销售利润最大，最大的月销售利润是4400元．【解析】（1）根据：总利润=单件利润×销售量即可得函数解析式；（2）利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可得．本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．22.【答案】（1）证明：如图1中，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．（3）①如图2∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°∴CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，②∵CD=CE，CM⊥DE于M，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE即可．（2））由△ACD≌△BCE，推出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等边三角形，推出∠CDE=∠CED=60°．根据∠AEB=∠BEC-∠CED=60°时间即可．（3）①由△ACD≌△BCE（SAS），推出AD=BE，∠ADC=∠BEC．由△DCE为等腰直角三角形，推出∠CDE=∠CED=45°．由点A，D，E在同一直线上，推出∠ADC=135°，∠BEC=135°，由∠AEB=∠BEC-∠CED=90°即可证明．②由CD=CE，CM⊥DE于M，推出DM=ME，由∠DCE=90°，推出DM=ME=CM，可得AE=AD+DE=BE+2CM．本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c得；．解得：，所以抛物线的解析式为y=-0.25x2+1.5x+10；当y=0时，-0.25x2+1.5x+10=0，解得x1=-4，x2=10，所以C点坐标为（10，0）；（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t2+1.5t+10），∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S=S△CDF=S△ODF+S△OCF-S△OCD=×4×t+×10（-0.25t2+1.5t+10）-×4×10，=-1.25t2+9.5t+30．=-1.25（t-3.8）2+48.05，当t=3.8时，S有最大值，最大值为48.05．【解析】（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可求出抛物线解析式，进而可求出点C的坐标；（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t2+1.5t+10），由S四边形=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF计算即可．OCFD本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得出关于t的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．。
浙教版九年级上册数学期中考试试卷及答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．二次函数2(1)2y x =--的顶点坐标是（）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)--D ．(1,2)2．将抛物线22y x =的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（）A ．()2234y x =-+B ．()2243y x =+-C ．()2243y x =-+D ．()2243y x =--3．下列事件中，是必然事件的为（）A ．3天内会下雨B ．打开电视，正在播放广告C ．367人中至少有2人公历生日相同D ．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩4．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的度数之比可能是（）A ．1：2：3：4B ．4：2：1：3C ．4：2：3：1D ．1：3：2：45．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=40°，则∠BOC 的度数为（）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°6．如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，弦CD ⊥AB 于E ，AB=10，CD=8，则OE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 、B 在一个半径为2的圆上，顶点C 、D 在该圆上．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点D 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为（）A B ．23πC ．13πD ．68．已知点C 、D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为1π3，则图中阴影部分的面积为()A ．1π6B ．3π16C ．1π24D ．1π124+9．如图，二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x=1，点B 坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米二、填空题11．某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______．12．关于x 的函数22(2)my m x -=+是二次函数，则m 的值是______．13．某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表：抽查件数50100200300400500次品件数416192430则从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为________．14．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是_____．15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是 CD上一点，且弧DF=弧BC ，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ．若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为______度．16．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x 2+（a ﹣3）x+3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是_______________________．三、解答题17．已知二次函数223y x x =++（1）求函数图象的对称轴；（2）求函数图象的顶点坐标．18．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值．（2）若平行于墙的一边长不小于8米，当x 取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？19．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A 、B 平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．20．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，AB ＝DC ．求证：AC ＝BD ．21．如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求ABC ∆的面积．22．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.(1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；(3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A ，B 两种营销方案.方案A ：每件商品涨价不超过5元；方案B ：每件商品的利润至少为16元.请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.23．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于点D ，∠BAE 与∠CAD 相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由24．如图，已知O 是Rt ABC 的外接圆，点D 是O 上的一个动点，且C ，D 位于AB 的两侧，联结AD ，BD ，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．延长CE 交O 于点F ，CA ，FD 的延长线交于点P ．求证：（1） AF DC =．（2）PAD △是等腰三角形．参考答案1．A【解析】【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【详解】解：二次函数y=（x-1）2-2的顶点坐标是（1，-2）．故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k 中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．2．D【解析】【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（4，-3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=2（x-4）2-3．故选：D．【点睛】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．熟记平移规则也是解题的关键．3．C【解析】【详解】试题分析：必然事件是一定能够发生的事件，选项A、B、D的结果是不确定的，是随机事件；选项C，一年最多有366天，所以367人中至少有2人公历生日相同是确定能够发生的，是必然事件，故答案选C.考点：必然事件.4．B【解析】【分析】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．【详解】解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．故选B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．5．D【解析】【详解】解：∵∠BOC、∠A是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOC=2∠A=80°；故选D．6．B【解析】【分析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出OE即可．【详解】连接OC．∵直径AB=10，∴OC=5．∵CD⊥AB，AB为直径，∴CD=2CE=8，∠OEC=90°，∴CE=4，由勾股定理得：OE ==3．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出CE 的长是解题的关键．7．A 【解析】【分析】作辅助线求出D AB '∠的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式即可求解.【详解】分别连接OA 、OB 、O D ¢、OC 、O C '、AC 、A C '，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60 ，同理可得：∠OA D ¢=60 ，∴∠D ¢AB=120 ，∵∠DAB=90 ，∴∠D ¢AD=30 ，由旋转变换的性质可知旋转角为30 ，∵AB=BC=2，∠ABC=90 ，∴=∴点C 运动的路线长为301803π⨯=，故选：A.【点睛】此题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定及性质，综合掌握各知识点是解题的关键.8．A 【解析】【详解】连接CO DO 、和CD ，如下图所示，C D ，是以AB 为直径的半圆上的三等分点，弧CD 的长为1π3，60COD ∴∠=︒，圆的半周长13ππ3r π==⨯=，1r ∴=，ACD 的面积等于OCD 的面积，∴S阴影=S扇形OCD 260π1π3606⨯==．故选A ．9．B 【解析】【详解】解：∵对称轴为x=1，∴bx 12a=-=，b 2a -=，2a b 0+=．故结论①正确，符合题意．∵点B 坐标为（－1，0），∴当x=－2时，4a －2b ＋c ＜0，故结论②正确，符合题意．∵图象开口向下，∴a ＜0．∵图象与y 轴交于正半轴上，∴c ＞0．∴ac ＜0，故结论③错误，不符合题意．∵对称轴为x=1，点B 坐标为（－1，0），∴A 点坐标为：（3，0）．∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3．故结论④错误，不符合题意．故选B ．10．C 【解析】【详解】试题解析：∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6，∴当t=1时，小球距离地面高度最大，∴h=-5×（1-1）2+6=6米，故选C ．考点：二次函数的应用．11．112【解析】【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，所以黄灯的概率是故答案是：11212．2【解析】【分析】由题意根据二次函数的定义得出m+2≠0且m 2-2=2，进行分析即可求出.【详解】解：∵关于x 的函数22(2)m y m x -=+是二次函数，∴m+2≠0且m 2-2=2，解得：m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查解不等式以及解一元二次方程和二次函数的定义，能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m 2-2=2是解答此题的关键．13．0.06【解析】【分析】先计算抽查总体数河次品件数，再由概率公式计算即可.【详解】解：抽查总数m=50+100+200+300+400+500=1550，次品件数n=0+4+16+19+24+30=93，则P(抽到次品)=930.061550=.【点睛】本题考查了运用概率公式求解概率.14．36°【解析】【分析】先利用圆周角定理得到2108AOB ACB ∠=∠=︒然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算ABO ∠的度数．【详解】根据已知条件得，2254108AOB ACB ==⨯︒=︒∠∠，∵OA OB =，∴ABO BAO ∠=∠,∴11(180)(180108)3622ABO AOB =︒-=︒-︒=︒∠∠，故答案为：36︒．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用圆周角定理．15．50【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝105°，∴∠ADC ＝180°﹣∠ABC ＝180°﹣105°＝75°，∵ DFBC =，∠BAC ＝25°，∴∠DCE ＝∠BAC ＝25°，∴∠E ＝∠ADC ﹣∠DCE ＝75°﹣25°＝50°，故答案为：50．【点睛】本题考查了圆内接四边形的问题，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质是解题的关键．16．﹣1≤a ＜﹣12或a=3﹣【解析】【分析】根据题意，当二次函数顶点在x 轴下方或当二次函数的顶点在x 轴上时，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答．【详解】依题意，应分为两种情况讨论，①当二次函数顶点在x 轴下方，若当x=1时，y ＜0且当x=2时，y≥0，即133042330a a +-+⎧⎨+-+≥⎩（）＜（），解得此不等式组无解；若当x=2时，y ＜0且当x=1时，y≥0，即133042330a a +-+≥⎧⎨+-+⎩（）（）＜，解得：﹣1≤a 12-＜；②当二次函数的顶点在x 轴上时，△=0，即（a ﹣3）2﹣12=0，解得：为x 32a -=-，可知132a -≤-≤2，故a=3﹣故答案为﹣1≤a 12-＜或a=3﹣【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数对称轴的确定方法，一元二次方程的根的判别式，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键．17．（1）直线1x =-；（2）()1,2-【解析】【分析】（1）把二次函数的一般式用配方法转化为顶点式，即可写出函数图象的对称轴；（2）根据二次函数的顶点式，即可写出函数图象的顶点坐标【详解】解：（1）∵y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴方程为x=-1；（2）∵y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（-1，2）；【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握把一般式化成顶点式的方法是解题的关键18．（1）12x =；（2）当152x =时，苗圃园的面积有最大值，最大值是2252平方米．【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；（2）先根据题意求出x 的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）依题意可列方程()30272-=x x ，即215360x x -+=．解得13x =，212x =．当3x =时，3022418x -=>，故舍去；当12x =时，302618x -=<，12x ∴=．（2）依题意，得830218x ≤-≤，解得611x ≤≤．面积()()215225302261122S x x x x ⎛⎫=-=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当152x =时，S 有最大值，2252S =最大；答：当152x =时，苗圃园的面积有最大值，最大值是2252平方米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用及性质，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键．19．（1）甲获胜的概率为13；（2）不公平，理由见解析．【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为偶数情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）分别求得甲、乙两人获胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．【详解】解：（1）画树状图得：共有6种等可能的结果，两数之和为偶数的有2种情况；∴甲获胜的概率为：2163=；（2）不公平．理由： 数字之和为奇数的有4种情况，P ∴（乙获胜）4263==，P ∴（甲)P ≠（乙)，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题的关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．20．见解析【解析】【分析】由等弦所对的弧相等得 AB CD =，由等量代换得 ABC BCD=，最后由等弧所对的弦相等即可得出结论．【详解】证明：∵AB ＝DC ，∴ AB CD =，∴ AB BCCD BC +=+，即 ABC BCD =，∴AC ＝BD ．【点睛】本题考查了圆的弧、弦、圆周角之间的关系，熟练等弧对等弦是解题的关键．21．见解析【解析】【分析】（1）二次函数图象经过A （2，0）、B （0，-6）两点，两点代入y=-12x 2+bx+c ，算出b 和c ，即可得解析式；（2）先求出对称轴方程，写出C 点的坐标，计算出AC ，然后由面积公式计算值．【详解】（1）把()2,0A ，()0,6B -代入212y x bx c =-++得2206b c c -++=⎧⎨=-⎩，解得46b c =⎧⎨=-⎩.∴这个二次函数解析式为21462y x x =-+-.（2）∵抛物线对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，∴C 的坐标为()4,0，∴422AC OC OA =-=-=，∴1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=.【点睛】本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．22．（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．（3）方案B 最大利润更高【解析】【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；（2）利用二次函数的性质得出销售单价；（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．【详解】解：（1）根据题意得：252025010w x x =+--（）（），即：2210200125010102250025w x x x x =-++=--+≤≤（）（），故答案为：210102250025w x x =--+≤≤（）（）；（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，当x ＝2001022(10)b a -=-=⨯-时，销售利润最大此时销售单价为：10+25=35（元）答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．（3）由（2）可知，抛物线对称轴是直线x=10，开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，对称轴右侧w 随x 的增大而减小方案A ：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5当x=5时，利润最大,最大利润为w=-10×52+200×5+1250=2000（元），方案B ：根据题意得，25+x-20≥16，解得：x≥11则11≤x≤25，故当x=11时，利润最大，最大利润为w=-10×112+200×11+1250=2240（元），∵2240＞2000，∴综上所述，方案B 最大利润更高．23．∠BAE=∠CAD，证明见解析.【解析】【分析】根据AE是⊙O的直径，得出∠BAE+∠BEA=90°，再根据AD⊥BC，得出∠CAD+∠ACB=90°，最后根据同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠ACB，即可得出答案．【详解】∠BAE=∠CAD理由：连接EB，∵AB AB，∴∠C=∠E∵AE是直径，∴∠ABE=90°∴∠BAE+∠E=90°，∵AD⊥BC于点D∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°∴∠BAE=∠CAD.∴∠BAE与∠CAD相等.【点睛】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得到相等的角，根据等角的余角相等以及作出直径所对圆周角的辅助线是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接BF ，根据已知条件得到∠DBF+∠BFC=90°，得到∠DBF=∠ABC ，求得∠DBC=∠ABF ，于是得到结论；（2）由（1）得 AF DC =，求得∠F=∠ACF ，得到∠PDA=∠PAD ，于是得到结论．【详解】解：证明：（1）连接BF ，∵CE ⊥BD ，∴∠DBF+∠BFC=90°，又∵在Rt △ABC 中∠ABC+∠BAC=90°，∠BFC=∠BAC ，∴∠DBF=∠ABC ，∴∠DBF+∠ABD=∠ABC+∠ABD ，即∠DBC=∠ABF ，∴ AF DC =；（2）由（1）得 AF DC =，∴∠PFC=∠ACF ，∵∠PDA=∠ACF ，∠PAD=∠PFC ，∴∠PDA=∠PAD ，∴△PAD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．。
浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷 (1)附答案解析
B. 中， 为中线，E 为 的面积为〔 〕
C. 中点，连结
D. 的面积为 ，
A.
B.
C.
9.在以下命题中正确的命题有〔 〕
①面积相等的三角形全等;
②有两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等;
③等腰三角形两腰上的中线相等;
④直角三角形三边为
，那么
A.
B.
C.
10.如图，在
中，
，点 D 在 上，且
∵
，
∴△ABD 是等腰三角形，∠BAD=∠B=36°，
∴∠ADE=72°，
∵
，
∴△ADE 是等腰三角形，∠AED=∠ADE=72°，∠DAE=36°，
∴∠CAE=∠AED-∠C=72°-36°=36°，
∴∠CAE=∠C，∠BAE=∠CAD=72°，
∴AE=EC，∠BAE=∠AEB=72°，∠ADE=∠CAD=72°，
∠16A.【CE答=1案80】°-904°；-603°=30°，然后根据直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.
【解析】【解答】解：〔1〕∵△ADE 与△ABC 都是等边三角形， ∴AC=AB=BC=6，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°. ∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD. 即∠CAE=∠BAD. 在△CAE 和△BAD 中，
那么
的大小为〔 〕
D.
D. 点 E 在 的延长线上，且
A.
B.
二、填空题
11.“x 为负数〞用不等式表示为________.
12.如图，在
中，
________.
C.
D.
，点 D 在 中垂线上，那么
的度数为
13.命题“对顶角相等〞的逆命题是
浙教版九年级上册数学期中考试试卷及答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下面四组线段中，成比例的是（）A ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝4B ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5C ．a ＝4，b ＝6，c ＝8，d ＝10D ．3,a c b c ====2．已知OA=4，以O 为圆心，r 为半径作⊙O ．若使点A 在⊙O 内，则r 的值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．53．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则cosB 的值为（）A ．34B ．43C ．35D ．454．育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：抽查小麦粒数1005001000200030004000发芽粒数9548696819402907a则a 的值最有可能是（）A ．3680B ．3720C ．3880D ．39605．有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是90°；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．如图，在△ABC 中，EF//BC ，EG//AB ，则下列式子一定正确的是（）A ．AE EF EC CD =B ．EF EG CD AB =C ．CG AF BC AD =D ．AF BG DF GC=7．如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BE=2，EF ⊥BC ．若四边形EFDC 与四边形BEFA 相似而不全等，则CE=（）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.58．如图，四边形ABCD 是半径为2的O 的内接四边形，连接,OA OC ．若:4:3AOC ABC ∠∠=，则 AC 的长为（）A ．35πB ．45πC ．65πD ．85π9．已知点G 是 ABC 的重心，连结BG ，过点G 作GD ∥AB 交BC 于点D ，若 BDG 的面积为1，则 ABC 的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1210．二次函数y ＝ax 2+2ax+c （a ＜0）的图象过A(﹣4，y 1)，B(﹣3，y 2)，C(0，y 3)，D(3，y 4)四个点，下列说法一定正确的是（）A ．若y 1⋅y 2＜0，则y 3⋅y 4＞0B ．若y 1⋅y 3＜0，则y 2⋅y 4＜0C ．若y 2⋅y 4＞0，则y 1⋅y 3＞0D ．若y 3⋅y 4＞0，则y 1⋅y 2＞0二、填空题11．将二次函数y ＝2x 2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为__________．12．如图，平行于BC的直线DE把 ABC分成面积相等的两部分，DE＝2，则BC的值为__________．13．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为_______．14．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．15．如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆于点Q，连结AQ，过点P作PS∥AQ交该半圆于点S，连结SB．当 PSB是以PS为腰的等腰三角形时，APAB为_________．16．如图，在菱形ABCD中，tan∠DAB＝43，AB＝3，点P为边AB上一个动点，延长BA到点Q，使AQ＝2AP，且CQ、DP相交于点T．当点P从点A开始向右运动到点B时，求点T运动路径的长度为__________．三、解答题17．计算：2sin 60tan 30cos 30tan 45-⋅+ .18．如图， ABC 的顶点坐标分别为A(﹣1，﹣1)，B(﹣3，﹣3)，C(0，﹣3)．（1）画出 ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到的 A 1B 1C ，并写出A 1的坐标；（2）在第一象限的网格内画出 DEF ∽ ABC ， DEF 的面积是6，且D ，E ，F 的横纵坐标均为正整数．19．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i ＝13AB ＝12米，AE ＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3，sin53°≈45，34cos53,tan 5353︒︒≈≈）（1）求点B 距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD 的高度．20．经营者小明在直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求每天所得销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为5元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？21．已知⊙O是 ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，弧AB上一点D满足DB＝DA，连结CD交AB于点E．（1）求∠AED+12∠ABC的值．（2）求证：AC•BC＝CE•CD；（3）连接OE，若∠BOE＝∠BEO，求 BEO与 BED的面积比．22．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．23．如图，AB=AC，AB为⊙O直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c分别与x轴交于点A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，点P(m，0)为线段OB上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点K，交直线BC于点J．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当PJ：JK＝1：2时，求m的值；（3）点Q是直线BC上的一个动点，将点Q向右平移5个单位长度得到点T，若线段QT 与抛物线只有一个公共点，请直接写出点Q的横坐标n的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、1×4＝2×2，故选项符合题意；B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；C3≠故选：A．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．2．D【解析】【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．3．C【解析】【详解】解：根据锐角三角函数的概念得：sinA=BCAB，cosB=BCAB=sinA=35.故选：C.4．C【解析】【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97左右，从而得出答案．【详解】解：95÷100=0.95，486÷500=0.972，968÷1000=0.968，1940÷2000=0.97，2907÷3000=0.969，由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为0.97，所以，a=4000×0.97=3880，所以，a最有可能为3880，故选：C．【点睛】本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解．5．A【解析】【分析】根据半径的定义、三角形的外接圆、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．【详解】解：①半径不是弦，故①错误；②任意三角形都有且只有一个外接圆，故②正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故③错误；④半圆所对的圆周角是90°，故④正确；⑤在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故⑤错误；故正确的有②④，共2个故选：A．【点睛】本题考查了半径的定义、三角形的外接圆、垂径定理的推论、圆周角定理，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．【详解】∵EG//AB，EF//BC，∴AE AF AC FD=，∵AC≠EC∴AE EFEC CD=不成立，∴选项A错误；∵EG//AB，EF//BC，∴EF AECD AC=，EG ECAB AC=，∵AE≠EC，∴EF EGCD AB=不成立，∴选项B错误；∵EG//AB，EF//BC，∴CG CECB CA=DFDA=，∵DF≠AF∴CG AFBC AD=不成立，∴选项C错误；∵EG//AB，EF//BC，∴AF AEDF EC=，AE BGEC GC=，∴AF BG DF GC=，∴选项D正确；故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．7．D【解析】【分析】可设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】设CE=x．∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，∴AB CE BE EF=．∵AB=3，BE=2，EF=AB，∴323x=，解得：x=4.5．故选D．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与四边形BEFA相似得到比例式．8．D【解析】【分析】设4AOC x ∠=，则3ABC x =∠，122ADC AOC x ∠=∠=，利用圆内接四边形的性质得180ADC ABC ∠+∠=︒，进而可求得144AOC ∠=︒，最后再结合弧长公式进行解答即可．【详解】解：∵:4:3AOC ABC ∠∠=，∴设4AOC x ∠=，则3ABC x =∠，∴122ADC AOC x ∠=∠=，四边形ABCD 内接于O ，180ADC ABC ∴∠+∠=︒，23180x x ∴+=︒，解得：36x =︒，∴4144AOC x ∠==︒，又O 的半径为2，∴ AC 的长为144281805ππ︒⨯=︒．故选：D ．9．C【解析】连接CG 并延长交AB 于E ，如图，利用三角形重心性质得到CG ＝2EG ，则利用平行线分线段成比例得到2CD CG BD EG==，再根据三角形面积公式得到S △GDC ＝2S △BDG ＝2，则S △BCG ＝3，接着求出S △BEG ＝32，从而得到S △BCE ＝92，然后利用CE 为中线得到S △ABC ．【详解】解：连接CG 并延长交AB 于E ，如图，∵点G 是△ABC 的重心，∴CG ＝2EG ，∵DG ∥AB ，∴2CD CG BD EG==，∴S △GDC ＝2S △BDG ＝2，∴S △BCG ＝1+2＝3，而EG＝12 CG，∴S△BEG ＝12S△BCG＝32，∴S△BCE ＝32+3＝92，∵CE为中线，∴S△ABC ＝2S△BCE＝2×92＝9．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．10．D【解析】观察图象可知，y3＞y2＞y1＞y4，再结合题目一一判断即可．【详解】解：如图，由题意对称轴为直线x＝﹣1，观察图象可知，y3＞y2＞y1＞y4，若y1⋅y2＜0，则y3⋅y4＜0，选项A不符合题意，若y1⋅y3＜0，则y2⋅y4＞0或y2⋅y4＜0，选项B不符合题意，若y 2⋅y 4＞0，则y 1⋅y 3＜0或y 1⋅y 3＞0，选项C 不符合题意，若y 3⋅y 4＞0，则y 1⋅y 2＞0，选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．11．y ＝2（x ﹣2）2﹣3【解析】【分析】直接利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减，进而分析得出答案．【解答】解：将二次函数y ＝2x 2的图象先向右平移2个单位，得到y ＝2（x ﹣2）2，再向下平移3个单位，则所得图象的函数解析式为：y ＝2（x ﹣2）2﹣3．故答案为：y ＝2（x ﹣2）2﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．12．【解析】【分析】由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质结合S △ADE ＝S 四边形BCED ，可得出2AD DE AB BC ==，此题得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2ADE ABC S DE BC S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵S △ADE ＝S 四边形BCED ，∴2DE BC =，∵DE＝2，∴BC＝，故答案为：．13．54°【解析】如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．证明当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，求出∠P′BC可得结论．【详解】解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，∵EF⊥BC，∴B，C关于EF对称，∴PB＝PC，∵PA+PB＝PA+PC≥AC，∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，∵ABCDE是正五边形，∴BA＝BC，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∵P′B＝CP′，∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，∵∠EFB＝90°，∴∠BP′F＝90°﹣∠P′BC＝90°﹣36°＝54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查正多边形，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．14．【解析】【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出BC=OB ﹣OC=2在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，=∴BC=OB ﹣OC=2∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=AC BC =故答案是：【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键．15．1132或【解析】【分析】分两种情况：①PS BS =时，过点S 作ST AB ⊥于T ，则//ST PQ ，根据等腰三角形的性质得ST 平分PSB ∠，PT BT =，根据平行线的性质得AQP QPS PST BST ∠=∠=∠=∠，A SPB B ∠=∠=∠，由圆周角、弧、弦的关系得 AS BD=，可得 AQ BS =，则AQ BS =，证明ΔΔ()APQ BTS AAS =，根据全等三角形的性质得AP BT =，可得AP PT BT ==，即可求解；②PS PB =时，过点S 作SD AB ⊥于D ，连接AS ，根据等角的余角相等可得SAB PSA ∠=∠，则PS PA PB ==，即可求解．【详解】解：①PS BS =时，过点S 作ST AB ⊥于T，PQ AB ⊥ ，//ST PQ ∴，QPS TSP ∴∠=∠，//PS AQ ，QPS AQP ∴∠=∠，A SPB ∠=∠，PS BS = ，ST AB ⊥，ST ∴平分PSB ∠，PT BT =，PST BST ∠=∠，AQP QPS PST BST ∴∠=∠=∠=∠，A SPB B ∠=∠=∠，A B ∠=∠ ，∴ AS BD =，∴ AQ BS =，AQ BS ∴=，在APQ ∆和ΔBTS 中，A BAQP BST AQ BS∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔ()APQ BTS AAS ∴=，AP BP ∴=，PT BT = ，AP PT BT ∴==，∴13AP AB =；②PS PB =时，过点S 作SD AB ⊥于D ，连接AS ，AB Q 为直径，90ASB PSA PSB ∴∠=∠+∠=︒，90SAB B ∴∠+∠=︒，PS PB = ，B PSB ∴∠=∠，SAB PSA ∴∠=∠，PA PS ∴=，PS PA PB ∴==，∴12AP AB =．故答案为：13或12．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，与圆有关的性质，三角形全等，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．16【解析】【分析】连接AT 并延长交CD 于N ，由AP AQ ＝12＝DN CN，可知点N 是CD 上靠近D 的三等分点，点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt △ADH 中，由tan ∠DAB ＝43，AD ＝AB ＝3，可得DH ＝125，AH ＝95，BH ＝AB ﹣AH ＝65，又PT PD ＝34，即得TM ＝95，BM ＝910，AM ＝AB ﹣BM ＝2110，在Rt △ATM 中，用勾股定理即得AT 10．【详解】解：连接AT 并延长交CD 于N ，如图：∵CD ∥BQ ，∴APDN ＝AT NT ＝AQCN ，∴AP AQ ＝12＝DN CN ，∴点N 是CD 上靠近D 的三等分点，∴点T 在线段AN 上运动，当P 从点A 开始向右运动到点B ，即P 与B 重合时，如图：点T 运动路径即为AT ，过D 作DH ⊥AB 于H ，过T 作TM ⊥AB 于M ，在Rt △ADH 中，tan ∠DAB ＝43，设DH ＝4k ，则AH ＝3k ，AD ＝5k ，∵AD ＝AB ＝3，∴5k ＝3，∴k ＝35，∴DH ＝125，AH ＝95，∴BH＝AB﹣AH＝6 5，∵DTPT＝CDPQ＝APAP AQ+＝13，∴PTPD＝34，∵DH⊥AB，TM⊥AB，∴TM∥DH，∴PTPD＝TMDH＝BMBH，即34＝125TM＝65BM，∴TM＝95，BM＝910，∴AM＝AB﹣BM＝21 10，在Rt△ATM中，AT10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查菱形性质及应用，涉及动点问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数和勾股定理的应用．17．5 4【解析】【分析】分别得出各角的三角函数值，根据实数的运算法则即可得答案.【详解】原式=21⎝⎭=311 42-+=5 4 .18．（1）见解析，A1(2，﹣2)；（2）见解析【解析】（1）按照旋转的性质，作出点A1、B1并连接求解即可；（2）首先求出△ABC 的面积，得ΔΔ2DEF ABCS S =，从而△DEF 与△ABC决问题．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C即为所求，由图象知，A 1的坐标为（2，﹣2）；（2）∵S △ABC ＝12×3×2＝3，S △DEF ＝6，∴ΔΔ2DEF ABCS S =，∴△DEF 与△ABC如图，△DEF即为所求．【点睛】本题主要考查了作图﹣旋转变换，相似三角形的面积比等于相似比的平方以及相似变换，熟是解题的关键．19．（1）点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）广告牌CD 的高约8.4米【解析】【分析】（1）根据坡度的意义，求出30BAM ∠︒＝，再利用直角三角形的边角关系求出答案；（2）在Rt ABM 中求出AM ，进而求出ME ，即BN ，再在Rt BCN 中，得出CN BN ＝，在Rt ADE 中由边角关系求出DE ，最终求出CD ，取近似值得出答案．【详解】解：（1）如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M N 、，由题意可知，45CBN ∠︒＝，53DAE ∠︒＝，i ＝12AB ＝米，24AE ＝米，∵BMi tan BAM AM ∠＝＝，∴30BAM ∠︒＝，∴162BM AB ＝＝（米），即点B 距水平地面AE 的高度为6米；（2）在Rt ABM 中，∴162NE BM AB ＝＝＝（米），2AM AB ＝，∴()24ME AM AE ++＝＝米，∵45CBN ∠︒＝，∴()24CN BN ME ＝＝＝米，∴()30CE CN NE +＝＝米，在Rt ADE 中，53DAE ∠︒＝，24AE ＝米，∴4·5324323DE AE tan ︒≈⨯＝（米），∴CD CE DE-＝3032+-＝2-＝8.4≈（米）答：广告牌CD的高约8.4米．20．（1）y＝﹣10x+400；（2）W＝﹣10x2+500x﹣4000；（3）销售单价定为20元时，所获利润最大，最大利润是2000元【解析】（1）根据“该类型口罩进价每袋为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式；（2）根据销售利润W=（销售单价x-进价）×销售数量进行求解即可得到答案；（3）先求出x的取值范围，然后利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W＝﹣10（x ﹣25）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣15）＝﹣10x+400，∴销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣10x+400；（2）W＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000，∴销售利润W与销售单价x之间的函数关系式W＝﹣10x2+500x﹣4000；（3）根据题意得：10400200105xx-+≥⎧⎨-≥⎩，解得：15≤x≤20，W＝﹣10x2+500x﹣4000＝﹣10（x﹣25）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵15≤x≤20，∴当x＝20时，W最大，最大值为2000，∴销售单价定为20元时，所获利润最大，最大利润是2000元．21．（1）135°；（2）见解析；（3）32BEOBDESS=△△【解析】（1）首先证明12∠ACB+12∠ABC＝45°，由BD＝AD，推出AD BD=，推出∠ACD＝∠BCD，由∠AED＝∠ACD+∠CAE，可得结论；（2）证明△CBE∽△CDA，可得结论；（3）如图，过点B作BT⊥OE交CD于点T，连接OT．想办法证明OT⊥CD，△OET是等腰直角三角形，可得结论．【详解】（1）解：∵BC是直径，∴∠CAB＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴12∠ACB+12∠ABC＝45°，∵BD＝AD，∴AD BD=，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∴∠AED+12∠ABC＝90°+12∠ACB+12∠ABC＝135°；（2）证明：∵AD BD=∴∠ACD＝∠BCE，∵∠CBE＝∠ADC，∴△CBE∽△CDA，∴CB CE CD CA=，∴AC•BC＝CE•CD；（3）解：如图，过点B作BT⊥OE交CD于点T，连接OT．∵BO＝BE，∴BO垂直平分线段OE，TB平分∠ABC，∴TO＝TE，∴TB平分∠OTE，∵CE平分∠ACB，∴∠BTD＝∠TCB+∠TBC＝12（∠ACB+∠ABC）＝45°，∴∠OTE＝90°，∴OT⊥CD，∴CT＝TD，∵BC是直径，∴∠BDT＝90°，∴∠BTD＝∠DBT＝45°，∴BD＝DT＝CT，∵CO＝OB，CT＝TD，∴BD＝2OT，∴DT＝CT＝2ET，∴CE＝3DE，∴S△BEC＝3S△DEB，∵BO＝OC，∴S△BEC＝2S△BEO，∴2S△BEO＝3S△DEB，∴32BEOBDESS △△．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（1）y=-3x2+30x．（2）AB的长为7m．（3）能．最大面积为2003m2．【解析】本题利用矩形面积公式建立函数关系式，A：利用函数关系式在已知函数值的情况下，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制．B：利用函数关系式求函数最大值．【详解】解：（1）y=x（30-3x）,即y=-3x2+30x（2）当y=63时，-3x2+30x=63,解得：x1=3,x2=7当x=3时，30-3x=21>10（不合题意舍去）当x=7时，30-3x=9<10,符合题意所以，当AB的长为7m时，花圃的面积为63（m2）.（3）能.y=-3x2+30x=-3（x-5）2+75由题意：0<30-3x≤10,得≤x<10,又当x>5时y随x的增大而减小所以当x=时面积最大，最大面积为．考点：二次函数的应用.23．（1）相等，理由见解析；（2）24 5【解析】【详解】试题分析：（1）连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE，便可证得DE=DB．（2）由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD．进而求出BE的长．（1）如图，连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD（等腰三角形三线合一），∴弧ED=弧BD，（2）∵AB=5，BD=12BC=3，∠ADB=90°∴AD=4，∵AB=AC=5，∴AC•BE=CB•AD，∴BE=4.8．考点：本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理点评：用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解答本题的关键．24．（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）m的值为2；（3）0＜n≤4或n＝9 4-【解析】【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线，解得b＝﹣3，c＝﹣4，即可求解；（2）先用待定系数法求得直线BC的解析式，再表示出PJ，PK，当PJ：JK＝1：2时，则PJ：PK＝1：3，得到关于m的方程，解得m即可；（3）分当点Q在线段BC上时；当点Q在点B的右侧时；当点Q在点C的左侧时，分别计算即可．【详解】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线，得10 1640b cb c-+=⎧⎨++=⎩，解得34 bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），设直线BC的解析式为：y＝kx﹣4，将B（4，0）代入直线BC，得0＝4k﹣4，解得k＝1，∴直线BC 的解析式为：y ＝x ﹣4，∵P （m ，0），∴J （m ，m ﹣4），K （m ，m 2﹣3m ﹣4），∴PJ ＝0﹣（m ﹣4）＝4﹣m ，PK ＝0﹣（m 2﹣3m ﹣4）＝﹣m 2+3m+4，当PJ ：JK ＝1：2时，则PJ ：PK ＝1：3，∴2434m m m --++＝13，解得m 1＝2，m 2＝4（与A 点重合，舍去），∴m 的值为2；（3）①当点Q 在线段BC 上时，∵Q ，T 的距离为5，而C 、B 的水平距离是4，∴此时只有一个交点，即0＜n≤4，∴线段QT 与抛物线只有一个公共点；②当点Q 在点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点；③当点Q 在点C 的左侧时，∵y ＝x 2﹣3x ﹣4＝y ＝（x ﹣32）2﹣254，∴抛物线的顶点为（32，﹣254），令y ＝x ﹣4＝﹣254，解得x ＝94-，∵32﹣（94-）＝154＜5，∴当n ＝94-时，抛物线和QT 交于抛物线的顶点（32，﹣254），即n ＝94-时，线段QT 与抛物线只有一个公共点，综上，0＜n≤4或n ＝94-．。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级上学期数学期中试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级上学期数学期中试题及答案一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．每题只有一个正确答案） 1. 下面四组线段中，成比例的是（ ） A .a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝4B. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5C. a ＝4，b ＝6，c ＝8，d ＝10D.3,a b c d ====【答案】A 【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A 、1×4＝2×2，故选项符合题意； B 、2×5≠3×4，故选项不符合题意； C 、4×10≠6×8，故选项不符合题意；C ，故选项不符合题意；3≠故选：A ．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．2. 在中，，，以为圆心，为半径作Rt ABC △90ACB ∠=︒6,10AC AB ==C BC C ，则点与的位置关系是（ ） A C A. 点在内 B. 点在外C. 点在上D. 无法确A C A C A C 定 【答案】A 【解析】【分析】利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结BC AC BC 论．【详解】解：中，，，，Rt ABC △90ACB ∠=︒6AC =10AB =，8BC ∴==，6AC BC =<点在内，∴A C 故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．3. 抛物线的顶点坐标为（ ） ()2237y x =-+A. B.()2,7()3,7-C. D.()3,7()3,7-【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的顶点坐标为求解即可．()2y a x h k =-+(),h k 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，()2237y x =-+()3,7故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的()2y a x h k =-+关键．4. 如图，是的直径，弦于点，cm ，cm ，则半径AB O CD AB ⊥E 2BE =8CD =O 为（ ）A. 2cmB. 3cmC. 5cmD. 8cm【答案】C 【解析】【分析】设半径为cm ，则cm ，根据垂径定理得出cm ，根O R (2)OE R =-4CE DE ==据勾股定理得出，代入求出答案即可． 222OC CE OE =+【详解】解：设半径为cm ，则cm ，cm ， O R (2)OE R =-OC R =，cm ，过圆心，AB CD ⊥ 8CD =AB Ocm ，， 4CE DE ∴==90OEC ∠=︒由勾股定理得：， 222OC CE OE =+，2224(2)R R ∴=+-解得：， 5R =即的半径为5cm ， O 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．5. 疫情防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A.B.C.D.13491923【答案】A 【解析】【分析】将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】将三个小区分别记为A 、B 、C ，根据题意列表如下： A B C A （A ，A ） （B ，A ） （C ，A ） B （A ，B ） （B ，B ） （C ，B ） C（A ，C ）（B ，C ）（C ，C ）由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况， 所以他们恰好抽到同一个小区的概率为. 31=93故选：A ．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6. 如图，在△ABC 中，EF//BC ，EG//AB ，则下列式子一定正确的是（ ）A. B.AE EFEC CD =EF EGCD AB =C. D. CG AFBC AD=AF BGDF GC=【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】∵EG//AB，EF//BC ，∴， AE AFAC FD=∵AC≠EC ∴不成立， AE EFEC CD=∴选项A 错误； ∵EG//AB，EF//BC ， ∴，， EF AE CD AC=EG ECAB AC =∵AE≠EC， ∴不成立， EF EGCD AB=∴选项B 错误； ∵EG//AB，EF//BC ， ∴， CG CE CB CA =DFDA=∵DF≠AF ∴不成立， CG AFBC AD=∴选项C 错误； ∵EG//AB，EF//BC ，∴，， AF AE DF EC =AE BGEC GC =∴， AF BGDF GC=∴选项D 正确； 故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．7. 如图，的半径为6，是的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠AOB 与∠BCA O ABC O 互补，则线段AB 的长为（ ）A. B. 3C.D. 6【答案】C 【解析】【分析】如图，过作于，证明，求解，再证明O OG BA ⊥G BG AG =120BOA ∠=︒，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质即可求解．60BOG ∠=︒30°【详解】解：如图，过作于，O OG BA ⊥G即有， 12BG AG AB ==∵， »»BABA =∴， 2BOA BCA ∠=∠∵， 180BOA BCA ∠+∠=︒∴，， 60BCA ∠=︒120BOA ∠=︒∵，， 6OA OB ==OG BA ⊥∴平分，， OG BOA ∠()1180302OAB OBA BOA ∠=∠=︒-∠=︒∴在中，， Rt BOG 132OG OB ==又∵，BG =∴，BG ==∴=2BA BG 故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质30°等知识，掌握垂径定理是解题的关键．8. 已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：2y ax bx c =++y x x L 0 12 34⋯yL 4-1-01-4-⋯点在函数的图象上， 当时， 与的大小()()1122A x y B x y ，，，121234x x <<<<，1y 2y 关系正确的是（ ） A. B.C.D.12y y >12y y <12y y ≥12y y ≤【答案】A 【解析】【分析】先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，结合二次函数图象对称性，得出结论．【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，，2y ax bx c =++()0,4-()1,1-()2,0则有，，0041420a b c a b c a b c ⋅+⋅+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得，，144a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩即二次函数为：， 244y x x =-+-该二次函数开口向下，对称轴为直线，2x =∵， 121234x x <<<<，∴由二次函数对称性得到，， 12y y >故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象对称性是解题的关键． 9. 已知二次函数，点是其图象上()()43y x m x m =+--+()()()122212,,,A x y B x y x x <两点，则（ ）A. 若，则B. 若，则 124x x +>12y y >124x x +<12y y >C. 若，则D. 若，则124x x +>-12y y >124x x +<-12y y <【答案】B 【解析】【分析】可画出抛物线的草图，先根据二次函数的对称性求得对称轴为方程，再根据2x =图象法求解即可． 【详解】解：如图，当和时，， x m =4x m =-+3y =∴二次函数的对称轴为直线， 422m m x -+==∵点是其图象上两点，且抛物线的开口向上，()()()122212,,,A x y B x y x x <∴当即时，点A 到对称轴的距离比点B 离对称轴的距离小， 124x x +>1222x x +>由图象得：， 12y y <当即时，点A 到对称轴的距离比点B 离对称轴的距离大， 124x x +<1222x x +<由图象得：， 12y y >故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解答的关键是根据二次函数的表达式和图象求出对称轴，再利用数形结合思想求解．10. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于O AB C AC AC AB 点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（ ）D CD D O 20BAC =︒∠DCA ∠A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】D 【解析】【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．【详解】解：如图，连接，BC是直径， AB ，90ACB ∴∠=︒，90BAC B ∴∠+∠=︒，20BAC ∠=︒，90902070B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为， AC B ∠ ABC ADC ∠，180ADC B ∴∠+∠=︒，180ADC CDB ∠+∠=︒ ，70B CDB ∴∠=∠=︒．702050DCA CDB BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分）11. 已知线段a ＝4，b ＝16，线段c 是a ，b 的比例中项，那么c 等于___． 【答案】8 【解析】【分析】根据线段比例中项的概念a ：c ＝c ：b ，可得c 2＝ab ＝64，即可求出c 的值． 【详解】解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2＝ab ＝64， 解得：c ＝±8， 又∵线段是正数， ∴c＝8． 故答案为：8．【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知线段比例中项的概念．12. 如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若ABC D E 、AB AC 、DE BC ∥，，则的长为_________．2,4AE AC ==5AB =AD【答案】## 522.5【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式进行求解即可． AD AEAB AC=【详解】解：∵， DE BC ∥∴， AD AEAB AC=∵，，2,4AE AC ==5AB =∴， 254AD =∴，52AD =故答案为：．52【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关键．13. 箱子内有分别标示号码1-6的球，每个号码各2颗，总共12颗．已知小茹先从箱内抽出5颗球且不将球放回箱内，这5颗球的号码分别是1、2、2、3、5．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的机率是_________． 【答案】37【解析】【分析】根据箱内剩下的球中的号码为1，3，4，4，5，6，6和小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的号码是1，3，5，根据概率公式即可得到结论． 【详解】解：∵箱内剩下的球中的号码为1，3，4，4，5，6，6，∴阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的号码是1，3，5，∴与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的机率是， 37故答案为：． 37【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．14. 如图，在矩形中，，对角线的交点为，分别以为圆ABCD 4AB =,AC BD O A D 、心，的长为半径画弧，恰好经过点，则图中阴影部分的面积为___________（结果AB O 保留）．π【答案】 163π-【解析】【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定与性质可得，AOB COD S S =扇形扇形，，进而可求得阴影面积． 14AOD ABCD S S =矩形60BAO CDO ∠=∠=︒【详解】解：∵四边形是矩形，ABCD ∴，，，， OA OC OB OD ===4AB CD ==14AOD ABCD S S =矩形90ABC ∠=︒∵对角线的交点为，分别以为圆心，的长为半径画弧，恰好经过点,AC BD O A D 、AB ，O ∴、边长为4的等边三角形， AOB COD △∴，， AOB COD S S =扇形扇形60BAO CDO ∠=∠=︒∴在中，， Rt ABC 30ACB ∠=︒则， 28AC AB ==∴BC ===∴图中阴影部分的面积为AOD ABCD AOB COD S S S S --- 矩形扇形扇形260414243604π⋅=⨯-⨯-⨯⨯， 163π=-故答案为：． 163π-【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、30︒扇形面积公式，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形找的阴影面积的等量关系并正确求解是解答的关键．15. 抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则不等式2y x bx c =++x 5-的解集是__________．210cx bx ++>【答案】 115x -<<【解析】【分析】根据抛物线与x 轴交点的横坐标以及对应方程的实数根求得c 、b ，进而可求得方程的实数根，利用抛物线与x 轴交点的横坐标，结合开口210cx bx ++=21y cx bx =++方向即可求解．【详解】解：∵抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1， 2y x bx c =++x 5-∴方程的两个实数根为和1， 20x bx c ++=5-∴，，即， 515c =-⨯=-514b -=-+=-4b =∴方程的两个实数根为和1，25410x x -++=15-∴抛物线的开口向下，且与x 轴交点的横坐标为和1， 2541y x x =-++15-∴不等式的解集是， 25410-++>x x 115x -<<故答案为：． 115x -<<【点睛】本题考查二次函数图象与x 轴的交点问题、解一元二次方程、二次函数与不等式的关系，能根据二次函数的图象与性质求解不等式的解集是解答的关键．16. 如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长O BD CE F 115DFC ∠=︒ 4BCDE =至点，连接，设，则的取值范围是_______________．EC A DA A α∠=α【答案】 013α︒<<︒【解析】【分析】连接，根据可得到，再根据三角形的内角和CD 4BCDE =4BDC DCE ∠=∠定理求得，然后根据三角形的外角性质得到可得到结论． 13DCE ∠=︒A DCE ∠<∠【详解】解：连接，CD∵， 4BCDE =∴，4BDC DCE ∠=∠∵，， 180BDC DCE DFC ∠+∠+∠=︒115DFC ∠=︒∴， 4115180DCE DCE ∠+∠+︒=︒∴，13DCE ∠=︒∵是的一个外角， DCE ∠DCA ∴， A DCE ∠<∠∴， 013α︒<<︒故答案为：．013α︒<<︒【点睛】本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键．三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答需要写出必要的过程和文字说明） 17. 已知二次函数，当时，求函数的最小值和最大值．圆圆的解22y x x =-12x -≤≤y 答过程如下：解：当时，；当时，；所以函数的最小值为0，最=1x -3y =2x =0y =y 大值为3．圆圆的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程不正确，正确的解答过程见解析 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断圆圆的求解过程是否正确，然后根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：圆圆的解答过程不正确．正确的解答过程为：根据题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 22y x x =-1x =∵，12x -≤≤∴当时，y 取得最小值，此时， 1x =121y =-=-当时，y 取得最大值，此时， =1x -123=+=y ∴当时，函数的最小值为，最大值为3．12x -≤≤y 1-【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答的关键是熟练掌握二次函数性质，特别要注意x 的取值范围．18. 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．ABC（1）将绕点A 顺时针方向旋转得到(点对应点)， 画出ABC 90 AB C ''△B B 'AB C ''△．（2）请找出过三点的圆的圆心， 标明圆心的位置． B C C '，，O 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画出对应的图形即可得到答案；（2）过三点的圆的圆心，就是到三点距离相等的点，也就是线段B C C '，，B C C '，，和线段的垂直平分线的交点．BC CC '【小问1详解】解：如图所示，即为所求：【小问2详解】BC CC解：作线段和线段的垂直平分线，交点标为点O，点O就是要所求作的点，如图所示：【点睛】本题主要考查了旋转作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19. 在一个不透明的口袋里装有分别标注1、2的两个小球（小球除数字外，其余都相同），另有背面完全一样、正面分别写有3、4、5的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则：（1）共有多少种结果？（请用列表或者画树状图的方法表示说明）（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：①若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢； ②若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢．小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）小方应选择规则①，理由见解析 【解析】【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果．（2）从表格中找到和为奇数与积为奇数的结果数，根据概率公式求解即可得出答案． 【小问1详解】 有6种等可能结果， 列表如下： 123()1,3 ()2,34()1,4()2,45()1,5()2,5【小问2详解】小方应选择规则①，理由如下：由表知，共有6种等可能结果，其中和为奇数的有3种结果，积为奇数的有2种结果，所以按规则①小方获胜的概率为， 3162=按规则②小方获胜的概率为，2163=∵， 1123>∴小方应选择规则①．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件A 或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A 或的概n B m B 率．20. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 5m 3处．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为； 24852793y x x =-++（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析． 【解析】【分析】（1）根据题意设出y 关于x 的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【小问1详解】解∶∵当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处， ∴设， ()233y a x =-+∵经过点(0， )， ()233y a x =-+53∴()250333a =-+解得∶ 4,27a =-∴， 224485(3)3272793y x x x =--+=-++∴y 关于x 的函数表达式为； 24852793y x x =-++【小问2详解】解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 24852793y x x =-++248502793x x -++=∴， 2424450x x --=解得∶， (舍去)，1152x =232x =-∵>6.70， 152∴该女生在此项考试中是得满分．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．21. 如图，AB 是的直径，四边形ABCD 内接于，OD 交AC 于点E ，AD=CD ．O O（1）求证：；//OD BC （2）若，，求BC 的长． 10AC =4DE =【答案】（1）证明见解析；（2） 94BC =【解析】【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对OD AC ⊥90AEO ∠=︒的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；90ACB ∠=︒AEO ACB ∠=∠（2）设半径为r ，再根据勾股定理列出方程求出r ，从而求出直径AB 的值，再次根据勾股定理可求出BC 即可．【详解】解：（1），AD DC = ∴= AD DC又为半径，OD ，OD AC ∴⊥90AEO ∠=︒为直径， AB90ACB ∴∠=︒，AEO ACB ∴∠=∠//OD BC ∴（2）设圆的半径为r，，OD AC ⊥ 10AC =5AE EC ∴==，4DE =∵4EO r ∴=-在中， Rt AEO △222AE EO AO +=即，所以， ()2254r r +-=418r =98OE ∴=，O 是AC ，AB 的中点E ，12OE BC ∴=94BC ∴=【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键． 22. 已知二次函数． 221y x ax a =-+-（1）若图象过点，求抛物线顶点坐标； ()1,1-（2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值；a （3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：()()1122,,,A x y B x y 121x x +=-． 1252y y +>【答案】（1）()1,1-（2（3）见解析 【解析】【分析】（1）把代入求出a 值，从而得到解析式，再把解析式()1,1-221y x ax a =-+-化成顶点式即可得出答案；（2）根据图象与坐标轴有两个交点，则图象与x 轴只有一个交点，所以，求解即可；()()224110a a ∆=--⨯⨯-=（3）把分别代入得，()()1122,,,A x y B x y 221y x ax a =-+-211121y x ax a =-+-，则，再根据222221y x ax a =-+-()22121212222y y x x a x x a +=+-++-121x x +=-，所以，根据二次函数的性质即可得出结论． 22121115223222y y x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭【小问1详解】解：把代入得 ()1,1-221y x ax a =-+-，1121a a -=-+-解得：，1a =∴，()22211y x x x =-=--∴抛物线顶点坐标为；()1,1-【小问2详解】解：∵图象与坐标轴有两个交点，∴与x 轴只有一个交点，221y x ax a =-+-∴， ()()224110a a ∆=--⨯⨯-=解得：； a =【小问3详解】证明：把分别代入得()()1122,,,A x y B x y 221y x ax a =-+-，，211121y x ax a =-+-222221y x ax a =-+-∴， ()22121212222y y x x a x x a +=+-++-∵，121x x +=-∴，211x x =--∴， ()()122221211111512122223222y y x x a a x x x ⎛⎫+=+---⨯-+-=++=++ ⎪⎝⎭∵，20>∴抛物线开口向上，∴当时，有最小值为， 11=2x -12y y +52但是，∵，不同的点，121x x +=-()()1122,,,A x y B x y ∴，12x x ≠∴ 112x ≠-∴． 1252y y +>【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标交点问题，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程关系是解题的关键．23. 已知为的外接圆，．O ABC AB BC =（1）如图1，联结交于点，过作的垂线交延长线于点． OB AC E A CO CO D ①求证：平分；BO ABC ∠②设，请用含的代数式表示；,ACB DAC αβ∠=∠=αβ（2）如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作90ABC ∠=︒F O ,B F AC 关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关ABF △AB ABG GC ,,AG CG BG 系并给予证明．【答案】（1）①见解析；②2βα=（2），证明见解析2222GC GB GA =+【解析】【分析】（1）①证明，可得，即可得证；②首先求()SSS OAB OCB △≌△OBA OBC ∠=∠出，得到，根据等边对等角得到90ACD β∠=︒-90OCB αβ∠=+︒-，，在四边形中，利用90OCB OBC OBA αβ∠=∠=∠=+︒-BAC BCA α∠=∠=ABCD内角和列出关系式，化简即可；（2）猜想，，三者之间的数量关系为：，交于点GA GB GC 2222GC GB GA =+GA O ，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，E DE EC 45BAC BCA ∠=∠=︒得到，，由于与关于对45BEA F BCA ∠=∠=∠=︒45BEC BAC ∠=∠=︒ABG ABE AB 称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用45BGA F ∠=∠=︒GBE GEC 勾股定理可得：，；利用得到222BG BE GE +=222GE BG =(AAS)GBA EBC △≌△，等量代换可得结论．GA EC =【小问1详解】解：①连接，OA 则，OA OB OC ==在和中，OAB OCB ，OA OC OB OB AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，()SSS OAB OCB △≌△∴，即平分；OBA OBC ∠=∠BO ABC∠②∵，，90D Ð=°DAC β∠=∴，90ACD β∠=︒-∴，90OCB αβ∠=+︒-∵，OC OB OA ==∴，90OCB OBC OBA αβ∠=∠=∠=+︒-∵，AB BC =∴，BAC BCA α∠=∠=在四边形中，，ABCD 360ABC BAD BCD D ∠+∠+∠+∠=︒即，()39090360αβαβ+︒-+++︒=︒化简得：；2βα=【小问2详解】，，三者之间的数量关系为：．理由：GA GB GC 2222GC GB GA =+延长交于点，连接，，如图，GA O E BE EC，，90ABC ∠=︒ AB CB =．45BAC BCA ∴∠=∠=︒，．45BEA F BCA ∴∠=∠=∠=︒45BEC BAC ∠=∠=︒．90GEC AEB BEC ∴∠=∠+∠=︒．222GC GE CE ∴=+与关于对称，ABG △ABF △AB ，45BGA F ∴∠=∠=︒，45BGA BEA ∴∠=∠=︒．BG BE ∴=．18090GBE BGA GEB ∴∠=︒-∠-∠=︒．222BG BE GE ∴+=即．222GE BG =，90GBE ABC ∠=∠=︒ ，即．GBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠GBA CBE ∠=∠在和中，GBA EBC，45GAB CBE BGA BEC BA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．(AAS)GBA EBC ∴△≌△．GA EC ∴=．2222GC GB GA ∴=+【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．。
浙江初三初中数学期中考试带答案解析
浙江初三初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.从1－9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（）A．B．C．D．2.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（）A．4B．6C．8D．103.由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当x<3时，y随x的增大而增大4.与形状相同的抛物线解析式为（）A．B．C．D．5.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的一条弦且AB=8，则使△ABE的面积为8的点E共有（）个．A．1B．2C．3D．46.已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．B．C．且D．且7.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为等腰三角形的概率是（）A．B．C．D．8.如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（）A．B．C．8D．109.有一半圆片（其中圆心角∠AED=52°）在平面直角坐标系中，按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴上正半轴上滑动，当∠OAB=n°时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则n为（）A．64B．52C．38D．26二、填空题1.将除颜色外其余均相同的4个红球和2个白球放入一个不透明足够大的盒子内，摇匀后随机摸出一球，则摸出红球的概率为．2.将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．3.某校运动会上，张强同学推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系是，张强同学的最好成绩是米．4.如图，在“世界杯”足球赛中，甲带球向对方球门PQ进攻．当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第__________种射门方式．5.定义符号max{，}的含义为：当≥时max{，}=；当＜时，max{，}=．如：max{1，-5}=1，max{-3，-4}=-3．则max{，}的最小值是________________．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．当EF⊥OA时，此时EF= ．7.（本题8分）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点（-3，）；③在对称轴右侧，y随x增大而；（2）试确定抛物线的解析式．三、解答题1.（本题8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．2.（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，C．D两点在⊙O上，若∠C＝45°．（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．3.（本题8分）如图1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母相同，分别标有字母A、B、C、D．最初，摆成如图2的样子，A．D是黑色，B．C是白色．两次操作后观察卡片的颜色．（如：第一次取出A、第二次取出B，此时卡片的颜色变成）（1）求取四张卡片变成相同颜色的概率；（2）求四张卡片变成两黑两白、并恰好形成各自颜色的矩形的概率．4.（本题10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？5.（本题12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）设直线与y轴的交点是D，在线段AD上任意取一点E（不与A、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F，试判断△BEF的形状，并说明理由．6.（本题12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：2（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足．①用含的代数式表示；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值．7.（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；（3）已知一定点M（-2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．浙江初三初中数学期中考试答案及解析一、选择题1.从1－9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】1～9这九个自然数中，是2的倍数的数有：2、4、6、8，共4个，∴从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是：．故选B．【考点】概率公式．2.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（）A．4B．6C．8D．10【答案】C．【解析】连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，OE=3，∴CE=2，在Rt△AOE中，AE= ==4，∴AB=2AE=8，故选C．【考点】1．垂径定理；2．勾股定理．3.由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当x<3时，y随x的增大而增大【答案】C．【解析】由二次函数，可知：A．∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；C．其最小值为1，故此选项正确；D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选C．【考点】二次函数的性质．4.与形状相同的抛物线解析式为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】中，a=2．故选D．【考点】待定系数法求二次函数解析式．5.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的一条弦且AB=8，则使△ABE的面积为8的点E共有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C．=×AB×h=8，可得：h=2，弦心距=【解析】过圆心向弦AB作垂线，再连接半径，设△ABE的高为h，S△ABC=3，∵3﹣2=1，故过圆心向AB 所在的半圆作弦心距为1的弦与⊙O 的两个点符合要求；∵3+2=5，故将弦心距AB 延长与⊙O 相交，交点也符合要求，故符合要求的点由3个．故选C ． 【考点】1．垂径定理；2．勾股定理；3．动点型．6.已知函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．且D ．且【答案】B ．【解析】①当k ﹣3≠0时，，△==4﹣4（k ﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4； ②当k ﹣3=0时，y=2x+1，与X 轴有交点． 故选B ．【考点】1．抛物线与x 轴的交点；2．根的判别式；3．一次函数的性质．7.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的格点中任取一点C ，使△ABC 为等腰三角形的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】如图，C 1，C 2，C 3，C 4，C 5均可与点A 和B 组成等腰三角形．P=，故选A ．【考点】1．概率公式；2．网格型．8.如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．B ．C ．8D ．10【答案】B ．【解析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE=（8×2﹣4）=×12=6，OE=6﹣4=2，在Rt △OEB 中，根据勾股定理可得：OE 2+BE 2=OB 2，代入可求得BE=，∴AB=．故选B．【考点】1．垂径定理；2．翻折变换（折叠问题）．9.有一半圆片（其中圆心角∠AED=52°）在平面直角坐标系中，按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴上正半轴上滑动，当∠OAB=n°时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则n为（）A．64B．52C．38D．26【答案】D．【解析】连结OE、OD，如图1，∵OD≤OE+ED，∴当点O、E、D共线时OD最长，∵AB为半圆的直径，而∠AOB=90°，∴点O在⊙E上，即OD为直径时，OD最大，如图2，∵EA=EO，∴∠AOE=∠EAO=n°，而∠AED=∠AOE+∠EAO，∴2n°=52°，∴n=26．故选D．【考点】圆周角定理．二、填空题1.将除颜色外其余均相同的4个红球和2个白球放入一个不透明足够大的盒子内，摇匀后随机摸出一球，则摸出红球的概率为．【答案】．【解析】∵除颜色外其余均相同的4个红球和2个白球，∴摸出红球的概率为：=．故答案为：．【考点】概率公式．2.将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_______．【答案】或．【解析】=，根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：，将顶点式展开得，．故答案为：或．【考点】1．二次函数图象与几何变换；2．压轴题；3．几何变换．3.某校运动会上，张强同学推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系是，张强同学的最好成绩是米．【答案】10米．【解析】令y=0，∴=0，∴，∴，∴，（舍去），∴小林这次铅球推出的距离是10米．故答案为：10米．【考点】1．二次函数的应用；2．应用题．4.如图，在“世界杯”足球赛中，甲带球向对方球门PQ进攻．当他带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第__________种射门方式．【答案】二．【解析】设AP与圆的交点是C，连接CQ，则∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B，所以∠B＞∠A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：二．【考点】圆周角定理．5.定义符号max{，}的含义为：当≥时max{，}=；当＜时，max{，}=．如：max{1，-5}=1，max{-3，-4}=-3．则max{，}的最小值是________________．【答案】．【解析】当时，解得，，如图，当或时，max{，}=，此时函数值；当时，max{，}=，此时函数值，∴当x=时，函数有最小值为．故答案为：．【考点】1．新定义；2．二次函数的性质；3．二次函数的最值．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．当EF⊥OA时，此时EF= ．【答案】．【解析】连接AE、OD，作AB⊥x轴于B，OA与EF垂直于C，如图1，∵A（4，3），∴OA==5，∵∠EOF=90°，∴EF为⊙D的直径，∵EF⊥OA，∴弧EO=弧EA，CO=AC=OA=，∴EO=EA，设OE=t，则AE=t，BE=4﹣t，在Rt△ABE中，AB=3，∵，∴，解得t=，在Rt△OEC中，CE===，在Rt△OCD中，设⊙D的半径为r，则OD=r，CD=r﹣，∵，∴，解得r=，∴EF=2r=；故答案为：．【考点】圆的综合题．7.（本题8分）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是和；②抛物线经过点（-3，）；③在对称轴右侧，y随x增大而；（2）试确定抛物线的解析式．【答案】（1）①（-2，0），（1，0）；②8；③增大；（2）．【解析】（1）①由表格可知：x=﹣2及1时，y的值为0，从而确定出抛物线与x轴的交点坐标；②由x=﹣1及x=0时的函数值y相等，x=﹣2及1时的函数值也相等，可得抛物线的对称轴为x=﹣0.5，由函数的对称性可得x=2及x=﹣3时的函数值相等，故由x=2对应的函数值可得出x=﹣3所对应的函数值，从而得出正确答案；③由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧为增函数，故在对称轴右侧，y随x的增大而增大；（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（﹣2，0），（1，0），可设出抛物线的两根式方程为y=a（x+2）（x﹣1），除去与x轴的交点，在表格中再找出一个点坐标，代入所设的解析式即可求出a的值，进而确定出函数解析式．试题解析：（1）①（﹣2，0），（1，0）；②8；③增大；（2）依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣1），由点（0，﹣4）在函数图象上，代入得﹣4=a（0+2）（0﹣1），解得：a=2，∴y=2（x+2）（x﹣1），即所求抛物线解析式为．【考点】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．抛物线与x轴的交点．三、解答题1.（本题8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【答案】（1）1个；（2）．【解析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．试题解析：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．【考点】1．列表法与树状图法；2．概率公式．2.（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，C．D两点在⊙O上，若∠C＝45°．（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．【答案】（1）45°；（2）3．【解析】（1）求出∠A的度数，继而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度数；（2）连接AC，则可得∠CAB=∠CDB=30°，在Rt△ACB中求出AB，继而可得⊙O的半径．试题解析：（1）∵∠C=45°，∴∠A=∠C=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=45°；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，∴AB=6，∴⊙O的半径为3．【考点】1．圆周角定理；2．等腰直角三角形．3.（本题8分）如图1，在一个不透明的袋子中装有四个球，分别标有字母A、B、C、D，这些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四张正方形卡片，每张卡片两面的字母相同，分别标有字母A、B、C、D．最初，摆成如图2的样子，A．D是黑色，B．C是白色．两次操作后观察卡片的颜色．（如：第一次取出A、第二次取出B，此时卡片的颜色变成）（1）求取四张卡片变成相同颜色的概率；（2）求四张卡片变成两黑两白、并恰好形成各自颜色的矩形的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与四张卡片变成相同颜色的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由（1）中的树状图可求得四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：（1）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，四张卡片变成相同颜色的有4种情况，∴四张卡片变成相同颜色的概率为：=；（2）∵四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的有8种情况，∴四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的概率为：=．【考点】1．列表法与树状图法；2．分类讨论．4.（本题10分）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？【答案】（1）y=150﹣10x（0≤x≤5且x为正整数）；（2）当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，最大利润为1560元．【解析】根据题意可得到函数关系式，并得到x的取值范围．再得到总利润的函数式，两个式子结合起来，可得到定价．试题解析：（1）由题意，y=150﹣10x，0≤x≤5且x为正整数；（2）设每星期的利润为w元，则w=（40+x﹣30）y=（x+10）（150﹣10x）=∵x为非负整数，∴当x=2或3时，利润最大为1560元，又∵销量较大，∴x=2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元．答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为1560元．【考点】1．二次函数的应用；2．一次函数的应用；3．最值问题；4．二次函数的最值．5.（本题12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）设直线与y轴的交点是D，在线段AD上任意取一点E（不与A、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F，试判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】（1）（－1，－4）；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）将抛物线的解析式的一般式转化为顶点式就可以求出抛物线的顶点坐标．（2）连接BE、BF、EF得到△BEF，由抛物线可以得出A（﹣3，0），C（0，3），由直线y=x+3与y轴的交点是D可以求出D（0，3），可以求出∠EAB=∠FAB=45°，根据圆周角定理可以求得∠EAB=∠EFB=∠FAB=∠FEB=45°，从而得出结论．试题解析：（1）∵，∴，∴顶点坐标是（﹣1，﹣4）；（2）△BEF是等腰直角三角形．连接BE、BF、EF得到△BEF．∵与x轴交于A、B两点，∴y=0时，，求得：=﹣3，=1，∴A（﹣3，0）．当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．∵直线y=x+3与y轴的交点是D，∴x=0时，y=3，∴D（0，3），∴OA=OC=OD=3，∴∠EAB=∠FAB=45°，∵∠EAB=∠EFB，∠FAB=∠FEB，∴∠EFB=∠FEB=45°，∴∠EBF=90°，EB=FB，∴△BEF是等腰直角三角形．【考点】1．二次函数综合题；2．二次函数的性质；3．等腰直角三角形；4．圆周角定理；5．探究型．6.（本题12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：2（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足．①用含的代数式表示；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值．【答案】（1）；（2）2.5；（3）①；②．【解析】（1）利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离；（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，字啊利用待定系数法求出函数解析式即可；②由题意可得，扣杀路线在直线上，由①得，，进而利用根的判别式求出a的值，进而求出x的值．试题解析：（1）由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设，将（0，0.25）代入，可得：a=，则，当y=0时，0=，解得：x=或x=（舍去），即乒乓球于端点A的水平距离是2.5m；（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（2.5，0），代入，得，化简得：；②由题意可得，扣杀路线在直线上，由①得，，令，整理得：，当△=时符合题意，解方程得：或，当时，求得，不符合题意，舍去；当时，求得，符合题意．【考点】1．二次函数的应用；2．压轴题．7.（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；（3）已知一定点M（-2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是；（3）存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．【解析】（1）由抛物线经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）首先利用待定系数法求得经过点B和点C的直线的解析式，由题意可得点E的坐标为（0，h），则可求得，然后由二次函数的性质，即可求得△BDE的面积最大；点D的坐标为（，h），则可得S△BDE（3）分三种情况讨论：①若OF=OM；②若OF=MF；③若MF=OM．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴．解得：，∴抛物线的解析式为；（2）∵把x=0代入，得y=6，∴点C的坐标为（0，6）．设经过点B和点C的直线的解析式为，则：，解得：，∴经过点B和点C的直线的解析式为：．∵点E在直线y=h上，∴点E的坐标为（0，h），∴OE=h．∵点D在直线y=h上，∴点D的纵坐标为h．把y=h代入，得．解得x=，∴点D的坐标为（，h），∴DE=，∴S=•OE•DE=•h•=．△BDE∵＜0且0＜h＜6，∴当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是．（3）存在符合题意的直线y=h．设经过点A和点C的直线的解析式为，则：，解得：．故经过点A和点C的直线的解析式为．把y=h代入，得．解得x=，∴点F的坐标为（，h）．在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．①若OF=OM，则=2，整理，得．∵△=﹣4×5×20=﹣256＜0，∴此方程无解，∴OF=OM不成立．②若OF=MF，则=，解得h=4．把y=h=4代入，得，解得x=﹣2或x=1．∵点G在第二象限，∴点G的坐标为（﹣2，4）．③若MF=OM，则=2，解得h=2或h=（不合题意，舍去）．把y=h=2代入，得．解得=，=．∵点G在第二象限，∴点G的坐标为（，2）．综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（﹣2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．【考点】1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．存在型；4．最值问题；5．二次函数的最值；6．压轴题．。
浙江省杭州市西湖区杭州师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
浙江省杭州市西湖区杭州师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．25B ．122．下列函数的图象，一定经过原点的是（A ．21y x =-B ．y =3．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍无法判定（）A ．ACDB ∠=∠B ．ADC ∠4．如图，AB ，AC 是O 的弦，P 不与点B 重合），连接CP ，若A ．75︒A ．14x =-，2x 过点B 作与AC 垂直的直线，交以O 为圆心，OA 长为半径画弧，交A ．12︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒10．如图1为一圆形纸片，A ，B ，C 为圆周上三点，其中AC 为直径，沿弦AB 所在的直线翻折，交直径AC 于点D ，如图2所示，若 110AD =︒，则 BC的度数为（）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒二、填空题13．如图1，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，如图心，半径r 为12m ，点A ，B 果保留π）14．如图，抛物线22y x x c =-++抛物线上，且CD x ∥轴，则15．某超市以每件10不高于21元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量三、作图题17．已知二次函数2=23y x x --．(1)求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x 轴的交点坐标；(2)画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值0y <时，自变量x 的取值范围．四、证明题18．如图，弦DB EC ，的延长相交于圆外一点A ，连结CD，BE ．(1)求证：ACD ABE ∽△△；(2)若5AB =，6AC =，10AE =，求AD 的长．五、问答题19．已知，CD 是ABC 的角平分线，以B 为圆心，BD 为半径画弧交CD 于E ．(1)若40BAC ∠︒=，ACB ∠(2)若43CE DE =，8BC =20．如图，CD 为O 的直径，(1)求C ∠的大小；(2)求阴影部分的面积．21．如图，抛物线y =(1)求m 和b 的值；(2)求点B 的坐标，并结合图象写出不等式(3)点C 是直线AB 上的一个动点，将点与抛物线只有一个公共点，直接写出点22．根据以下素材，探索完成任务．如何设计击球线路的方案(1)若90α∠=︒，BAC ADB ∠=∠，如图2所示．①求BAD ∠的大小：②过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F 使ABE 与CBF V 重合，且2BF =，求圆半径的长．。
浙江省杭州市西湖区丰潭中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
浙江省杭州市西湖区丰潭中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．将抛物线y=3x2平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（．向左平移2个单位．向右平移2个单位．向上平移2个单位．向下平移2个单位．已知扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为（ππA．1.62m B．1.64m C．1.14mA ．a b <B ．a =比较9．下面的三个问题中都有两个变量：①某种商品以每件该商品的销售总额y 与售价x ．②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积边长x ．③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（A ．①②B ．①③10．如图,AB 是半圆的直径,EF 点,90,6,ECF OC ∠︒＝＝10OB =别得出一个结论:甲．QC OC ⊥A ．只有甲正确C ．甲乙都正确二、填空题三、计算题17．已知二次函数()20y axa =¹的图象经过点()1,2-．(1)求a 的值，并写出这个二次函数的表达式．(2)判断该二次函数的图象是否经过点()1,2-，并说明理由．四、证明题18．如图，A ，B 是已知O 上两点．(1)点C 是O 上任意一点（不包括A ，B ），用直尺和圆规作以AB 为底边的所有圆内接等腰ABC ．(2)在（1）的条件下，若O 的半径为4，4AB =，直接写出ACB ∠的度数．五、应用题(1)若点C 在函数图象上，则点C 的坐标可以是下列选项中的②()1,1-；③()2,4；④()3,4-．(2)若函数图象对称轴为直线1x =，点六、问答题20．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，球试验，每次摸出一个球后然后放回摸球的次数n 100150摸出黑球的次数m 3447摸出黑球的频率mn0.340.313(1)根据上表数据，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是(2)估算袋中白球的个数．(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．七、证明题21．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是 AC 上的一点，AG 、DC 的延长线交于点F(1)求证：FGC AGD ∠=∠；(2)若AG CG =， AG 的度数为70︒，求F ∠的度数．八、应用题(1)九、问答题(1)求证：OC 平分ACD ∠．(2)如图2，延长AC ，DB 相交于点E ．①求证：OC BE ∥．②若45CE =，6BD =，求O 的半径．。
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区西溪中学初三数学第一学期期中试卷及解析
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区西溪中学初三数学第一学期期中试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列函数中属于二次函数的是( ) A ．31y x =-B ．21y x =C ．2y ax bx c =++D ．231y x x =+-2．（3分）抛物线2(1)1y x =-+-的顶点坐标是( ) A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)3．（3分）若四边形ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( ) A ．:::1:2:3:4A B C D ∠∠∠∠= B ．:::2:3:1:4A B C D ∠∠∠∠= C ．:::3:1:2:4A B C D ∠∠∠∠=D ．:::4:3:2:1A B C D ∠∠∠∠=4．（3分）某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为( ) A ．23B ．12 C ．13D ．165．（3分）平移抛物线(3)(1)y x x =+-后得到抛物线(1)(3)y x x =+-，则( ) A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位6．（3分）下列命题中正确的有( )①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角． A ．1个B ．2个C ．5个D ．6个7．（3分）如图，A ，B ，C ，D 为O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路线做匀速运动，设运动时间为()t s ．()APB y ∠=︒，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( )A ．B ．C ．D ．8．（3分）如图，将ABC ∆纸片绕点C 顺时针旋转40︒得到△A B C ''，连接AA '，若AC A B ⊥''，则AA B ∠''的度数为( )A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒9．（3分）一张圆心角为45︒的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是( )A ．5:4B ．5:2C 52D 5210．（3分）二次函数2y x bx t =+-图象的对称轴2x =，若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=在15x -<<的范围内有实数解，则t 的取值范围是( ) A ．45t -<B ．43t -<-C ．4t -D ．35t -<<二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
浙江省杭州市西湖区之江实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
浙江省杭州市西湖区之江实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题11．已知线段a ＝4，b ＝16，线段c 是a ，b 的比例中项，那么c 等于___．12．如图，在ABC V 中，点D E 、分别在边AB AC 、的反向延长线上，且DE BC ∥．若2,4AE AC ==，5AB =，则AD 的长为_________．13．箱子内有分别标示号码1-6的球，每个号码各2颗，总共12颗．已知小茹先从箱内抽出5颗球且不将球放回箱内，这5颗球的号码分别是1、2、2、3、5．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的机率是_________． 14．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，对角线,AC BD 的交点为O ，分别以A D 、为圆心，AB 的长为半径画弧，恰好经过点O ，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）．15．抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交点的横坐标为5-和1，则不等式210cx bx ++>的解集是__________．16．如图，在O e 中，弦BD 与弦CE 相交于点F ，115DFC ∠=︒，»»4BCDE =，延长EC 至点A ，连接DA ，设A α∠=，则α的取值范围是_______________．三、解答题(2)如图2，若90ABC ∠=︒，F 为O e 上的一点，且点,B F 位于AC 两侧，作ABF △关于AB 对称的图形ABG V ，连接GC ，试猜想,,AG CG BG 三者之间的数量关系并给予证明．。
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浙江省西湖区2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)浙江省西湖区2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位后函数解析式为（）A． y=3x2+1 B． y=3x2﹣1 C． y=3（x﹣1）2 D． y=3（x+1）22．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）A．（ +1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体4．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A． B． C． D．5．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）A． B． C． D．6．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC=30m．如果DE=20m，则河宽AD 为（）A． 20m B． m C． 10m D． 30m7．已知k，n均为非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2﹣4n 的最小值为（）A．﹣40 B．﹣16 C．﹣8 D． 08．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP 的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°9．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D 是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）A． B．C． D．10．二次函数y=（x﹣）（mx﹣4m）（其中m＞0），下列说法正确的（）A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+ D．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是．12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CD=5，AC=8，sin∠ACD= ，则BC=．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 ，若把Rt△ABC 绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．14．如图，在△ABC中，AC=4，AB=6，BC=8，点D在BC边上，且CD=2，则AD的长为．15．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），直线y=kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0）．（1）当t=秒时，点P、C、Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α=2sinα．18．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP与⊙O相切；（2）如果PD= ，求AP的长．19．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．20．如图是一个底面三边长都是3cm三棱柱，它的侧面是正方形．现要从中挖取一个底面最大的圆柱．（1）用尺规画出挖取圆柱后的俯视图；（按如图位置摆放，保留作图痕迹）（2）求圆柱的底面半径；（3）求挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积．21．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．（1）求证：△AOD∽△BOC；（2）若cos∠ABO= ，S△BOC=18，求S△AOD的值．22．已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．（1）请写出b、c的关系式；（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；（3）若P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣2，1），连结OE，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，0），C （5，0）．（1）请求出OE的长度；（2）在△ABC的边上找一点F，使得∠EOF=90°，求出F点的坐标；（3）已知P是直线EO上的一个动点，以P为圆心，OE长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC三边所在直线相切，求P点的坐标．浙江省西湖区2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位后函数解析式为（）A． y=3x2+1 B． y=3x2﹣1 C． y=3（x﹣1）2 D． y=3（x+1）2考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接利用二次函数平移规律，左加右减进而得出答案．解答：解：∵二次函数y=3x2的图象向左平移一个单位，∴平移后函数解析式为：y=3（x+1）2．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数平移变换，正确把握平移规律是解题关键．2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）A．（ +1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a考点：黄金分割．专题：计算题．分析：直接根据黄金分割的定义求解．解答：解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，∴BE= AB= ?2a=（﹣1）a．故选B．点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．长方体考点：简单几何体的三视图．专题：应用题．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：A、圆柱的主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆形；故本选项错误；B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误；C、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确；D、长方体的主视图为长方形、左视图为长方形或正方形、俯视图为长方形或正方形；故本选项错误；故选C．点评：本题考查了简单几何体的三视图，锻炼了学生的空间想象能力．4．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A． B． C． D．考点：垂径定理；勾股定理．分析：在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．解答：解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB= =5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC= AC?BC= AB?CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM= ，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM= ，∴AE=2AM= ．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）A． B． C． D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解答：解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO= = ；AC= = ；则sinA= = = ．故选：B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．6．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10m，然后又在垂直AB 的直线上取点C，并量得BC=30m．如果DE=20m，则河宽AD 为（）A． 20m B． m C． 10m D． 30m考点：相似三角形的应用．菁优网版权所有分析：求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴△ADE∽△ABC，即 = ，解得AD=20．故选A．点评：本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．7．已知k，n均为非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2﹣4n的最小值为（）A．﹣40 B．﹣16 C．﹣8 D． 0考点：二次函数的最值．分析：先根据题意得出n=2﹣2k，由k，n均为非负实数求出k的取值范围，再代入代数式2k2﹣4n求出其最小值即可．解答：解：∵k，n均为非负实数，2k+n=2，∴n=2﹣2k，∴2﹣2k≥0，∴0≤k≤1．∴2k2﹣4n=2k2﹣4（2﹣2k）=2（k+2）2﹣16∴当k=0时，代数式有最小值，∴代数式2k2﹣4n的最小值为﹣8．故选C．点评：本题考查的是二次函数的最值，根据题意把原式化为二次函数的形式是解答此题的关键．8．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP 的度数是（）A．40° B．50° C． 60° D．70°考点：切线的性质．分析：连接OP，OA，OE，先根据垂径定理求得∠PEO=90°，然后根据切线的性质求得，∠APO=∠BPQ=∠APB=20°∠PAO=90°，即可进一步证得A、O、E、P四点共圆，根据圆周角的性质即可求得．解答：解：连接OP，OA，OE，∵点E是CD中点，∴OE⊥DC，∴∠PEO=90°，∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∴OA⊥PA，∠APO=∠BPQ= ∠APB=20°∴∠PAO=90°，∴∠POA=70°，∴A、O、E、P四点在以OP为直径的圆上，∴∠AEP=∠AOP=70°，故选D．点评：本题考查了切线的性质，垂径定理，四点共圆的判定以及圆周角定理，作出辅助线构建直角三角形以及证得A、O、E、P四点共圆本题是关键．9．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D 是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；数形结合．分析：本题需先根据题意，求出BC，AC的长，再分别计算出当x=0和x=2时，y的值，即可求得y与x的函数图象．解答：解：解法一、∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=1，AC= ，∴当x=0时，y的值是，当x=1时，y的值是，∵当x=2时CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y 应该是无穷大，∴y与x的函数关系图象大致是B，过点D作点DG⊥AC于点G，过点D作点DF⊥BC于点F，∴CF=DG= ，DF=CG= （2﹣x），∴EG=y﹣CG，分别在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE 中利用勾股定理，DF2+CF2+DG2+GE2=CE2，y= ．解法二、∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=1，AC= ．∴当x=0时，y= ；当x=1时，y=∵当x=2时，CD的垂线与CA平行，虽然x不能取到2，但y 应该是无穷大，∴y与x的函数关系图象大致是B选项．故选：B．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．在解题时要能根据题意得出函数关系是解答本题的关键．10．二次函数y=（x﹣）（mx﹣4m）（其中m＞0），下列说法正确的（）A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+ D．若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥考点：二次函数的性质．分析：先求出二次函数的对称轴，再利用此函数图象开口向上，即可判定函数增减性质．解答：解：y=（x﹣）（mx﹣4m）=mx2﹣4mx﹣x+4=m（x﹣）2+4﹣（其中m＞0），∴二次函数的对称轴为x=2+ ，∵m＞0，∴此函数图象开口向上，∴当n≤2+ 时，y随着x的增大而减小，故选：C．点评：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数的对称轴．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于4的有6种情况，∴从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是： = ．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CD=5，AC=8，sin∠ACD= ，则BC= 6 ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：作DH⊥AC于H，如图在Rt△CDH中根据正弦的定义可计算出DH=3，再根据勾股定理计算出CH=4，则AH=AC﹣CH=4，于是可判断DH为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质即可得到BC的长．解答：解：作DH⊥AC于H，如图，在Rt△CDH中，∵sin∠HCD= = ，∴DH= ×5=3，∴CH= =4，∴AH=AC﹣CH=8﹣4=4，∴CH=AH，∴DH为△ABC的中位线，∴BC=2DH=6．故答案为6．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 ，若把Rt△ABC 绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为8 π（结果保留π）．考点：圆锥的计算；点、线、面、体．分析：首先求得高CD的长，然后根据圆锥的侧面积的计算方法，即可求解．解答：解：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴AB= AC=4，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2× ×4π×2 =8 π．故答案为：8 π．点评：此题主要考查了圆锥的有关计算，正确确定旋转后的图形得出以CD为半径的圆的弧长是解题的关键．14．如图，在△ABC中，AC=4，AB=6，BC=8，点D在BC边上，且CD=2，则AD的长为 3 ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先在△ABC和△DAC中根据题干条件得到，结合∠ACB=∠DCA，证明出△ABC∽△DAC，进而得到AD的长．解答：解：在△ABC和△DAC，∵AC=4，BC=8，CD=2，∵∠ACB=∠DCA，∴△ABC∽△DAC，∴AD=3，故答案为3．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是根据题干条件证明出△ABC∽△DA C，此题难度不大．15．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），直线y=kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为 4 ．考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．分析：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，根据直线y=kx ﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（0，3 ），∴圆的半径为3 ，∴BD= =2 ，∴BC的长的最小值为4 ；故答案为：4 ．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0）．（1）当t= 6 秒时，点P、C、Q所构成的三角形与Rt△ABC 相似．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为5 ．考点：相似三角形的判定与性质．专题：动点型．分析：（1）由∠C=∠C，分两种情况讨论：①PC：BC=QC：AC，求出t=6；②PC：AC=QC：BC，求出t= ＞10，不合题意舍去；因此t=6；（2）线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长．解答：解：（1）分两种情况讨论：①∵∠C=∠C，当时，△QPC∽△ABC，∵BP=2t，QC=t，∴PC=30﹣2t，解得t=6；②∵∠C=∠C，当时，△PQC∽△ABC，，解得t= ＞10，不合题意；综上所述：当t=6时，点P、C、Q构成的三角形与Rt△ABC 相似；（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q 运动10秒时，P、Q停止运动，PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，过点A作AE∥MN交BC于点E，此时CD=30﹣2×10=10，∴MD=15﹣10=5，∵N是AD的中点，∴M时DE的中点，∴EM=DM=5，MN= AE，∴CE=10+5+5=20，∴AE= ，∴MN=5 ；即线段PQ的中点所经过的路程长为5 ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理以及三角形中位线的综合运用；要注意的是（1）中，根据P、Q的不同位置分类讨论．三．全面答一答（本题有7个小题，共66 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α=2sinα．考点：同角三角函数的关系．分析：（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．解答：解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△AB C中，∠B=90°，∠C=α．则sinα+cosα= + = ＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α=30°，则sin2α=sin60°= ，2sinα=2sin30°=2× =1，∵ ≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α=2sinα不成立．点评：本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．18．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P 是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP与⊙O相切；（2）如果PD= ，求AP的长．考点：切线的判定．分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；（2）首先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．解答：（1）证明：连接AO，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP= +R，∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA，即 +R=2R，解得R= ，∴OA= ，OP=2 ，∴OA=根据勾股定理得，AP= = =3．点评：此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理定理和切线的判定、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出圆的半径是解题关键．19．甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．考点：列表法与树状图法；三角形三边关系．分析：（1）因为此题需要三步完成，所以采用树状图法最简单，所以先画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与取出的3个小球的标号全是奇数的情况，然后利用概率公式即可求得答案；（2）根据（1）中的树状图求得这些线段能构成三角形的情况，再根据概率公式求解即可．解答：解：（1）画树状图得：∴一共有12种等可能的结果，取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是： = ．（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、9，7、5、3，7、5、8，7、5、9共6种情况，∴这些线段能构成三角形的概率为 = ．点评：此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合于两步及两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．如图是一个底面三边长都是3cm三棱柱，它的侧面是正方形．现要从中挖取一个底面最大的圆柱．（1）用尺规画出挖取圆柱后的俯视图；（按如图位置摆放，保留作图痕迹）（2）求圆柱的底面半径；（3）求挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积．考点：作图-三视图．分析：（1）挖取圆柱后的俯视图为正三角形中间一个圆，依此画出图形即可求解；（2）圆柱的底面半径为正三角形高的；（3）挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积=三棱柱的表面积﹣圆柱的两个底面积+圆柱的侧面积，依此列式计算即可求解．解答：解：（1）如图所示：（2）∵底面是正三角形，∴从中挖取一个底面最大的圆柱的半径是正三角形的内接圆的半径，∴圆柱的底面半径：3× × = （cm）．答：圆柱的底面半径为 cm；（3）3× = （cm）3× ×3+3× ÷2×2﹣π×（）2×2+2π× ×= + ﹣π+ π= +3π（cm2）．答：挖取圆柱后剩下部分几何体的表面积是（+3π）cm2．点评：考查了作图﹣三视图，画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．同时考查了正三角形的性质，几何体的面积计算．21．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC ，CD⊥BD．（1）求证：△AOD∽△BOC；（2）若cos∠ABO= ，S△BOC=18，求S△AOD的值．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）由AB⊥AC，CD⊥BD，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得△AOB∽△DOC，即可得到比例线段，再由∠AOD=∠BOC，即可证得△AOD∽△BOC；（2）由cos∠ABO= ，可得 =，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得S△BOC的值．解答：（1）证明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，∴∠BAC=∠BDC=90°，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，又∵∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC；（2）∵∠BAC=90°，cos∠ABO= ，∵△AOD∽△BOC，∵S△BOC=18，∴S△AOD=8．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．22．已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点．（1）请写出b、c的关系式；（2）设直线y=7与该抛物线的交点为A、B，求AB的长；（3）若P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，请求出b的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b2﹣4ac=0，由此可得到b、c应满足关系；（2）根据根与系数的关系x1+x2=2b，x1x2=c﹣7，结合b2=c，即可求得AB的长．（3）由题意可知方程﹣x=x2﹣2bx+c没有实数根，根据根的判别式即可求得．解答：解：（1）∵二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，令y=0得：x2﹣2bx+c=0，∵△=（﹣2b）2﹣4c=0，∴b2=c．（2）设A（x1，0），B（x2，0），∵直线y=7与抛物线的交点A、B的横坐标就是方程x2﹣2bx+c﹣7=0的两个根x1、x2．∴AB=|x1﹣x2|，∵x1+x2=2b，x1x2=c﹣7，b2=c．∴AB=|x1﹣x2|= = = = =2 ．（3）P（a，﹣a）不在曲线y=x2﹣2bx+c上，∴直线y=﹣x与曲线y=x2﹣2bx+c没有交点，即方程﹣x=x2﹣2bx+c没有实数根，∴x2+（1﹣2b）x+c=0的△＜0，即（1﹣2b）2﹣4c＜0，整理得，1﹣4b+4b2﹣4c＜0，∵b2=c．∴1﹣4b＜0，∴b ．点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与直线的交点问题，二次函数与不等式的关系，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣2，1），连结OE，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，0），C （5，0）．（1）请求出OE的长度；（2）在△ABC的边上找一点F，使得∠EOF=90°，求出F点的坐标；（3）已知P是直线EO上的一个动点，以P为圆心，OE长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC三边所在直线相切，求P点的坐标．（改编）考点：圆的综合题．分析：（1）根据点E的坐标为（﹣2，1），运用勾股定理直接求出OE的长度；（2）求出直线OE的解析式，根据∠EOF=90°，求出直线OF 的解析式，再求出直线OF与AB，AC的交点坐标；（3）分别从⊙P与直线AB、BC、AC相切，求出P点的坐标．解答：解：（1）∵点E的坐标为（﹣2，1），根据勾股定理得，OE= ；（2））∵点E的坐标为（﹣2，1），∴直线OE的解析式为y=﹣ x，∵OE⊥OF，∴直线OF的解析式为：y=2x，∵A（1，4），C（5，0），∴直线AC的解析式为：y=﹣x+5，则y=2x与直线AB的交点坐标为（1，2），与直线AC的交点坐标为（，）；（3）设点P的坐标为（﹣2b，b）①当⊙P与直线AB相切时，|﹣2b﹣1|= ，b1= ，b2= ，②当⊙P与直线BC相切时，|b|= ，b3= ，b4=﹣，③当⊙P与直线AC相切时，根据点到直线的距离公式， = ，b5=﹣5+ ，b6=﹣5﹣，则p1（1﹣，），p2（ +1，），p3（﹣2 ，），p4（2 ，﹣），p5（10﹣2 ，﹣5+ ），p6（10+2 ，﹣5﹣）．点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，把圆与一次函数结合起来是解题的关键，解答时，要灵活运用数形结合思想、分类讨论思想．。