2012年高考数学按章节分类汇编 第二章平面向量 新人教A版必修4

2012年高考数学按章节分类汇编（人教A 必修四）第二章平面向量一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（ ）A B C ．D ．102 ．（2012年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===y x ,且//,⊥,_______=+ （ ）A B C ．D ．103 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量.（ ） A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥b B ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 4 ．（2012年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b | 5 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ= （ ）A ．13B ．23C ．43D ．26 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A B λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ（ ）A ．12B ．12± C D ．32-± 7 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则x =（ ）A ．—1B ．—12C ．12D ．18 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ） A ．a ∥b B ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b9 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．5210 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC = （ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,211 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =12 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b -13 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =. （ ）A BC ．D 14 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12 B ．1C ．32D ．5215 ．（2012年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC = （ ）A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--16 ．（2012年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 17．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A．(- B．(- C．(2)--D．(2)-二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________. 11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,||||CD BC =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ . 12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b|=,则|b |=_______.13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。

若m b ⊥,则|2|x y +=_______________。

14．（2012年高考（湖南文））如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且AP AC = _____.15．（2012年高考（湖北文））已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.16．（2012年高考（北京文））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB⋅的值为________.17．（2012年高考（安徽文））设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.18、．（2012年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =19、．（2012年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________.20、．（2012年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,||||CD CN BC BM =,则⋅的取值范围是_________ .21、．（2012年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是___.22．（2012年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.23．（2012年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】0202a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,|||(2,1)(1,2)|a b +=+-==【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分. 2 【答案】B【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.3. 【答案】C【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系.【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实 数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 4、 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实 数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 5. 【解析】如图,设==, ,则0,21=∙==c b ,又c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=,b c AP CA CP λ+-=+=,由2-=∙CP BQ 得2)1(41()(])1([-=--=--=+-∙-+-λλλλλ,即32,23==λλ,选B. 6、 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴C3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ.7. 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=,故选D【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题.8、 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. 9. 解析:C.⋅==⋅a a b a b b b b 1cos 2k θ=,=b b a a 2cos 2k θ=,两式相乘,可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是32=a b . 10. 解析:A.()4,6AC AB BC =+=.11. 【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D 正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质. 12. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.【解析】由0a b ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以5AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D13、 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得CBC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角. 14、 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a a b b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,cos 1θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. 15、 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--.16、 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.【解析】由0a b ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得5CD =,所以5AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 17、 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- 【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=-二、填空题10. 【答案】-16【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用. 【解析】由余弦定理22222c o s 53ABA MB M A M B =+-⋅∠=+, 222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC=+-⋅∠=+-⨯⨯∠,0180AMB AMC ∠+∠=,两式子相加为222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=,2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC +-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯,68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯.11. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1),C (2,1).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t 2||=, 所以M (2,t ),N (2-2t ,1),故AN AM ⋅=4-4t +t =4-3t=f (t ),因为t ∈[0,1],所以f (t )递减, 所以(AN AM ⋅)max = f (0)=4,(AN AM⋅)min = f (1)=1.12. 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.【解析】∵|2-a b平方得224410-=a a b +b ,即260--=|b |b |,解得|b|=(舍) 13.【解析】由已知可得20x y-=,又因为m 为单位向量所以221x y +=,联立解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入所求即可. 【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件. 14. 【答案】18【解析】设ACBD O =,则2()AC AB BO =+,AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.15. (Ⅰ)1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由()()1,0,1,1a =b =,得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =,则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由()()1,0,1,1a =b =,得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ,则()32,11,025cos 35θ--===--b a a b a a.【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.16. 【答案】1;1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||c o s ||D E D A θ=,因此2||1D E C B D⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. 17. 【解析】a =1(3,3),()3(1)3022a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=18、 【解析】b =22210(2)1044cos 451032a b a b b b b ︒-=⇔-=⇔+-=⇔=19、 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-20、 [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD CN BC BM ==||||∈[0,1],则t BM =||,t 2||=, 所以M (2+2t,23t ),N (25-2t ,23),故⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,( ⋅)max = f (0)=5,(⋅)min = f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 21、 .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2A BA F=,得cos AB AF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.∵AB 22DF=,∴1DF =.∴1CF .记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =. ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =1221AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.22、 【答案】1;1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||c o s ||D E D A θ=,因此2||1D E C B D⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DEα就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.23、 【解析】a b 的最小值是98- 22222349494449448a b a b a b a b a b a b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-。