49电大考试题

《高等代数专题研究》期末练习下面给出《高等代数专题研究》两组练习，供期末复习练习参考。

模拟练习之一一、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 1. 令Q ＋是正有理数集，若规定2b a b a +=⊕，则( )． (A) ⊕是代数运算且满足结合律 (B) ⊕是代数运算，但不满足结合律 (C) ⊕不是Q ＋上的代数运算 (D) (A),(B),(C)都不对 2. 域F 有无穷多个元素，域F 上的多项式F a a x a x a x f i n n n n ∈+++=--,...)(011，则( )(A) f (x )在域F 上至少有一个根 (B) f (x )在域F 上最多有n 个根(C) f (x )在域F 上没有根 (D) f (x )在域F 上恰有n 个根3. 虚数1-=i 是有理数域上的( )． (A) 代数元 (B) 超越元 (C) 可逆元 (D) 既约元4.若D n 表示n 个数码的扰乱排列总数，则D n ＝( )．(A) D n －1+D n －2 (B) nD n －1 (C) (n －1)(D n －1+D n －2) (D) n (D n －1+D n －2)5. 整系数多项式0...011=+++--a xa x a n n n n 的有理数根p q ，(p ,q )=1，则( )． (A) p ∣a n ，q ∣a n (B) p ∣a 0，q ∣a 0 (C) p ∣a n ，q ∣a 0 (D) p ∣a 0，q ∣a n二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 自然数a 与b 的加法定义所满足的两个条件是 ．7. 函数f (x )是上凸函数的定义为 ．8. 整环R 中的元素p 是R 中的不可约元素，则p ≠θ，p 不是可逆元，由p =a ×b ⇒ 9. 由5个元素取7个的可重复组合数是 ． 10.整数环Z 上的多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--为本原多项式，则 (a n ,a n －1,…,a 1,a 0)＝ ．三、简述题(每小题7分，共14分)11. 试给出一个从整数集Z 到自然数集N 的的单映射，但不是满映射．12. 试给出一个从整数集Z 到自然数集N 的的双射．三、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设x ，y ，z 是正实数，且xyz =10，求2x +3y +4z 的极小值．14. 求(x +y +z )6展开合并同类项后共有多少项，并指出项x 2y 3z 的系数．15. 求从1到2 000的自然数中能被5或7或11整除的自然数个数．16. 从n 个数码1,2,…,n 中取k (2n <)个数码，但不允许取两个连续数码(如1，2不能连续取)，求共有多少种取法．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设∈=k m k R m ,2{Z }，证明集合R 对于普通数的加法和乘法构成一个整环．18. 利用反归纳法证明：n 个正数的算术平均值大于等于这n 个正数的几何平均值，即 ∈>≥+++i i n n n x x x x x nx x x ,0(......2121R )模拟练习之二一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 整环中元素c 是不可约元素，则( )． (A) c ≠θ，c ≠可逆元素 (B) c ≠θ，c ≠可逆元素，c ∣ab ⇒c ∣a 或c ∣b (C) c ≠θ，c ≠可逆元素，c ∣a ×b ⇒a 可逆或∣b 可逆 (D) c =θ且c 是可逆元素2. 函数f (x )=∣n ∣+1是整数集合Z 到自然数集合N 的( )(A) 单映射 (B) 满映射 (C) 双射 (D) 恒等映射3. π是有理数域上的( )． (A) 超越元 (B) 代数元 (C) 可逆元 (D) 不可约元4. 设θ1，θ2，θ3是区间[0，π]上的三个数，则( )．(A) 321321sin sin sin )sin(θθθθθθ++≤++(B) 321321sin sin sin )sin(θθθθθθ++≥++ (C) )sin sin (sin 313sin321321θθθθθθ++≥++ (D) )sin sin (sin 313sin 321321θθθθθθ++≤++ 5. 设d (x )是f (x )和f '(x )的公因式，则( )．(A) d (x )是f (x )的二重因式 (B) d (x )是f (x )单因式(C) d (x )是f (x )的三重因式 (D) d (x )是f (x )k 重因式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 自然数加法定义为 ．7. 若d 是a 和b 的最大公因式，则d 应满足的两个条件为 ．8. 掷两颗骰子一共有多少种不同情况 ．9. n 个数码1，2，…,n 的扰乱排列总数是 ．10. 反归纳定理为 ．三、简述题(每小题7分，共14分)11. 空集合的幂集是空集合码？应该是什么？12. 在模12的剩余类环Z 12中．哪些元素是可逆元素．三、计算题(每小题10，本题共40分)13. 求012=-x 在剩余类环Z 12中的根．14. 求(x +y +z ＋t )10展开合并同类项后共有多少项，并指出项x 5y 2z 3的系数．15. 上11个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法．16. 设∈=k m k R m ,2{Z }，求出R 中所有可逆元素和不可约元素． 四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 证明在整环R 中任意两个元素都有最大公因式．且对R 中的三个元素a ，b ，c ，若(a ,b )～1，(a ,c )～1，则(a ,bc )～1．18. 如果域F 含有无限个元素，求证F [x ]上两个多项式f (x )和g (x )相等，从代数的观点和函数的观点是一致的．模拟练习之一解答一、单项选择题 1. B 2. B 3. A 4. C 5.C二、填空题6. a +1=a '；a +b '=(a +b )'7. q 1+q 2=1,q 1≥0，q 2≥0，f (q 1x 1+q 2x 2)≥q 1f (x 1)+q 2f (x 2)8. a 为可逆元或b 为可逆元9. 711C 10. 1三、简述题 11. 如⎩⎨⎧<+≥+=032022)(n n n n n f (n ∈N )，(不惟一) 12. 如⎩⎨⎧<+≥+=12122)(n n n n n f (n ∈N )，(不惟一)四、计算题 13. 因为x ，y ，z >0， 所以 3333240244323432==⋅⋅≥++xyz z y x z y x 所以2x +3y +4z 的极小值是3306．14. 共有28278286136=⨯==-+C C ；x 2y 3z 系数为60!1!2!3!6=． 15. 设A ＝{能被5整除的自然数}，B ＝{能被7整除的自然数} C ＝{能被11整除的自然数}．则181112000,28572000,40052000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ， 361152000,271172000,57752000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=⋂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=⋂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=⋂C A C B B A ， 511752000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯=⋂⋂C B A ． 所以，=⋃⋃C B A C B A ++－C A C B B A ⋂-⋂-⋂＋C B A ⋂⋂ ＝400＋285＋181－57－27－36＋5＝75116. 用f (n ,k )该数，f (n ,k )=f (n －1,k )+f (n －×2,k －1)，f (n ,k )=k k n C 1+-． 参考原教材P 152：定理5.1．五、证明题17. 易知 R 对于数的加法和乘法封闭． )(20Z ∈∈=m R mθ，在R 中有零元． ),(22Z ∈-⇒∈∀m k k R k m m ，即存在负元素． ＋，×满足结合律，且×对＋满足分配律． 存在R ∈=0211,),(221122Z ∈=⨯=⨯⇒∈∀m k k k k R k m m m m ， 总之，R 是整环． 18. 当n =2,4,8,…,2m 时命题正确． 设命题对n =k 时正确，即k x x x S k k +++=...21． 则kS x x x S k k k 11211...---++++=，所以 k k k k S x x x S 11211...---≥，即 12111...---≥k k k x x x S 因而 11211...---≥k k k x x x S ，所以命题对一切自然数成立．模拟练习之二解答一、单项选择题1. C2. B3. A4. C5.D二、填空题 6. a +1=a '；a +b '=(a +b )' 7. d ∣a ，d ∣b ，a ,b 的公因式∣d 8. 21种 9.)!1)1(...!31!2111(!n n n -+-++- 10. ①无限个自然数满足定理；②k 成立⇒k －1成立 三、简述题11. 不是．应为P (∅)={∅}．12. 在Z 12中11,7,5,1是可逆元素．四、计算题13. 7,5,1===x x x 是方程的根．14. 共有2866111213313101410=⨯⨯==-+C C ；x 5y 2z 3系数为5202!3!2!5!10=． 15. 对台阶作归纳．当n =0时，f (0)=1；当n =1时，f (1)=1；当n =2时，f (2)=2=f (1)+f (0),当n =3时，f (3)=3=f (2)+f (1)； 一般地，f (n )=f (f －1)＋f (n －2)． f (4)=5；f (5)=8；f (6)=13；f (7)=21；f (8)=34；f (9)=55；f (10)=89；f (11)=144．走完11个台阶可以有144种不同走法．16. R 中的可逆元素是m 21±；R 中的不可约元素为m p 2，p 为不等于2的素数．五、证明题 17. 由于(a ,b )～1⇒(ac ，bc )～c ．所以，有1～(a ，c )～(a ，(ac ，bc ))～((a ,，ac )，bc )1～(a (1，c )，bc )～(a ，bc )18. 设0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--，0111...)(b x b x b x b x g n n n n ++++=--)()(...)()()()(0011111b a x b a x b a x b a x g x f n n n n n n -+-++-+-=----＝0， 从函数的观点，f (x )－g (x )有无数个根，但f (x )－g (x )最多有n 个根，所以),...,1,0(0n i b a i i ==- 所以，从代数上f (x )=g (x )，即a i =b i (i =0,1,2,…,n )．所以，它们一致.。