第6章 组合数学

定理 :n次贝努利试验中,每次成功的概率为p,失 定理6-1: 败的概率为q=1-p,k次成功和n-k次失败(0≤k≤n)的 概率为:
n p k
k
q
n k

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6.6 递推关系
6.6.1 递推关系基础知识 定义6-2:在递归定义中从某些前项求后 项的规则就叫做递推关系. 定义6-3:关于序列{ a n}的递推关系是一 个等式,它把 a n 用序列中在 a n 前面的一 项或多项即 a1,a 2 ,…,an1 来表示,这 里n≥n0, n0是一个非负整数.如果一个 序列的项满足递推关系,这个序列就叫 做递推关系的解.
6.1 基本计数原则
基本的计数原则有两个,分别称为:加法原则和乘法 原则. 6.1.1 加法原则 假设事件A有p种产生方式,事件B有q种产生方式,如 果事件A与B互不重叠,那么事件"A或B"有p+q种产生 方式. 6.1.2 乘法原则 假设事件A有p种产生方式,事件B有q种产生方式,如 果事件A与事件B是互相独立的,那么事件"A与B"有 pq种产生方式.

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1. 环形排列定理 一个n元集的环行r-排列数为:
p(n, r ) n! = r r (n r )!
特别地,如果r=n,则S的环排列数为(n1 1)!. 证明:不妨把所有S的线形r-排列分组,使得同 组的每个线形排列可以连接成同样的环形排列. 由于每一个组中恰好含有r的线形排列,所以S P ( n, r,若 ) 的环形排列的r-排列数为 N=

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6.2 鸽巢定理
6.2.1 鸽巢定理的概念 鸽巢定理也叫做狄利克莱抽屉原则,是以19世 纪的德国数学家狄利克莱来命名的. 鸽巢定理:如果把k+1个或更多的物体放入k个 盒子里,那么至少有一个盒子里含有两个或两 个以上的物体. 证明:如果假设k个盒子中没有一个盒子包含 的物体多于一个,那么k个盒子至多含有的物 体总数是k,与至少有k+1个物体矛盾,假设不 成立,命题得证.
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第6章 组合数学 章
本章提要 基本计数原则 鸽巢定理 排列与组合 二项式定理与组合等式 离散概率 递推关系 生成函数

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r
r=n,那么S的环形排列数为(n-1)!.

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2. 多重集的排列 多重集 S = {n1 a1 , n 2 a 2 , n k a k }中有序选取的r个元素叫 做S的一个r-排列.当 r = n = n1 + n2 + + nk 时也叫做S 的一个全排列. 3. 多重集的排列数定理 假设 S = {n1 a1 , n2 a2 , nk a k } 多重集,对一切 i = 1,2,3,4 k 有 ni ≥ r , 则S的r-排列数为 k r . S r 一般地,还有: 如果多重集 S = {∞ a1 , ∞ a 2 , ∞ a k } ,那么S的r-排列数 为kr . 证明:在构造S的r-排列时,从第一位开始选取元素, 第一位有k种选法,第二位也有k种选法,……,第r位 还是有k种选法,这是由于在S中的每种元素都可以重 复选取,每一位的选择都不依赖于其他各位的选择情 况. 所以由乘法原理可以知道,不同的排列数有Kr种.
6.5 离散概率
6.5.1 集合的离散概率 用S表示所有可能的结果的集合,假设S 的元素为,其中i=1,2,3,4,5……, i=1 2 3 4 5…… 并把每一个结果与一非负的整数联系起 来,有如下的性质:
p( x1 ) + p( x2 ) + p( x3 ) + + p( xn ) + = 1
n r 值得注意的是,每一个r组合对应于r!个r-排列,因此可以计算出C
(n,r)的值. 由r! C(n,r)=P(n,r) 可以得到: C(n,r)= P(n, r ) = n!
r!
特别地,有如下结论:
如果n和r是满足r≤n的非负整数,那么有C(n,r)=C(n,n-r) 证明:C(n,r) =
x1 + x2 + x3 + xn = r
x1 , x 2 , x k 使得 {x1 a1 , x2 a2 , xk ak }为S的一个r-组合,所以多重集S
x1 + x2 + x3 + xn = r 的非负整数解的个数.
的r-组合数等于方程

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一般说来,根据是否有序和是否可重复可以将选取划 分成以下四类: (1)集合的排列:有序的不允许重复的选取. (2)集合的组合:无序的不允许重复的选取. (3)多重集的排列:有序的允许重复的选取. (4)多重集的组合:无序的允许重复的选取. 定义 :从n元集S中有序地选择r个元素叫做S的一个 定义6-1: r-排列,不同排列的总数记为P(n,r),如果r=n,那 么称这个排列为S的全排列,简称为S的排列.

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6.5.3 贝努利实验和二项式分布 如果每次成功的概率是p,那么失败的概率是q=1-p,出 现k次成功的每一种方式的概率是 p k q n k ,而表示这种成功的分布函数称为"二项式分布函数".

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4. 多重集的组合 多重集S的含有r个元素的子多重集称为S的r-组合. 特别地,如果S含有n个元素(包括重复元素),那么S的n-组合就是它本身. 如果S有k种不同的元素,那么S的1-组合就有k个.
n! P(n,r)= (n r )!
特别的还有: P(n,1)=n和P(n,n)=n!

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6.3.2 事物的组合 假设S是n个不同的事物的集合,S中的r个元素的一种无序选择, 称为n个事物的r-组合,这样的组合用C(n,r)或如下符号表示:

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6.3.3 多重集 我们把元素可以多次重复出现的集合称为多重集,元 素出现的次数称为该元素的重复数,记为,,而含有k 种元素的多重集可以记为:
S = {n1 a1 , n2 a 2 , nk a k }
N = C ( k + ( r k ) 1, r k ) = C (r 1, r k )
= C (r 1, k 1)

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6.4 二项式定理与组合等式
组合数C(n,r),也称为二项式系数,它有如下性质: 对任意的n,r∈N,有: n! n r ≤ n = r ! ( n r )! r 0 r > n n = n n≥r r n r 由以上的性质可以得到等式:

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6.2.2 鸽巢定理的推广 1. 鸽巢定理的一般形式 假设P1,P2,P3……Pn是给定的正整数,如果把 P1+P2+P3+……+Pn-n+1个物体放入n个盒子中,那么或是第一 个盒子至少包含了P1个物体,或是第二个盒子至少包含了P2个物 体,……,或是第n个盒子至少包含了Pn个物体. 证明:假设第i个盒子至多含有Pi-1个物体,其中i=1,2,3……n, 那么盒子里物体的总数至多为P1,P2,P3……Pn-n个,这与物 体的总数为P1+P2+P3+……+Pn-n+1矛盾,假设不成立,命题得 证. 推论 :如果n(r-1)+1个物体放入n个盒子里,那么至少有一 推论6-1: 个盒子里含有r个或是更多的物体. 证明:假设第i个盒子里至多含有r-1个物体,其中i=1,2,3……n, 那么盒子里物体的总数至多为n(r-1)个,与物体的总数为n(r1)+1矛盾,所以假设不成立,命题得证. 2. 鸽巢定理的算术平均形式 假设P1,P2,P3……Pn是n个正整数,如果它们的算术平均值: (P1+P2+P3+……Pn)/n>r-1 则存在≥r,其中i∈{1,2,3……n}.

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6.5.2 条件概率 条件概率的性质: 假设E和F是具有 p ( F ) > 0的事件,将在给 定F的条件下E的条件概率记为 p( E | F ) , 那么有:
p( E ∧ F ) p( E | F ) = p( E )
n n 1 n r = r r 1
n, r ∈ Z +
和杨辉三角公式:
n 1 n 1 n = r + r 1 r

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n, r ∈ Z +
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5. 多重集的组合数定理 多重集 S = {∞ a1 , ∞ a 2 , ∞ a k } 的r-组合数为 C ( k + r 1, r ) . 证明:设S的r-组合为: {x1 a1 , x 2 a 2 , x k a k } ,其中 x1 , x 2 , x k 都是非负整数,且满足: 如若不然,那么每一组满足方程 x1 + x 2 + x3 + xn = r 的非负整数解