高中数学第三章函数的应用阶段质量检测(含解析)新人教A版必修1
人教A版第三章函数的应用综合测试题(解析版)-高一数学寒假补差训练(人教A版必修1+必修2)
专题6：人教A 版第三章函数的应用综合测试题（解析版）一、单选题1．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)1．B【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】 ()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，且(1)10,(2)ln20f f =-<=>，根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题. 2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )A ．B ．C ．D ． 2．B【解析】依题设可知，蜡烛高度h 与燃烧时间t 之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.3．利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得一个区间（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．D【分析】根据零点存在定理判断．【详解】设3()log 5f x x x =-+，则函数单调递增由于3(3)log 35310f =-+=-<，33(4)log 454log 410f =-+=->，∴()f x 在(3,4)上有零点．故选：D.【点睛】本题考查方程的解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键．4．若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( )A ．3B ．4C ．1D ．24．D【分析】结合零点存在性定理和函数()f x 的单调性，求得k 的值.【详解】 ∵(2)4270,(3)8370,f f =+-<⎧⎨=+->⎩且()f x 单调递增,∴()f x 的零点所在的区间为（2,3）,∴2k =. 故选：D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题.5．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 45．C【解析】 观察图象可知：点x 3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x 3不能用二分法求，故选C.6．函数21()f x x x =+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．36．A【分析】 根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点.故选：A .【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题. 7．用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为A ．0.64B ．0.8C ．0.7D ．0.67．C【分析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），从而得出结论．【详解】因为()0.680f <，()0.720f >，即()()0.680.720f f ⋅<，所以函数()f x 的零点在区间()0.68,0.72内．又0.720.680.040.1-=<，观察各选项可知函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为0.7．故选C ．【点睛】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．8．已知函数()221,11,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为（ ）A ．1,02B ．2-，0C ．12D ．08．D【分析】函数()f x 的零点，即令()0f x =分段求解即可.【详解】函数221,1()1,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩当1x 时，令()210x f x =-=，解得0x =当1x >时，令2()1log 0f x x =+=，解得12x =（舍去） 综上函数的零点为0故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.9．设f （x ）=3x +3x –8，用二分法求方程3x +3x –8在x ∈（1，2）内方程的近似解，则方程的根落在区间（参考数据31.25≈3.95）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定9．B【分析】显然函数单调递增，然后利用二分法求（1，2）的中间值f （1.5）0>，再将范围限制（1，1.5），再利用二分法继续下次知道和选项逼近即可【详解】显然函数单调递增，f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）=31.5+3×1.5–8=323 4.58+-=4.58->4.580->，f （1.25）=31.25+3×1.25–8<0，∴f （1.25）•f （1.5）<0，∴方程的根落在区间（1.25，1.5），故选B ．【点睛】利用二分法判断函数零点的区间，首先确保函数在所给区间内连续，然后利用二分法算出所给区间的中间值，进而一步步将区间范围缩小10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ） A ．5730B ．11460C ．17190D ．22920 10．B【分析】根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B.【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.11．已知二次函数22()(5)6(0)f x ax a x a a =+-+-≠的图象与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x 两点，且12112x x -<<<<，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,1+B ．()1C ．()1++∞D ．(,2-∞- 11．B【分析】讨论0a >、0a <，根据零点的范围，结合二次函数的性质列不等式组求解即可得a 的取值范围.【详解】若0a >，则(1)0(1)0(2)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2221021106160a a a a a ⎧->⎪+-<⎨⎪+->⎩，解得21a <<；若0a <，则(1)0(1)0(2)0f f f -<⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2221021106160a a a a a ⎧-<⎪+->⎨⎪+-<⎩，不等式组无解.故a的取值范围是()1.故选：B 12．已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()2y f x f x m =+--()m R ∈恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．(),2-∞12．A【分析】求得函数()()2y f x f x =+-的解析式，画出()()2y f x f x =+-的图象，由此求得m 的取值范围.【详解】 由()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得()()()2,02,0x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()()()222,022,0234,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩，所以函数()()2y f x f x m =+--恰有2个零点等价于函数y m =与函数()()2y f x f x =+-的图象有2个公共点，由图象可知2m >.故选：A二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y a =与函数2y x a a =-+-的图象有且只有一个公共点，则实数a 的值为______.13．1【分析】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a=-+-的图象，根据只有一个公共点，利用数形结合法求解.【详解】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a =-+-的图象，如图所示：因为只有一个公共点，所以2a a -=，解得1a =.故答案为：114．已知函数()1,2,x x x a f x x a+≤⎧=⎨>⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是__________．14．01a <<【分析】根据1y x =+与2xy =交于(0,1)和(1,2)点，即可求解结论．【详解】解：因为存在两个不相等的实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，故函数不是单调函数，又因为1y x =+与2x y =交于(0,1)和(1,2)点，故须01a <<．故答案为：(0,1)．15．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_________. 15．()3,1-【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数m 的取值范围．【详解】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示：当2x =时，1y =-；0x =时，3y =，∴13m -<-<，()3,1m ∈-故答案为：()3,1-16．已知1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是___________.16．02k <<【分析】根据二次函数的零点分布情况，得到()10f >，求解对应不等式，即可得出结果.【详解】因为1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1， 二次函数()()2221f x x k x k =-++开口向上， 所以只需()()2211012f k k -++<=，即220k k -<， 解得02k <<.故答案为：02k <<.三、解答题17．已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈．（1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3xb g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．17．（1）32a ≤（2）0 【解析】试题分析：（1）求导()'2220fx x x a =--≥在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得2ln b x x x x+-=，从而化为2(ln )b x x x x =+-在（0，+∞）上有解，从而讨论函数2()(ln )p x x x x x =+-的值域即可试题解析：（1）∵()f x 在区间()3,+∞上为增函数， ∴2'()220f x x x a =--≥即222a x x ≤-在区间()3,+∞上恒成立． ∵在()3,+∞内223x x -< ∴23a ≤即32a ≤（2）方程3(1)(1)3x b g x x --=+可化为2ln b x x x x +-=． ∴条件转化为2(ln )b x x x x =+-在()0,+∞上有解， 令2()(ln )p x x x x x =+-，∴即求函数2()(ln )p x x x x x =+-在()0,+∞上的值域． 令2()ln h x x x x =+-， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=+-=，∴当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数， 当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数， 因此()(1)0h x h ≤=．又∵0x >，故()()0p x x h x =⋅≤，∴0b ≤因此当1x =时，b 取得最大值0．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性18．已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+．（Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．18．（1）单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）0k <或4k =；【解析】试题分析：（1）由题可知，将=1k 代入，可得()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+，由于真数x （x+1）>0,可知x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，即单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）由题可知，由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+，根据真数大于0，真数相等，可列出不等式组，对k 进行讨论，即可得出k 的取值； 试题解析：（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ （其中0x >），由复合函数单调性可知内层函数x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩（1）若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =；（2）若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求．考点：①复合函数的单调性②对数函数单调性的应用19．已知函数221()11x m f x x x x x -=----- (Ⅰ)若函数()f x 无零点，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若函数()f x 在(2,2)-有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围．19．(Ⅰ) 47|{<m m 或2}m =；(Ⅱ)7{|4m m =或48}m ≤<。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-
第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。
在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。
A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。
∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。
即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。
故选C。
2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。
若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。
A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。
3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。
而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。
A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-
3.1.2 函数的表示法一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})X 价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /X 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)图象法：如下图所示．(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
高中数学第三章函数的应用章末复习课(三)学案(含解析)新人教版必修1
三章函数的应用章末复习课网络构建核心归纳1.函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.2.函数零点存在性定理(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可.(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数.3.函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识.一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径.(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用1.函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.【例1】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________；(2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)①当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝2或x ＝－ 2.因为x ≤0，所以x ＝－ 2.②法一 (函数单调性法)当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x .而f (1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f (1)·f (3)<0，又函数f (x )的图象是连续的，故由零点存在性定理，可得函数f (x )在(1，3)内至少有一个零点.而函数y ＝2x －6在(0，＋∞)上单调递增，y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增.故函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)内有且只有1个零点.综上，函数f (x )共有2个零点.法二 (数形结合法)当x >0时，由f (x )＝0，得2x －6＋ln x ＝0， 即ln x ＝6－2x .如图，分别作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象.显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当x >0时，f (x )＝0只有一个解.综上，函数f (x )共有2个零点.(2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图所示，由图可知，若f(x)有两个零点，则b的取值范围是(0，2).答案(1)2 (2)(0，2)【训练1】已知关于x的方程a·4x＋b·2x＋c＝0(a≠0)，常数a，b同号，b，c异号，则下列结论中正确的是( )A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根解析由常数a，b同号，b，c异号，可得a，c异号，令2x＝t，则方程变为at2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为c<0，故关于t的方程只有一个实数根，故关于x的方程只有一个实数根.a答案 D要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)1.二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，转化为求函数的零点.(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).(3)利用二分法求函数的零点.(4)归纳结论.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得.【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，结论x0解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始区间为(1，2).因为所以x0≈1.125(不唯一).【训练2】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精确度为0.1)( )A.1.2B.1.35C.1.43D.1.5解析∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375，1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根.答案 C要点三函数的实际应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.2.建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题. 【例3】 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本).销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x （0≤x ≤5），11（x >5）. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8（0≤x ≤5），8.2－x （x >5）. (2)①当0≤x ≤5时，由－0.4x 2＋3.2x －2.8>0得x 2－8x ＋7<0，解得1<x <7，∴1<x ≤5. ②当x >5时，由8.2－x >0，得x <8.2， 所以5<x <8.2.综上，当1<x <8.2时，有y >0，即当产量x 大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利. (3)当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6； 当x >5时，∵函数f (x )单调递减， ∴f (x )<f (5)＝3.2(万元).综上，当工厂生产4百台产品时，可使盈利最多，为3.6万元.【训练3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税，超过3 500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1) (2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解 (1)依题意可得： ①当0<x ≤3 500时，y ＝0. ②当3 500<x ≤5 000时，y ＝(x －3 500)·3%＝0.03x －105.③当5 000<x <8 000时，y ＝45＋(x －5 000)·10%＝0.1x －455.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤3 500，0.03x －105，3 500<x ≤5 000，0.1x －455，5 000<x <8 000.(2)因为需交税300元， 故有5 000<x <8 000，所以300＝0.1x －455，所以x ＝7 550. 答：刘丽十二月份工资总额为7 550元.基础过关1.函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(1，2)与(2，3)解析 易知f (x )在(1，＋∞)上单调递减，f (2)＝1>0，f (3)＝23＋ln 12＝23－ln 2<0，所以f (x )在(2，3)内只有一个零点.答案 B2.实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (c )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A.2B.奇数C.偶数D.至少是2解析 由零点存在性定理，f (a )f (b )<0，f (c )f (b )<0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有一个零点，在(b ，c )上至少有一个零点，而f (b )≠0，所以y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为至少2个.选D. 答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)解析 易知当x >0时，2x －1＝0有一个根，所以需使函数y ＝e x＋a (x ≤0)有一个零点，即方程e x ＋a ＝0(x ≤0)有一个根，即a ＝－e x .由x ≤0，得－e x∈[－1，0)，故a ∈[－1，0). 答案 D4.用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算________次.解析 设至少需要计算n 次，则n 满足0.12n <0.001，即2n >100，由于27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 答案 75.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________.解析 在同一个坐标系中作出函数y ＝|x 2－2x |和y ＝a 2＋1的图象，如图所示，易知a 2＋1>1，由图知方程有2个解.答案 26.方程x 2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由.解 不存在.理由如下：因为当x <0时，－1x >0，所以x 2－1x>0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x＝0.7.某地的出租车价格规定：起步价为a 元，可行3公里，3公里以上按每公里b 元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c 元计算(这里a ，b ，c 规定为正的常数，且c >b )，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)若取a ＝14，b ＝2.4，c ＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？(2)求车费y (元)与行车里程x (公里)之间的函数解析式y ＝f (x ).解 (1)由题意可知，起步价(3公里以内)是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8－3＝5(公里)的收费是5×2.4＝12(元)，总共收费14＋12＝26(元)，故他应付出租车费26元.(2)3公里以内，即起步价是a 元，即0<x ≤3时，y ＝a (元)；大于3公里而不超过10公里时，即3<x ≤10时，收费y ＝a ＋(x －3)b ＝bx ＋a －3b (元)；大于10公里时，即x >10时，收费y ＝a ＋7×b ＋(x －10)c ＝cx ＋a ＋7b －10c (元).所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<x ≤3，bx ＋a －3b ，3<x ≤10，cx ＋a ＋7b －10c ，x >10.能力提升8.已知函数f (x )的图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A.y ＝2xB.y ＝4－4x ＋1C.y ＝log 3(x ＋1)D.y ＝3x解析 由于图象过点(1，2)，可排除C ，D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y <4，而y ＝2x 可无限大，排除A ，选B.答案 B9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.(－∞，－2]∪(2，＋∞) C.(2，＋∞)D.(－2，2)解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0，作出函数f (x )的示意图，如图，则不等式f (x )<0的解为－2<x <2，故选D.答案 D10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )的两个零点一个大于2，一个小于2， ∴f (2)<0，∴22＋2a ＋a －1<0，解得a <－1. 答案 (－∞，－1)11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 2012.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，为307 050元.13.(选做题)设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数.解 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，（x －1）（3－x ）＝a －x ，整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ， 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1，3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.章末检测(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )解析由二分法的定义可知选A.答案 A2.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)的图象与x轴在区间[a，b]内( )A.至多有一个交点B.必有唯一个交点C.至少有一个交点D.没有交点解析∵f(a)·f(b)<0，∴f(a)与f(b)异号，即：f(a)>0，f(b)<0或者f(a)<0，f(b)>0，显然，在[a，b]内，必有一点c，使得f(c)＝0.又f(x)在区间[a，b]上单调，所以，这样的点只有一个，故选B.答案 B3.若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是( )解析A：与直线y＝2的交点是(0，2)，不符合题意，故不正确；B：与直线y＝2无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y＝2只在区间(0，＋∞)上有交点，不符合题意，故不正确；D ：与直线y ＝2在(－∞，0)上有交点，故正确.故选D. 答案 D4.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点解析 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D. 答案 D5.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y 万人关于月数x 的函数关系近似的是( ) A.y ＝0.2x B.y ＝110(x 2＋2x )C.y ＝2x10D.y ＝0.2＋log 16x解析 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 答案 C6.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：那么方程x －3＋3A.2.1 B.2.2 C.2.3D.2.4解析 由参考数据可知f (2.25)·f (2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点的近似值，也即方程x －3＋log 3x ＝0的根的近似值. 答案 C7.函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为( )C.3D.4解析 ∵函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数，即为f (x )＝0的根的个数，∴f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3＝0，即(x －1)ln(－x )＝0，∴x －1＝0或ln(－x )＝0，∴x ＝1或x ＝－1.∵⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，x －3≠0，解得x <0，∴函数f (x )的定义域为{x |x <0}，∴x ＝－1，即方程f (x )＝0只有一个根，∴函数f (x )＝（x －1）ln （－x ）x －3的零点个数为1.故选A.答案 A8.函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析 由已知可知，函数f (x )＝3x＋12x －2单调递增且连续，∵f (－2)＝－269<0，f (－1)＝－136<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝32>0，∴f (0)·f (1)<0，由函数零点存在性定理可知，函数f (x )＝3x ＋12x －2的一个零点所在的区间是(0，1)，故选C.答案 C9.已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A.2 B.3C.4D.与a 的值有关解析 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示.由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根.故选A.答案 A10.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x(a >0)；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a 的最小值应为( )C.± 5D.－ 5解析 设投放x (0≤x ≤20)万元经销甲商品，则投放(20－x )万元经销乙商品，总利润y ＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x ，令y ≥5，则x 4＋a2·20－x ≥5，∴a 20－x ≥10－x 2，即a ≥1220－x 对0≤x ≤20恒成立，而f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x2也成立，∴a min ＝ 5.答案 A11.已知函数f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，则有( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1解析 f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，即y ＝|lg x |与y ＝2－x有两个交点，由题意x >0，分别画y ＝2－x 和y ＝|lg x |的图象，发现在(0，1)和(1，＋∞)上分别有一个交点，不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，那么在(0，1)上有2－x 1＝－lg x 1，即－2－x 1＝lg x 1.①在(1，＋∞)上有2－x 2＝lg x 2.②①②相加有2－x 2－2－x 1＝lg x 1x 2，∵x 2>x 1，∴2－x 2<2－x 1， 即2－x 2－2－x 1<0，∴lg x 1x 2<0， ∴0<x 1x 2<1，故选D. 答案 D12.某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A.600元B.900元C.1 600元D.1 700元解析∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元).又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元).故选D.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________.解析函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.答案 314.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.解析由|x2－4x|－a＝0得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4，故答案为(0，4).答案(0，4)15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个涨价1元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品销售价应定为每个________元.解析设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为100－10x.则利润为y ＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N).因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大.答案1416.给出下列四个命题：①函数y＝f(x)，x∈R的图象与直线x＝a可能有两个不同的交点；②函数y＝log2x2与函数y＝2log2x是相等函数；③对于指数函数y＝2x与幂函数y＝x2，总存在x0，当x>x0时，有2x>x2成立；④对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若有f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有零点.其中正确的序号是________.解析 对于①，函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②，函数y ＝log 2x 2与函数y ＝2log 2x 的定义域不相同，故不是相等函数，故②错；对于③，当x 0取大于等于4的值都可使当x >x 0时，有2x >x 2成立，故③正确；对于④，函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上不连续时，既使有f (a )·f (b )<0，f (x )在(a ，b )内也不一定有零点.故④错. 答案 ③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝x 3＋1.解 (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)， 令f (x )＝0，可解得x ＝－18，或x ＝1，所以函数f (x )的零点为－18和1.(2)因为f (x )＝x 2＋x ＋2，令x 2＋x ＋2＝0，Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程x 2＋x ＋2＝0无实数解.所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点. (3)因为f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)， 令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0，解得x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为－1.18.(12分)定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在(－∞，0]上递增，函数f (x )的一个零点为－12，求满足f (log 14x )≥0的x 的取值集合.解 ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f (x )是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当log 14x ≤0，即x ≥1时，log 14x ≥－12，解得x ≤2，即1≤x ≤2.由对称性可知，当log14x >0，即0＜x ＜1时，log 14x ≤12，解得12≤x <1.综上所述，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.19.(12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).解 令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点.由f (x )的解析式知x ≠0，f (x )的图象在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是连续不断的曲线，且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴3个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1，2)内.20.(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q10，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.21.(12分)如图，直角梯形OABC 位于直线x ＝t (t ≥0)右侧的图象的面积为f (t ).(1)试求函数f (t )的解析式； (2)画出函数y ＝f (t )的图象. 解 (1)当0≤t ≤2时，f (t )＝S 梯形OABC －S △ODE ＝（3＋5）×22－12t ·t ＝8－12t 2，当2<t ≤5时，f (t )＝S 矩形DEBC ＝DE ·DC ＝2(5－t )＝10－2t ， 所以f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧8－12t 2，0≤t ≤2，10－2t ，2<t ≤5.(2)函数f (t )的图象如图所示.22.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件. (1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60； 当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ； 当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600. 当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050. 显然6 050>2 000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为( ) A.{1，2，4} B.{2，3，4} C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}解析 ∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4}，又B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝{0，2，4}.故选C. 答案 C2.可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )解析 由函数的定义可知：每当给出x 的一个值，则f (x )有唯一确定的实数值与之对应，只有D 符合.故正确答案为D. 答案 D3.同时满足以下三个条件的函数是( )①图象过点(0，1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数 A.f (x )＝－(x ＋1)2＋2B.f (x )＝3|x |C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D.f (x )＝x －2解析 A.若f (x )＝－(x ＋1)2＋2，则函数图象关于x ＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.B.若f (x )＝3|x |，则f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.C.若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，则三个条件都满足.D.若f (x )＝x －2，则f (0)无意义，不满足条件①.故选C. 答案 C4.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))等于( ) A.0 B.1 C.2D.3 解析 f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (1)＝2e1－1＝2，即f (f (2))＝2. 答案 C5.函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是( )A ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(1，2)解析 ∵函数f (x )＝2x －1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (1)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，故连续函数f (x )的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.答案 C6.幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是( ) A.13 B.－13C.3D.－3解析 设幂函数为y ＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以有－18＝(－2)α，解得：α＝－3，所以幂函数解析式为y ＝x －3，由f (x )＝27，得：x －3＝27，所以x ＝13.答案 A7.函数f (x )＝2－x ＋ln(3x ＋2)＋12x－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1∪(1，2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－23，2 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，3x ＋2>0，2x －1≠0，解得－23<x ≤2且x ≠0，故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪(0，2].答案 A8.设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.b <a <c C.c <b <aD.a <b <c解析 因为y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5>0.3，所以0.50.5>0.30.5，即a >b ，c ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，而1＝0.50>0.50.5，所以b <a <c .故选B.答案 B9.若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析 由f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，所以k ＝2，0<a <1，再由对数的图象可知A 正确. 答案 A10.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A.1B.45C.－1D.－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0， 所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (4－log 220) ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝2log 245＋15＝1.故选A. 答案 A11.若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则(x －1)f (x )<0的解集是( )A.(－3，0)∪(1，＋∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，0)∪(1，3)解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f (x )也是增函数，又∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴当x ∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x )<0；当x ∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x )>0；∵(x －1)·f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，f （x ）<0，可解得－3<x <0或1<x <3，∴不等式的解集是(－3，0)∪(1，3)，故选D. 答案 D12.已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[23，＋∞) B.(0，1]∪[3，＋∞) C.(0，2]∪[23，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)解析 y ＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2，相当于y ＝x 2向右平移1m 个单位，再将函数值放大m 2倍得到的；y ＝x ＋m 相当于y ＝x 向上平移m 个单位.①若0＜m ≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数图象在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，恒成立；②若m ＞1，两函数的大致图象如图2所示，为使两函数在x ∈[0，1]上有且只有1个交点，需要(m －1)2≥1＋m ，得m ≥3.综上，m ∈(0，1]∪[3，＋∞). 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3必过定点________.解析 因为a 0＝1，故f (2)＝a 0－3＝－2，所以函数f (x )＝a x －2－3必过定点(2，－2).答案 (2，－2)14.用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________(填区间).解析 ∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0， ∴f (3)·f (4)＞0，故x 0∈(2，3). 答案 (2，3)15.设U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1，5，6}，则集合A ＝________，B ＝________.解析 (∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{1，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，7，8，9}，又(∁U A )∩B ＝{3，7}，(∁U B )∩A ＝{2，8}，所以A ∩B ＝{4，9}，所以A ＝{2，4，8，9}，B ＝{3，4，7，9}.答案 {2，4，8，9} {3，4，7，9}16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x ，（x ≥4），log 2x ，（0<x <4），若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析 关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有两个不同的交点，作出函数的图象如图.由图可知实数k 的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(10分)计算下列各式的值： (1)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－；(2)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋23×14×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.18.(12分)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x＋x ，求f (x )的解析式.解 由题意，当x ＝0时，f (x )＝0.∵x >0时，f (x )＝2x＋x ，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－x ，又∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x＋x ， 综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2－x＋x ，x <0，0，x ＝0，2x ＋x ，x >0.19.(12分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}. (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围. 解 (1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}. A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}. (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3； 综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3].20.(12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a >0且a ≠1). (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )>0.解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，∴－12＜x ＜12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <12.(2)由(1)知F (x )的定义域关于原点对称， 又F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－ log a (1＋2x )＝－F (x )， ∴F (x )为奇函数.(3)∵f (x )－g (x )>0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )>0， 即log a (2x ＋1)>log a (1－2x ).①当0<a <1时，0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0.②当a >1时，2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12.21.(12分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条. 乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.解 由题意可知，图甲图象经过(1，1)和(6，2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x ＋0.8，图乙图象经过(1，30)和(6，10)两点.从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲×y 乙＝1.2×26＝31.2. 所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了. (3)设当第m 年时的规模，即总出产量为n ， 那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34) ＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25，因此，当m ＝2时，n 最大值为31.2， 即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条. 22.(12分)已知函数f (x )＝a ·2x －2＋a2x＋1(a ∈R ).(1)试判断f (x )的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x )为定义域上的奇函数， ①求函数f (x )的值域；②求满足f (ax )<f (2a －x 2)的x 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (x )＝a －22x ＋1.任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x2－2x1）（2x 2＋1）（2x1＋1）. ∵y ＝2x在R 上单调递增，且x 1<x 2， ∴0<2x1<2x2，2x2－2x1>0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数.(2)∵f (x )是定义域上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x2x ＋1＋22x ＋1＝0，。
高中数学 人教A版 必修1 第三章 函数的应用 高考复习习题(选择题201-300)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修1 第三章 函数的应用 高考复习习题（选择题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数f(x)=|lnx|,g(x){0,0<x ≤1|x 2−4|−2,x >1，则方程|f(x)−g(x)|=2的实根个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 2，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，若函数()()F x f x kx =- ()x D ∈有零点，则k 的取值范围是（ ）A ． B．C ． D． 3．已知函数()22,{52,x x af x x x x a+>=++≤，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )A ． [-1,1)B ． [-1,2)C ． [-2,2)D ． [0,2]4函数()()g x f x m =-，则下列说法错误的是（ ）A ． ，则函数()g x 无零点B ． ，则函数()g x 有零点C ．，则函数()g x 有一个零点，则函数()g x 有两个零点5,则实数m 的取值范围（ ） A ．B ．C ． (),16-∞D ．6．已知函如果存在实数,s t ，其中s t <，使得()()f s f t =，则t s -的取值范围是（ ）A ． [)32ln2,2-B ． []32ln2,1e --C ． []1,2e -D ． [)0,1e + 7．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]11,0.50==，已知函数，若方程()0fx =有且仅有3个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知函数f(x)=ln |x |−2ax 3+x 2，若f(x)有三个零点，则实数a 的取值范围是 A ． (−12,0)∪(0,12) B ． (−∞,−12)∪(12,+∞)C ． (−1,0)∪(0,1)D ． [−1,0)∪(0,1] 9()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ． 10与直线y x =的交点的横坐标是0x ，则0x 的取值范围是( )A．()1,2 D ．()2,3 11．已知函数()2221,2,{ 2,2,x x x x f x x --++<=≥且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ． ()4,5B ． [)4,5C ． (]4,5D ． []4,512 ()()g x f x a =-，若函数()g x 有四个零点，则a 的取值范围（ ）．A ． ()0,1B ． (]0,2C ． []0,1D ． (]0,113．设f(x)=(12)x −x 3，已知0<a <b <c ，且f(a)·f(b)·f(c)<0，若x 0是函数f(x)的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ）A ． x 0<aB ． 0<x 0<1C ． b <x 0<cD ． a <x 0<b14．已知函数f (x )={−x 2+4x, x ≤0ln (x +1), x >0 ，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围为A ． [−2,1]B ． [−4,1]C ． [−2,0]D ． [−4,0]15．函数f(x)按照下述方式定义，当x ≤2时，f(x)=−x 2+2x ；当x >2时，f(x)=12f(x −3)，方程f(x)=15的所有实数根之和是（ ）A ． 8B ． 12C ． 18D ． 2416．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，函数()()1g x xf x =-在[)7,-+∞上的所有零点之和为（ ） A ． 0 B ． 4 C ． 8 D ． 1617．已知(),,0,a b c ∈+∞且a b c ≥≥， 12a b c ++=， 45ab bc ca ++=，则a 的最小值为（ ）A ． 5B ． 10C ． 15D ． 2018．已知函数()cos f x x =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin sin f A f B ≤420C ．()()cos sin f A f B ≤D ．()()cos cos f A f B ≤19，则方程()()330f f x e -=的根的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 420．已知函数f(x)={x 2−2x,x ≥0e −x ,x <0，若方程|f(x)|=mx 有3个根，则m 的取值范围是（ ）A ． 0<m <2B ． m <−2或0<m <2C ． −e <m ≤2D ． m <−e 或0<m <221．已知函数若函数()()g x f x k =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ． ()0,+∞B ． [)1,+∞ C ． ()0,1 D ． ()1,+∞ 22．已知M 是函数在()0,x ∈+∞上的所有零点之和，则M 的值为（ ）A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1223且()()1f x f x =， ()()()1n n f x f f x -=，1,2,3,n =…．则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）． A ． 2n 个 B ． 22n 个 C ． 2n个 D ． ()221n -个 24．将函图象按向量()1,0a =平移，得到的函数图象与函数()2sin 24y x x π=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和等于（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 825．已知函数f(x)=x −√x(x >0),g(x)=x +e x ,ℎ(x)=x +lnx 的零点分别为x 1,x 2,x 3,则A ． x 1<x 2<x 3B ． x 2<x 1<x 3C ． x 2<x 3<x 1D ． x 3<x 1<x 2 26．R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时， ()2f x x =，则）A ． 4B ． 8C ． 5D ． 1027．3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．28．已知函数f(x)是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意实数x 都有f[f(x)−2x ]=3，当x ≥0时，函数g(x)=f(x)−31sinπx −1零点的个数为 A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 29．已知函数f (x )=e x x，若关于x 的方程f 2(x )+2a 2=3a |f (x )|有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (0,e2) B ． (e2,e) C ． (0,e ) D ． (0,+∞)302个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ． (－4,0)B ． (－4,0]C ． (－∞，0]D ． (－∞，0)31．把函数y =sin (4x −π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f (x )的图象，已知函数g (x )={f (x ),−11π12≤x ≤a 3x 2−2x −1,a <x ≤13π12 ，则当函数g (x )有4个零点时a 的取值集合为（ ） A ． (−5π12,−13)∪(π12,1)∪(7π12,13π12) B ． [−5π12,−13)∪[π12,1)∪[7π12,13π12)C ． [−5π12,−13)∪[7π12,13π12) D ． [−5π12,−13)∪[π12,1) 32．已知函数()()sin 1f x x ϕ=--（()f x 的一个零点是（ ）A．B ． C． D． 33．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，若()f x 在区间()0+∞，上无零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． []01，B ． []10-，C ． []02，D ． []11-，34．已知二次函数f(x)=x 2+bx +c(b ∈R,c ∈R)，M,N 分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M −N 的最小值 A ． 2 B ． 1 C ． 12 D ． 1435．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)则关于x 的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为( ) A ． 10 B ． 1－2aC ． 0D ． 21－2a36．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A ． 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ． 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭37．若*n N ∈时，不等式()6ln 0n nx x ⎛⎫-≥⎪⎝⎭恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ． []1,6 B ． []2,3 C ． []1,3 D ． []2,638．已知函数f (x )=(2x −2−x )∙x 3，若实数a 满足f (log 2a )+f (log 0.5a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围为A ． (−∞，12)∪(2，+∞) B ． (12，2)C ． [12，2]D ． (−∞，12]∪[2，+∞)39．已知函数f(x)=x 2e 2x +m|x|e x +1(m ∈R)有四个零点，则m 的取值范围为（ ） A ． (−∞,−e −1e ) B ． (−∞,e +1e ) C ． (−e −1e ,−2) D ． (−∞,−1e )40．定义运算,,{,,b a b a b a a b <⊗=≥设函数，若函数()()g x f x ax =-在区间()0,4上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 41．已知函数()222,0{ ,0x x x a x f x e ax e x ++<=-+-≥ 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ． (),e +∞C ． ()()0,1,e ⋃+∞D ． ()()20,1,e ⋃+∞42．已知1x 是函数f （x ）=x+1-ln （x+2）的零点， 2x 是函数g （x ）=2x -2ax 4a 4++的零点，且满足|12x -x |≤1，则实数a 的最小值是 A ． -1 B ． -2 C ．D ．43()f x[]1,x π∈时()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ． []0,ln ππD ． 44，在区间()0,1内任取两个数,p q ，且p q ≠，不等恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． [)4,+∞B ． (]1,4C ． [)10,+∞D ． []0,10 45．已知函数f (x )＝22,{ 52,x x ax x x a+>++≤函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ． [－1，1)B ． [0，2]C ． [－2，2)D ． [－1，2)46．已知f (x )是定义域为(0 ， +∞)的单调函数，若对任意x ∈(0 ， +∞)都有f (f (x )+log 13x)=4，且关于x 的方程|f (x )−3|=x 2−6x 2+9x −4+a 在区间(0 ， 3]上有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是A ． (0 ， 5]B ． [0 ， 5]C ． (0 ， 5)D ． [5 ， +∞)47，若方程()0f x kx -=有3个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ． 48．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．349．不等式xlnx +x 2+(a −2)x ≤2a 有且只有一个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ． [−1 ， +∞) B ． (−∞ ， −4−4ln2]∪[−1 ， +∞)C ． (−∞ ， −3−3ln3]∪[−1 ， +∞)D ． (−4−4ln2 ， −3−3ln3]∪[−1 ， +∞)50．若关于x 的方程.则实数a 的取值范围是（ ） A ． ()0,1 B ． (]0,1 C ． ()0,+∞ D ． ()1,+∞ 51．已知函数()()221,1{log 1,1x x f x x x +≤=->， ()2221g x x x m =-+-。
人教A版第三章函数的应用基础测试题(解析版)-高一数学寒假补差训练(人教A版必修1+必修2)
专题5：人教A 版第三章函数的应用基础测试题（解析版）一、单选题1．已知函数()2f x ax bx c =++满足()20f <且()30f >，则()f x 在()2,3上的零点（ ）． A ．至多有一个 B ．有1个或2个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有1．C 【分析】由零点存在定理可判定出结果. 【详解】由题意知：()f x 在R 上至多有两个零点.由零点存在定理知：若()()230f f ⋅<，则()f x 在()2,3上有且仅有一个零点. 故选：C .2．函数()ln 4f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,52．B 【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理判断． 【详解】(1)30f =-<，(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，∴零点在区间(2,3)上． 故选：B ．3．函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,63．C 【分析】分别计算()2f ，()3f ，()4f ，()5f ，()6f ，根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为()6ln f x x x =-+，所以()226ln 24ln 20f =-+=-+<，()336ln33ln30f =-+=-+<，()446ln 422ln 20f =-+=-+<， ()556ln51ln50f =-+=-+>，()666ln6ln60f =-+=>，由零点存在性定理，可得函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是()4,5， 即C 正确，ABD 错误. 故选：C.4．下列函数中，没有零点的是（ ）A ．2()log 7f x x =-B ．()1f xC ．()1f x x= D ．()2f x x x =+4．C 【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，由2()log 70f x x =-=可得72x =，即函数2()log 7f x x =-有零点；B 选项，由()10f x =得1x =，即函数()1f x 有零点；C 选项，由()10f x x ==解得，x 不存在，即函数()1f x x=没有零点； D 选项，由()20f x x x =+=解得1x =-或0，即函数()2f x x x =+有零点. 故选：C.5．函数()228f x x x =--零点是（ ）A ．2和4-B ．2-和4C ．()2,0和()4,0-D ．()2,0-和()4,05．B 【分析】解方程()0f x =，即可得出函数()f x 的零点. 【详解】解方程()0f x =，即2280x x --=，解得2x =-或4x =.因此，函数()228f x x x =--的零点是2-和4.故选：B.6．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：x1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 ()f x－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.56．C 【分析】根据二分法结合零点存在定理求解. 【详解】因为(1.375)0,(1.4375)0f f <>， 所以方程的解在区间()1.375,1.4375内， 又精确到0.1， 所以可取1.4 故选：C7．把函数2()log f x x =的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的零点是（ ）A ．3B ．5C ．34-D ．547．A 【分析】根据平移变换得到()g x ，令()g x 0=，解方程可得结果. 【详解】依题意得2()log (1)2g x x =+-，由()0g x =得2log (1)2x +=，得14x +=，得3x =. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键.8．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）A ．10y x =，0x >B ．110y x =，0x > C ．10y x =+，0x > D ．=9y x +，0x >8．A 【分析】根据一丈等于十尺，即可得出结果. 【详解】因为一丈等于十尺，所以“道高一尺魔高一丈”更适合用10y x =，0x >来表示； 故选：A.9．若32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.41D ．1.59．C 【分析】利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解. 【详解】因为(1.438)0.1650f =>，(1.4065)0.0520f =-<，(1.438)(1.4065)0f f ⨯<，所以方程的近似根在()1.4065,1.438，则近似根为1.41 故选：C10．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,210．C 【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.11．已知函数()25xf x ex --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ ）A ．14-B ．14C ．12D ．3411．D 【分析】利用零点存在定理求得整数m 的值，进而可求得42log mm +的值. 【详解】易知函数()f x 单调递减，又因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-. 所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=． 故选：D. 【点睛】本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.12．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用I (单位：瓦/米2，即2/m W )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L (单位：分贝)表示，它们满足换算公式：010lgI L I =(0L ≥，其中1220110/m I W -=⨯是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（ ） A ．15B ．1100C ．110D ．12012．C 【分析】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ，代入可得选项. 【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ， 由题意，得1210L L -=，即120010lg 10lg 10I II I -=， 解得21110I I =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数模型的应用，关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达，属于基础题.二、填空题13．函数()22f x x x =+-的零点为______________.13．2-和1 【分析】解方程220x x +-=，即可得出函数()y f x =的零点. 【详解】令()0f x =，得220x x +-=，解得1x =或2x =-. 因此，函数()22f x x x =+-的零点为2-和1.故答案为：2-和1.【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则实数k =_____________. 14．4 【分析】由题意建立关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值，再代入9y kx =-中，求得k 的值． 【详解】解37231x y x y -=⎧⎨+=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，代入9y kx =-得129k -=-， 解得4k =． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log 10Ov =，单位是m/s ，其中O 表示燕子的耗氧量.则当燕子静止时的耗氧量是______个单位. 15．10 【分析】当燕子静止时，速度为0，由此列方程，解方程求得O 的值. 【详解】若燕子静止，则0v =，即25log 0,11010O O==，所以10O =. 故填：10. 【点睛】本小题主要考查阅读理解能力，考查已知函数值以及函数解析式求自变量的值，属于基础题.16．已知函数3,0()1,0x x x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨-->⎪⎩有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______． 16．()2,+∞ 【分析】当0x ≤时，即()f x 恒有1个零点；当0x >时，得到相切时a 的值，即可求解。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质综合测试含解析新人教A版必修第一册
第三章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( C )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R[解析]要使函数有定义，则⎩⎨⎧1＋x ≥0x ≠0，解得x ≥－1且x ≠0，故选C ．2．下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( B ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝(x )2 C ．y ＝3x 3D ．y ＝x 2x[解析]A 、C 、D 选项中函数的定义域与题目中的定义域不同，故不是同一个函数． 3．(2021·某某某某高一期中测试)已知函数y ＝f (x )的部分x 与y 的对应关系如下表：则f [f (4)]A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．3[解析]由图表可知，f (4)＝－3，∴f [f (4)]＝f (－3)＝3.4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，12)，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间[12，1]上的最小值是( C )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4[解析]由已知得2α＝12，解得α＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间[12，1]上单调递增，则g (x )min ＝g (12)＝－3，故选C ．5．已知函数f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若f (－3)＝－2，则不等式f (x )≥－2的解集为( B )A ．[－3，0]B ．[－3，3]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝－2，所以f (x )≥－2的解集为[－3，3]．6．(2021·全国高考甲卷文科)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x )．若f (－13)＝13，则f (53)＝( C ) A ．－53B ．－13C ．13D ．53[解析]由题意可得：f (53)＝f (1＋23)＝f (－23)＝－f (23)，而f (23)＝f (1－13)＝f (13)＝－f (－13)，故f (53)＝13.故选C ．7．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f (－13)>0的x 的X 围是( A )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[解析]由题意可知，f (x )在(－∞，0]上为增函数，又f (x )为偶函数，故f (x )在(0，＋∞)上为减函数，由f (1－2x )>f (－13)可得－13<1－2x <13，解得13<x <23.故选A ．8．函数f (x )的定义域为[－1，1]，图象如图(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2，2]，图象如图(2)所示，方程f [g (x )]＝0有m 个实数根，方程g [f (x )]＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( C )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析]f [g (x )]＝0，令t ＝g (x )，则t 1＝－1，t 2＝0，t 3＝1，令g (x )＝－1，x 有2个根；令g (x )＝0，x 有3个根，令g (x )＝1，x 有2个根，∴f [g (x )]＝0共有7个根．g [f (x )]＝0，令f (x )＝t ，g (t )＝0，则t ＝0，即f (x )＝0，x 有3个值，所以m ＋n ＝10.故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( CD ) A ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞) B ．单调增区间是(－∞，1]C ．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]D ．单调增区间是[－1，1][解析]要使函数有定义，则－x 2＋2x ＋3≥0，即(x －3)(x ＋1)≤0，－1≤x ≤3.所以函数的定义域为[－1，3]，值域为[0，2]，在[－1，1]上单调增，故选CD ．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题中是正确命题的是( ABD ) A ．f (0)＝0B ．若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1C ．若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数D ．若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x[解析]奇函数在对称的区间上单调性相反，故C 错误，其余都正确．11．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）（若f （x ）≥g （x ））f （x ）（若f （x ）<g （x ）），则F (x )( BC )A ．最小值－1B ．最大值为7－27C ．无最小值D ．无最大值[解析]作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选BC ．12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0，ab <0B ．a ＋b <0，ab >0C ．a ＋b <0，ab <0D ．以上都可能[解析]由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或mm ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x )．结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋ba ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立．故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．(2021·某某黄陵中学高一期末测试)函数f (x )＝4－2x ＋1x ＋1的定义域是{x |x ≤2且x ≠－1}．[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ≥0x ＋1≠0，解得x ≤2且x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2且x ≠－1}．14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于4．[解析]∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83，∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.15．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(9，3)，则f (12)2f (1x －1)的定义域为(0，1]．[解析]幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，所以3＝9α，所以α＝12，所以幂函数f (x )＝x ，故f (12)＝22，故1x－1≥0，解得0<x ≤1. 16．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f (x )＝x －[x ]，则下列说法正确的是①②③．①f (－0.8)＝0.2；②当1≤x <2时，f (x )＝x －1；③函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，1)； ④函数f (x )是增函数，奇函数．[解析]①f (－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确． ②当1≤x <2时，f (x )＝x －[x ]＝x B 正确．③函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x －[x ]表示x 的小数部分，所以值域为[0，1)，正确． ④x ＝0.5时，f (0.5)＝0.5，x ＝1.5时，f (1.5)＝0.5，所以f (x )不是增函数；且f (－1.5)＝f (1.5)，所以f (x )也不是奇函数．故填①②③.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (1)＝2，f (2)＝－1. (1)求f (m ＋1)的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明．[解析](1)由f (1)＝2，f (2)＝－1，得a ＋b ＝2，2a ＋b ＝－1，即a ＝－3，b ＝5， 故f (x )＝－3x ＋5，f (m ＋1)＝－3(m ＋1)＋5＝－3m ＋2.(2)f (x )在R 上是减函数．证明：任取x 1<x 2(x 1，x 2∈R )，则f (x 2)－f (x 1)＝(－3x 2＋5)－(－3x 1＋5)＝3x 1－3x 2＝3(x 1－x 2)，因为x 1<x 2，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在R 上单调递减．18．(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f [f (x )]＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈[－1，a ]上的最大值．[解析](1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)，由于f [f (x )]＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1，综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6（－1<a ≤5），a 2－4a ＋1（a >5）.19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30(t ∈N *)．设商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大时是第几天．[解析]设日销售金额为y 元，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800（0<t <25，t ∈N *），t 2－140t ＋4 000（25≤t ≤30，t ∈N *）.当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900.①当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125.②结合①②得y max ＝1 125.因此这种商品日销售金额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额最大．20．(本小题满分12分)函数f (x )＝x ＋a x 2＋bx ＋1是定义在[－1，1]上的奇函数．(1)确定函数f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )的单调性； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.[解析](1)因为f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，即x ＋a x 2＋bx ＋1＝－－x ＋ax 2－bx ＋1，所以a ＝0，b ＝0，所以f (x )＝xx 2＋1.(2)取－1≤x 1<x 2≤1，则x 1x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(3)因为f (t －1)＋f (t )<0，所以f (t －1)<f (－t )． 因为f (x )在[－1，1]上单调递增， 所以－1≤t －1<－t ≤1，解得0≤t <12.所以不等式的解集为{t |0≤t <12}．21．(本小题满分12分)如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： ①f (x )在D 上是单调函数；②存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析]设x 1，x 2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x 1<x 2，则有f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋2x 2)－(x 21＋2x 1)＝(x 22－x 21)＋2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)． ∵－1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2＋2>0. ∴(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a f （b ）＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝ab 2＋2b ＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.又∵－1≤a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x 在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1，0]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝x ＋tx 有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t )上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，某某数a 的值．[解析](1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0，1]，∴1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u －8，u ∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以单调减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以单调增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0，1]．由题意知，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。
新课标人教A版必修1高1年级第三章函数的应用自主检测试卷及答案
第三章自主检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．函数f (x )＝x 2－4的零点是( ) A ．1 B ．－2C ．2，－2D ．不存在2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C.⎝⎛⎭⎫1，1e D ．(e ，＋∞) 3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，三个函数的增长速度比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )4．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水的速度如图3-1(1)、(2)．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图3-1(3)(至少打开一个进水口)．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．图3-1则正确的论断是( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 5．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y (单位：公顷)关于时间x (单位：年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x6．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－127．已知函数f (x )的一个零点x 0∈(2,3)，在用二分法求精确度为0.01的x 0的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最少( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内9．某商品零售价2013年比2012年上涨25%，欲控制2014年比2012年只上涨10%，则2014年应比2013年降价()A．15% B．12%C．10% D．50%10．将进货单价为80元的商品按90元出售，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应该为()A．92元B．94元C．95元D．88元二、填空题(每小题5分，共20分)11．函数f(x)＝2ax＋4a＋6在区间(－1,1)上有零点，则实数a的取值范围是____________．12．某厂2003年的产值为a万元，预计产值每年以增长率为b的速度增加，则该厂到2015年的产值为____________．13．若方程2ax2－1＝0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是____________．14．函数f(x)＝2x＋x－2的零点有________个．三、解答题(共80分)15．(12分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．16．(12分)函数y＝x2＋(m＋1)x＋m的两个不同的零点是x1和x2，且x1，x2的倒数平方和为2，求m的值．17．(14分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系式为y＝－x2＋14x－24.(1)每辆客车从第几年起开始盈利？(2)每辆客车营运多少年，可使其营运的总利润最大？18．(14分)函数f(x)＝(x－3)2和g(x)＝x的图象如图3-2所示，设两函数交于点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图3-2中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{0,1,2,3,4,5,6}，指出a，b的值，并说明理由．图3-219．(14分)某工厂现有甲种原料360 kg ，乙种原料290 kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共50件．已知生产一件A 产品，需要甲种原料9 kg ，乙种原料3 kg ，可获利润700元；生产一件B 产品，需用甲种原料4 kg ，乙种原料10 kg ，可获利润1200元．(1)按要求安排A ，B 两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；(2)设生产A ，B 两种产品获总利润y (单位：元)，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪种方案获利最大？最大利润是多少？20．(14分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力[f (x )的值越大，表示接受能力越强]，x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，有以下的关系式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43(0<x ≤10)，59(10<x ≤16)，－3x ＋107(16<x ≤30).(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能持续多少分钟？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力在哪一个时间段强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？(4)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M ＝f (5)＋f (10)＋…＋f (30)6，它能高于45吗？综合能力检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]2．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 3．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．设f (x )＝g (x )＋5，g (x )为奇函数，且f (－7)＝－17，则f (7)的值等于( ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．12 5．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和－2 B ．1和2 C.12和13 D ．－12和－136．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝x －2D ．f (x )＝x －1 7．直角梯形ABCD 如图Z-1(1)，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．如果函数y ＝f (x )的图象如图Z-1(2)，那么△ABC 的面积为( )(1) (2)图Z-1A ．10B ．32C ．18D ．168．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数10．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利1元C ．甲盈利9元D ．甲亏本1.1元 二、填空题(每小题5分，共20分)11．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg25÷10012-＝__________.12．已知f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的最大值是__________．13．y ＝f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (2)＝6；则当x ≥0时，f (x )的解析式为__________．14．函数y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]的最小值为________；最大值为________．三、解答题(共80分)15．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(11－x 2)>1}，B ＝{x |x 2－x －6>0}，M ＝{x |x 2＋bx ＋c ≥0}．(1)求A ∩B ；(2)若∁U M ＝A ∩B ，求b ，c 的值．16．(12分)已知函数f (x )＝bxax 2＋1(b ≠0，a >0)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝12log 24，求a ，b 的值．17．(14分)方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根在(－2,0)内，另一根在(1,3)内，求参数a 的取值范围．18．(14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？19．(14分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)试判断f (x )在(－∞，0]上的单调性，并证明； (4)求f (x )的最小值．20．(14分)已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6.(1)证明：函数f (x )在其定义域上是增函数； (2)证明：函数f (x )有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.第三章自主检测 1．C 2.B3．B 解析：指数增长最快．虽然当2<x <4时，2x <x 2，但当x ∈(4，＋∞)时，2x >x 2，且增长速度越来越快．4．A 解析：由图可知进水速度为1/单位时间，出水量为2/单位时间．由图可观察，3小时水量达到6，所以没有出水.3～4点，只减少1个单位，所以1个进水口进水，1个出水口出水.4～6点可能同时2个进水口与出水口都开．5．C 解析：因为沙漠的增加速度越来越快，所以排除A ，D ，将x ＝1,2,3分别代入B ，C 可发现，C 中的函数较符合条件．6．C 解析：由题意，知a ≠0，且b ＝－2a .令g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝－12.7．C 8.A 9.B10．C 解析：设商品涨x 元，则利润为(10＋x )(400－20x )＝－20(x －5)2＋4500，x ∈Z ，－10≤x ≤20，∴当x ＝5时，获得利润最大，此时售价为90＋5＝95(元)． 11．(－3，－1)12．a (1＋b )12 解析：共12年，1年后为a (1＋b )，2年后为a (1＋b )2，…，12年后为a (1＋b )12.13．a >12解析：设函数f (x )＝2ax 2－1，由题意可知，函数f (x )在(0,1)内恰有一个零点．∴f (0)·f (1)＝－1×(2a －1)<0，解得a >12.14．1 解析：画出函数y 1＝2x和y 2＝－x ＋2的图象，如图D35，两函数的交点只有一个，故函数f (x )的零点有1个．图D3515．解：令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数． ∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0， f (2)＝4×8＋2－15＝19>0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．16．解：∵x 1和x 2是函数y ＝x 2＋(m ＋1)x ＋m 的两个不同的零点， ∴x 1和x 2是方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个不同的根． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m .① 又2＝1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22x 21x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(x 1x 2)2，将①代入，得(－m －1)2－2mm 2＝2，解得m ＝1或m ＝－1.∵Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2＞0， ∴m ≠1，即m ＝－1.17．解：(1)y ＝－x 2＋14x －24>0，即x 2－14x ＋24<0，解得2<x <12，所以每辆客车从第3年起开始盈利． (2)y ＝－x 2＋14x －24＝－(x －7)2＋25.故当每辆汽车营运7年，可使其营运的总利润最大．18．解：(1)C 1对应的函数为f (x )＝(x －3)2，C 2对应的函数为g (x )＝x . (2)a ＝1，b ＝4.理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝(x －3)2－x ， 则x 1，x 2为函数φ(x )的零点， 由于φ(0)＝9>0，φ(1)＝3>0， φ(2)＝1－2<0，φ(3)＝－3<0， φ(4)＝－1<0，φ(5)＝4－5>0.则方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(4,5)， 因此a ＝1，b ＝4.19．解：(1)设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(50－x )件，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4(50－x )≤360，3x ＋10(50－x )≤290， 解得30≤x ≤32.∵x 是整数，∴x 只能取30,31,32.∴生产方案有3种，分别为A 种30件，B 种20件；A 种31件，B 种19件；A 种32件，B 种18件．(2)设生产A 种产品x 件，则y ＝700x ＋1200(50－x )＝－500x ＋60 000. ∵y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝30时，y 值最大，y max ＝－500×30＋60 000＝45 000.当安排生产A 种产品30件，B 种产品20件时，获利最大，最大利润是45 000元． 20．解：(1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故当0<x ≤10时，f (x )递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59. 显然，当16<x ≤30时，f (x )递减，f (x )<－3×16＋107＝59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强的接受能力，并能维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，因此，开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )≥55，则(x －13)2≤49， ∴6≤x ≤10.当10<x ≤16时，f (x )＝59>55；当16<x ≤30时，令f (x )≥55，则x ≤1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13，老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．(4)∵f (5)＝53.5，f (10)＝59，f (15)＝59， f (20)＝47，f (25)＝32，f (30)＝17，∴M ＝53.5＋59＋59＋47＋32＋176≈44.6<45.故平均值不能高于45.综合能力检测 1．B2．A 解析：由已知U ＝(0，＋∞)．P ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.故选A. 3．D 4.C 5.D 6.B 7.D8．C 解析：由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，可得b ＝4，c ＝2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0， 所以方程f (x )＝x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋2＝x . 所以x ＝2或x ＝－1或x ＝－2.故选C.9．C10．B 解析：由题意知，甲盈利为1000×10%－1000×(1＋10%)×(1－10%)×(1－0.9)＝1(元)．11．－2012．3 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(m －2)·(－x )2－(m －1)x ＋3＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3，∴m ＝1.∴f (x )＝－x 2＋3.f (x )max ＝3.13．－x 2＋5x14.54 32 解析：y ＝2x －1x ＋1＝2x ＋2－3x ＋1＝2－3x ＋1，显然在(－1，＋∞)单调递增，故当 x ∈[3,5]时，f (x )min ＝f (3)＝54，f (x )max ＝f (5)＝32. 15．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 11－x 2>0，11－x 2>2⇒－3<x <3，∴A ＝{x |－3<x <3}． ∵x 2－x －6>0，∴B ＝{x |x <－2或x >3}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－2}．(2)∁U M ＝A ∩B ＝{x |－3<x <－2}＝{x |x 2＋bx ＋c <0}，∴－3，－2是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝(－3)＋(－2)，c ＝(－3)·(－2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝6. 16．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－bx ax 2＋1＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (2)由f (1)＝b a ＋1＝12，则a －2b ＋1＝0. 又log 3(4a －b )＝1，即4a －b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 17．解：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则其图象是开口向上的抛物线．因为方程f (x )＝0的两根分别在(－2,0)和(1,3)内， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.故参数a 的取值范围是(－12,0)．18．解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12(辆)． 所以这时租出的车辆数为100－12＝88(辆)．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎫100－x －300050(x －150)－⎝⎛⎭⎫x －300050×50所以f (x )＝－150x 2＋162x －21 000 ＝－150(x －4050)2＋307 050. 所以当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为307 050，即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．19．解：(1)由已知，得⎩⎨⎧ 2＋2a ＋b ＝52，4＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0. (2)由(1)，知f (x )＝2x ＋2－x ，任取x ∈R ，有f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)任取x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(12x ＋12x -)－(22x ＋22x -)＝(12x －22x )＋121122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(12x －22x )121122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(12x －22x )121222122x x x x -. ∵x 1，x 2∈(－∞，0]且x 1<x 2，∴0<12x <22x ≤1.从而12x －22x <0,12x ·22x －1<0,12x ·22x >0， 故f (x 1)－f (x 2)>0.∴f (x )在(－∞，0]上单调递减．(4)∵f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )为偶函数，可以证明f (x )在[0，＋∞)上单调递增(证明略)．∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)；当x ≤0时，f (x )≥f (0)．从而对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (0)＝20＋20＝2，∴f (x )min ＝2.20．(1)证明：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，设0<x 1<x 2，则ln x 1<ln x 2,2x 1<2x 2.∴ln x 1＋2x 1－6<ln x 2＋2x 2－6.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)证明：∵f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3>0，∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点，又由(1)，知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，因此函数至多有一个根，从而函数f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)解：f (2)<0，f (3)>0，∴f (x )的零点x 0在(2,3)上，取x 1＝52，∵f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－1<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫52·f (3)<0.∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，3. 取x 1＝114，∵f ⎝⎛⎭⎫114＝ln 114－12>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫52·⎝⎛⎭⎫114<0.∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，114. 而⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，∴⎝⎛⎭⎫52，114即为符合条件的区间．。
高中数学 第三章 函数概念与性质单元测试卷精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一
第三章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞)2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x∈Q是以他名字命名的函数，则D(D(π))＝( )A ．1B ．0C ．πD ．－13．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x 2－2x ＋1，则f(－1)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域是( )A ．[－4,0]B ．[－4,0)C ．[－4，－1)∪(－1,0]D ．(－4,0)5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm －2的图象不过原点，则m 的取值X 围为( )A ．1≤m≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝16．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0，若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值X 围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,4)D ．(－∞，1)8．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( )A ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D ．单调增区间是[－1,1] 10．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)211．关于定义在R 上的函数f (x )，下列命题正确的是( ) A ．若f (x )满足f (2 018)>f (2 017)，则f (x )在R 上不是减函数 B ．若f (x )满足f (－2)＝f (2)，则函数f (x )不是奇函数C ．若f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f (x )在R 上是减函数D ．若f (x )满足f (－2 018)≠f (2 018)，则函数f (x )不是偶函数12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[m ，n ]上有最大值f (n )D ．f (x －1)>0的解集为(－∞，1)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．15．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ，则a ＝________，f (－3)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X围为________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断f (x )在区间[3,5]上的单调性并证明； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (－2))的值； (2)若f (a )＝32，求a .19．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }满足：(1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f (x )的解析式，并求当x ∈[0,3]时，f (x )的值域．20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，某某数k的取值X围．21．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？22．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值X围．第三章单元测试卷1．解析：根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.答案：D2．解析：∵函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x ∈Q，∴D (π)＝0，D (D (π))＝D (0)＝1.故选A.答案：A3．解析：令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，令x ＝－1，得f (－1)＋g (－1)＝5，两式相加得：f (1)＋f (－1)＋g (1)＋g (－1)＝6.又∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．∴2f (－1)＝6， ∴f (－1)＝3，故选A. 答案：A4．解析：∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤－x2≤2，x ＋1≠0，∴－4≤x ≤0且x ≠－1.∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．答案：C5．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＝1或m ＝2，∴m ＝1或m ＝2.答案：B6．解析：设x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝x 2－2(－x )＝x 2＋2x .故f (x )＝|x |(|x |－2)．答案：D 7.解析：f (x )的图象如图．由图知， 若f (x －4)>f (2x －3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值X 围是(－1,4)． 答案：C8．解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A9．解析：f (x )＝－x 2＋2x ＋3则定义域满足：－x 2＋2x ＋3≥0解得：－1≤x ≤3 即定义域为[－1,3]考虑函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在－1≤x ≤3上有最大值4，最小值0. 在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为[－1,3]，值域为[0,2]，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故选CD. 答案：CD10．解析：f (2x －1)＝(2x －1)2＋2(2x －1)＋1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确．故选BD.答案：BD11．解析：由题意，对于A 中，由2 018>2 017，而f (2 018)>f (2 017)，由减函数定义可知，f (x )在R 上一定不是减函数，所以A 正确；对于B 中，若f (x )＝0，定义域关于原点对称，则f (－2)＝f (2)＝－f (2)，则函数f (x )可以是奇函数，所以B 错误；对于C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C 不正确；对于D 中，若f (x )是偶函数，必有f (－2 018)＝f ( 2018)，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，故A 正确；再令y ＝－x ，代入原式得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )，令x 1<x 2，再令x 1＝x ＋y ，x 2＝x ，则y ＝x 1－x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[m ，n ]上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又f (x －1)>0，即f (x －1)>f (0)，结合原函数在定义域内是减函数可得，x －1<0，解得x <1，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－314．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：115．解析：由定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ， 可得f (0)＝a ＝0，当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ， 则f (－3)＝－f (3)＝－(32－2×3)＝－3. 答案：0 －316．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 17．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上为增函数，证明如下： 设x 1，x 2是[3,5]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵3≤x 1≤x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[3,5]单调递增，所以 函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，函数f (x )的最大值为f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32.18．解析：(1)因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， 所以f (f (－2))＝f (－1)＝2.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，所以a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，所以a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，所以a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22. 19．解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件(1)(2)都不满足； 当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件(1)(2)都满足． 因此m ＝0，且f (x )＝x 3在区间[0,3]上是增函数， 所以0≤f (x )≤27，故f (x )的值域为[0,27]． 20．解析：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x ) ＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －22＋2，x ≥0，－x ＋22＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．21．解析：(1)由题意知D 地距B 城(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧100－x ≥10，x ≥10，∴10≤x ≤90.设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)． 又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)．(2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 时，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元． 22．解析：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.(2)因为f (x )＋f (x －2)≤3， 所以f [x (x －2)]≤f (8)，又因为对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x x －2≤8，解得2<x ≤4.故x 的取值X 围为(2,4]．。
高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.3 习题(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0， 故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ， 由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15， 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。
高中数学 第三章 函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学
第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.4 函数的应用(一)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新
3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。
高中数学 第三章 函数的概念与性质检测试题(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试
第三章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(B)A．(－4,3) B．(－4,2]C．(－∞，2] D．(－∞，3)解析：∵集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|－4<x≤2}，用区间表示为(－4,2]，故选B.2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(B)解析：代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；又f(－1)＝2，∴排除D.3．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值X围是(D)A．a≤2 B．a≥－2C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2，或a≥2.4．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：令3x ＋2＝t ，则3x ＝t －2，故f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2. 5．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( A ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( D )A ．(－∞，3)B ．(3，＋∞)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.7．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( C )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.8．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( C )A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．9．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则a 的值为( C ) A ．0 B ．1或2 C ．1D ．2解析：二次函数y ＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象开口向上，且对称轴为x ＝a ，所以该函数在[0，a ]上为减函数，因此有a ＋2＝3且a 2－2a 2＋a ＋2＝2，得a ＝1.10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A. 11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，故④正确．12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值X 围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2)∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m ≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 1上为增函数．函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值X 围是(0,1]∪[3，＋∞)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≥2，2x ，x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝ 6.解析：∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6， 当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6.14．若函数f (x )＝x(x ＋1)(2x －a )为奇函数，则a ＝2.解析：由题意知x ≠－1且x ≠a2.因为函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故x ≠1，即a2＝1，a ＝2.15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫1，32.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋a －1，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥(3－2a )×1－1，解得1≤a <32.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求f (－1)以及实数m 的值；(2)在给出的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象并写出f (x )的单调区间．解：(1)由已知得f (1)＝1， 又f (x )为奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－1.又由函数表达式可知f (－1)＝1－m ，所以1－m ＝－1，所以m ＝2. (2)y ＝f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1]．y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 18．(12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，某某数a 的取值X 围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值X 围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1， 化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.19．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求：(1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)， 由2≤x 1<x 2≤6可得2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减． 故当x ＝2时，f (x )取得最大值－43；当x ＝6时，f (x )取得最小值－127.20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|，a 为实数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,3]上的最小值和最大值；(2)若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1或x >2，2x 2－x －2，－1≤x ≤2，结合图象可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14 ，3上单调递增， f (x )在[0,3]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫14＝－178， f (x )在[0,3]上的最大值为f (3)＝5. (2)令x 2－ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0， 必有两根x 1＝a －a 2＋82，x 2＝a ＋a 2＋82， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 2＋82≥－1a 4≤2，即可，解得1≤a ≤8.21．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费时，超过部分每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：的值． 解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m . ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②， 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a . ④ ③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1. (1)求m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)若f (x )≤a 3对x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13恒成立，求a 的取值X 围． 解：(1)因为奇函数f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.故有f (0)＝0＋m 02＋n ×0＋1＝0， 解得m ＝0.所以f (x )＝x x 2＋nx ＋1. 由f (－1)＝－f (1)．即－1(－1)2＋n ×(－1)＋1＝－112＋n ×1＋1， 解得n ＝0.所以m ＝n ＝0.(2)证明：由(1)知f (x )＝x x 2＋1，任取－1<x 1<x 2<1. 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1 ＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 22－x 2x 21＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1， 所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝310.由题意可得a 3≥310，解得a ≥910. 故a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫910，＋∞.。
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程章末检测试卷三含解析新人教A版选择性必修第一册
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．4 3 答案 D解析 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 A解析 因为|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，所以a ＝2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|32＋12＝32，故选B. 4．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率为32，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 23＝1C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 D解析 由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，所以a ＝4，又e ＝c a ＝32，所以c ＝23，所以b 2＝42－(23)2＝4，所以椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.5．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1—→·PF 2—→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 答案 C解析 由渐近线方程为y ＝x ，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x 2－y 2＝2， 于是两焦点分别是F 1(－2,0)和F 2(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取点P (3，1)， 则PF 1—→＝(－2－3，－1)，PF 2—→＝(2－3，－1)．所以PF 1—→·PF 2—→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.6.如图，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O为原点)，则该椭圆的离心率是( )A.22 B.24 C.12 D.32答案 A解析 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac，即b ＝c .于是b 2＝c 2， 即a 2＝2c 2.所以e ＝c a ＝22. 7．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64>0， 所以0<k <1， 所以x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1,22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.8.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2 B.15 C.13 D. 3 答案 C解析 ∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨令|AB |＝3，|BF 2|＝4，|AF 2|＝5， ∵|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，∴∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 1|＋3－4＝5－|AF 1|，∴|AF 1|＝3，∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，∴a ＝1，|BF 1|＝6. 在Rt△BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2＝36＋16＝52， 又|F 1F 2|2＝4c 2，∴4c 2＝52， ∴c ＝13，∴e ＝13.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知方程mx 2＋ny 2＝1(m ，n ∈R )，则( ) A ．当mn >0时，方程表示椭圆 B ．当mn <0时，方程表示双曲线 C ．当m ＝0时，方程表示两条直线 D ．方程表示的曲线不可能为抛物线 答案 BD解析 A 项，取m ＝n ＝1，此时表示圆，错误；B 项，当mn <0时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，正确；C 项，当m ＝0，n ＝0时，方程不成立，错误；D 项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确． 10．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案 AB解析 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.准线方程为y ＝－116.11．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．± 3C ．± 5D ．±413答案 BD解析 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2. 将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，即k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 12．设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是( )A.||PF 1＋||PF 2＝2 2 B ．离心率e ＝62C ．△PF 1F 2面积的最大值为 2D ．以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切 答案 AD解析 对于A 选项，由椭圆的定义可知||PF 1＋||PF 2＝2a ＝22，所以A 选项正确． 对于B 选项，依题意a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以e ＝c a＝12＝22，所以B 选项不正确． 对于C 选项，||F 1F 2＝2c ＝2，当P 为椭圆短轴端点时，△PF 1F 2的面积取得最大值为12·2c ·b＝c ·b ＝1，所以C 选项错误．对于D 选项，线段F 1F 2为直径的圆的圆心为()0，0，半径为c ＝1，圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为22＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y－2＝0相切，所以D 选项正确． 综上所述，正确的为AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．答案x 216＋y 212＝1 解析 双曲线的焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)， 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线x ＝14y 2的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)答案 5x 2－54y 2＝1 y ＝±2x解析 抛物线x ＝14y 2的方程化为标准形式为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)，则得a 2＋b 2＝1，又e ＝c a ＝5，易求得a 2＝15，b 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x . 15．过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0的直线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若A为线段EB 的中点，且|AF |＝3，则p ＝________. 答案 4解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，|AF |＝x 1＋p2，又|AF |＝3，所以x 1＝3－p 2，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x 1＝x 2－p22，y 1＝y 2＋02，所以x 2＝6－p2，y 2＝2y 1，所以y 22＝4y 21，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2＝4y 21＝4×2px 1＝4×2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，结合p >0可得p ＝4.16．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________．答案 8解析 由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程． 解 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝ca ＝63， 所以a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆的方程；(2)若|MN |＝322，求直线MN 的方程．解 (1)由题意有4a 2＋1b 2＝1，e ＝c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝3，c ＝3，所以椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，可设直线MN 方程为y ＝k (x －3)， 代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0，Δ＝24－24k 2>0，得k 2<1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝k 2＋1x 1－x 22＝k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，解得k ＝±22，满足k 2<1， 所求直线方程为y ＝±22(x －3)． 19．(12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m .(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)．因为直线l 与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得－32≤m ≤3 2.故所求实数m 的取值范围为[－32，32]．(2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189 ＝133·－m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1 ＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝2k －2x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝2k －2×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 即y 1－x 1＝x 1－y 2x 1x 2，即|AM |＝|BA |， 故A 为线段BM 的中点．21．(12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100. (2)12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563.①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6， ∴b ＝8.22．(12分) 已知抛物线C ：y 2＝4x ，A ()1，2，B ()m ，0，其中m >0，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N .(1)当m ＝5，且直线l 垂直于x 轴时，求证：△AMN 为直角三角形； (2)若OP →＝OA →＋OB →，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM ⊥AN . (1)证明 由题意l ：x ＝5，代入y 2＝4x 中， 解得y ＝±25，不妨取M (5,25)，N (5，－25)， 则AM →＝(4,25－2)，AN →＝(4，－25－2)，所以AM →·AN →＝(4,25－2)·(4，－25－2)＝16－(20－4)＝0， 所以AM ⊥AN ，即△AMN 为直角三角形得证．(2)解 由题意可得四边形OAPB 为平行四边形，则k BP ＝k OA ＝2，设直线l ：y ＝2(x －m )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －m ，y 2＝4x ，得y 2－2y －4m ＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m >0，y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－4m ， 因为AM ⊥AN 则AM →·AN →＝0，又AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 化简，得(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0，即y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，代入解得m ＝6. 故m ＝6时，有AM ⊥AN .。
高一数学新教材人教版必修一第三章函数的概念与性质测试卷含答案
（Ⅲ）若 f (x) 在区间[2, ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
19.（本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
ax x2
b 1
是定义在
(1,1)
上奇函数,
且 f (1) 3 .
3 10
（Ⅰ）判断函数 f (x) 在 (1,1) 上的单调性，并用
定义证明；
（Ⅱ）若实数 t 满足 f (2t 1) f (t 1) 0 ，求实
4
5.令 t 1 x 0, 则 y 2 2t2 t 2(t 1)2 17 17
4 88
6.
y
x(x 2),(x x(x 2),(
2) x 2)
，作出图象即可.
7.函数 f (x) ax 2a 1,(a 0) 在 (0, ) 上单 x
调递增,又 m2 1 0,m2 m 3 0
x3 数,则实数 a 的取值范围是
15.已知函数 f (x) x5 3x3 5x 3 ,若 f (a) f (a 2) 6 ，则实数 a 的取值范围是
16.已知 m R ,函数 f (x) x 3 m m 在[2, x 1
5] 上的最大值是 5 ,则 m 的取值范围是
三、解答题：（写出必要的文字说明，推理过程或 演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 设函数 f (x) ax2 (b 2)x 3 . （Ⅰ）若 f (1) 3 ，且 a 0,b 0 ,求 b 1 的最
9.已知奇函数 y f (x) 的图象关于直线 x 2 对称,
且 f (m) 3,且 f (m 4) 的值为（ ）
A. 3
B. 0
C. 3
D. 1
3
10.已知函数 f (x 1) 是偶函数,且 x 1 时, f (x) 单调递减,设 a f ( 1),b f (3),c f (0) ，则 a,
新教材高中数学单元素养测评卷三第三章函数的概念与性质新人教A版必修第一册
单元素养测评卷(三) 函数的概念与性质一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝|x|B ．y ＝2－xC ．y ＝x 3＋xD ．y ＝－x 2＋82．[2022·山东临沂一中高一月考]函数f(x)＝1x －2 －(x －3)0的定义域是( ) A ．[2,＋∞) B ．(2,＋∞) C ．(2,3)∪(3,＋∞) D ．[3,＋∞)3．下列各组函数表示相同函数的是( )A ．f(x)＝x 2 和g(x)＝(x )2B ．f(x)＝1和g(x)＝x 0C ．f(x)＝|x|和g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x<0 D ．f(x)＝x ＋1和g(x)＝x 2－1x －14．向高为H 的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是( )5．下图是函数y ＝f(x)的图象,f(6)的值为( )A .3B ．4C ．5D ．66．使幂函数y ＝x α为偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数的α值为( )A ．－1B ．－23C ．－12D ．27．某电影票单价30元,相关优惠政策如下：①团购10张票,享受9折优惠；②团购30张票,享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策,现需要购买48张电影票,合理设计购票方案,费用最少为( )A ．1 180元B ．1 230元C ．1 250元D ．1 152元8．[2022·河北张家口高一期末]设奇函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f(2)＝0,则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集是( )A ．{x|0<x<2}B ．{x|x<－2或x>2}C ．{x|x>2}D ．{x|－2<x<0或0<x<2}二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．)9．[2022·广东湛江高一期末]下列函数中,在(0,＋∞)上的值域是(0,＋∞)的是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 2－2x ＋1C ．y ＝3xD ．y ＝x 310．下列函数中,满足f(2x)＝2f(x)的是( )A ．f(x)＝|2x|B ．f(x)＝xC ．f(x)＝xD ．f(x)＝1x11．设函数f(x)、g(x)的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论正确的是( )A ．f (x )·g (x )是奇函数B ．|f (x )|·g (x )是偶函数C ．f (x )·|g (x )|是偶函数D ．|f (x )·g (x )|是奇函数12．给定函数f (x )＝x ＋1,g (x )＝(x ＋1)2,x ∈R ,用M (x )表示f (x ),g (x )中较大者,记为M (x )＝max{f (x ),g (x )},则下列错误的说法是( )A ．M (2)＝3B ．∀x ≥1,M (x )≥2C ．M (x )有最大值D ．M (x )最小值为0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分．)13．[2022·广东茂名高一期末]我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观,形缺数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事休,在数学学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质．请写出一个在(0,＋∞)上单调递增且图象关于y 轴对称的函数：________．14．[2022·湖南岳阳高一期末]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0x ＋2，x <0,则f (f (－1))＝________．15．[2022·清华附中高一期末]已知x ∈[－3,－1],则函数y ＝x ＋4x＋2的最大值为________,最小值为________．16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(－∞,0)上是增函数,且f (2)＝0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)[2022·湖南新化高一期末]已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求f (x )的定义域和f (－3)的值； (2)当a >0时,求f (a ),f (a －1)的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)把函数y ＝f (x )的解析式写成分段函数的形式； (2)在坐标系中画出y ＝f (x )的图象．19．(本小题满分12分)[2022·山东枣庄高一期末]已知函数f (x )＝mx ＋11＋x2是R 上的偶函数．(1)求实数m 的值,判断函数f (x )在[0,＋∞)上的单调性(不必证明)； (2)求函数f (x )在[－3,2]上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)[2022·河北秦皇岛高一期末]已知函数f (x )＝x －1x.(1)判断f (x )在区间(0,＋∞)上的单调性,并用定义证明； (2)判断f (x )的奇偶性,并求f (x )在区间[－2,－1]上的值域．21．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),当x >0时,f (x )＝1－x x.(1)若a >0,求f (－a )；(2)当x <0时,求f (x )的解析式；(3)若f (m )＝12,求m 的值．22．(本小题满分12分)某企业开发生产了一种大型电子产品,生产这种产品的年固定成本为2 500万元,每生产x 百件,需另投入成本c (x )(单位：万元),当年产量不足30百件时,c (x )＝10x 2＋100x ；当年产量不小于30百件时,c (x )＝501x ＋10 000x－4 500；若每件电子产品的售价为5万元,通过市场分析,该企业生产的电子产品能全部销售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (百件)的函数关系式；(2)年产量为多少百件时,该企业在这一电子产品的生产中获利最大？单元素养测评卷(三)1．答案：C解析：由y ＝|x |,可得f (－x )＝|－x |＝|x |＝f (x ),x ∈R ,即f (x )＝|x |为偶函数； 由y ＝2－x ,可得f (－x )＝2＋x ≠f (x ),且f (－x )≠－f (x ),x ∈R ,所以f (x )＝2－x 既不是奇函数也不是偶函数；由y ＝x 3＋x ,可得f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x ),x ∈R ,所以f (x )＝x 3＋x 是奇函数；由y ＝－x 2＋8,可得f (－x )＝－(－x )2＋8＝－x 2＋8＝f (x ),x ∈R ,所以f (x )＝－x 2＋8是偶函数．2．答案：C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0x －3≠0,解得x >2且x ≠3.∴函数f (x )＝1x －2－(x －3)0的定义域为(2,3)∪(3,＋∞).3．答案：C解析：对A ：因为f (x )＝x 2＝|x |定义域为R ,g (x )＝(x )2定义域为[0,＋∞),所以f (x )与g (x )不是相同函数；对B ：因为f (x )＝1定义域为R ,g (x )＝x 0定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),所以f (x )与g (x )不是相同函数；对C ：因为f (x )＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0,所以f (x )与g (x )定义域和对应关系相同,所以f (x )与g (x )是相同函数；对D ：因为f (x )＝x ＋1定义域为R ,g (x )＝x 2－1x －1定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),所以f (x )与g (x )不是相同函数．4．答案：B解析：当容器是圆柱时,容积V ＝πr 2h ,r 不变,V 是h 的正比例函数,其图象是过原点的直线,∴选项D 不满足条件；由函数图象可以看出,随着高度h 的增加V 也增加,但随h 变大,每单位高度的增加,体积V 的增加量变小,图象上升趋势变缓,∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小, ∴A 、C 不满足条件,而B 满足条件． 5．答案：A解析：由图象可知x ∈[3,9]时,y ＝f (x )为一次函数,且过点(3,6),(9,0),设x ∈[3,9]时,f (x )＝kx ＋b ,则⎩⎪⎨⎪⎧6＝3k ＋b 0＝9k ＋b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝9,则f (x )＝－x ＋9,因此f (6)＝－6＋9＝3. 6．答案：B解析：A 选项,y ＝1x是奇函数,不符合题意．B 选项,y ＝13x 2为偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数,符合题意．C 选项,y ＝1x是非奇非偶函数,不符合题意．D 选项,y ＝x 2,在(0,＋∞)上递增,不符合题意． 7．答案：A解析：由第③种方案可知,500÷30≈16.7,17×30＝510,510－80＝430, 430÷510≈0.84,则第③种方案约为84折,所以先以第②种方案购票30张： 30×30×0.8＝720(元),再以第③种方案购买余下的18张：18×30－80＝460(元), 所以共需要720＋460＝1 180(元). 8．答案：D解析：∵f (x )为奇函数,∴f (－x )＝－f (x )；又f (x )在(0,＋∞)上单调递增,f (2)＝0,∴f (x )在(－∞,0)上单调递增,f (－2)＝0；f （x ）－f （－x ）x ＝2f （x ）x <0,即f （x ）x<0；当x >0时,f (x )<0,∴0<x <2；当x <0时,f (x )>0, ∴－2<x <0, ∴f （x ）－f （－x ）x<0的解集为{x |－2<x <0或0<x <2}．9．答案：ACD解析：A.y ＝x 12在(0,＋∞)上是增函数,所以函数的值域为(0,＋∞),所以该选项正确；B ．y ＝x 2－2x ＋1在(0,＋∞)上的值域是[0,＋∞),所以该选项错误；C ．y ＝3x在(0,＋∞)上是减函数,所以函数的值域为(0,＋∞),所以该选项正确；D ．y ＝x 3在(0,＋∞)上是增函数,所以函数的值域为(0,＋∞),所以该选项正确． 10．答案：AB解析：f (x )＝|2x |,f (2x )＝4|x |,2f (x )＝4|x |,∴A 正确；f (x )＝x ,满足f (2x )＝2x ＝2f (x ),∴B 正确；f (x )＝x ,f (2x )＝2x ,2f (x )＝2x ,不满足f (2x )＝2f (x ),∴C 不正确； f (x )＝1x ,f (2x )＝12x ,2f (x )＝2x,∴D 不正确．11．答案：AB解析：∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,∴f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x ),f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ),故f (x )·g (x )是奇函数,A 正确；|f (－x )|·g (－x )＝|f (x )|·g (x ),故|f (x )|·g (x )为偶函数,B 正确；f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|,故f (x )·|g (x )|是奇函数,C 错误；|f (－x )·g (－x )|＝|f (x )·g (x )|,故|f (x )·g (x )|为偶函数,D 错误．12．答案：ABC解析：由f (x )－g (x )>0,即x ＋1－(x ＋1)2>0,可得－1<x <0, 由f (x )－g (x )≤0,即x ＋1－(x ＋1)2≤0,可得x ≤－1或x ≥0,所以M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1<x <0（x ＋1）2，x ≤－1或x ≥0, 当x ＝2时,M (2)＝(2＋1)2＝9,A 选项错误； 当x ≥1时,M (x )min ＝M (1)＝(1＋1)2＝4,B 选项错误； 当x ≥0时,M (x )为单调递增函数,无最大值,C 选项错误；因为M (x )在(－∞,－1]上单调递减,在(－1,＋∞)上单调递增,所以M (x )min ＝M (－1)＝0,D 选项正确．13．答案：y ＝x 2(答案不唯一)解析：∵函数在(0,＋∞)上单调递增且图象关于y 轴对称,∴函数可为y ＝x 2. 14．答案：1解析：f (－1)＝(－1)＋2＝1,则f (f (－1))＝f (1)＝1. 15．答案：－2 －3解析：因函数y ＝x ＋4x＋2在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,当x ∈[－3,－1]时,函数y ＝x ＋4x＋2在[－3,－2]上单调递增,在[－2,－1]上单调递减,即有当x ＝－2时,y max ＝－2,而当x ＝－3时,y ＝－73,当x ＝－1时,y ＝－3,则y min ＝－3,所以函数y ＝x ＋4x＋2的最大值为－2,最小值为－3.16．答案：{x |x >2或x <－2}解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(－∞,0)上是增函数, 所以f (x )在[0,＋∞)单调递减,又f (2)＝0,所以f (－2)＝f (2)＝0, 所以当x >2时f (x )<0,当0<x <2时f (x )>0, 当x <－2时f (x )<0,当－2<x <0时f (x )>0,综上可得当x >2或x <－2时f (x )<0,即不等式的解集为{x |x >2或x <－2}．17．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0x ＋2≠0,则定义域为[－3,－2)∪(－2,＋∞),且f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1. (2)由a >0,结合(1)知f (a ),f (a －1)有意义．所以f (a )＝a ＋3＋1a ＋2,f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 18．解析：(1)当x >32时,f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|＝x ＋1－2x ＋3＝4－x ；当－1≤x ≤32时,f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|＝x ＋1＋2x －3＝3x －2；当x <－1时,f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|＝－x －1＋2x －3＝x －4.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x >323x －2，－1≤x ≤32x －4，x <－1. (2)函数图象如图所示：19．解析：(1)若函数f (x )＝mx ＋11＋x2是R 上的偶函数,则f (－x )＝f (x ). 即m （－x ）＋11＋（－x ）2＝mx ＋11＋x2,解得m ＝0.所以f (x )＝11＋x2.函数f (x )在[0,＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f (x )在[0,＋∞)上单调递减, 又函数f (x )是R 上的偶函数, 所以函数f (x )在(－∞,0]上为增函数,所以函数f (x )在[－3,0]上为增函数,在[0,2]上为减函数． 又f (－3)＝110,f (0)＝1,f (2)＝15,所以f (x )min ＝f (－3)＝110,f (x )max ＝f (0)＝1.20．解析：(1)f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增,证明如下： ∀x 1,x 2∈(0,＋∞),且x 1<x 2,有f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－1x 1)－(x 2－1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 2－1x 1)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2＋1).因为x 1,x 2∈(0,＋∞),且x 1<x 2,所以x 1x 2>0,x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2＋1)<0,即f (x 1)<f (x 2). 故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增． (2)f (x )的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).因为f (－x )＝－x ＋1x＝－f (x ),所以f (x )为奇函数．由(1)得f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 结合奇偶性可得f (x )在区间(－∞,0)上单调递增． 又因为f (－2)＝－32,f (－1)＝0,所以f (x )在区间[－2,－1]上的值域为[－32,0].21．解析：(1)因为f (x )是奇函数,∴f (－a )＝－f (a )； 又a >0,且当x >0时,f (x )＝1－x x ,∴f (a )＝1－aa,所以f (－a )＝－f (a )＝a －1a. (2)当x <0时,－x >0,∴f (－x )＝1－（－x ）－x ＝－1＋xx ,又因为f (x )是奇函数,∴f (x )＝－f (－x ), 所以,当x <0时,f (x )＝1＋xx；(3)由(2)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－xx ，x >01＋x x ，x <0,当m >0时,f (m )＝1－mm,由1－m m ＝12,得m ＝23,11 当m <0,f (m )＝1＋m m, 由1＋m m ＝12,得m ＝－2, 所以,m 的值为23或－2. 22．解析：(1)当0<x <30时,y ＝500x －10x 2－100x －2 500＝－10x 2＋400x －2 500；当x ≥30时,y ＝500x －501x －10 000x ＋4 500－2 500＝2 000－(x ＋10 000x)； ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2 500，0<x <302 000－（x ＋10 000x ），x ≥30. (2)当0<x <30时,y ＝－10(x －20)2＋1 500,∴当x ＝20时,y max ＝1 500；当x ≥30时,y ＝2 000－(x ＋10 000x )≤2 000－2 x ·10 000x＝2 000－200＝1 800, 当且仅当x ＝10 000x,即x ＝100时,y max ＝1 800>1 500. ∴年产量为100百件时,该企业获得利润最大,最大利润为1 800万元．。
第三章 函数的应用单元检测卷(A)高一数学上学期单元通关培优A+B训练卷(人教A版必修1)(解析版)
第三章 函数的应用单元检测卷(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【答案】：C【解析】：因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f(2)＝3－1>0，f(4)＝32－2<0，所以，函数f(x)的零点在区间(2，4)内． 2.函数f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0)B ．(1,0)或(e 2，0)C ．(e 2，0)D ．e 或e 2 【答案】：D【解析】：f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2＝(lnx －1)(lnx －2)，由f(x)＝0得x ＝e 或x ＝e 2.3．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A ．y ＝3x B ．y ＝log 3x C ．y ＝x 3D ．y ＝3x【答案】：D【解析】：几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D ．4.已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3【答案】：D【解析】：图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.5.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根【答案】：C【解析】：由于f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，所以f(x)在（−12，12）上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一实根． 6.方程|x |－ax ＝0(a >0)的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．至少1个【答案】：A【解析】；令f(x)＝|x|，g(x)＝a x(a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．7．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )【答案】：D【解析】：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a(1＋0.104)y ，故y ＝log1.104x(x ≥1)， ∴y ＝f(x)的图象大致为D 中图象．8．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4【答案】：B【解析】：由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B ． 9.已知关于x 的方程a·4x ＋b·2x ＋c ＝0(a≠0)，常数a ，b 同号，b ，c 异号，则下列结论中正确的是( ) A ．此方程无实根 B ．此方程有两个互异的负实根 C ．此方程有两个异号实根 D ．此方程仅有一个实根 【答案】：D【解析】：由常数a ，b 同号，b ，c 异号，可得a ，c 异号，令2x ＝t ，则方程变为at 2＋bt ＋c ＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b 2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为ca <0，故关于t 的方程只有一个实数根，故关于x 的方程只有一个实数根．10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年 【答案】：D【解析】：设从2016年起，过了n(n ∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.11．已知f(x)是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ． －78 D ．－38 【答案】：C【解析】：依题意，方程f(2x 2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x 2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x －λ)有1个实数解.∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解， 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.12.已知函数f(x)＝{e x ,x ≤0lnx,x >0,g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】：C【解析】：令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点． 平移y ＝h(x)的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是______.【答案】：110.【解析】：由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.14．设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.【答案】：1【解析】：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1.15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为_______【答案】：3【解析】：g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，16.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,1)∪(9，＋∞)【解析】：设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|. 在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象，如图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同的解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根． 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9. 又由图象得a>0， ∴0<a<1或a>9.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解：设f(x)＝3x 2－5x ＋a ，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ∴{f (−2)>0f(0)<0 f(1)<0 f(3)>0 即{3×(−2)2−5×(−2)+a >0a <03−5+a <03×9−5×3+a >0解得－12<a<0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)．18.（本小题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值． 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又⊥EPQ ⊥⊥EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x (10−x2)＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ⊥[4,8]时，S (x )单调递增． 所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．19.（本小题满分12分）关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围解：设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x⊥[0,2]，⊥若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解x0，当0<x 0<2时， ⊥f(0)＝1>0，则f(2)<0，又f(2)＝22＋(m －1)×2＋1， ⊥m<－32；当x 0＝2时，42(m 1)10122m +-+=⎧⎪⎨-->⎪⎩,无解．②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则1022(2)0mf∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎨⎪≥⎪⎩,即是：2(m1)40314(m1)210m⎧--≥⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎩∴313132m mmm⎧⎪≥≤-⎪-≤≤⎨⎪⎪≥-⎩或,所以－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．20.（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1)列出公民全月工资总额(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解：(1)依题意可得：⊥当0<x≤3500时，y＝0.⊥当3500<x≤5 000时，y＝(x－3500)×3%＝0.03x－105.⊥当5000<x<8000时，y＝45＋(x－5000)×10%＝0.1x－455，综上可得y＝0,035000.03105,35005000 0.1455,50008000xx xx x<≤⎧⎪-<≤⎨⎪-<<⎩.(2)因为需交税300元，故有5000<x<8000，所以300＝0.1x－455，所以x＝7550.答：刘丽十二月份工资总额为7550元．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x －2|，G(x)＝m ，画出F(x)的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解； 当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t 2＋t ，因为H(t)＝（t +12）2－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t 2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0].22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A(2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解：(1)设点P(x ，y)是C 2上的任意一点， 则P(x ，y)关于点A(2,1)对称的点P′(4－x,2－y)， 代入f(x)＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，⊥g(x)＝x －2＋1x －4.(2)由124y m y x x =⎧⎪⎨=-+⎪-⎩消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0. Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，⊥直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ⊥Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。
(新教材)人教A版-数学必修第一册第三章 函数的概念与性质 测试题含答案
绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第三章函数的概念与性质测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.设f(x)＝{x−2，x≥10，f(f(x+6))，x<10，则f(5)的值为()A． 10B． 11C． 12D． 132.已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )A．y＝f(|x|)B．y＝f(－|x|)C．y＝|f(x)|D．y＝－f(|x|)3.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如下图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为()A． 3B． 2C． 1D． 04.若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点()A． (－2,4)B． (1,1)C． (4,4)D． (1,7)5.奇函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，那么f(x)在区间[－7，－3]上() A．是增函数且最小值为5B．是增函数且最大值为5C．是减函数且最小值为5D．是减函数且最大值为56.一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数仅有一个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－77.函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则()A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝28.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调增区间为()A． (－∞，0]B． [0，＋∞)C． (－∞，＋∞)D． [1，＋∞)9.下列关于幂函数的命题中正确的是()A．不存在非奇非偶的幂函数B．如果一个幂函数是奇函数，则它的图象一定过原点C．如果幂函数的图象不过点(－1,1)，则它一定不是偶函数D．若两个幂函数的图象有三个不同的公共点，则这两个幂函数一定是相同的10.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,4)，则下列命题中不正确的是()A．函数图象过点(－1,1)B．当x∈[－1,2]时，函数f(x)取值范围是[0,4]C．f(x)＋f(－x)＝0D．函数f(x)单调减区间为(－∞，0)11.某商品1月份降价10%，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与1月份降价前相同，则连续上涨三次的价格平均回升率为()3－1A．√1093＋1B．√1092－1C．√109D．3√3312.建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，若池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米2，则总造价与一底边长x的函数关系式为()A．y＝320(x＋4)x)＋480B．y＝320(x＋4x)C．y＝160(x＋4x)＋240D．y＝160(x＋4x第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．14.若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．15.给出下列说法：①y＝x2－2|x|－3的递增区间为[1，＋∞)；②定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则f(x)在R上是增函数；③f(x)＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．正确的为________________．16.为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．三、解答题(共6小题, 共70分)17.已知f(x)＝{x2，−1≤x≤1，1，x>1或x<−1.(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．18.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足P＝{t+20,1≤t≤24，t∈N，−t+100,25≤t≤30，t∈N.商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Q＝－t＋40(1≤t≤30，t∈N)．求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．19.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．20.已知函数f(x)＝x＋4x，x∈[1,3]．(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．21.已知函数f(x)＝x－1x.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)用定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数；(3)若函数f(x)在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于11a−22a，求a的取值范围．22.已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案1.【答案】B【解析】f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.2.【答案】B【解析】由图知：当x<0时，图②中图象与图①中一致，即y＝f(x)；当x>0时，图②中图象是图①中y轴左侧图象关于y轴的对称图象，即y＝f(－x)．故选B.3.【答案】B【解析】由y＝g(x)的图象与y＝f(x)的对应关系表可知g(2)＝1，f(1)＝2，所以f[g(2)]＝f(1)＝2，故选B.4.【答案】C【解析】本题考查图象的左右平移，由于P(1,4)在y＝f(x＋3)的图象上，y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到的．因此P(1,4)也向右平移3个单位长度，变成(4,4)，故选C. 5.【答案】B【解析】函数y＝f(x)是奇函数，在[a，b]上是增函数，则在[－b，－a]上也是增函数；因为奇函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，即f(3)＝－5，所以函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上也是增函数，则x∈[－7，－3]时，f(x)≤f(－3)＝－f(3)＝5，即函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上的最大值是5.故选B.6.【答案】C【解析】结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有两个单调递增区间，两个单调递减区间，且定义域内有最大值7，有最小值－2.7.【答案】D【解析】设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.∵x2－x1>0，又当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1，∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，故选D.8.【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为(－∞，0]．9.【答案】C【解析】幂函数y ＝x －12既不是奇函数，也不是偶函数．幂函数y ＝x －1是奇函数，它的图象不过原点．幂函数y ＝x 2和幂函数y ＝x 4有三个公共点(1,1)，(0,0)，(－1,1)，它们是不同的幂函数，于是A ，B ，D 都不正确．若幂函数是偶函数，则f (－1)＝f (1)＝1，其图象一定过点(－1,1)，所以答案为C.10.【答案】C【解析】∵幂函数y ＝xα的图象经过点(2,4)，∴4＝2α，即22＝2α.解得α＝2.故函数的解析式为y ＝x 2，故函数图象经过点(－1,1)，A 正确；当x ∈[－1,2]时，函数f (x )的值域是[0,4]，B 正确；由于f (－x )＝(－x )2＝x 2，函数不满足f (x )＋f (－x )＝0，C 错；函数f (x )的单调减区间为(－∞，0]，D 正确．故选C.11.【答案】A【解析】(1－0.1)(1＋x )3＝1⇒x ＝√1093－1. 12.【答案】B【解析】因为建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，一底边长x ，所以另一底边长为4x ，y ＝120×x ·4x ＋2(2x ＋2×4x)×80＝320(x ＋4x )＋480 ，故选B. 13.【答案】{2}∪[－1,1]【解析】设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解；当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2，即－1≤x ≤1或x ＝2.14.【答案】(－∞，0]【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )，∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]．15.【答案】②【解析】①因为y ＝x 2－2|x |－3＝{x 2−2x −3，x ≥0x 2+2x −3，x <0，所以y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)和(－1,0)，不正确．②因为f (a )−f(b)a−b >0，所以a >b ，则f (a )>f (b )，或a <b ，则f (a )<f (b )，根据增函数的定义可知此命题正确．③函数f (x )＝1x 的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，但(－∞，0)∪(0，＋∞)不是其单调减区间．不正确．16.【答案】9【解析】由题目可知加密密钥y ＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝12，则y ＝x 12.由x 12＝3，得x ＝9.17.【答案】(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14， 结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1]．18.【答案】设日销售金额为y 元，则y ＝P ·Q ，所以y ＝{−t 2+20t +800，1≤t ≤24，t ∈N ，t 2−140t +4000，25≤t ≤30，t ∈N ， 即y ＝{−(t −10)2+900，1≤t ≤24，t ∈N ，(t −70)2−900，25≤t ≤30，t ∈N ，当1≤t ≤24，t ∈N 时，t ＝10，y max ＝900；当25≤t ≤30，t ∈N 时，t ＝25，y max ＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大．19.【答案】设f (x )在x ∈[－2,2]的最小值为f (x )min ，则只需f (x )min >0，又其图象的对称轴为直线x ＝－a 2，则(1)当－a 2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a >0，得a <73.又a >4，故此时a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝3－a －a 24>0， 解得－6＜a ＜2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ＜2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝7＋a >0，得a >－7.又a <－4，故－7<a <－4.综上可得，a 的取值范围为－7<a <2.20.【答案】(1)设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4，∴4x1x 2>1. ∴1－4x 1x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在[1,2]上是减函数．当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9，∴0<4x 1x 2<1. ∴1－4x 1x 2>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[2,3]上是增函数．(2)由(1)知f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4. 又∵f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，∴f (x )的最大值为5.21.【答案】(1)函数f (x )＝x －1x 是奇函数，∵函数f (x )＝x －1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x 轴上关于原点对称， 且f (－x )＝－x －1−x ＝－(x －1x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝x －1x 是奇函数．(2)证明 设任意实数x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－1x 1)－(x 2－1x 2)＝(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2＋1>0，∴(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．(3)∵[2，a ]⊆[1，＋∞)，∴函数f (x )在区间[2，a ]上也为增函数．∴f (x )max ＝f (a )＝a －1a ，f (x )min ＝f (2)＝32，若函数f (x )在区间[2，a ]上的最大值与最小值之和不小于11a−22a ， 则a －1a ＋32≥112－1a ，∴a ≥4，∴a 的取值范围是[4，＋∞)．22.【答案】(1)对于幂函数f (x )＝x (2－k )(1＋k )满足f (2)<f (3)， 因此(2－k )(1＋k )>0，解得－1<k <2.因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1.当k ＝0时，f (x )＝x 2，当k ＝1时，f (x )＝x 2，综上所述，k 的值为0或1，f (x )＝x 2.(2)函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x＝－mx 2＋(2m －1)x ＋1，由于要求m >0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为 x ＝2m−12m ，当m >0时，2m−12m ＝1－12m <1，因为在区间[0,1]上的最大值为5， 所以{1−12m >0，g (1−12m )=5或{1−12m ≤0，g (0)=5， 解得m ＝52＋√6，满足题意．。
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高中数学第三章函数的应用阶段质量检测（含解析）新人教A版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：函数没有零点即相应的函数图象与x轴没有交点，观察图象可知选项A中图象表示的函数没有零点．答案：A2．函数f(x)＝x ln x的零点为( )A．0或1 B．1C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，即x＝0或x＝1.又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.答案：B3．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x －x＝0有一个实数解．答案：B4．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( ) A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)解析：由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >y ，y ＝20－2x ，解得x >5，∴5<x <10，故选D. 答案：D5．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b解析：因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c .答案：A6．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下x ，f (x )的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：根据零点的存在性定理可知，函数f (x )在区间(4,5)，(6,7)内至少各存在一个零点，故函数f (x )在区间[3,8]内至少有2个零点．答案：A7．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年(x ∈N *)，该产品的产量y 满足( )A ．y ＝a (1＋5%x )B ．y ＝a ＋5%C ．y ＝a (1＋5%)x －1D ．y ＝a (1＋5%)x解析：经过1年，y ＝a (1＋5%)，经过2年，y ＝a (1＋5%)2，…，经过x 年，y ＝a (1＋5%)x. 答案：D8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点，选B. 答案：B9．设函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与g (x )＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－(3－x )，则f (0)＝－2，f (1)＝－53，f (2)＝－89，f (3)＝127.故h (x )的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.答案：C10．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如表：x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 356.106.616.957.207.40则与x ) A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1 D ．y 3，y 1，y 2解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C 符合上述规律，故选C.答案：C11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标，如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.答案：B12．函数f (x )＝3ax ＋1－2a ，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15D ．(－∞，－1)解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧f－1<0，f1>0或⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f1<0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋1－2a <0，3a ＋1－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋1－2a >0，3a ＋1－2a <0.整理得⎩⎪⎨⎪⎧1－5a <0，a ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－5a >0，a ＋1<0.解得a >15或a <－1，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－1214．求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：f (x )＝x 3－2x －5，f (2)<0，f (3)>0，f (2.5)>0， 则f (2)·f (2.5)<0，即下一个有根区间是(2，2.5)．答案：(2,2.5)15．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt，其中k 为常数，t 表示时间(单位：时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．解析：由题意知，当t ＝12时，y ＝2，即2＝e 1k 2，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 答案：2ln 2 1 02416．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：作出函数y ＝2|x |的图象(如图所示)当x ＝0时，y ＝20＝1， 当x ＝－1时，y ＝2|－1|＝2，当x ＝1时，y ＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a ，b ]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1. 答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ∈[1，＋∞，x 2－2x ，x ∈－∞，1，求函数g (x )＝f (x )－14的零点．解析：求函数g (x )＝f (x )－14的零点，即求方程f (x )－14＝0的根．当x ≥1时，由2x －2－14＝0得x ＝98；当x <1时，由x 2－2x －14＝0得x ＝2＋52(舍去)或x ＝2－52.所以函数g (x )＝f (x )－14的零点是98或2－52.18．(12分)用二分法求方程2x＋x －8＝0在区间(2,3)内的近似解．(精确度为0.1，参考数据：22.5≈5.657，22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.437 5≈5.417，22.75≈6.727)解析：设函数f (x )＝2x＋x －8， 则f (2)＝22＋2－8＝－2<0，f (3)＝23＋3－8＝3>0，所以f (2)·f (3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点x 0，即原方程的解． 用二分法逐次计算，列表如下：区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 0.157 (2,2.5) 2.25 －0.993 (2.25,2.5) 2.375 －0.438 (2.375,2.5)2.437 5－0.145 50000∈(2.437 5,2.5)． 因为|2.437 5－2.5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x＋x －8＝0在区间(2,3)内的近似解可取为2.437 5.19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解析：(1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5x －9，x >10.(2)由题意知1.5＋2log 5(x －9)＝5.5， 2log 5(x －9)＝4，log 5(x －9)＝2， 所以x －9＝52，解得x ＝34. 答：老江的销售利润是34万元．20．(12分)若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a ≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax 2－x －1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时，函数只有一个零点．21．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ，x >12，x 2＋2x ＋a －1，x ≤12.(1)若a ＝1，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，由x －2x＝0⇒x ＝2，x 2＋2x ＝0⇒x 1＝0，x 2＝－2，所以f (x )的零点为2，0，－2.(2)显然，函数g (x )＝x －2x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递增， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－72；函数h (x )＝x 2＋2x ＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上也递增，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋14，故若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，则a ＋14≤－72，所以a ≤－154，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－154.22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：污染度为0后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解析：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下： 因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30，f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5，由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.。