直线与平面垂直的判定 教案
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计 (1)
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。
《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教学内容分析本节课选自高中数学新人教版必修2A版第二章，“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时.主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！本节课中，学生将按照“直观感知-操作确认-归纳总结"的认知过程展开学习，对大量图片、实例的观察感知，概括出线面垂直的定义;对实例、模型的分析猜想、折纸实验,发现线面垂直的判定定理.学生将在问题的驱动下,进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生质疑思辨、创新的精神。
二、学生情况分析所教学生是石嘴山市光明中学理科普通班高二（17）班的学生，他们在数学的学习中，有一定的兴趣。
在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中学习了直线、平面平行的判定定理,对空间概念建立有一定的基础.但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。
三、教学目标设计【设计意图】结合《课程标准》以及学生考虑到学生的接受能力、和课堂容量等情况,提出本节课的目标如下：1、通过直观感知、操作确认,归纳出线面垂直的判定定理；2、能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
这些目标的提出以知识为载体，在训练中提升学生的能力，为学生的进一步发展做好基础。
【教学目标】1、通过对视频、图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
(精心整理)直线与平面垂直的判定教案
《直线与平面垂直的判定》选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节一、教学目标1.知识与技能目标(1).掌握直线与平面垂直的定义(2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理(3).会判断一条直线与一个平面是否垂直(4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力2.过程与方法目标(1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加3.情感态度价值观目标(1).培养学生的探索精神(2).加强学生对数学的学习兴趣二、重点难点1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理2.教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解三、课时安排本课共安排一课时四、教学用具多媒体、三角形纸片、三角板或直尺五、教学过程设计1.创设情境问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。
问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？寻找特殊的事例并引入课题。
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。
2.提炼定义问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
2.3.1直线与平面垂直的判定定理(优质课教学设计)
二、教学重点、难点：Fra bibliotek重点对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用。
难点
探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，线面角的求法。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1.直线与平面之间的有哪些位置关系？
回顾旧知，使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。
学生回顾，并回答。然后教师总结展示，直线的三种位置关系：平行、相交、在平面内。
12.提出问题：前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？
提出问题，激发学生的求知欲。
教师停顿给予疑问。
13.给出斜线与平面所成的角的相关概念
通过动态图，使学生直观的感受线面角的概念。
教师展示斜线与平面所成角的概念。
14.直线与平面所成角的范围
通过提问，使学生深刻的理解直线与平面所成角的范围。
通过辨析，加深定义的理解，掌握定义的实质。即“任意一条直线”是“所有直线”的意思，而不是“无数条直线”。定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。
学生思考回答，教师展示反例。
7.思考：根据直线与平面的垂直的定义是否把平面中的直线一一找出，才能证明直线与平面垂直？能否有更简单的做法得到直线和平面垂直？
3、直线与平面所成的角；
17.布置作业（导学案）
巩固深化
学生课后独立完成。
（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
应用判定定理解决数学内部的问题，加强线面角的认识。
学生独立思考，小组讨论合作，用小黑板展示结果，教师点评，及时给予鼓励。
16.本课小结
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。
教师引导学生概括：
直线与平面垂直的判定教学设计
“直线与平面垂直的判定〃教学设计一、内容和内容解析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。
定义中的“任意一条直线〃就是“所有直线〃。
定义本身也说明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。
对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括〃的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究那么遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用〃的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，开展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。
同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题〃，“无限问题转化为有限问题〃，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化〃。
教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、目标和目标解析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。
目标解析：1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。
3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的判定 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义．(2)通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．(3)理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．2．过程与方法(1)通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．(2)在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．(3)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．3．情感、态度与价值观经历线面垂直的定义和定理的探索过程，培养严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．●重点难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理．难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切入点，通过“展示物体的支架图片直观感知”和“折纸的操作探究”两条途径让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象，让学生增加线面垂直的感性认识的同时突出重点、突破难点．(教师用书独具)●教学建议直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展．也是连接线线垂直和面面垂直的纽带，在教材中起到了承上启下的作用．鉴于本节知识的特点，建议采用“启发—探究”的教学方法，先利用投影仪展示多幅图片，使学生直观感知线面垂直的定义；紧接着让学生动手参与折纸试验，并对试验现象进行观察分析和归纳概括；通过一系列的双边活动，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过渡，从而完成定义的建构和定理的发现．最后通过典例及变式训练突出线面垂直判定定理的应用．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何定义直线与平面垂直？⇒引导学生通过观察图片及身边的事物，直观感知线面垂直并归纳出线面垂直定义.⇒通过引导学生动手实验理解线面垂直的判定定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握线面垂直的判定定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与平面所成角的求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点、难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、易错点)直线与平面垂直的定义在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线什么关系？【提示】垂直．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，ll⊥α叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足直线和平面垂直的判定定理【问题导思】将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．1．折痕AD与桌面一定垂直吗？【提示】不一定．2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【提示】当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b＝P⇒l⊥α直线与平面所成的角图2－3－11．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠P AO.直线和平面垂直的定义下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路探究】 与线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行对照，区分异同，分析条件变换的影响，辨析正误．【自主解答】 ①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.【答案】 B1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .有下列说法：①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任意直线都不垂直． ②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ③过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 且垂直于a 的平面内． 其中错误的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】 ①直线与平面平行，过该直线任作平面与已知平面相交，则直线与交线平行，可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直，①错误；②如果平面内的无数条直线是平行的，那么就不能得到直线和平面垂直的结论，②错误；③因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以过点A 与直线a 垂直的直线都在过点A 且与a 垂直的平面内，③正确．【答案】 A线面垂直的判定在平面α内有直角∠BCD ，AB ⊥平面α，求证CD ⊥平面ABC . 【思路探究】AB ⊥平面α――→定义AB ⊥CD ――→判定CD ⊥平面ABC BC ⊥CD ――→垂直关系∠BCD ＝90°【自主解答】如图所示．⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥αCD⊂α⇒AB⊥CD∠BCD＝90°⇒BC⊥CDAB∩BC＝B⇒CD⊥平面ABC1．使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．2．线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”．如图2－3－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O 是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.图2－3－2【证明】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.求直线与平面所成的角1111图2－3－3(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角．【思路探究】 (1)找A 1B 在平面AA 1D 1D 内的射影，即为A 1A . (2)找A 1B 在平面BB 1D 1D内的射影←证A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ←正方体的性质【自主解答】 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ， ∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角，在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO ， ∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角， 设正方体的棱长为1，∴A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，∴∠A 1BO ＝30°.∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°.1．求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．2．在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．如图2－3－4所示，Rt △BMC 中，斜边BM ＝5，它在平面ABC 上的射影AB 长为4，∠MBC ＝60°，求MC 与平面CAB 所成角的正弦值．图2－3－4【解】 由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影， ∴MA ⊥平面ABC ，∴MC 在平面CAB 内的射影为AC .∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角． 又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°， ∴MC ＝BM sin ∠MBC ＝5sin 60°＝5×32＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2＝52－42＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235.即MC 与平面CAB 所成角的正弦值为235.因考虑不周全致误已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB 和平面α所成的角．【错解】 如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.由点A 向BB 1作垂线，垂足为H ，则AB 与平面α所成的角即为AB 与AH 所成的角，即∠BAH 为AB 与平面α所成的角．在Rt △BHA 中，AH ＝A 1B 1＝3， BH ＝BB 1－AA 1＝1，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝13＝33，∴∠BAH ＝30°，∴AB 与平面α所成的角为30°.【错因分析】 上述错解的原因是思维不周密，没有考虑问题可能出现的其他情况． 【防范措施】 平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A 、B 两点与平面α的位置关系，可分点A 、B 位于平面α的同侧和点A 、B 位于平面α的异侧两种情况分别求解．【正解】 ①当点A 、B 在平面α的同侧时，由以上知直线AB 与平面α所成的角为30°. ②当点A 、B 位于平面α的异侧时，如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，AB 与平面α相交于点C ，A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∴∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角． 在Rt △BCB 1中，BB 1＝2， 在Rt △AA 1C 中，AA 1＝1.∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1CCA 1＝2，∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233，∵tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°，∴AB 与平面α所成的角为60°.综合①、②可知：直线AB 与平面α所成的角为30°或60°.小结1．线面垂直的定义具有双重性，既可以由线面垂直得出线线垂直，也可以由线线垂直得出线面垂直．2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角．3．线线垂直和线面垂直体现了知识间的互化，在学习中体会等价转化思想．。
1.6.1.1直线与平面垂直的判定
1.6.1.1直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能掌握直线和平面、平面与平面垂直的判定定理及判定定理，并能应用。
2、过程与方法通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力。
3、情态与价值垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用。
二、教学重点：垂直关系的判定定理。
三、教学难点：对直线和平面垂直判定定理的理解。
四、学情分析：五、学法指导：学生观察、思考、探究六、教学方法：探究交流、讲练结合。
七、教学过程：新课引入问题1 空间一条直线与平面有哪几种位置关系？请举实例问题2 直线与平面相交的位置关系中，那种相交最特殊？请举实例（“旗杆与地面”引出垂直关系）思考：如何语言表述直线和平面的垂直关系？归纳概括直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。
记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
LPα探究辨析问题：判定直线和平面垂直呢？（师生活动）准备一块三角形的纸片，一起来做试验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C（学生归纳）两条相交直线确定一个平面判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言表示 图形语言表示定理运用,巩固深化例1，如图1-76所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=。
，点P 为ABC ∆所在平面外一点，ABC PA ⊥平面。
问四面体PABC 中有几个直角三角形？解：因为,PA ABC ⊥平面所以,,PA AB PA AC PA BC ⊥⊥⊥。
所以,PAB PAC ∆∆是直角三角形。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面垂直的概念。
2. 让学生掌握直线与平面垂直的判定方法。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 直线与平面垂直的定义。
2. 直线与平面垂直的判定方法。
3. 直线与平面垂直的性质。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面垂直的判定方法。
2. 教学难点：如何运用判定方法判断直线与平面是否垂直。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线与平面垂直的定义、判定方法和性质。
2. 利用几何模型和实物道具，直观展示直线与平面垂直的关系。
3. 开展小组讨论，让学生互相交流、合作解决问题。
4. 布置适量练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾直线、平面垂直的相关概念。
2. 讲解直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直是指直线在平面上的投影为一点。
3. 讲解直线与平面垂直的判定方法：（1）利用垂直线段判定法：若直线与平面内一条线段垂直，则该直线与平面垂直。
（2）利用垂线判定法：若直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直。
4. 讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的线段长度相等。
（2）直线与平面垂直的线段构成的角为直角。
5. 课堂练习：让学生运用判定方法判断给出的直线与平面是否垂直。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
7. 布置作业：布置一些有关直线与平面垂直的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对直线与平面垂直的定义、判定方法和性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时是否能灵活运用所学知识，判断其运用能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作与交流能力。
七、教学反馈：1. 收集学生作业，分析其对直线与平面垂直知识的掌握情况。
2. 听取学生对教学内容的建议和意见，不断调整教学方法。
直线与平面垂直教案
直线与平面垂直的判定（一）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（一）一、教学目标1.知识与技能：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.过程与方法：通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，从问题解决过程中认识事物发展，变化规律，多角度分析，思考问题，培养学生的创新精神。
二、教学重点、难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、课前准备1.教师准备：教学课件2.学生自备：三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板四、教学过程设计1.直线与平面垂直定义的建构（1）创设情境①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
（2）观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ ②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
用符号语言表示为：（3）辨析（完成下列练习）：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
②若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 。
在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。
《直线与平面垂直的判定定理》教案
《直线与平面垂直的判定》选自人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修二第二章第三节一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线与平面垂直的定义；（2）理解并掌握直线与平面垂直的判定定理；（3）学会判断一条只限于在一个平面是否垂直。
2、过程与方法目标加强学生空间、平面转化意识，训练学生思维灵活性，加强学生构图能力。
3、情感态度与价值观目标（1）培养学生创新、探索意识；（2）加强学生对数学的学习兴趣。
二、教学重难点1、教学重点（1）直线与平面垂直的定义；（2）直线与平面垂直的判定。
2、教学难点直线与平面垂直判定定理的理解三、课时安排：一课时四、教学用具：三角形纸片、三角板和直尺板五、教学过程设计1、导入（1）复习提问a.空间一条直线与一个平面会有怎样的位置关系？b.如何判定空间一条直线与一个平面平行？设计意图：此问题基于学生已有的数学知识，对已有的数学知识进行回忆巩固。
（2）创设情境列举在日常生活中见到的可以抽象成直线与平面垂直的事例？设计意图：此问题基于学生的客观现实，通过学生对日常生活的观察，让学生对直线与平面垂直形成初步认识，方便下一步对于知识的探究学习。
2、探究新知（1）引入定义问题：如图2.3-2,a.在阳光下，观察旗杆AB 与它在地面上的影子BC的位置关系？b.随时间变化，影子BC的位置在移动，此时旗杆AB与BC的位置关系？c.旗杆AB 所在直线与地面任意不过点B的直线即B’C’的位置关系？设计意图：学生通过图示的观察，发现AB 所在的直线始终垂直于任意过点B的直线，通过进一步的引导探索，发现AB所在直线也垂直于任意不过点B的直线，从而使学生自主归纳出直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内任意一条直线都垂直，那直线l与平面α互相垂直。
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否于这个平面垂直？（2）深化学习（师生互动一）如图2.3-4，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻转后的纸片竖起放置桌面上（BC、DC与桌面接触）问题：a.折痕AD与桌面垂直吗？b.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？设计意图：通过师生互动和学生亲自的动手操作，学生会更加直观的发现当且仅当折痕AD所在直线是△ABC中BC 边的高时才会垂直于桌面所在平面α。
直线与平面垂直的判定说课稿(原创)
《直线与平面垂直的判定》说课稿（一）教材内容教材选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修2,第二章第三节的第一课时。
本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是后面学习面面垂直的根底，是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间垂直位置关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。
（二）学情分析在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。
同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定根底。
但是，对于我们广平一中的学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提而。
（三）教学重、难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、教学目标《课程标准》把本节课学习目标概括为：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
我将本节课的教学目标确立为，知识与技能：（1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；过程与方法：（1）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中开展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限''等化归的数学思想∙(2)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换.情感、态度与价值观:经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.三、 说教法、学法采用“启发一探究”的教学方法。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案教案标题：直线与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解直线与平面垂直的概念，并能判断给定直线与平面是否垂直。
2. 掌握判定直线与平面垂直的条件。
3. 运用所学知识解决相关问题并拓展思维。
教学内容：1. 直线与平面垂直的概念2. 判定直线与平面垂直的条件3. 相关问题的解决和应用教学步骤：Step 1: 引入新概念在课堂一开始，通过问题或实例引入直线与平面垂直的概念。
可以使用身边的物体作为例子，如直线与桌面的垂直关系等，引起学生的兴趣。
Step 2: 讲解直线与平面垂直的概念通过讲解和示意图，向学生明确直线与平面垂直的定义。
强调直线与平面的交角为90度。
Step 3: 判定直线与平面垂直的条件详细讲解判定直线与平面垂直的条件，并提供示例进行讲解和演示。
可通过几何性质、垂直投影等方法探讨。
Step 4: 练习与巩固让学生进行一些练习，巩固所学内容。
可以包括选择题、判断题、填空题和应用题等多种形式，以检验学生的理解和掌握。
Step 5: 拓展思维针对学生思维的扩展，提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发学生的思考和创造力。
Step 6: 总结与归纳对直线与平面垂直的判定条件进行总结和归纳，让学生对所学知识形成更加清晰的概念框架。
Step 7: 实例分析选择一个实际问题，如垂直过马路的斑马线设计等，引导学生运用所学知识分析并解决该问题，培养学生应用知识解决实际问题的能力。
Step 8: 作业布置布置相关作业，包括练习题和思考题，让学生巩固所学内容，并鼓励他们在课外积极拓展学习。
Step 9: 教学反思回顾教学过程，总结教学效果，尝试找出不足之处，以便今后的教学改进。
教学资源：1. 手绘的直线与平面垂直示意图2. 相关练习题和答案3. 讲义和教学课件（可选择性使用）教学评估：通过课堂练习、问题解答以及作业的批改等方式进行学生的教学评估。
评估可以分为定性和定量评估，以全面了解学生对直线与平面垂直判定的掌握情况。
直线与平面垂直的判定教案
环节
教师活动
学生活动
设计意图
教
学
流
程
复习：一条直线与一个平面的位置关系？
思考：一条直线与一个平面垂直的定义是什么？
新知：直线与平面垂直的定义
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
与教师一起复ห้องสมุดไป่ตู้旧知
通过预习教材，概况出直线与平面垂直定义
学生思考
通过实验得出结论
引入直线与平面相交位置关系
学生总结归纳
巩固定理的符号语言
规范学生书写步骤
深化判定定理的应用，总结求线面角的步骤
梳理知识框架，掌握本节课所学习的知识点
课堂
小结
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定与性质
板书
设计
直线与平面垂直的判定
1定义
2性质
3判定定理
4线面角定义及求法
第12周2节
课题
2.3.1直线与平面垂直的判定
课时
1
教学目标（学科素养）
知识
目标
理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理并运用其证明空间位置关系的命题及求线面角问题
能力
目标
在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间直线与平面垂直的定义；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的命题及求线面角问题
情感态度与价值观
通过学习直线与平面垂直的判定，可以更好地培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上，归纳概括出直线和平面垂直的判定定理，也能够让学生在直观想象、逻辑推理等方面能够体会得更好
教学
重点
直观感知、操作确认，概括出判定定理
《直线与平面垂直的判定》教学设计
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直线与平面垂直相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用三角板和直尺制作一个垂直于地面的直线模型。
-举例：分析建筑设计中的垂直结构，如墙壁与地面、柱子与梁的垂直关系，让学生学会在实际问题中运用判定定理。
在教学过程中，教师应针对重点内容进行详细讲解和强调，通过举例、演示等方式帮助学生突破难点，确保学生能够透彻理解直线与平面垂直的判定方法及其在实际问题中的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
《直线与平面垂直的判定》核心素养目标：
1.培养学生的空间观念：通过直观演示、动手操作和合作交流，让学生掌握直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与平面垂直的定义及判定方法，提高对空间几何体的认识和理解，发展空间想象力。
2.培养学生的逻辑推理能力：在学习直线与平面垂直判定定理的过程中，引导学生运用逻辑推理方法，学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直线与平面垂直的基本概念。直线与平面垂直是指直线与平面内的任意一条直线都垂直。这个概念在几何学中具有重要意义，它帮助我们更好地理解和分析空间几何体的结构。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以教室里的黑板为例，分析黑板与地面、墙壁与地面的垂直关系，展示直线与平面垂直在实际中的应用。
3.培养学生的数学建模能力：通过实际生活中的实例，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，运用数学知识解决实际问题，提高数学应用意识。
新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。
如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案引言在几何学中，直线和平面是基本的图形概念，它们的关系十分重要。
本教案将详细介绍如何判定一条直线与一个平面是否垂直。
什么是直线与平面的垂直关系在三维空间中，直线与平面垂直表示直线与平面之间的夹角为90度。
垂直的直线和平面在几何学中非常常见，因此掌握判定的方法具有重要意义。
判定直线与平面垂直的方法判定直线与平面垂直的方法有以下几种：方法一：判断直线是否平行于平面上的两条相交直线1.确定平面上的两条相交直线，记为L1和L2；2.判断给定的直线是否和L1和L2都平行；3.如果给定的直线和L1、L2都平行，则直线与平面垂直。
方法二：判断直线上的一点是否在平面上1.确定直线上的一点P；2.判断点P是否在平面上；3.如果点P在平面上，则直线与平面垂直。
方法三：使用向量判断1.确定直线上的向量v和平面的法向量n；2.计算向量v和n的点积；3.如果点积为0，则直线与平面垂直。
具体计算步骤与示例下面通过具体计算步骤和示例来说明判定直线与平面垂直的方法。
方法一示例假设有直线L：x = y = z 和平面P：2x + 2y + 2z = 6。
1. 平面上的两条相交直线可以选取为L1：x = 0，L2：y = 1； 2. 直线L的方向向量为(1, 1, 1)，和L1、L2都平行； 3. 因此直线L与平面P垂直。
方法二示例假设直线L过点P(1, 2, 3)，平面P的一般方程为2x + y - z = 4。
1. 点P(1, 2, 3)代入平面的一般方程，得到2(1) + 2 - 3 = 1，点P在平面上； 2. 因此直线L与平面P垂直。
方法三示例假设直线L的方向向量为(2, 1, -1)，平面P的法向量为(1, 2, 3)。
1. 向量v 和n的点积为2(1) + 1(2) + (-1)(3) = 1 + 2 - 3 = 0； 2. 点积为0，因此直线L与平面P垂直。
总结本教案介绍了三种判定直线与平面垂直关系的方法，包括判断直线是否平行于平面上的两条相交直线、判断直线上的一点是否在平面上，以及使用向量计算点积。
直线与平面垂直的判定教案
课题：§2.3.1 直线与平面垂直的判定必修2授课教师：凤台一中朱雷【教学目标】1．通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；2．通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；3．通过对探索过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯．【教学重点】对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用．【教学重点】探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想．【教学方式】启发式与试验探究式相结合【教学手段】计算机、自制课件、实物模型【教学过程】一、实例引入，理解概念1．通过复习空间直线与平面的位置关系，让学生举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系，从而引出课题．设计意图：希望通过学生的生活经验，提高学生学习数学的兴趣和自觉性．2．给出学生非常熟悉的校园图片，引导他们观察直立于操场上篮球架的立柱与它在地面影1第页（共4页）第 页（共4页）2 子的关系，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，引出直线与平面垂直的定义．即：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直．设计意图：通过从“具体形象——几何图形——数学语言”的过程，让学生体会定义的合理性．3．简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”． 设计意图：通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷，让学生感受数学的应用价值，提高学生学习数学的热情．同时，引出探究判定定理的必要性．二、通过试验，探究定理准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题1：折痕AD 与桌面一定垂直吗？又问：为什么折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找图1D CAB图2DB AC到一条直线与它不垂直就够了．问题2：如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？ 又问：为什么折痕与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）以折痕AD 为轴转动纸片，来说明AD 与平面α内过D 点的所有直线都垂直，平面α内不过D 点的直线，可以通过平移到D 点，说明它们与AD 都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．教师再用课件将上述过程进行动画演示（如右图），然后引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认． 问题3：(1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直，能判断此直线和平面垂直吗？ (2)定理条件中的两条直线必须相交吗？要求学生摆出反例模型进行说明，让学生在操作过程中，确认并理解判定定理的条件． 设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高了几何直观能力，而且通过理性的说理，增加了逻辑思维的成分．最后，引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：a l ⊥，b l ⊥，α⊂a ，α⊂b ，A b a = ⇒l α⊥．第 页（共4页）4 图形语言：三、应用定理，加深理解例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一问定理条件通过观察即可得到，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二问定理条件需要用平面几何的知识才能得到．例2 求证：如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直． 分析：首先需要把文字语言叙述的命题分别用符号语言和图形语言叙述出来．AA第 页（共4页）5 欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内两条相交直线n m ,作为辅助线，命题可证． 已知：b a //，α⊥a , 求证：α⊥b ． 证明：在平面α内作两条相交直线,m n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为 //a b ， 所以 m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以 α⊥b ．设计意图：此题是课本上的一个例题，使用时改用文字语言叙述，目的是让学生在文字语言、符号语言、图形语言的转化上得到训练；此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．例3 如图，AC 是R t △ABC 的斜边，过A 点作△ABC 所在平面的垂线PA ，连PB 、PC ．问：图中有多少个直角三角形？分析：说明PAB ∠、PAC ∠为直角是比较容易的． 证明PBC ∠是直角有两种方法：一是通过线线与线面之间垂直关系的相互转化得出PBC ∠是直角；二是依据勾股定理的逆定理，通过计算证明△PBC 是直角三角形．设计意图：通过对△PBC 是直角三角形进行证明，意在培养学生熟练进行线线和线面之间垂直关系的转化，从而准确和灵活地应用判定定理和定义．PABC四、归纳小结，提高认识1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理．方法方面：转化思想．2．布置作业：（1）阅读课本相关内容进行复习；（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；（3）完成课本66页课后探究题．6第页（共4页）。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案一、教案概要1.教学目标：了解直线与平面垂直的定义和性质，掌握判定直线与平面垂直的方法。
2.教学重点：掌握垂直的概念和性质。
3.教学难点：掌握判定直线与平面垂直的方法。
4.教学方法：讲解法、示范法、练习法。
5.教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、多媒体教学课件。
二、教学内容1.直线与平面垂直的定义和性质。
2.判定直线与平面垂直的方法。
三、教学过程1.导入（10分钟）通过展示一些与平面垂直的事物，引出直线与平面垂直的概念，让学生了解直线与平面垂直的概念和性质。
2.讲解与示范（20分钟）通过黑板、投影仪或多媒体教学课件展示直线与平面垂直的定义和性质，让学生了解直线与平面垂直的特点和性质。
3.判定直线与平面垂直的方法（30分钟）（1）垂直的定义：直线与平面相交的角为90度。
（2）判定方法：根据两个性质来判定直线与平面垂直。
性质1：过直线一点且垂直于直线的直线与这个平面垂直。
性质2：过直线与平面有2点的直线与这个平面垂直。
通过讲解与示范，让学生理解垂直的定义和两个判定方法。
4.练习与巩固（30分钟）根据教师提供的习题和案例，让学生进行练习和巩固，检验学生对判定直线与平面垂直方法的掌握情况。
五、总结（10分钟）对本节课的重点和难点进行总结，并强调直线与平面垂直的概念和性质在几何学中的重要性。
六、布置作业（5分钟）布置作业，要求学生进一步巩固判定直线与平面垂直的方法，掌握几何图形的性质。
七、教学反思通过本节课的教学，学生对直线与平面垂直的定义和性质有了初步的了解，并且掌握了判定直线与平面垂直的方法。
通过练习和巩固，学生的理解和运用能力也得到了提高。
但是在教学过程中，应该注重激发学生的学习兴趣，增加互动性，让学生更加主动参与到教学中。
直线与平面垂直的判定教学设计
8.6.2直线与平面垂直的判定教学目标1.知识与技能目标(1).借助对实物、图片的观察，通过比较线面垂直、线面不垂直的两种情况下的图形特征，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义，进而能正确理解和简单应用这个定义。
(2).通过直观感知、操作确认、思辨论证，发现并确信直线与平面垂直的判定定理，并能运用这个定理证明一些简单的命题。
2.过程与方法目标(1).能充分体验与感悟定理形成过程中蕴含的“以简驭繁”、“化无限为有限”、“化空间问题为平面问题”、“化线面问题为线线问题”等思想方法。
(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加。
3.情感态度价值观目标(1).培养学生的探索精神。
(2).体会数学与实际生活的密切联系。
重点难点1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理。
2.教学难点：理解直线与平面垂直判定定理的严谨性。
教学设计一．知识回顾1.异面直线所成的角。
2.异面直线互相垂直。
3.求两条异面直线所成角的步骤：平移→定角→计算二．探究新知在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如下图中，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.观察如下图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? 旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB 所在直线始终与影子BC所在直线垂直，也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意--条过点B的直线垂直.对于地面上不过点B的任意一条直线B'C',总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行,根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线B'C'也垂直. 因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直。
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本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及初步应用，空间中直线与平面垂直是直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的纽带，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它在空间点、直线、平面位置关系中起到承上启下的作用
学
习
目
标
描
述
知识点
编号
学习目标
层次
具体描述语句
2.3-1
理解
借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
2.3-2
掌握
通过直观感知、操作确认，归纳用
能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题
项目
内容
对策
教学重点
直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
板书定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
板书符号语言、图形语言
学生试用自然语言总结实验结论，并试用图形语言符号语言表述，在练习本上画图
学生通过实验，小组讨论探究，参与到结论产生的过程中来。
三、判定定理的初步应用
请一位同学到黑板是演示解答过过程
教师巡回指导并请学生讨论、板演题目
媒体的应用
设计意图
导入新课
展示课件
师：同学们观察下列图片，图片中的旗杆与地面，圆柱型建筑与地面是什么位置关系？
观察课件图片，思考位置关系
PPT课件展示图片
基于学生已有的数学现实，通过生活实例感知直线与平面垂直的位置关系。
师：你能举出一些生活里的直线与平面垂直的例子吗？
通过生活观察实例，举出例子
学习新知
PPT展示折纸实验要求
及问题
学生通过亲手实验，观察归纳实验结果，体会线面垂直判定定理
探究一：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
学生观察并讨论、分析折痕AD是BC边上高的实质：AD是BC边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变
PPT展示实验效果图
探究折痕与桌面垂直的条件
巩固练习
练习1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
练习2、课本67页练习题1、2
思考并在练习本上作答
PPT演示练习1
定理的应用，加深定理的理解，及应用定理时条件的构造
评价修正
整节课扮演引领解惑的角色
积极讨论、探究、展示结论
直观、快捷展示，提高课堂效率
促进迁移
精选 练习二
直线与平面垂直的判定 教师课堂教学设计
章节名称
§2.3（第一学时）直线与平面垂直的判定
学时
1
课标依据
通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学目标
知识与技能:
（1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
观察、思考、展示结果
PPT课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程
教师通过提问的方式引导学生,将线面垂直转化为线线垂直，通过观察思考，感知直线与平面垂直的内涵。
通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
思考作答
PPT展示：定义：
记法：
画法：
让学生试着归纳、概括出直线与平面垂直的定义。
通过课件展示生活中熟知的直线与平面垂直的图片，以及教室里的实物例子，直观感知直线与平面垂直。学生亲自利用三角形纸片做的折纸实验来操作确认，概括出直线与平面垂直的判定定理
教学难点
操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用
学生亲自利用三角形纸片做的折纸实验来操作确认，概括出直线与平面垂直的判定定理。
思考、小组交流讨论
PPT展示习题
通过问题辨析，加深概念的理解。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思。而（2）给出了直线与直线垂直的一种判定方法
二、探究发现直线与平面垂直的判定定理
问题：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？
思考、发表自己的观点
设置判断题等多种题型，使学生理解判定定理的内容、条件，从而学会简单运用
学生课前需要
做的准备工作
1.复习直线与平面的位置关系，直线与直线垂直的判定。
2.预习教材64-67页，完成学案，并试着归纳直线与平面垂直的定义与判定定定理。
3.每人准备一张三角形纸片，三角板
课
堂
教
学
过
程
设
计
思
路
教学环节
教师的活动
学生的活动
3.规范解题步骤（如：请学生板演解答过程，师生共同评判）
为学习有困难的学生所做的调整
1.多举生活中实例，由熟知引导新知（如：直线与平面垂直定义的归纳总结）
2.选择知识点单一的例题及练习题（如：例题、练习1）
3.适当放慢讲题速度
课
堂
教
学
过
程
结
构
设
计
教学模式：教学过程结构：
板
书
设
计
§2.3直线与平面垂直的判定（一）
审题、思考、在练习本上作答
PPT展示
例题：
有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
利用直线与平面垂直的判定定理解决直线与平面垂直的有关问题。
加深对定理中“相交直线”的理解，体会定理在解题中的应用
一：抽象概括直线与平面垂直的定义
师：这些生活实例都给我们直线与平面垂直的形象，但一条直线与平面垂直的意义到底是什么呢？
展示课件
1、阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?
2、旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系
实验：请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）。
用准备好的三角形纸片按要求做折纸实验学生同桌合作进行试验后交流方案，并由实验结论回答问题
探究二：当折痕AD⊥BC时，上述沿AD的各种折法中，能使AD始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？
学生观察实验
结果，小组讨论，展示小组意见
PPT展示直线与平面垂直的判定定理内容、符号语言及图形语言
引导学生发现折痕AD与桌面垂直的本质特征是垂直于桌面内两条相交直线。
补充完善学生结论，指导学生画图
2.3-3
应用
4.下列条件中能是直线 的是
形
成
性
评
价
通过本节课学习，
1.形成性练习大部分学生能独立完成，个别学生在第1、3题出错，说明直线与平面垂直的定义理解不透彻，不会构造定理条件，应用定理解题。第4题出现问题最多，本题是综合性较强的一道题目，说明学生还不能很好把本节知识与其他知识有机结合。
2.课堂教学中，直线与平面垂直的定义大部分学生已理解，但也有个别同学，还是不能准确区分定义中“所有的直线”与无数条直线的区别。通过折纸实验对判定定理内容能够理解，还是部分学生在定理应用时不会构造条件。
（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
过程与方法:
（1）通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，
(2)体会”空间问题转化为平面问题”，“无限转化成有限”等转化思想在解决问题中的运用。
情感、态度与价值观
通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
本节课根据学生特点，借助图片、实例、多媒体手段通过直观感知归纳数学结论,提高课堂参与度，激发学生学习的数学兴趣
（3）以评价为激励
在教学过程中，设置了学生自评、互评，教师点评等多种评价方式，提高了评价的效率和可信度。此外
2、不足及改进措施
总体而言，这节课基本上符合我事先备课的构想与预期，但也存在一定的问题。由于学生的差异性，在做练习，作业时不能很好利用符号语言表述、做题步骤不规范等问题。在以后的教学中，首先，教师应该多做板书示范，多强调，多面批。另外，在课堂或自习课上，找学生到黑板上多做题，让其他学生和教师改正、补充。
根据学生回答情况，教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的定义、记法与画法
板书：
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
练习;1、下列命题是否正确？为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。
学情分析
学生在本节课之前已经学习了直线与直线垂直，但文科班学生，空间想象能力、抽象概括能力相对较低，因此通过实例，操作能够理解直线与平面垂直的定义，但很难用数学语言抽象概括出直线与平面垂直的判定定理。所以在应用定理解决问题时，很难找到应用定理的条件。从某种意义上说，解决了这个问题，也就解决了本节课的重点和难点问题，从而实现本节教学目标。
3.在批改作业时发现，学生在应用定理解题时，部分学生能理解定理内容,不会准确的用符号语言描述,解题步骤不规范。
教
学
反
思