0044算法笔记——【随机化算法】舍伍德(Sherwood)算法和线性时间选择问题
详解各种随机算法
详解各种随机算法之前将的算法都是确定的，即对于相同的输⼊总对应着相同的输出。
但实际中也常常⽤到不确定的算法，⽐如随机数⽣成算法，算法的结果是不确定的，我们称这种算法为（随机）概率算法，分为如下四类：1、数值概率算法⽤于数值问题的求解，通常是近似解2、蒙特卡洛算法Monte Carlo能得到问题的⼀个解，但不⼀定是正确解，正确的概率依赖于算法运⾏的时间，算法所⽤的时间越多，正确的概率也越⾼。
求问题的准确解；3、拉斯维加斯算法 Las Vegas不断调⽤随机算法求解，直到求得正确解或调⽤次数达到某个阈值。
所以，如果能得到解，⼀定是正确解。
4、舍伍德算法 Sherwood利⽤随机算法改造已有算法，使得算法的性能尽量与输⼊数据⽆关，即平滑算法的性能。
它总能求得问题的⼀个解，且求得的解总是正确的。
随机数概述计算机产⽣的随机数都是伪随机数，通过线性同余法得到。
⽅法：产⽣随机序列d称为种⼦；m取值越⼤越好；m，b互质，常取b为质数；案例伪随机数在实际编程中，我们使⽤rand()函数来产⽣随机数，rand()函数返回0到⼀个最⼤值之间的⼀个随机数。
#include#include#include//产⽣[0,100)的随机数void GenerateRandomNumber(){for(int i=0;i10;i++){printf('%-4d',rand()%100);//产⽣[0,m)的随机数}printf('\n');}int main(){GenerateRandomNumber();return 0;}运⾏代码，输出：41 67 34 0 69 24 78 58 62 64如果我们重复运⾏代码就会发现，每次的输出结果都是这个序列。
这就是因为rand产⽣的随机序列是伪随机序列。
解决⽅法是：使⽤当前的时间作为随机种⼦。
时间作为随机种⼦在GenerateRandomNumber()函数开头加⼊下⾯⼀条语句。
《计量经济学导论》考研伍德里奇考研复习笔记二
《计量经济学导论》考研伍德里奇考研复习笔记二第1章计量经济学的性质与经济数据1.1 复习笔记一、什么是计量经济学计量经济学是以一定的经济理论为基础，运用数学与统计学的方法，通过建立计量经济模型，定量分析经济变量之间的关系。
在进行计量分析时，首先需要利用经济数据估计出模型中的未知参数，然后对模型进行检验，在模型通过检验后还可以利用计量模型来进行预测。
在进行计量分析时获得的数据有两种形式，实验数据与非实验数据：（1）非实验数据是指并非从对个人、企业或经济系统中的某些部分的控制实验而得来的数据。
非实验数据有时被称为观测数据或回顾数据，以强调研究者只是被动的数据搜集者这一事实。
（2）实验数据通常是通过实验所获得的数据，但社会实验要么行不通要么实验代价高昂，所以在社会科学中要得到这些实验数据则困难得多。
二、经验经济分析的步骤经验分析就是利用数据来检验某个理论或估计某种关系。
1．对所关心问题的详细阐述问题可能涉及到对一个经济理论某特定方面的检验，或者对政府政策效果的检验。
2构造经济模型经济模型是描述各种经济关系的数理方程。
3经济模型变成计量模型先了解一下计量模型和经济模型有何关系。
与经济分析不同，在进行计量经济分析之前，必须明确函数的形式，并且计量经济模型通常都带有不确定的误差项。
通过设定一个特定的计量经济模型，我们就知道经济变量之间具体的数学关系，这样就解决了经济模型中内在的不确定性。
在多数情况下，计量经济分析是从对一个计量经济模型的设定开始的，而没有考虑模型构造的细节。
一旦设定了一个计量模型，所关心的各种假设便可用未知参数来表述。
4搜集相关变量的数据5用计量方法来估计计量模型中的参数，并规范地检验所关心的假设在某些情况下，计量模型还用于对理论的检验或对政策影响的研究。
三、经济数据的结构1横截面数据（1）横截面数据集，是指在给定时点对个人、家庭、企业、城市、州、国家或一系列其他单位采集的样本所构成的数据集。
计算机算法设计与分析(第5版)
作者简介
王晓东：男，1957年生，山东人，福建工程学院副院长，教授，博士生导师，福建省计算机学会理事长。主 讲课程：算法与数据结构、算法设计与分析、文献阅读与选题报告 。
目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列 ）
教学资源
《计算机算法设计与分析（第5版）》有配套教材——《计算机算法设计与分析习题解答（第5版）》 。
教材特色
《计算机算法设计与分析（第5版）》修正了第4版中发现的一些错误，并将各章的习题分为算法分析题和算 法实现题两部分，增加了算法实践性内容，增加了有关串和序列的算法内容。
《计算机算法设计与分析（第5版）》由王晓东担任主编；傅清祥教授、吴英杰教授、傅仰耿博士和朱达欣教 授参加了该教材有关章节的讨论，对该教材内容及各章节的编排提出了意见；田俊教授审阅了全书。该教材在编 写过程中，得到了全国高等学校计算机专业教学指导委员会的支持。福州大学“211工程”计算机与信息工程重 点学科实验室和福建工程学院为该教材的写作提供了设备和工作环境 。
该教材各章的论述中，首先介绍一种算法设计策略的基本思想，然后从解决计算机科学和应用中的实际问题 入手，描述几个算法。同时对每个算法所需的时间和空间进行分析，使读者既能学到一些常用的算法，也能通过 对算法设计策略的反复应用，牢固掌握这些算法设计的基本策略。该教材选择某些问题，通过对解同一问题的不 同算法的比较，使读者体会到每种算法的设计要点。
2018年8月，该教材由电子工业出版社出版 。
伍德里奇计量经济学笔记
伍德里奇计量经济学笔记伍德里奇计量经济学（Wooldridge Econometrics）是一门应用计量经济学的学科，它结合了经济学和数理统计学的理论和方法。
1. 引言- 计量经济学的定义：利用数理统计学和计量经济模型来分析经济问题。
- 经济学模型包括描述经济系统和理论关系的方程。
- 计量经济学的目标是估计和测试经济模型中的参数。
2. 统计学基础- 假设检验：用统计方法来验证经济理论。
- 最小二乘法（OLS）：估计经济模型中未知参数的方法。
- OLS估计结果的性质和假设：无偏性、一致性和有效性。
3. 单变量回归模型- 简单线性回归模型：一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
- 估计参数和评估模型：OLS估计、t统计量、R方和调整的R 方。
- 解释和预测：利用估计的模型进行解释和预测。
4. 多变量回归模型- 多元线性回归模型：多个自变量和一个因变量之间的线性关系。
- 估计参数和评估模型：OLS估计、t统计量、F统计量、R方和调整的R方。
- 控制变量和决策：利用控制变量来减少混淆因素，做出更准确的决策。
5. 动态模型- 差分方程：描述变量随时间变化的关系。
- 滞后变量和滞后因变量：引入滞后变量来解释变量之间的时序关系。
- 动态因果关系：解释一些经济变量之间的长期和短期关系。
6. 面板数据模型- 面板数据：包含多个个体和多个时间观测的数据集。
- 固定效应模型和随机效应模型：解释面板数据中个体效应和时间效应。
- 引入个体和时间固定效应：控制个体特征和时间变化对变量关系的影响。
7. 工具变量估计- 决定性和随机性端变量：用于解决内生性问题的变量。
- 工具变量的选择和检验：选择有效的工具变量来估计内生性模型。
- 两阶段最小二乘法（2SLS）：用工具变量估计内生性模型。
8. 非线性回归模型- 非线性函数：描述实际经济关系的复杂性。
- 估计非线性模型：使用非线性最小二乘法（NLS）估计非线性模型。
- 非线性回归模型的解释和预测：利用估计的非线性模型进行解释和预测。
强化学习算法中的随机策略方法详解(八)
强化学习是一种通过试错来学习最佳行为的机器学习方法，随机策略是其中的一种重要方法。
本文将详细探讨强化学习算法中的随机策略方法。
首先，我们需要了解什么是随机策略。
在强化学习中，策略是指智能体（agent）在特定状态下所采取的行为。
随机策略是指在每个状态下，智能体以一定的概率选择任何可能的行为，而不是根据某种确定的规则来选择行为。
相对而言，确定性策略则是在每个状态下选择一个确定的行为。
随机策略的引入可以增加探索的可能性，有助于发现更优的策略。
接下来，我们介绍几种常见的随机策略方法。
首先是ε-greedy策略，这是一种最简单的随机策略方法。
在ε-greedy策略中，智能体以概率1-ε选择当前最优的动作，以概率ε选择随机动作。
这样可以在一定程度上保证智能体在探索新的动作和利用已知的最优动作之间保持平衡。
ε-greedy策略是强化学习中最常用的随机策略之一。
另一种常见的随机策略是softmax策略，也称为Boltzmann策略。
在softmax策略中，每个动作的概率由动作值函数决定，概率与动作值成比例。
采用softmax策略时，概率较高的动作更容易被选择，而概率较低的动作也有一定的机会被选择，这有利于智能体发现更优的策略。
除了这两种常见的随机策略方法，还有一种较为特殊的方法叫做随机参数化策略。
在随机参数化策略中，策略本身是由一个概率分布参数化而成的，参数本身也是随机的。
智能体不仅要学习策略的具体形式，还需要学习分布参数的取值。
随机参数化策略方法在一些特定的强化学习问题中表现出了较好的性能。
了解了不同的随机策略方法，接下来我们将讨论随机策略方法在强化学习中的应用。
首先是探索与利用的平衡。
在强化学习中，智能体需要在探索未知的状态和动作空间，同时利用已有的知识来获取奖励。
随机策略方法可以帮助智能体在探索和利用之间取得平衡，从而更好地学习最优策略。
另外，随机策略方法还可以应用在多智能体博弈中。
在多智能体环境中，智能体需要根据其他智能体的策略来选择最优的行为。
随机算法比较
对比舍伍德算法、拉斯维加斯算法、蒙特卡洛算法的适用范围以及它们的优缺点。
一、舍伍德算法：•特点舍伍德算法总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。
当一个确定性算法在最坏情况下的计算复杂性与其在平均惜况下的计算复杂性有较大的差别时，可在这个确定性算法中引入随机性将它改造成一个舍伍徳算法，消除或减少问题的好坏实例间的这种差别。
舍伍德算法的精髓不是避免算法的最坏悄形行为，而是设法消除这种最坏悄形行为与特定实例之间的关联性。
舍伍德算法不会从整体上或平均的改善问题求解的时间复杂度，但可以对一些特别耗时的特定输入改善至较适中的时间复杂度。
设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)o设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A 所需的平均时间为_ 艺© O)“小卞厂这显然不能排除存在xGXn使得tA(x)»tA(n)的可能性。
希望获得一个概率算法B,使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有心⑴二几何+心)这就是舍伍德算法设计的基本思想。
当s(n)与tA(n)相比可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。
•适用范围：1.快速排序算法2.线性时间选择算法上述两算法选择合适的划分基准，舍伍德算法随机地选择一个数组元素作为划分基准，这样既能保证算法的线性时间平均性能，乂避免了计算拟中位数的麻烦。
3.搜索有序表利用数组的小标的索引性质，可以设讣一个随机化搜索算法，以改进算法的搜索时间复朵性。
即随机抽取数组元素若干次，从较近搜索元素x的位置开始做顺序搜索。
4.跳跃表在跳跃表中随机增加附加指针，以及在该结点处应随机增加指针。
二、拉斯维加斯算法：•特点：拉斯维加斯算法不会得到不正确的解。
一旦用拉斯维加斯算法找到一个解，这个解就一定是正确解。
与蒙特卡罗算法类似，拉斯维加斯算法找到正确解的概率随着它所用的计算时间的增加而提高。
但对所求解的问题，用同一个拉斯维加斯算法反复求解多次，可以使得求解失效的概率任意小。
知乎的威尔逊算法
知乎的威尔逊算法1 威尔逊算法是什么威尔逊算法（Wilson's algorithm）是一种随机生成迷宫的算法，由美国数学家大卫·威尔逊于1978年提出。
威尔逊算法是一种回溯算法的变形，通过不断从迷宫中选择一个未访问的随机点，向其它未访问的点连接，直到连接的部分围成一个区域，就可以生成迷宫。
2 算法流程（1）初始化迷宫，每个位置都是墙。
（2）从任意一个起点（假设为左上角）开始，先把从该点垂直向下的一条线标记为路径，然后进入下一步。
（3）选择迷宫中任意一个未被访问的点，从该点开始向上下左右四个方向延伸，寻找未被访问的点，并走向该点。
（4）重复步骤（3），直到当前路径连接到已访问的路径（或者到达边缘），此时将当前路径标记为路径。
（5）重复步骤（3）和（4），直到迷宫所有的位置都被访问，并都生成了路径。
（6）将随意选择的起点和终点设为入口和出口。
威尔逊算法是一种直接生成迷宫的算法，与递归分割算法（Recursive Division Algorithm）和Eller算法不同，它没有在迷宫中添加障碍物。
威尔逊算法在生成迷宫时具有以下的特点：（1）随机性强：由于算法每次随机选择未访问的点，因此生成的迷宫具有很高的随机性，每次生成的迷宫都不同。
（2）局部完美性：生成的迷宫在局部区域内具有唯一性，不会出现死路。
（3）动态性：算法生成迷宫的过程可以看做是从空白状态开始，不断增加障碍，直到迷宫形成的过程，因此具有动态性。
4 算法的缺点（1）迷宫的生成速度较慢：由于算法的随机性和回溯过程，迷宫的生成时间相对较长。
（2）需要大量的内存和计算资源：由于算法需要对迷宫中未访问的点状态进行保存，因此需要大量的内存和计算资源。
5 算法的应用威尔逊算法被广泛应用于游戏领域中的迷宫生成。
迷宫是游戏中常见的场景，而威尔逊算法可以生成不同难度等级，不同样式的迷宫，满足游戏的需求。
除了游戏领域，威尔逊算法还被应用到路径规划和网络路由的领域中。
伍德里奇《计量经济学导论》(第4版)笔记和课后习题详解(2-8章)
使用普通最小二乘法，此时最小化的残差平方和为()211niii y x β=-∑利用一元微积分可以证明，1β必须满足一阶条件()110niiii x y x β=-=∑从而解出1β为：1121ni ii nii x yxβ===∑∑当且仅当0x =时，这两个估计值才是相同的。
2.2 课后习题详解一、习题1．在简单线性回归模型01y x u ββ=++中，假定()0E u ≠。
令()0E u α=，证明：这个模型总可以改写为另一种形式：斜率与原来相同，但截距和误差有所不同，并且新的误差期望值为零。
证明：在方程右边加上()0E u α=，则0010y x u αββα=+++-令新的误差项为0e u α=-，因此()0E e =。
新的截距项为00αβ+，斜率不变为1β。
2（Ⅰ）利用OLS 估计GPA 和ACT 的关系；也就是说，求出如下方程中的截距和斜率估计值01ˆˆGPA ACT ββ=+＾评价这个关系的方向。
这里的截距有没有一个有用的解释？请说明。
如果ACT 分数提高5分，预期GPA 会提高多少？（Ⅱ）计算每次观测的拟合值和残差，并验证残差和（近似）为零。
（Ⅲ）当20ACT =时，GPA 的预测值为多少？（Ⅳ）对这8个学生来说，GPA 的变异中，有多少能由ACT 解释？试说明。
答：（Ⅰ）变量的均值为： 3.2125GPA =，25.875ACT =。
()()15.8125niii GPA GPA ACT ACT =--=∑根据公式2.19可得：1ˆ 5.8125/56.8750.1022β==。
根据公式2.17可知：0ˆ 3.21250.102225.8750.5681β=-⨯=。
因此0.56810.1022GPA ACT =+＾。
此处截距没有一个很好的解释，因为对样本而言，ACT 并不接近0。
如果ACT 分数提高5分，预期GPA 会提高0.1022×5=0.511。
（Ⅱ）每次观测的拟合值和残差表如表2-3所示：根据表可知，残差和为-0.002，忽略固有的舍入误差，残差和近似为零。
计量经济学伍德里奇数据集
计量经济学伍德里奇数据集引言：计量经济学是经济学的一个重要分支，它运用数理统计方法和经济学理论，对经济现象进行定量分析，以获取经济规律的客观证据。
而伍德里奇数据集（Woodridge dataset）是计量经济学中常用的一个数据集，它涵盖了多个经济变量，并被广泛应用于经济学研究领域。
本文将对伍德里奇数据集进行介绍，并探讨一些研究中常用的计量经济学方法和技术。
一、伍德里奇数据集简介伍德里奇数据集是由经济学家Jeffrey M. Wooldridge教授整理和提供的一个经济学数据集，其中包含了许多经济变量，如收入、就业、教育程度、家庭背景等。
这些数据来自于各个国家、地区和行业，涵盖了多个时间段。
伍德里奇数据集通常用于教学和研究中，被广泛应用于计量经济学的实证分析。
二、计量经济学方法1. 线性回归模型线性回归模型是计量经济学中最基础的方法之一，它用于描述一个或多个自变量与一个因变量之间的线性关系。
通过伍德里奇数据集，我们可以构建一个线性回归模型，进而分析经济变量之间的关系。
2. 差分法差分法是一种常用的计量经济学方法，用于处理面板数据或时间序列数据中的非平稳性。
通过对数据进行差分操作，可以消除非平稳性，使得数据更适合进行分析。
在伍德里奇数据集中，我们可以应用差分法来研究变量之间的长期和短期关系。
3. 面板数据模型面板数据模型是一种同时考虑时间序列和截面数据的方法，在伍德里奇数据集中可以用来分析不同个体之间的异质性。
通过面板数据模型，我们可以更准确地估计经济变量之间的关系，并探讨个体特征对经济现象的影响。
4. 工具变量法工具变量法是一种用于解决内生性问题的计量经济学方法，通过引入工具变量来修正自变量与误差项之间的内生性关系。
在伍德里奇数据集中，我们可以运用工具变量法来探讨某些变量对于特定经济现象的因果关系。
三、应用案例1. 教育对收入的影响通过伍德里奇数据集，我们可以分析教育程度对个人收入的影响。
通过构建线性回归模型，我们可以估计出教育程度对收入的边际效应，并探讨教育对个人收入的贡献。
随机化算法——精选推荐
随机化算法随机化算法特征：对于所求问题的同⼀实例⽤同⼀随机化算法求解两次可能得到完全不同的结果，这两次求解的时间甚⾄得到的结果可能会有相当⼤的差别。
分类：1.数值随机化算法这类算法常⽤于数值问题的求解，所得到的解往往都是近似解，⽽且近似解的精度随计算时间的增加不断提⾼。
使⽤该算法的理由是：在许多情况下，待求解的问题在原理上可能就不存在精确解，或者说精确解存在但⽆法在可⾏时间内求得，因此⽤数值随机化算法可以得到相当满意的解。
⽰例：计算圆周率Π的值将n个点随机投向⼀个正⽅形，设落⼈此正⽅形内切圆（半径为r）中的点的数⽬为k。
假设所投⼊的点落⼊正⽅形的任⼀点的概率相等，则所投⼊的点落⼊圆内的概率为Π*r2/4*r2=Π/4。
当n→∞时，k/n→Π/4，从⽽Π约等于4*k/n。
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 1e2 + 10;const int INF = 0x3f3f3f3f;#define m 65536L#define b 1194211693L#define c 12345Lclass RandomNumber{private:unsigned long d; //d为当前种⼦public:RandomNumber(unsigned long s=0); //默认值0表⽰由系统⾃动给种⼦unsigned short random(unsigned long n); //产⽣0：n-1之间的随机整数double fRandom(void); //产⽣[0,1)之间的随机实数};//函数RandomNumber⽤来产⽣随机数种⼦RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s){if(s==0) d=time(0); //由系统提供随机种⼦else d=s; //由⽤户提供随机种⼦}unsigned short RandomNumber::random(unsigned long n){d=b*d+c; //⽤线性同余式计算新的种⼦dreturn (unsigned short)((d>>16)%n); //把d的⾼16位映射到0~（n-1）范围内}double RandomNumber::fRandom(void){return random(m)/double(m);}double Darts(int n){static RandomNumber darts;int k=0,i;double x,y;for(int i=1;i<=n;++i){x=darts.fRandom();y=darts.fRandom();if((x*x+y*y)<=1)k++;}return4.0*k/double(n);}int main(){srand(time(NULL));//指定运⾏次数，次数越⾼精度越⾼printf("%.8lf\n",Darts(10000));return0;}2.蒙特卡罗算法家特卡罗算法是计算数学中的⼀种计算⽅法,它的基本特点是以概率与统计学中的理论和⽅法为基础，以是否适合于在计算机上使⽤为重要标志。
马尔可夫决策过程算法
马尔可夫决策过程算法（原创版）目录一、马尔可夫决策过程算法概述二、马尔可夫决策过程算法的基本概念1.四元组（S, A, P, R）2.状态值函数的贝尔曼方程3.最优状态值函数的贝尔曼最优性方程三、马尔可夫决策过程算法的求解方法1.动态规划2.蒙特卡洛方法3.时序差分学习四、马尔可夫决策过程算法在实际应用中的案例五、总结正文一、马尔可夫决策过程算法概述马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，简称 MDP）是强化学习中的一个重要概念，它是一种数学模型，用于描述决策者在不确定环境中进行决策的过程。
MDP 具有广泛的应用，包括资源分配、生产调度、金融投资、机器人控制等。
在本文中，我们将详细介绍马尔可夫决策过程的基本概念、性质、求解方法以及实际应用。
二、马尔可夫决策过程算法的基本概念1.四元组（S, A, P, R）在马尔可夫决策过程中，决策者（Agent）在每个时刻根据当前状态选择一个行动，并根据状态转移概率转移到下一个状态，同时获得一个即时奖励。
决策者的目标是选择一组行动序列（策略），使得累积奖励最大化。
马尔可夫决策过程可以表示为一个四元组（S, A, P, R），其中：- S：状态（State）- A：行动（Action）- P：状态转移概率（Transition Probability）- R：奖励（Reward）2.状态值函数的贝尔曼方程状态值函数（State-Value Function）表示在某个状态下，遵循某个策略能够获得的期望回报。
状态值函数的贝尔曼方程（Bellman Equation）用于计算状态值函数。
3.最优状态值函数的贝尔曼最优性方程最优状态值函数（Optimal State-Value Function）表示在每个状态下，遵循最优策略能够获得的期望回报。
最优状态值函数的贝尔曼最优性方程（Bellman Optimality Equation）用于计算最优状态值函数。
random法则
random法则随机法则（RandomRule）是一个非常流行的概念，它是指通过某种随机的方式来解决问题。
在十九世纪末，最早的随机法则出现在赫尔曼布鲁姆（Hermann Brum）的著作《随机自然：关于统计学和逻辑的论述》中。
他是第一个将概率和模糊逻辑纳入哲学、社会学和历史学的学者。
他的理论更深入地探索了社会的复杂性。
在20世纪初，统计概率学家卡尔拉格朗日（Karl Ragnar）将概率理论应用到了金融学中，提出概率和随机理论可以应用于数学和经济研究。
他提出，通过分析实证数据，把不确定性转化为可能性，可以更客观地分析市场变动趋势，指导资本运作。
随着互联网革新，他的理论被广泛应用于网络商务、供应链管理、社会网络分析等多个领域。
随机法则也被广泛地应用于多种人工智能的研究中，尤其是机器学习领域。
它主要利用随机探索和搜索策略，通过反复地优化参数，来提高学习算法的性能。
例如，在强化学习中，强化学习算法通过利用随机搜索来寻找最佳行为策略。
此外，在信息检索领域，也有一些关于随机法则的应用，例如随机索引法（Random Indexing）、随机变量（Random Variable）等。
随机索引法可以很好地用在搜索引擎中，它可以更加精确地检索出精确的信息。
另外，随机法则也可以用来进行人工智能决策模型的建模，以便更好地控制和调节未来的决策。
它可以帮助企业和组织更有效地实施决策，从而提升企业绩效。
总而言之，随机法则是一个重要的哲学和经济理论，它可以用来研究社会复杂性，也可以用来优化算法性能和市场搜索，以及帮助企业实施更有效的决策。
对于未来社会经济发展，随机法则具有重要意义，将在许多领域发挥巨大的作用。
舍伍德（Sherwood）算法学习笔记
舍伍德（Sherwood）算法学习笔记⼀.概念引⼊设A是⼀个确定性算法，当它的输⼊实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。
设Xn 是算法A的输⼊规模为n的实例的全体，则当问题的输⼊规模为n时，算法A所需的平均时间为。
这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。
希望获得⼀个随机化算法B，使得对问题的输⼊规模为n的每⼀个实例均有。
这就是舍伍德算法设计的基本思想。
当s(n)与tA(n)相⽐可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。
概率算法的⼀个特点是对同⼀实例多次运⽤同⼀概率算法结果可能同。
舍伍德算法(O(sqrt(n))，综合了线性表和线性链表的优点)总能求的问题的⼀个正确解，当⼀个确定性算法在最坏情况和平均情况下差别较⼤时可在这个确定性算法中引⼊随机性将之改造成⼀个舍伍德算法；引⼊随机性不是为了消除最坏，⽽是为了减少最坏和特定实例的关联性。
⽐如线性表a的查找若是找10(独⼀⽆⼆)，如果在a[0]则为O(1),若是最后⼀个则O(n)，可见时间与输⼊实例有关，此时可引⼊随机性将之改造成⼀个舍伍德算法。
有时候⽆法直接把确定性算法改造为舍伍德算法，这时候对输⼊洗牌。
下⾯是洗牌算法源代码：import java.util.Random;public class Shuffle {public static void main(String[] args) {int a[] = new int[]{1,2,4,5,8};/** Collections.shuffle(list)参数只能是list*/myShuffle(a);for(int i:a) {//犯了个低级错误，输出了a[i]，结果数组下标越界异常System.out.print(i+" ");}System.out.println();}private static void myShuffle(int[] a) {int len = a.length;for(int i=0; i<len; i++) {Random r = new Random();//直接Random.nextInt(len)提⽰静态⽅法⾥⽆法引⽤int j = r.nextInt(len);//Collections.swap(list,i,j)必须是list类型if(i!=j) {//原来没加这个条件int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}}}}⼆.舍伍德思想解决迅雷2010年校招--发牌问题描述：52张扑克牌分发给4⼈，每⼈13张，要求保证随机性。
算法设计与分析课件--随机化算法-舍伍德算法
5
7.5 舍伍德算法 – 线性时间选择
线性时间选择：
给定线性序集中n个元素和一个整数k (1≤k≤n)，要求找出 这n个元素中第k小的元素。
如将这n个元素依其线性序排列，排在第k个位置的元素 即为要找的元素。
线性选择的分治算法对基准元素的选择比较复杂：
先分组，然后取每一组的中位数，接下来再取中位数的 中位数，最后以该中位数为基准元素对n个元素进行划分。
如要消除上述的差异性，必须在基准元素的选择上多做 考虑。如在基准元素选择时引入随机性，即随机地选择 基准元素。
引入随机性的快速排序算法便为舍伍德算法，可以较高 概率地获得算法的平均性能。
4
7.5 舍伍德算法 – 随机快速排序
基于舍伍德方法的随机快速排序算法：
QUICK-SORT(A, low, high) if low < high
then pivotpos = RAND-PARTITION(A,low,high) //划分序列 QUICK-SORT(A,low,pivotpos-1) //对左区间递归排序 QUICK-SORT(A,pivotpos+1,high) //对右区间递归排序
RAND-PARTITION(A, low, high) RandomNumber rnd i = RandomNumber.random(high-low+1) + low SWAP(a[low], a[i]) j = PARTITION(A, low, high) return j
{
RandomNumber rnd；
for(int i=1;i<n;i++)
{
int j=rnd.Random(n-i)+i;
舍伍德算法
舍伍德算法1. 简介舍伍德算法（Sherwood Algorithm）是一种用于高效训练随机森林的算法。
随机森林是一种集成学习的方法，通过构建多个决策树进行分类或回归。
舍伍德算法的目标是在保持模型准确性的同时，尽可能地减少训练时间。
2. 随机森林在介绍舍伍德算法之前，我们先来了解一下随机森林。
2.1 决策树决策树是一种常用的分类和回归方法。
它通过对数据集进行划分，构建一个树状结构来进行预测。
每个内部节点表示一个特征或属性，每个叶子节点表示一个类别或数值。
2.2 集成学习随机森林是一种集成学习的方法，它通过构建多个决策树来进行分类或回归，并将它们的结果进行组合来得到最终结果。
这种集成学习的方式可以提高模型的准确性和鲁棒性。
2.3 随机性随机森林中引入了两种随机性：样本随机性和特征随机性。
•样本随机性：从训练集中有放回地抽取样本，构建不同的决策树。
这样可以使得每个决策树的训练集都有一定的差异，增加模型的多样性。
•特征随机性：对于每个决策树的节点，在候选特征中随机选择一部分特征进行划分。
这样可以使得每个决策树都只考虑了部分特征，减少了特征之间的相关性。
3. 舍伍德算法舍伍德算法是一种用于高效训练随机森林的算法。
它通过并行计算和数据分布来加速训练过程，并在保持模型准确性的同时减少了计算资源的消耗。
3.1 并行计算舍伍德算法利用多线程和多核计算来并行计算决策树的构建过程。
在每个线程中，舍伍德算法使用不同的训练集子集来构建决策树，然后将它们组合成一个随机森林。
3.2 数据分布为了进一步提高训练速度，舍伍德算法将数据分布到不同的计算节点上进行并行计算。
在每个计算节点上，舍伍德算法只使用部分数据来构建决策树。
这样可以减少每个决策树的训练时间，并充分利用计算资源。
3.3 特征选择舍伍德算法使用一种基于随机投影的方法来选择特征。
它通过随机选择一部分特征，并对它们进行投影，然后选择投影后具有最大方差的特征作为划分特征。
sheduling随机算法
sheduling随机算法Scheduling随机算法在计算机科学中，调度是指对进程或任务进行排序和分配处理资源的过程。
调度算法的目标是最大程度地提高系统的效率和资源利用率，以提高性能和响应时间。
其中一种常用的调度算法是随机算法。
本文将介绍Scheduling随机算法的原理、特点及其在实际应用中的意义。
一、Scheduling随机算法的原理Scheduling随机算法是一种基于随机选择的调度算法。
它的原理是根据一定的概率分布，在可选的进程或任务中随机选择一个进行调度。
通常情况下，每个进程或任务都有一个对应的优先级，随机算法根据优先级的不同来确定选择的概率，优先级越高的进程或任务被选中的概率越大。
二、Scheduling随机算法的特点1. 公平性：Scheduling随机算法具有公平性，因为它不会偏向某个特定的进程或任务，而是按照概率来选择。
这样可以确保每个进程或任务都有一定的机会被调度，避免了某些进程或任务一直占用资源而导致其他进程或任务无法得到充分的执行的情况。
2. 高度并行：由于Scheduling随机算法是基于随机选择的，它可以同时选择多个进程或任务进行调度。
这样可以充分利用系统的多核处理器或多线程环境，提高系统的并行处理能力，进一步提高系统的响应时间和处理效率。
3. 灵活性：Scheduling随机算法具有很高的灵活性，因为它不受特定的调度策略或规则的限制。
可以根据具体的需求和场景，自由选择概率分布函数和优先级的设定方式，以达到最优的调度效果。
4. 随机性：Scheduling随机算法是基于随机选择的，因此具有一定的随机性。
这样可以避免进程或任务之间的竞争和冲突，减少死锁和饥饿等问题的发生。
三、Scheduling随机算法在实际应用中的意义1. 多任务处理：在多任务处理系统中，Scheduling随机算法可以帮助实现任务的快速切换和高效调度，提高系统的并发性和吞吐量。
通过随机选择任务进行调度，可以充分利用系统的处理能力，提高系统的响应速度。
舍伍德数公式
舍伍德数公式
舍伍德数是一种奇特的数学现象，它是由英国数学家J. E.舍伍德于1919年首先发现的。
舍伍德数常常被用于解决一些数学难题，具有
重要的应用价值。
然而，很少有人知道舍伍德数的公式，下面就来介
绍一下：
首先，我们需要知道什么是舍伍德数。
舍伍德数是指一个正整数n，它的十进制表示下，去掉最高位和最低位数字后剩下的数，等于原数n 除以去掉最高位和最低位数字后的数的乘积。
例如，一个三位数153，去掉最高位和最低位数字后得到5，这时我们算一下153/5=30，发现
它等于原数153除以5后的结果。
那么如何得到舍伍德数的公式呢？我们可以使用递推的方法来进
行推导。
设Sn表示第n个舍伍德数，我们可以得到如下的递推式：Sn = (Sn-1 + Sn-2) × Sn-3 / Sn-4
其中，S1=8，S2=49，S3=288，S4=1681。
这个递推式的意思是，
要得到第n个舍伍德数，需要先求出前面四个数的值，然后按照公式
计算即可。
这样，我们就得到了舍伍德数的公式了。
当然，这个公式并不是完美的。
它仅适用于n>4的情况，对于
n≤4的情况，我们需要手动计算得到。
此外，这个公式也不能保证得
到的舍伍德数都是正确的，可能存在一些错误的情况，需要做一些特
殊处理。
总之，舍伍德数是一种很特别的数学现象，它的公式也很有意思。
通过递推的方式，我们可以比较容易地求出任意的舍伍德数，具有很
高的实用价值。
如果你对数学感兴趣，不妨研究一下舍伍德数的性质
和公式，相信会给你带来不少惊喜。
算法答案
算法复习什么是基本运算？答：基本运算是解决问题时占支配地位的运算（一般1种，偶尔两种）；讨论一个算法优劣时，只讨论基本运算的执行次数。
什么是算法的时间复杂性（度）？答：算法的时间复杂性（度）是指用输入规模的某个函数来表示算法的基本运算量。
T(n)=4n3什么是算法的渐近时间复杂性？答：当输入规模趋向于极限情形时（相当大）的时间复杂性。
表示渐进时间复杂性的三个记号的具体定义是什么？答：1. T(n)= O(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≥1，使得当n≥n0时，总有T(n)≤c*f(n)。
（给出了算法时间复杂度的上界，不可能比c*f(n)更大）2. T(n)=Ω(f(n))：若存在c > 0，和正整数n0≥1，使得当n≥n0时，存在无穷多个n ，使得T(n)≥c*f(n)成立。
（给出了算法时间复杂度的下界，复杂度不可能比c*f(n)更小）3. T(n)= Θ(f(n))：若存在c1,c2>0，和正整数n0≥1，使得当n≥n0时，总有T(n)≤c1*f(n)，且有无穷多个n，使得T(n)≥c2*f(n)成立，即：T(n)= O(f(n))与T(n)=Ω(f(n))都成立。
（既给出了算法时间复杂度的上界，也给出了下界）什么是最坏情况时间复杂性？什么是平均情况时间复杂性？答：最坏情况时间复杂性是规模为n的所有输入中，基本运算执行次数为最多的时间复杂性。
平均情况时间复杂性是规模为n的所有输入的算法时间复杂度的平均值（一般均假设每种输入情况以等概率出现）。
一般认为什么是算法？什么是计算过程？答：一般认为，算法是由若干条指令组成的有穷序列，有五个特性a.确定性（无二义）b.能行性（每条指令能够执行）c.输入 d.输出 e.有穷性（每条指令执行的次数有穷）只满足前4条而不满足第5条的有穷指令序列通常称之为计算过程。
算法研究有哪几个主要步骤？主要从哪几个方面评价算法？答：算法研究的主要步骤是1)设计2）表示3）确认，合法输入和不合法输入的处理4）分析5）测试评价算法的标准有1）正确性2）健壮性3）简单性4）高效性5）最优性关于多项式时间与指数时间有什么样的结论？答：1. 多项式时间的算法互相之间虽有差距，一般可以接受。
hungarian method
hungarian methodHungarian method是一种经典的解决分配问题的算法。
该算法在二十世纪五六十年代由匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry所发明，用于解决在线性规划中常见的任务分配问题。
这种算法结合了图论和线性规划的技术，是一种非常高效和精准的优化算法。
1. 问题定义在任务分配问题中，我们需要将n项活动分配给n个人，每个人只能完成一项活动。
每项活动有一个与之相关联的成本或权重，我们需要最小化这些权重的总和。
该问题可描述为一个n*n的矩阵，其中每个元素aij代表将任务i分配给人j所需的代价。
2. 算法步骤Hungarian method的实现步骤如下：（1）首先，对原始的代价矩阵进行列减法和行减法，得到一个新的矩阵。
（2）使用最小化（或最大化）算法，将矩阵的元素分组为行和列，并将它们连接起来。
（3）通过在每个组内选择最小的元素并在每个组之间进行替换来得到最优解。
（4）如果问题没有得到解决，则回到步骤1并继续执行算法，直到找到最优解为止。
3. 矩阵的处理在第一步中，我们需要对原始的代价矩阵进行行减法和列减法。
对于每一行和每一列，我们从其中选择一个最小的元素，并将该最小元素从行（或列）的其他元素中减去。
通过这种方式，我们可以得到一个新的矩阵，它的元素最少有一个为0。
该矩阵称为减法矩阵。
4. 匈牙利算法的实现在第二步中，我们使用最小化算法将减法矩阵的元素分组为行和列。
我们将行中的最小元素和列中的最小元素连接起来，并用直线穿过它们。
接下来，我们用相邻线覆盖矩阵的其他元素，直到矩阵的每个元素都被覆盖。
第三步是通过在组内选择最小元素并在组和列之间进行替换来获得最优解的。
如果我们无法替换元素，例如在第二步中，我们没有找到足够的相邻行或列，则需要回到第1步并继续。
5. 求解复杂度的分析Hungarian method是一种精确的分配算法，可以在多项多项任务分配问题上得到最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、舍伍德(Sherwood)算法设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为t A(x)。
设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为。
这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。
希望获得一个随机化算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有。
这就是舍伍德算法设计的基本思想。
当s(n)与tA(n)相比可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。
2、线性时间选择算法1)随机划分选择基准对于选择问题而言,用拟中位数作为划分基准可以保证在最坏的情况下用线性时间完成选择。
如果只简单地用待划分数组的第一个元素作为划分基准，则算法的平均性能较好，而在最坏的情况下需要O(n^2)计算时间。
舍伍德选择算法则随机地选择一个数组元素作为划分基准，这样既保证算法的线性时间平均性能，又避免了计算拟中位数的麻烦。
非递归的舍伍德型选择算法如下：[cpp]view plain copy1.//随机化算法线性时间选择随机划分选择基准2.#include "stdafx.h"3.#include "RandomNumber.h"4.#include <iostream>ing namespace std;6.7.template<class Type>8.Type select(Type a[],int l,int r,int k);9.10.template<class Type>11.Type select(Type a[],int n,int k);12.13.template <class Type>14.inline void Swap(Type &a,Type &b);15.16.int main()17.{18.int a[] = {5,7,3,4,8,6,9,1,2};19. cout<<"原数组为："<<endl;20.for(int i=0; i<9; i++)21. {22. cout<<a[i]<<" ";23. }24. cout<<endl;25. cout<<"所给数组第7小元素为："<<select(a,9,7)<<endl;26.return 0;27.}28.29.//计算a[0:n-1]中第k小元素30.//假设a[n]是一个键值无穷大的元素31.template<class Type>32.Type select(Type a[],int n,int k)33.{34.if(k<1 || k>n)35. {36. cout<<"请输入正确的k!"<<endl;37.return 0;38. }39.return select(a,0,n-1,k);40.}41.42.//计算a[l:r]中第k小元素43.template<class Type>44.Type select(Type a[],int l,int r,int k)45.{46.static RandomNumber rnd;47.while(true)48. {49.if(l>=r)50. {51.return a[l];52. }53.54.int i = l,55. j = l + rnd.Random(r-l+1);//随机选择划分基准56.57. Swap(a[i],a[j]);58.59. j = r+1;60. Type pivot = a[l];61.62.//以划分基准为轴做元素交换63.while(true)64. {65.while(a[++i]<pivot);66.while(a[--j]>pivot);67.if(i>=j)68. {69.break;70. }71. Swap(a[i],a[j]);72. }73.74.if(j-l+1 == k)//第k小75. {76.return pivot;77. }78.79.//a[j]必然小于pivot,做最后一次交换，满足左侧比pivot小，右侧比pivot大80. a[l] = a[j];81. a[j] = pivot;82.83.//对子数组重复划分过程84.if(j-l+1<k)85. {86. k = k-j+l-1;//右侧：k-(j-l+1)=k-j+l-187. l = j + 1;88. }89.else90. {91. r = j - 1;92. }93. }94.}95.96.template <class Type>97.inline void Swap(Type &a,Type &b)98.{99. Type temp = a;100. a = b;101. b = temp;102.}程序运行结果如图：2)随机洗牌预处理有时也会遇到这样的情况，即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。
此时可借助于随机预处理技术，不改变原有的确定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，同样可收到舍伍德算法的效果。
例如，对于确定性选择算法，可以用下面的洗牌算法shuffle将数组a中元素随机排列，然后用确定性选择算法求解。
这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。
[cpp]view plain copy1.//随机化算法线性时间选择输入预处理，洗牌2.#include "stdafx.h"3.#include "RandomNumber.h"4.#include <iostream>ing namespace std;6.7.template<class Type>8.Type select(Type a[],int l,int r,int k);9.10.template<class Type>11.Type select(Type a[],int n,int k);12.13.template<class Type>14.void Shuffle(Type a[],int n);15.16.template <class Type>17.inline void Swap(Type &a,Type &b);18.19.int main()20.{21.int a[] = {5,7,3,4,8,6,9,1,2};22. cout<<"原数组为："<<endl;23.for(int i=0; i<9; i++)24. {25. cout<<a[i]<<" ";26. }27. cout<<endl;28. Shuffle(a,9);//洗牌29. cout<<"洗牌后数组为："<<endl;30.for(int i=0; i<9; i++)31. {32. cout<<a[i]<<" ";33. }34. cout<<endl;35. cout<<"所给数组第7小元素为："<<select(a,9,7)<<endl;36.return 0;37.}38.39.//计算a[0:n-1]中第k小元素40.//假设a[n]是一个键值无穷大的元素41.template<class Type>42.Type select(Type a[],int n,int k)43.{44.if(k<1 || k>n)45. {46. cout<<"请输入正确的k!"<<endl;47.return 0;48. }49.return select(a,0,n-1,k);50.}51.52.//计算a[l:r]中第k小元素53.template<class Type>54.Type select(Type a[],int l,int r,int k)55.{56.while(true)57. {58.if(l>=r)59. {60.return a[l];61. }62.int i = l;63.int j = r+1;64. Type pivot = a[l];65.66.//以划分基准为轴做元素交换67.while(true)68. {69.while(a[++i]<pivot);70.while(a[--j]>pivot);71.if(i>=j)72. {73.break;74. }75. Swap(a[i],a[j]);76. }77.78.if(j-l+1 == k)//第k小79. {80.return pivot;81. }82.83.//a[j]必然小于pivot,做最后一次交换，满足左侧比pivot小，右侧比pivot大84. a[l] = a[j];85. a[j] = pivot;86.87.//对子数组重复划分过程88.if(j-l+1<k)89. {90. k = k-j+l-1;//右侧：k-(j-l+1)=k-j+l-191. l = j + 1;92. }93.else94. {95. r = j - 1;96. }97. }98.}99.100.template <class Type>101.inline void Swap(Type &a,Type &b) 102.{103. Type temp = a;104. a = b;105. b = temp;106.}107.108.//随机洗牌算法109.template<class Type>110.void Shuffle(Type a[],int n)111.{112.static RandomNumber rnd;113.for(int i=0; i<n; i++)114. {115.int j = rnd.Random(n-i)+i; 116. Swap(a[i],a[j]);117. }118.}程序运行结果如图：。