量纲分析法与无量纲化ppt课件
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7.0无量纲化
当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力. 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.
第七章 量纲分析和无量纲化
3
原子弹爆炸的能量估计 1945年7月16日,美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多 沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。 但在当时,有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的,一般人 无法得到任何有关的数据或影像资料,因此人们无法比较 准确地了解这次爆炸的威力究竟有多大。两年以后，美 国政府首次公开了这次爆炸的录影带，但没有发布任何 有关的数据。英国物理学家G. I. Taylor(1886--1975)通过 研究这次爆炸的录影带，建立数学模型对这次爆炸所释 放的能量进行了估计，得到的估计值为19.2千吨（千吨 即相当于1千吨TNT的核子能量）。后来正式公布的信息
1 0 2 −3 −1 0 1 −2 0 −2 0 0 1 1 1
r1 − 2r3 r2 + 2r3
1 0 0 −5 −3 0 1 0 2 0 0 0 1 1 1
5 y4 y1 − 3 y5 = 0 y 2 + 2 y4 = − y 3 − y4 y5 =
1 0 −2 y4 0 0
0
L
y
y3 + y 4
M T
y2
y1 − 2 y 4
=LM T
0 0
0
y3 + y 4 = 0 y2 = 0 y − 2y = 0 4 1
第七章
基本解
= ( y1 , y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, − 1, 1)T
T
t l g = π F (π ) = 0
无量纲化方法课件
指数法
总结词
指数法是通过将原始数据乘上一个无量纲的 指数，从而消除数据间的量纲和取值范围的 影响。
详细描述
指数法通过选择一个无量纲的指数，将原始 数据转换为一个相对值。该方法适用于具有 明显偏态分布的数据，能够更好地比较不同 变量之间的差异。指数法的优点是可以根据 实际数据分布选择合适的指数，从而更好地
无量纲化方法的前沿研究动态
01
基于机器学习的无量 纲化方法
随着机器学习技术的不断发展，越来 越多的研究者开始尝试将机器学习应 用于无量纲化方法中，以实现更高效 、准确的处理效果。
02
多维无量纲化方法
针对多维数据的无量纲化方法研究也 正在逐步展开，这将为多维数据的分 析和处理提供新的思路和方法。
03
02
常见的无量纲化方法
标准化法
总结词
标准化是一种常见的无量纲化方法，它通过将原始数据减去 均值，再除以标准差，从而消除数据间的量纲和取值范围的 影响。
详细描述
标准化方法在数据分析中广泛应用，它能够使数据在不同变 量之间具有可比性，同时保留数据的原始结构。该方法通过 将数据转换为一个标准化的分布，即均值为0，标准差为1的 分布，来实现无量纲化的目的。
感谢观看
THANKS
无量纲化方法的发展趋势
结合深度学习等先进技术
随着深度学习等技术的不断发展，无量纲化方法将更多地结合这些技术，以实现更高效、准确的处理效果。
拓展应用领域
无量纲化方法的应用领域正在不断拓展，例如在金融、医学、环境等领域都有广泛的应用前景。
完善理论体系
未来无量纲化方法的研究将更加注重理论体系的完善，以更好地指导实际应用。
、应用领域及优缺点等。
03
量纲分析法与无量纲化ppt课件
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解0 1 1212y
y1 ,
y2
,
y3
1 1
1 0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
导出量纲
万有引力常数 G 的量纲 [G]=M-1L3T-2
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
量纲分析法与 无量纲化
1
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
数学建模-3.量纲分析法
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3
g l1 3
f 1
F=0 3(1,2)
fl3g( 1,2), 1vg,l2ls2 未定
2021/3/18
11
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
R e 2 lv: R e y n o l d n u m b e r ;F r 3 v g l: F r o u d e n u m b e r
2021/3/18
8
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f(q 1,q 2, ,q m )0 (g,l,,v,s,f)0
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 f l 3 g ( 1, 2 )
型船所 受阻力
1
v gl
,
2
s l2
可得原 型船所 受阻力
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
3.1 量纲分析法与无量纲化
量纲分析课件
模型试验的无量纲准则
如果物理方程转换成只包含无量纲量的函数 这个函数关系将不随单位的改变而改变。 式，这个函数关系将不随单位的改变而改变。 单位改变后物理量的数值要改变一个倍数而 物理模型也是改变了实物的大小， 物理模型也是改变了实物的大小，从而把各 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。 物理量改变一个倍数，二者有共同之处。
模型试验的无量纲准则
量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一， 所求得的须保持为同量的无量纲数， 所求得的须保持为同量的无量纲数，称为模 型试验的无量纲准则。 型试验的无量纲准则。
量纲分析的方法
具体进行无量纲分析有不同的方法。 具体进行无量纲分析有不同的方法。常用 的方法有下列两种： 的方法有下列两种：①白金汉法和 ②瑞利 法。 ①白金汉法：先选取几个独立变量（基本单 白金汉法：先选取几个独立变量（ ），再按 定理算出应有无量纲数的个数， 位），再按̟定理算出应有无量纲数的个数， 并设定无量纲乘积的形式， 并设定无量纲乘积的形式，然后按量纲一 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数， 就得出各̟。
量纲分析能阐明物理运动中诸物理量之间 的关系，初步反映出某些运动规律。 的关系，初步反映出某些运动规律。 无量纲数求得后又可减少函数中变量的个 也能订出模型试验的相似准则， 数，也能订出模型试验的相似准则，这是 一种简单而有效的方法。 一种简单而有效的方法。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。 正确的量纲分析基于对物理实质的正确认 分析的结果也须以实验来验证。 识，分析的结果也须以实验来验证。
无量纲数计算式写成： 无量纲数计算式写成：
π=
量纲分析法课件
量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。 如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度 、表面张
力系数 、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用 定理确定 h的表达式。
解： 步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有 关，可由实验测取二者的关系曲线。
23
水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下 式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料 的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射 流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次 分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征 可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3
无量纲化简介课件
无量纲化简介课件
目录
• 无量纲化概述 • 无量纲化的方法 • 无量纲化的应用场景 • 无量纲化的优缺点 • 无量纲化的未来发展 • 无量纲化案例分析
01
无量纲化概述
无量纲化的定义
01
无量纲化是一种数学变换，将有 量纲的物理量转换为无量纲的相 对值，从而消除了物理量中单位 和量纲对分析结果的影响。
研究方向3
完善无量纲化方法的理论 基础，提高方法的可靠性 和稳定性。
研究热点
研究热点1
基于机器学习的无量纲化 方法研究。
研究热点2
跨学科的无量纲化方法研 究，如生物学、物理学等 。
研究热点3
无量纲化方法在大数据和 云计算等新技术环境下的 应用研究。
挑战与机遇
挑战
无量纲化方法的研究和发展面临着实际 应用中的诸多挑战，如处理复杂数据、 提高方法的实时性和稳定性等。
案例二
总结词
通过无量纲化技术，将股票数据进行标准化处理，从 而更好地构建股票市场预测模型。
详细描述
无量纲化是一种将不同量纲、不同单位的数据进行标准 化处理的方法，以便更好地进行数据分析。在股票市场 预测模型研究中，无量纲化可以帮助我们将不同单位、 不同量纲的数据进行统一化处理，从而更好地进行模型 构建和预测。例如，可以将股票价格和交易量进行无量 纲化处理，然后利用回归分析或机器学习算法构建预测 模型，以更好地预测股票市场的走势。
03
无量纲化的应用场景
数据分析
消除数据间的单位和量纲影响
01
无量纲化可以使得不同单位和量纲的数据具有可比性，便于进
行数据分析和挖掘。
发现数据间的关系和规律
02
通过无量纲化，可以更准确地发现数据间的关系和规律，例如
目录
• 无量纲化概述 • 无量纲化的方法 • 无量纲化的应用场景 • 无量纲化的优缺点 • 无量纲化的未来发展 • 无量纲化案例分析
01
无量纲化概述
无量纲化的定义
01
无量纲化是一种数学变换，将有 量纲的物理量转换为无量纲的相 对值，从而消除了物理量中单位 和量纲对分析结果的影响。
研究方向3
完善无量纲化方法的理论 基础，提高方法的可靠性 和稳定性。
研究热点
研究热点1
基于机器学习的无量纲化 方法研究。
研究热点2
跨学科的无量纲化方法研 究，如生物学、物理学等 。
研究热点3
无量纲化方法在大数据和 云计算等新技术环境下的 应用研究。
挑战与机遇
挑战
无量纲化方法的研究和发展面临着实际 应用中的诸多挑战，如处理复杂数据、 提高方法的实时性和稳定性等。
案例二
总结词
通过无量纲化技术，将股票数据进行标准化处理，从 而更好地构建股票市场预测模型。
详细描述
无量纲化是一种将不同量纲、不同单位的数据进行标准 化处理的方法，以便更好地进行数据分析。在股票市场 预测模型研究中，无量纲化可以帮助我们将不同单位、 不同量纲的数据进行统一化处理，从而更好地进行模型 构建和预测。例如，可以将股票价格和交易量进行无量 纲化处理，然后利用回归分析或机器学习算法构建预测 模型，以更好地预测股票市场的走势。
03
无量纲化的应用场景
数据分析
消除数据间的单位和量纲影响
01
无量纲化可以使得不同单位和量纲的数据具有可比性，便于进
行数据分析和挖掘。
发现数据间的关系和规律
02
通过无量纲化，可以更准确地发现数据间的关系和规律，例如
《量纲分析》课件
添加标题
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公式分析：通过分析物理量之间的 关系，确定其量纲
量纲分析的优点：可以快速、准确 地确定物理量的量纲，提高计算效 率
参数分析法
基本概念：量纲分析是一种数学方法，用于分析物理量之间的关系 应用领域：广泛应用于物理学、化学、生物学等领域 基本步骤：确定物理量之间的关系，建立方程组，求解未知参数 优点：可以简化复杂的物理问题，提高解决问题的效率
图形分析法
基本概念：量纲分 析是一种通过图形 表示物理量之间的 关系的方法
应用领域：广泛应 用于物理学、化学、 生物学等领域
优点：直观、易于 理解，便于分析物 理量之间的关系
步骤：确定物理量 之间的关系，画出 图形，分析量纲关 系，得出结论
Байду номын сангаас
量纲分析的应用
在物理建模中的应用
量纲分析可以帮助我们理解物理量之间的关系，从而建立更准确的物理模型。 在流体力学中，量纲分析可以帮助我们理解流体的流动特性，从而建立更准确的流体力学模型。 在热力学中，量纲分析可以帮助我们理解热力学定律，从而建立更准确的热力学模型。 在电磁学中，量纲分析可以帮助我们理解电磁场的特性，从而建立更准确的电磁学模型。
精度和误差的影响
量纲分析无法 准确预测实际 测量的精度和
误差
量纲分析无法 考虑测量过程 中的系统误差
和随机误差
量纲分析无法 预测测量结果
的不确定性
量纲分析无法 考虑测量仪器 的精度和稳定 性对测量结果
的影响
主观因素的影响
量纲分析依赖于人的主观判断 和经验
量纲分析可能受到人的主观偏 见和认知偏差的影响
量纲分析的重要性
量纲分析是科 学研究中不可 或缺的工具， 可以帮助我们 理解和解释物
量纲分析法ppt课件
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
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2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
导出量纲
万有引力常数 G 的量纲 [G]=M-1L3T-2
l
T 2 l
g
假设等价于无量刚量关系式
F( ) 0
m
mg
4
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式 f (T , m,l, g) 0
T m l g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[T ] M 0L0T 1
[m] M 1L0T 0
[l]
M 0 L1T 0
线性齐次方程组 Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
n
[q ] X ,aij
j
i
i 1
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
0 0 1 0 0 1
A
1
1 3 1
2
1
2 0 0 1 0 2
g l v s f
1 2
F( ) 0
(T l )
g
5
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
n
[q ] X ,aij
j
i
j 1,2, , m
i 1
定义量纲矩阵 A {aij }nm , 若 rank A r
10
f (q1, q2 , , qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g,l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
0 1 1
2
1
2
y
y1 ,
y2
,
y3
1 1
1 0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
s
j
j 1
y1 y2
(
(
1/ 2,1/ 2,0,1, 0, 0, 2, 0,0,1,
0)T 0)T
y3
(
1,
3, 1,0, 0,1)T
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
3 g l 1 3 1 f
11
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
p v2 (2,3) v2(2, 3 ), 未定
Re
2
lv
:
Reynold
number;Fr
3
v : Froude number gl
9
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f (q1, q2, , qm ) 0 (g,l, , v, s, f ) 0
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
f
G
m1m2 r2
3
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
S
(t)
S0
vt
1 2
at
2
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式
f (T , m,l, g) 0
量纲分析法与 无量纲化
1
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。
[g ] M 0L1T 2
T M L y1 y2 y3 LT 2 y4 M 0L0T 0
M L T y2 y3 y4 y12 y4 M 0L0T 0
y2 0
y3
y4
0
y1 2 y4 0
基本解 y
( y1, y2 , y3, y4 )T
(1,
0,Biblioteka 1 2,1 2
)T
Tl g
1 2
8
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
f (q1, q2, , qm) =0 等价
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (l,v,,p,,g) = 0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到差 p 的显式表达式
F=0 隐函数定理 1 ( 2 , 3 )
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
m=6, n=3
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] =
ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
0 0 1 1 1 0 M
A
1
1
3
1
1
1
L
0 1 0 2 1 2 T
l v p g 7
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
6
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差
管道两端 压强差 p
选取物理量 管道长l, 流速v, 粘性系数,
密度重力加速度g。
f (q1, q2, , qm ) 0 (l, v, , p, , g) 0
n
[q j ]
X ,aij i
i 1
j 1,2, , m
A {aij }nm
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中 基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
导出量纲
万有引力常数 G 的量纲 [G]=M-1L3T-2
l
T 2 l
g
假设等价于无量刚量关系式
F( ) 0
m
mg
4
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式 f (T , m,l, g) 0
T m l g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[T ] M 0L0T 1
[m] M 1L0T 0
[l]
M 0 L1T 0
线性齐次方程组 Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj
s
j
j 1
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度
和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、、J、和N；称为基本量纲。
任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
n
[q ] X ,aij
j
i
i 1
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
0 0 1 0 0 1
A
1
1 3 1
2
1
2 0 0 1 0 2
g l v s f
1 2
F( ) 0
(T l )
g
5
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
n
[q ] X ,aij
j
i
j 1,2, , m
i 1
定义量纲矩阵 A {aij }nm , 若 rank A r
10
f (q1, q2 , , qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g,l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
0 1 1
2
1
2
y
y1 ,
y2
,
y3
1 1
1 0
0
0
0 1 0 0 0 1
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
s
j
j 1
y1 y2
(
(
1/ 2,1/ 2,0,1, 0, 0, 2, 0,0,1,
0)T 0)T
y3
(
1,
3, 1,0, 0,1)T
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
3 g l 1 3 1 f
11
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
p v2 (2,3) v2(2, 3 ), 未定
Re
2
lv
:
Reynold
number;Fr
3
v : Froude number gl
9
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f (q1, q2, , qm ) 0 (g,l, , v, s, f ) 0
对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
f
G
m1m2 r2
3
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
S
(t)
S0
vt
1 2
at
2
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式
f (T , m,l, g) 0
量纲分析法与 无量纲化
1
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。
[g ] M 0L1T 2
T M L y1 y2 y3 LT 2 y4 M 0L0T 0
M L T y2 y3 y4 y12 y4 M 0L0T 0
y2 0
y3
y4
0
y1 2 y4 0
基本解 y
( y1, y2 , y3, y4 )T
(1,
0,Biblioteka 1 2,1 2
)T
Tl g
1 2
8
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
f (q1, q2, , qm) =0 等价
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (l,v,,p,,g) = 0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到差 p 的显式表达式
F=0 隐函数定理 1 ( 2 , 3 )
1 2
v2 1 p lv 1
3 l 1v2 g1
m=6, n=3
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] =
ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
0 0 1 1 1 0 M
A
1
1
3
1
1
1
L
0 1 0 2 1 2 T
l v p g 7
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
6
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差
管道两端 压强差 p
选取物理量 管道长l, 流速v, 粘性系数,
密度重力加速度g。
f (q1, q2, , qm ) 0 (l, v, , p, , g) 0
n
[q j ]
X ,aij i
i 1
j 1,2, , m
A {aij }nm