量纲分析法与无量纲化

基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
[T ] M 0 L0T 1 1 0 0 [ m ] M LT 0 1 0 [ l ] M LT 0 1 2 [ g ] M LT
y2 0 y3 y4 0 y 2y 0 1 4
LT
2 y4

M 0 L0T 0
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
v p g

rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
2 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (l,v,,p,,g) = 0 等价
s qj
j 1
mHale Waihona Puke Baidu
ysj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
隐函数定理
1 ( 2 , 3 )
y
dx x rx 1 r,K为正参数 dt K
x->y 变量无量纲化
x具有量纲，且 与 K 量纲相同 t具有量纲，且 与 1/r 量纲相同
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
f (T , m, l , g ) 0
假设等价于无量刚量关系式
l T 2 g
F ( ) 0
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式
f (T , m, l , g ) 0
T m l g
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
T M L
y1 y2 y3
1 1 0 2 1 2 1 1 0 y y1 , y2 , y3 0 0 1 0 1 0 0 0 1
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
1 v p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
例2：简化三次方程
az bz cz d 0, a 0
3 2
b 令z x 3a
x px q 0
3
卡丹公式（Cardano's Formula ）
xk
k 1 3
令
，
q 2 2 p 3 3
2 i q q 1 k 3 , k 1, 2, 3. e 3 2 2
1 v 2 1 p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ), 未定
Re 2 lv

: Reynold number;Fr 3
m1m2 f G 2 r
动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
1 2 S (t ) S0 vt at 2
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式 l m mg
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压强差 p 密度重力加速度g。
1 1,
2 2
l1 f1 l
3
3 f1 l1 1 ( 1 ) 3 f l
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
f , s, l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l 3 g ( 1 , 2 ) v s 1 , 2 2 l gl
) f1 l13 g1 1 ( 1, 2 v1 s1 2 1 , 2 l1 g1l1
v gl
: Froude number
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
s qj
j 1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3 3 (1, 2 ) F=0
1 2 1 2
f l g (1, 2 ),
3
v s 1 , 2 2 l gl
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
(l , v, , p, , g) 0
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] = ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
0 0 1 1 1 0 M L A 1 1 3 1 1 1 T 0 1 0 2 1 2 l
无量纲化 (Dimensionless) 是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2 万有引力常数 G 的量纲 [G] =M-1L3T-2 对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
M y2 Ly3 y4 T y1 2 y4 M 0 L0T 0
y
T 1 T 2
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (1, 0, 1 2, )
Tl g
l (T ) g
1 2
1 2
F ( ) 0
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q , q , , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
( g , l , , v, s, f ) 0
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0,1, 0, 0)T T y ( 0,1, 0 ) 0, 2, 0, 2 T y ( 0, 0, 1 ) 3 1, 3, 1,
例3：简化非线性参数方程
A(ax b)1 / 3 kx c
ax b u3
A, a, b, k , c
bk a
5个参数
Au u c
k a 3
u v u->v 无量纲化
d c bk a
Aa ad v v 2 k k 3
3

Aa ad ,w k k 3 ac bk Aa
量纲分析法与 无量纲化
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。 在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度 、J、和N；称为基本量纲。 和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
1
2
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
定义量纲矩阵 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA r
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
y sj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
s qj
0 0 1 0 0 1 A 1 1 3 1 2 1 2 0 0 1 0 2 g
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
l v s f

f (q1 , q2 ,, qm ) 0
v v w
3
w
k Aa
作业

P60 2，4
•利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少 （a~e均为正参数）：
dx x [( a e ) by ] dt dy y[(c e) dx] dt
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 ) f l ( 1, 2 f l g ( 1 , 2 ) 1 1 g1 1 可得原 已知模 v s v s 1 1 型船所 型船所 , , 2 2 1 2 2 1 l 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl 1