量纲分析法与无量纲化
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。
1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。
20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。
本文主要介绍了数学建模中常用的方法。
一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。
模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。
一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。
数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。
数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。
二、教学模型的分类数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。
三、数学建模的常用方法1.类比法数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
量纲分析与无量纲化(量纲原理)
1
3
(1)
l m
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
[t ] [m] [l ] [ g ]
T M L
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
3
2 3
T
23
mg 对比
1 0 2 3 0 2 1 3
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
量纲分析与无量纲化
量纲齐次原则
物 理 量 的 量 纲
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k]
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如
量纲分析
第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。
机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。
1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。
2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。
即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。
当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。
②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。
③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。
要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。
量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
爆炸的冲击波是造成破坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立
数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规 律。
研究冲击波的半径随时间变化的规律
（二）量的分析
爆炸—能量释放.发生是在一点上突然释放出大量 的能量。主要变量：E—能量
爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传播.
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (2, 0, 1, 1)
T
T
t l g F ( ) 0
2 1
(t l / g )
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量 纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
f (ax1 , by1 , cz1 ), p2 f (ax2 , by2 , cz2 ) p1
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
无量纲化的解释
将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理。
在数理处理上，有很多时候采用“无量纲化”，它实际上对研究有什么样实际意义？为什么说优先使用无量钢化的参数？1. 描述的是实际问题的内蕴的特征。
量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。
模型所描述的规律应该独立于量纲的影响机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响因此机理模型需要无量纲化。
使用无量纲量来描述客观规律。
2.反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。
当某个流动现象未知或复杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。
这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值。
3.人感觉量纲分析目的有二：一是使复杂的实际问题的数理建模合理化，即找全影响因素；二是使计算过程简单化，省去标注单位换算的麻烦。
4. 在非线性动力学中，无量纲化的主要目的有二：1、很多情况下可以通过无量纲化得到一个小参数，从而使研究的问题变为弱非线性问题，进而可以采用摄动法、多尺度法、平均法等来处理；2、对于多自由度系统，可以通过无量纲化使得每个自由度上的响应差别不是特别大，从而可以在计算时避免出现病态问题。
5.其实无量纲化的最直接的作用就是便于数学处理.你想物理上所有的运算都要考虑物理量之间的关系!但是数学上如果要考虑那么多的关系就比较麻烦而且也限制了数学工具的使用!所以通过无量纲化把所有的物理量化为数值上的关系就没有任何问题,处理起来也很方便!另外也可以代入一定的变换,这在数学上是非常必要的!也是很有效的6.使用无量纲化方法至少有以下几个好处：1. 在公式推导计算的过程中使用无量纲化，可以保证最后量纲是一致的；2. 进行无量纲化后可以暴露问题的小项，从而忽略它们或者利用它们进行近似计算（比如使用摄动法一般都要先进行无量纲化）7.量纲分析大概是从实验研究开始的，目的为了校正实验模型和结构真实尺寸上的差距所引起的实验结果有别于实际结果。
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式 1983 年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首 次开设。
1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。
20 多年 来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从 1989年起参加美国数学建模竞赛， 1992 年国家教委高教司提出在全国普通高等 学校开展数学建模竞赛， 旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神， 全面 提高学生的综合素质” 。
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越 来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。
本文主要介绍了数学建模中常用的方法。
一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。
模型 是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、 提炼 而构造的原型替代物。
一个原型， 为了不同的目的可以有多种不同的模型。
数学 模型是指对于现实世界的某一特定对象， 为了某个特定目的， 进行一些必要的抽 象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。
数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程， 是现实的现象通过心 智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、 学方法。
二、教学模型的分类 数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、 微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。
三、数学建模的常用方法 1. 类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数 学概念和数学符号表述成数学问题， 而表述成什么样的问题取决于思考者解决问 题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上， 通过联 想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系， 用已知模型的某 些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
3.1量纲分析法
t = λm l g
α1 α 2
α1 α2
1
α3
(1)
l m
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量 为待定系数，
(1)的量纲表达式 的量纲表达式
[t ] = [ m ] [l ] [ g ] 2α α α +α T =M L T
α3
3 2
3
mg 对比
π s = ∏qj
j =1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
π = g l v 1 π 2 = l 2 s π = g 1l 3 ρ 1 f 3 π 3 = ψ (π1,π 2 ) F=0
1 2 1 2
f = l gρψ(π1,π2 ),
3
v s π1 = , π2 = 2 l gl
3.1 物 理 量 的 量 纲
量纲分析法建模
动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 的量纲记 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
ψ 未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 3 ′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 ) f = l gρψ (π1,π 2 ) 可得原 已知模 型船所 π = v , π = s 型船所 π1 = v1 , π 2 = s1 ′ ′ 2 1 2 2 受阻力 l1 g1l1 受阻力 l gl
T
πs = ∏qj
j=1
m
量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解
t0 0 时,能量 E 完全释放.
(四)模型的建立
寻求关系式
f ( R, E, t , 0 , P 0) 0
涉及物理量: R, E, t , 0 , P 0
量纲分析:力学问题,基本量纲:L,M,T 各物理量的量纲:
dim[ R] LM 0T 0 2 2 2 2 2 dim[ E ] L MT , 功： f l MLT L L MT 0 0 dim[t ] L M T dim[ ] L3 MT 0 0 1 2 2 2 1 2 dim[ P ] L MT , 压强： F / s f / s MLT / L L MT 0
未定
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 A 0 2 (g) 1 3 1 2 1 ( L) 0 1 0 0 1 ( M ) 0 0 1 0 2 (T ) (l ) ( ) (v) ( s) ( f )
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
量 纲 分 析 法 建 模
§5 量 纲 分 析 法 建 模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理 设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ． 并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与 等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解 线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性 量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初 等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法 难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常 出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函 数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题 在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。
数学建模的主要建模方法
主要建模方法1、类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型2、量纲分析是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。
它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。
在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。
量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。
3.差分法差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验4、变分法较少5、图论法数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。
图论是研究由线连成的点集的理论。
一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。
无量纲化
引力常数 k 的量纲 [k]
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
数 学
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
f k m1m2 r2
模 型
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间 有关系式
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (g F ( ) 0
(t l / g )
数
学
模
型
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
数 学
(g) (l) () (v) (s) ( f )
模
型
f (q1, q2 , , qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g, l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
s
j
数
j 1
学
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
模 型
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水
密度, 重力加速度g。
量纲分析方法
第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如： 速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LTMLT --== 压强P = F/S 量纲：22[]P MLT L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。
量纲分析与无量纲化
量纲分析与无量纲化量纲分析是物理学中的一种重要方法,用来研究物质世界中物理量之间的依存关系。
它的基本思想是，将物理量表示成无量纲形式，通过对无量纲式进行分析，可以得到物理量之间的关系，进而推导出各种物理规律和方程。
量纲分析的基本步骤是：选择若干个具有重要意义的物理量作为基本量，通过观察实验结果、提取经验关系或者运用理论推导等方法，找出它们之间的依存关系，建立起无量纲关系式。
然后在物理量之间建立起类似的关系，通过对齐每一项的量纲，可以求得未知物理量的量纲和关键系数。
在量纲分析中，无量纲化是一个非常重要的步骤。
无量纲化的目的是消除物理量的量纲影响，使得物理规律和方程能够更加简洁地表达。
常见的无量纲化方法有：1.选取合适的基本量纲：通常选择与问题相关的几个基本量纲，例如长度(L)、质量(M)和时间(T)。
根据具体问题的特点，还可以引入其他基本量纲，例如温度(Θ)和电流(I)等。
2.选择特征量：根据问题的特点，选择合适的特征量，例如流速、频率或能量等。
特征量可以帮助确定无量纲化中的关键变量。
3.建立无量纲关系：根据选取的基本量纲和特征量，建立起无量纲关系式。
在建立关系式时，需要将问题中的各个物理量分别表示成有关基本量纲和特征量的函数。
4.对无量纲式进行分析：通过对无量纲式进行分析，可以得到物理量之间的关系。
例如，通过无量纲化的关系式可以得到流体力学中的雷诺数和流固耦合问题中的康普顿数等。
量纲分析和无量纲化在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
它能够帮助研究人员理解物理问题的本质，简化问题的描述和计算，加快问题的求解速度，并提高问题的求解精度。
在各个领域中，如物理学、化学、工程、生物学等，都广泛使用了量纲分析和无量纲化方法。
总之，量纲分析和无量纲化是一种有效的工具，它能够帮助解决复杂的物理问题，揭示出物理现象背后的规律与关系。
无量纲化可以让我们更加清晰地认识物理世界的本质，简化问题的描述和计算，加速问题的求解过程，并提高问题的求解精度。
《化工原理》课程中的量纲分析法
中图分类号：G642.0
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2019）02-0165-03
《化工原理》课程是化工类专业重要的专业基础 核心课程之一，在如数学、大学物理和物理化学等学 科的基础上，以化工过程中的单元操作为对象，研究 和解决化工过程中的工程问题。化工生产过程中涉及 的物料种类各异，单元操作的类型也较多，过程涉及 的设备结构和几何形状各不相同，操作条件迥异。面 对这些复杂而真实的工业实际过程，难以采用统一的 研究方法处理单元操作问题。要解决复杂工程问题就 要求技术人员掌握化学工程学科的研究方法，简便有 效地处理实际工程问题。《化工原理》课程的学科基础 地位由此可见一斑。
《化工原理》课程多次出现复杂问题，如直管湍流 摩擦阻力损失计算、传热的对流给热系数计算、传质 过程中传质系数的计算等均应用量纲分析法后得以 圆满解决，可见这一方法能够使复杂问题的处理变得 简化、可行。利用量纲分析法可将诸多实验因素组合 为无量纲数群或准数，准数的数目比实验因素的数目 少，这样就可以减少实验的次数，并能得到简明的数 学关联式，实验数据的整理工作得到实质性简化。工 程技术上的经验关联式通常是比较复杂的，采用单因 素法进行实验时，每次只改变一个变量，固定其他变 量，在工程实验中难以实现。《化工原理》课程多处成 功应用量纲分析法，说明了量纲分析的巨大威力。所
方法，其特点是在量纲理论的指导下，分析者不一定 对过程有深刻的机理认识，也不必用实际物料或设 备，即真实的流体或真实尺寸的设备，只要用如水或 空气等模拟物料代替真实物料，在实验室规模的试验 设备上进行一些预备性实验或是通过理性的推断得 到影响过程的因素，加以归纳和概括成经验方程。这 种量纲理论指导下的实验研究方法对难以作出有效 数学描述的复杂工程问题往往极为有效，也是研究工 程问题的基本方法，也是反映工程学科和基础学科的 一种重要区别。这里以湍流流动阻力关系式为例，详 细介绍量纲分析过程，包括其具体步骤等过程，应用 于教学过程，帮助学生理解和掌握该工程研究方法。
量纲分析法与无量纲化
v gl
: Froude number
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
1 v 2 1 p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ), 未定
Re 2 lv
: Reynold number;Fr 3
f (T , m, l , g ) 0
假设等价于无量刚量关系式
l T 2 g
F ( ) 0
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式
f (T , m, l , g ) 0
T m l g
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为 rx 1 r,K为正参数 dt K
x->y 变量无量纲化
x具有量纲，且 与 K 量纲相同 t具有量纲，且 与 1/r 量纲相同
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
1
2
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
定义量纲矩阵 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA r
量纲分析
解:下面我们按照定理的过程来做.
设关系式为 ( f,l,h,v, , , g) 0
(7)
取基本量纲为L, M ,T .由于
[ ] L3 M ,[] [ p / v ] L1MT 1.
x
回忆：压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
因此量纲矩阵为
我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物 理量有m,g,t,l.我们设
t m l g ,常数 , ,待定;为无量纲量.
两边取量纲得 : T M L (LT 2 )
T M L ( LT 2 )
由 量 纲 齐 次 原 理, 比 较 各 基 本 量 纲 的 幂 得
并设(1)式可写成 t ym l g , (2)
(2)式取量纲得 T y M L (LT 2 ) L0 M 0T 0 .
0,
由
量
纲
齐
次
原
理
得
0,
(3)
y 2 0.
解(3)得线性无关解为 ( y, , , )T (2,0,1,1)T . (4)
g
k
m2 r2
结合初值得到抛射问题模型为
x
(
r2g xr
)2
,
x(0) 0, x(0) v
(11)
这个方程为可降阶的高阶微分方程,可理论求 解,较复杂.总之,可解得
x x(t;r,v, g)
下面我们讨论用无量纲化方法来简化它.
这里是力学问题,采用长度和时间为基本量纲
[x] L, [t] T . 则 [r] L,[v] LT 1,[g] LT 2
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动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
1 2 S (t ) S0 vt at 2
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式 l m mg
1 1,
2 2
l1 f1 l
3
3 f1 l1 1 ( 1 ) 3 f l
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
f (T , m, l , g ) 0
假设等价于无量刚量关系式
l T 2 g
F ( ) 0
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式
f (T , m, l , g ) 0
T m l g
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
T M L
y1 y2 y3
y
dx x rx 1 r,K为正参数 dt K
x->y 变量无量纲化
x具有量纲，且 与 K 量纲相同 t具有量纲，且 与 1/r 量纲相同
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
无量纲化 (Dimensionless) 是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2 万有引力常数 G 的量纲 [G] =M-1L3T-2 对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
f , s, l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l 3 g ( 1 , 2 ) v s 1 , 2 2 l gl
) f1 l13 g1 1 ( 1, 2 v1 s1 2 1 , 2 l1 g1l1
v gl
: Froude number
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = MLT-2
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
( g , l , , v, s, f ) 0
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0,1, 0, 0)T T y ( 0,1, 0 ) 0, 2, 0, 2 T y ( 0, 0, 1 ) 3 1, 3, 1,
1 v 2 1 p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ), 未定
Re 2 lv
: Reynold number;Fr 3
例3：简化非线性参数方程
A(ax b)1 / 3 kx c
ax b u3
A, a, b, k , c
bk a
5个参数
Au u c
k a 3
u v u->v 无量纲化
d c bk a
Aa ad v v 2 k k 3
3
Aa ad ,w k k 3 ac bk Aa
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
(l , v, , p, , g) 0
[l] = L, [v] =LT-1, [] = ML-3, [p] = ML-1T-2, [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
0 0 1 1 1 0 M L A 1 1 3 1 1 1 T 0 1 0 2 1 2 l
j 1
m
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
量纲分析示例： （水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差 管道两端 管道长l, 流速v, 粘性系数, 选取物理量 压强差 p 密度重力加速度g。
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
v p g
rank A = r
Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
[T ] M 0 L0T 1 1 0 0 [ m ] M LT 0 1 0 [ l ] M LT 0 1 2 [ g ] M LT
y2 0 y3 y4 0 y 2y 0 1 4
LT
2 y4
M 0 L0T 0
未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 ) f l ( 1, 2 f l g ( 1 , 2 ) 1 1 g1 1 可得原 已知模 v s v s 1 1 型船所 型船所 , , 2 2 1 2 2 1 l 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl 1
2 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (l,v,,p,,g) = 0 等价
s qj
j 1
m
ysj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
隐函数定理
1 ( 2 , 3 )
M y2 Ly3 y4 T y1 2 y4 M 0 L0T 0
y
T 1 T 2
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (1, 0, 1 2, )
Tl g
l (T ( ) 0
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q , q , , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为
量纲分析法与 无量纲化
量纲分析法与无量纲化
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。 在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度 、J、和N；称为基本量纲。 和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，
1 1 0 2 1 2 1 1 0 y y1 , y2 , y3 0 0 1 0 1 0 0 0 1
m-r 个无量纲量
s qj
j 1
m
ysj
1 v p 1 lv 2 1 2 1 3 l v g
1
2
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
定义量纲矩阵 线性齐次方程组
A {aij }nm ,
若 rankA r
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
y sj
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
s qj
v v w
3
w
k Aa
作业
P60 2，4
•利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少 （a~e均为正参数）：
dx x [( a e ) by ] dt dy y[(c e) dx] dt
例2：简化三次方程
az bz cz d 0, a 0
3 2
b 令z x 3a
x px q 0
3
卡丹公式（Cardano's Formula ）
xk
k 1 3
令
，
q 2 2 p 3 3
2 i q q 1 k 3 , k 1, 2, 3. e 3 2 2