第八章 空间分析
高考数学复习 第八章 立体几何与空间向量 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
城市地理学—第八章城市空间分布体系
三、城市间、城市和区域间的相互作用
3．相互作用模式
各种相互作用模式的产生，旨在寻求空间组织中 相互作用的特点和规律。比较著名的有引力模式、 潜力模式。
(1)引力模式
引力模式是根据牛顿万有引力定律推导出来的。
该模式认为，两个城市间的相互作用与这两个城市的人口 规模成正比，与它们之间的距离成反比。其一般形式如下：
城市之间、城市和区域之间不断地通过交通、 通讯等联系通道发生着物质、能量、人员和信 息的交换，我们把这些交换称之为空间相互作
用(spatial interaction) 。
通过空间相互作用，使空间上彼此分离的城 市结合为具有一定结构和功能的有机整体，即 城市空间分布体系。
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一、相互作用的分类
（一）相互作用的类型
典型的例子就是移民过程。
实际上，现象的空间扩散过程常常采取多种方式。
2、空间扩散的阻力和障碍
1）阻力 新事物接受者的接受情况 阻力因人而异，从而影响接受的时间长短、
所形成的空间格局和接受者比率的饱和程 度
2、空间扩散的阻力和障碍
（1）阻力
新事物接收者的数量和时间分布呈正态分布
2、空间扩散的阻力和障碍
Iij
Wi Pi Wj Pj D b ij
Iij为i、j两个城市间的相互作用量，Pi为第 i个城市的人口规模。 Dij两个城市间的距离，b为测量距离摩擦作用的指数。 WiWj为经验确定的权数。
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(2)潜力模式
计算一个城市与城市空间分布体系内所有城市(包括它 自身)的相互作用量时，那么，只需要应用引力模式分 别求出这个城市与其它每一城市的相互作用量，然后再 求和，就可以得到。总结成公式形式如下：
新英格兰南部的节结地域
第八章 城市空间分布体系
2）潜力模式
根据引力模式，我们能计算一对城市间预 期的相互作用量。如果我们计算一个城市 与城市空间分布体系内所有城市（包括它 自身）的相互作用量时，那么，只需要应 用引力模式分别求出这个城市与其它每一 城市的相互作用量，然后再求和，就可以 得到。
四、空间扩散
空间扩散是空间相互作用的一种特殊形式， 采取空间扩散方式的流是在特定的时间和 空间中从源生地产生，经过若干时间后扩 散到接受者中。
2）中心地理论的出现标志了现代城市地理学的形 成。
以假设条件为基础，通过逻辑演绎建立的中心地 理论是城市地理学研究对象及运用方法上的重大 突破，它不仅导致“空间分析学派”的建立，而 且极大地促进了城市和人文地理学中理论研究和 数学方法应用的热潮。
瑞典的城市规划（中心地理论的应用）
50年代，美、英等国学者对发达资本主义 国家的中心地体系作了大量的验证。60年 代起，一些学者开始研究发展中国家的中
K值
固定(K=3,4,7) 非固定、K=3、4、7、9……
二、市场网 在需求圆锥体的基础上，廖士进一步阐述了市场
去由圆形转为六边形的过程。
廖什的市场区组织的发展过程 六边形具有最接近于圆的优点，也具有比三角形和正 方形等其他多边型运送距离最短的特点，因此需求可
达到最大化。
廖士体系比起克里斯泰勒的中心地体系更
为一般的中心地体系。廖士的体系中克里 斯泰勒的3种形式（K=3、4、7）仅是其中 的特例。廖士通过不断改变六边形的方向 和大小，得到不同规模的市场区（K=3、4、 7、9、12、13、16、19… …）。
空间扩散理论是瑞典学者哈格斯特朗于1953 年提出的。空间扩散研究被益为本世纪人 文地理学研究中两项最重大的贡献之一。
1、传染扩散：现象从一个元生点向外作空 间扩散，如果是渐进的、连续的过程，我 们叫做传染扩散。
word版,侯风波版《高等数学》练习答案
第一章函数班级学号姓名第一章函数习题函数一、填空题：略 .二、略.三、图略.四、图略；0，2， 6.五、1.函数f(x)与g(x)不同样；2.函数f(x)与g(x)是同一个函数.六、ylog a(2t)3.七、1.y log au,usinv,v2w,w1；2.y arcsinu,u v,v lgw,w x1；3.y cosu,u v2,v e x1；4.y u2,ucosv,v lnw,w x22x 1.第二章极限与连续习题一极限的观点一、判断题：略.二、图略；lim()=0. x0f x三、(1)f(x)无定义,g(1)2,h(1)3；(2 )lim f()2；lim()2；lim() 2. x1xxg xx1hx1四、左极限lim()0；右极限lim()1；函数在x0处的极限不存在.x0f x x0f x五、（1）lim()2；lim()1；lim()不存在；x1f x x1f x x1f x（2）lim f(x)lim f(x)9；lim f(x)9；x3x34x34222（3lim()4；lim()8；li()不存在.）mx2f x x2f x x2f x 习题二极限的四则运算一、求以下极限1.30；2.17；3.40；4.1．4二、10x2x；1．1第一章函数 班级 学号 姓名三、求以下极限1.12； 2.0； 3.4；4.1．6四、求以下极限1.2；2.2．331五、． 六、1．习题三两个重要极限一、求以下极限 1.1；2.16；3.1；4.1；5.1；6.8．24二、求以下极限1. e 3；2.e 2；3.e 9；4. 12．e习题四 无量小与无量大一、1. x ；2.x0 ．二、1. x1及x；2.x．三、1.x 1；2. x 1 ．四、求以下极限 0；2.0．五、sin 3x 是比4x 2高阶的无量小．六、提示：由极限运算及等价无量小定义．习题五函数的连续与中断一、选择题：略. 二、a2.三、1. 可去中断点是x 1；2. x7 为函数的第二类中断点； x 1为函数的跳跃中断点.四、求以下极限1.0；2. 1；3.1；4.4.22五、1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间.2第一章函数 班级 学号 姓名第三章 导数与微分 习题一 导数的定义一、1.f(1)2；2.f(2)3.4二、y a .三、f(0) 0.四、左导数f(0)1，右导数为f _(0)0，函数在x 0处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平行于直线.习题二 导数的四则运算 一、填空题：略．二、求以下函数的导数1.y5x 43 ；xln22. ye x (sinxcosx)；3 2 3. y1 x2 5x 3；34.y1 [(2xlnx1 x)cosx(1x 2)lnxsinx]；cos 2 xx21x 25. y 3sec x1 x 2；6.y2xarctanx1x 2．三、①定义域R 即为函数的连续区间；dy2x 32② 5sinxx 5 cosx ；dx5③由定义，f(0)0；32④f(x)2x 5 sinxx 5cosx ．5习题三 复合函数求导3一、填空题：略 .二、求以下函数的导数1.ysin2x sinx 22xsin 2 xcosx 2；sin2x21112. y e [sec x (x 2)2cos2xtan x ]；3.y200(1 x) 99(1x)101 ；yxcos 11sin 1]；4. ex[cos 1xxx5.y1 3sin3xx cos3x ；6. y1.2xlnxln(lnx)三、v(t) wsin2(wt )；a(t)2w 2cos2(wt).四、ye f(x)[f(e x )e xf(e x )f(x)].习题四隐函数对数函数求导高阶导数一、是非题：略．二、求以下方程所确立的隐函数y f(x)的导数1. yy1e xsinx ；2. yy e x y ．e xxe x y x三、用对数求导法求以下函数的导数1. y14(x1)(x1)3(23 4x)(13 4 11)4 (x2)(x3)x1x1234xx2x32.dy x 2x (2lnx2)．dx四、切线方程为y0．五、求以下函数的二阶导数 1. y10x 3(9x 54)；42.y12e2x2cosx；x23.y360(12x)8；4.y6400sin2x．习题五微分一、填空题：略.二、求以下函数的微分1.dy2(1xcosx)1sinxdx；2.dy e2x(2sin3x3cos3x)dx；3.dy12lnxdx；x33e3x14.dy1e6x2dx.三、求方程所确立的隐函数y f(x)的微分dy1.dye x2xydx； 2.dyb2xx2cosy a2dx.y四、利用微分计算以下各数的近似值1.3；2.e.五、球的体积扩大概为3 1800πcm.第四章微分学的应用习题一洛必达法例一、是非题：略.二、求以下各式的极限1.0；2.1；3.1；4.0.三、求以下各式的极限1.0；2.0.四、求以下极限11.0；2.1；3.1；4.e2；5.3；6.0.5第一章函数 班级 学号 姓名习题二 函数的单一性一、单项选择题：略． 二、求以下函数的单一区间1. 单增区间( ,0) (2,)，单减区间(0,2)；2. 单增区间( ,0) ，单减区间(0,)；3. 单增区间(1,)，单减区间(0,1)；224.单增区间(, 1) (0,)，单减区间(1,0)．三、提示：利用函数单一性证明．四、单一递加区间( 1 , )，单一递减区间(, 1 ).22习题三 函数的极值一、单项选择题：略．二、1.f(x)；2. f(x)；3.极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10，最小值为f(3)22．四、极大值为f(0)0，极小值为f(2 ) f( 2)1 ．224五、当直径2r 与高h 之比为1∶1时，所用的资料最少．习题四 曲线的凹凸性与拐点一、填空题：略 ．二、曲线在(,23)及( 2 3 , )内上凹,在(2 3 , 23 )内下凹，拐点为(23 , 10 )和33 3 33 9(23,10)．396第一章函数 班级 学号 姓名三、函数在(0,2)上的极大值为1 23 1；最大值为f(2)1，最小值为f()，极小值为f(1)327f(1) 1；拐点为(2，25).327四、表示图:第五章 不定积分习题一 不定积分的观点与基本公式一、填空题：略 . 二、选择题：略 .三、计算以下不定积分3 131.x 3 C ；132. 3x3x C ；5xln353. 13sinx 2lnxC ；xcosx2arcsinx πxC .四、求解以下各题1.f(x)dx2e 2xC ；2. f(x)e xsec 2 x ；所求函数为yx 33x2.习题二 不定积分的换元积分法7第一章函数 班级 学号 姓名一、填空题：略． 二、选择题：略．三、多步填空题：略． 四、计算以下不定积分1. 1 x 2 C ；2.1arcsinx 2C ；23.1ln(1 x 4)arctanx 2C ；414. tanxtan 3x C ；2335.x 221xC；133arccos36. x 29 C ．x习题三 分部积分法 简单有理函数的积分一、填空题：略 .二、多步填空题：略 . 三、求以下不定积分1. 1 xx 1 C ；2e12. (x 2x)lnxx 2xC ；243. (x22x2)e xC ；14. xarcsinx (1x 2)2C ； 5. 2 xcos x2sinx C ；6. (x2)2C .lnx3四、e 2x f(e x )dx e x f(e x )f(e x )C ．第六章 定积分习题一 定积分的观点 微积分基本公式8第一章函数 班级 学号 姓名一、选择题：略 .二、求以下定积分1.3343；2.424；3. 2；4.1 π 4；6. 1.；5.4346三、解答以下各题1. f(x)sinx 4 2x ；x f(t)dt3；2.lim2x0 x2723.f(x)dx.16习题二 定积分的换元积分法与分部积分法一、填空题：略.二、求以下定积分21(e 2 31. 2(2e)；2.π；3.1)；4. π1；32412 25. ln 9 ；6.2 ；7.1(e 21)；8.ln2 1 .4 a222 3习题三 定积分的应用2一、S.3二、Vπr 2h .32三、（1）S2π；（2）V.2四、两部分面积比为 (2π4):(8π2π4)=(6π4):(18π4).33五、Wπr 4.49第一章函数班级学号姓名1.六、P 18g.2.3.4.5.6.习题四失常积分7.一、填空题：略．8.9.二、选择题：略．10.11.三、计算以下广义积分12.1；2.π．22四、x dx发散．x21第七章常微分方程习题一常微分方程的基本观点与分别变量法一、判断正误：略.二、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解以下各题1.1y21C（此中C C1为随意常数）；3x2.冷却规律为T(t)2030e kt.习题二一阶线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．2三、通解为y 1Ce x（此中C为随意常数）．习题三二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求以下微分方程的通解1.y C1e6x C2e x；10第一章函数班级学号姓名2.y(C1C2x)e5x；1x333.y e2(C1cos xC2sinx)；224.y Ce25x．四、f(x)y2e x1．习题四二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、y513e4x(4x 8)e x．43639四、求以下微分方程知足初始条件的特解（1）y(xx2)e2x；（2）y sinx．第八章空间分析几何习题一空间直角坐标系与向量的观点一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解以下问题1.3AB2AC2ij3k；2.dAB14；3.3,3,3和3,3,3；9999994.C(2,0,0)．习题二向量的点积与叉积一、是非题：略．二、填空题：略．11第一章函数班级学号姓名三、选择题：略．三、求解以下各题5371.,,；83 8383b12,6,4；S ABC321．习题三平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解以下问题1.4x 3y z5；zy2；3.x 1 y 2 z1；1124.①p5；②p7．习题四曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解以下问题1.方程为y2z24x，是旋转抛物面；2.y2z5,投影方程为0;x3.x22z40,投影方程为y0．第九章多元函数微分学12习题一多元函数及其极限一、填空题：略．y(x,y)1x 2y 2二、函数的定义域为 4；草图三、lim2xy41．Oxx0xy4y0四、表面积Sπr 2 2πrh ，体积Vπr 2h ．五、f(x,y)f(0,0)(x)(y)=(x)2 (y)2．习题二 偏导数及高阶偏导数 一、是非题：略．二、填空题：略． 三、解以下各题1. z4x ，z9y 2；xy2. z4xy 3，z6x 2y 2；x y3. z2xlny ，z0x1x ，xyy y2z2zx 2z1；x 22，y 2，yy 2yx4. fyarctanz ，fxarctanz ，fxy ．xyz1z 2四、略．习题三 全微分一、填空题：略． 二、解答以下各题1. dz y(lnx 1)dx xlnxdy ；2. duyx y1dx(x y lnxsinz)dyycoszdz ；3.z ；13dz．三、sin0.01cos0.03 ．四、对角线变化约为．五、所需水泥的近似值为3．习题四复合函数的偏导数一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、解以下各题1.dz1；dt2.z z，z z(x y)；x y y y23.z xycos2y(2sinx xcosx)，zx2sinx(cos2yysin2y)．x y 习题五偏导数的几何应用一、填空题：略．二、求解以下各题1.2.切线方程为3.4.切平面方程为x1y1z1和x3y9z27；12312272(x 1) 4(y 1) (z3)=0；3.切线方程为x1y1z1，1691法平面方程为16(x1)9(y1)1(z1)0．习题六多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算以下各题1.函数在(2,1)点获得极小值24；当端面半径与半圆柱高知足r:h1:2时，所用资料最省．第十章多元函数积分学14第一章函数 班级 学号 姓名习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略． 三、计算以下各题 1. I 0；①I2 2x 2dy2. dx0y1 y 2xIe ydx3.dy 032；②Idy y y 2dx32 ；423 0231 ．2习题二 极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用一、填空题：略． 二、多步填空题提示：(x 2y2)xyr 22 θ 1r 2edderdd θdredrrDD2d θ11r 22)2 1 1 1ed(r(1)d θπ(1)．0 022ee三、求解以下各题1.cos(x22 )dxdy2 ；（提示：化为极坐标下的二重积分） ； y πD22.V32π；3. 薄片的质量为1．12第十一章 级数习题一 数项级数一、判断题：略． 二、选择题：略．三、判断以下级数的敛散性(1)n 发散；n111 11 发散；2.4 62n23.1 当x0或x2时收敛，当2x0时发散；(1 x)nn 14.1 收敛；n22nn 1155.( 1)n 1n 收敛；n12n 6.2 ( 1)n收敛．3nn1习题二 幂级数一、填空题：略． 二、求解以下各题1. 级数2n x n 的收敛半径为R 1 ；2n2n 12. 级数2nx 2n1 的收敛半径为R202n；n123. 级数(x 1)n 的收敛域为[1,3)；n0n2n4. 级数nx n 1的和函数为S(x)(1 1 ；n 01x)2x 3x 2n 1的和函数为S(x)ln(1 15. 级数xx)2．32n 11 x习题三 函数的幂级数睁开 一、填空题：略 .二、求解以下各题x (x )2(x )3(x )n11. 睁开为ln(2x)22 ( 1) n2 ，收敛域为x(2,2]；ln223(n1)22.睁开为sin 2x(2x)2 (2x)4 ( 1)n1 (2x)2n，收敛域为x(,)；2 2!24!2(2n)!3.2x =1x2x ln2(ln2)22x x 2(ln2)32x x 3(ln2)n 2xx n，收敛区间为2! 3!n!x( , )；164.睁开式为21(1)n x n1(1)n(x)n，收敛区间为(1,1).x3x2n02n0217。
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
第八章 空间法
3、根据《中华人民共和国民用航空法》，下 列说法错误的是（ ）
A民用航空器不得具有双重国籍 B民用航空器未经批准不得飞出中国领空 C未注销外国国籍的民用航空器可以在中国申请国籍 登记 D外国民用航空器的经营人，不得经营中国境内两点 之间的航空运输
4、甲国发射的空间实体在外空撞击了乙国 的空间实体，碰撞后乙国的空间实体的碎片 落在丙国的地面上，对丙国造成了损害。对 于丙国的损失，根据《空间物体造成损害的 国际责任公约》，由谁来承担责任？ A 甲国单独承担责任 B 乙国单独承担责任 C 甲国和乙国都不承担责任 D 甲国和乙国共同承担责任
第二十一条 旅客死亡或者伤害的赔偿
一、对于根据第十七条第一款所产生的每名旅客 不超过100，000特别提款权的损害赔偿，承运人不得 免除或者限制其责任。
二、对于根据第十七条第一款所产生的损害赔偿每
名旅客超过100，000特别提款权的部分，承运人证明
有下列情形的，不应当承担责任：
(一)损失不是由于承运人或者其受雇人、代理人的
5、根据外空法的有关规定，对发射到外层 空间的实体行使管辖权的主体是（ ） A 国际宇航组织 B 联合国秘书长 C 航天器登记国 D 航天器所有人
二、多项选择题
1、甲国和乙国共同进行一项外空的探测活动， 且签订了条约，下列条约的内容违反国际法 的有哪些？（ ） A 条约规定某处外空归甲国和乙国共同所有 B 将该处外空用于实验某种新型的具有很小 杀伤力的武器 C 条约规定双方负有相互救助宇航员的义务 D 条约规定在探测活动中造成第三国损害时， 双方分担赔偿责任
2、下列有关国际民航安全制度的公约有（ ） A《国际民用航空公约》 B《东京公约》 C《海牙公约》 D《蒙特利尔公约》
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
城市空间分布体系
• 二、生长极理论
• 法国经济学家，普劳克斯（F.Perroiix）1950年
• 该理论以为，经济发展并非均衡地发生在地理空间上， 而是以不同旳强度在空间上呈点状分布，并按多种传 播途径，对整个区域经济发展产生不同旳影响，这些 点就是具有成长以及空间汇集意义旳生长极。
• 生长极是否存在决定于有无发动型工业
一定地域范围内旳城市群 （图8-2）
图8-2 城市体系旳等级划分
• 2、城市吸引区边界旳拟定
• 格林，五项指标：铁路通勤人员旳流动 方向。报纸发行范围。电话呼唤方向， 公司、银行负责人旳办公地点
• 分别测量了纽约和波士顿之间旳平均边
界
Ta
P db
•
赖利（）
T
b
“零aPb 售引da力规律”
• 公式： = ( )2 • 其中： • Ta 为从中间地带被吸引到a 城市旳贸
• 三、对中心地理论旳评价
• 由克里斯塔勒等人创立和发展起来旳中 心地学说对城市地理学乃至人文地理学 旳发展起了巨大旳推动作用。
• 以假设条件为基础，经过逻辑演绎建立 旳中心地理论是城市地理学研究对象及 运用方法上旳重大突破，它不仅导致“空 间分析”学派旳建立，而且极大地促进了 城市和人文地理学中理论研究和数学方 法应用旳热潮。
中心地提供旳职能都有一定旳服务范围 中心性 ( centrality ) 与中心地等级 根据中心地所执行职能旳数量，也就能够把中心 地划提成高下不同旳等级①中心地等级越高，它 提供旳中心职能越多，人口也越多 ②高级旳中 心地不但有低档中心地所具有旳职能，而且具有 低档中心地所没有旳较高级旳职能 ③中心地旳级 别越高，数量越少，彼此间距就越远，它旳服务 范围也就越大
同济高等数学下册第八章知识点精讲
总之:
运算律 : 结合律 分配律
可见
因此
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设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则
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求三
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导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使
其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
且
符合右手法则
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1. 定义 已知三向量
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两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
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和 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为 方程为
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y轴(纵轴)
x轴(横轴) Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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点M
有序数组
向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
chart_8
一个模型可以是一种理论、一条规律、 一种关系、或者一种假说、一个方 程式、一条规则。
—斯基林
第八章 空间分析模型
空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术， 目的是了解空间事物，从而提取和传输空间信息。
◆道路的噪音影响范围? ◆武大——汉口火车站，哪条路最近？如何乘车? ◆某一学校选址，选在哪儿？如何选？等等。
第八章 空间分析模型
一、缓冲区分析模型 二、叠置分析模型 三、土地适宜性模型 四、网络分析模型
一、缓冲区分析模型——例子
1.例子
◆禽流感疫情发生所影响的范围？ ◆因道路拓宽而需拆除的建筑物和搬迁的居民？ ◆动物的活动区域？
一、缓冲区分析模型——定义
2.定义
计算机：缓冲区一块连续的计算机内存区域。 空间分析：缓冲区是地理空间目标的一种影响范围。 其数学表示为：□
可查询任意区域内的河流长度
二、叠置分析模型——类型
◆多边形与多边形的叠置
—找到两个多边形要素的共同区域 —新多边形合并了两个数据层面的属性信息
1——商业区 2——工业区 A——稳定 B——不稳定
1 B 1B 1A A
2
城市功能分区图
+
工程地质图
2B
2A
商业区中地质结构稳定的地区
三、土地适宜性模型
1.目的：找出适宜种植的可用林地 2.标准：
◆在道路沿线300英尺范围内不能种植 ◆在河流沿线500英尺范围内不能种植
3.准备进行分析的数据：
◆道路图 ◆河流图 ◆森林覆盖图
三、土地适宜性模型
4.空间操作：
河流
BUFFER 500'
河流缓冲区
OVERLAY
第八章餐饮空间室内设计
8.2 餐饮空间设计的基本程序与步骤
8.2.3 初步设计阶段 在设计准备阶段的基础上，进一步收集、分析、运用与设计任务 有关的资料与信息，构思立意，进行初步方案设计。在此阶段包括的 内容主要有：方案构思计划、视觉表现、方案比较、经费分配计划等 内容。 1.方案构思计划 包括功能划分计划、空间处理计划、材料运用计划、设施计划、 照明设计计划、形象计划、色彩运用计划等。 2.视觉表现 以视觉传达的方式，把设计师的设计思想运用能交流的语言符号 ，展示设计师的设计理念。
8.2 餐饮空间设计的基本程序与步骤
8.2.5 方案确定阶段 方案的确定是在设计准备阶段、设计构思阶段、初步设计阶段、方案深 化阶段，施工图完成后，设计人员应向施工单位进行设计意图说明及图纸的 技术交底；经过审核、校对、审定、设计、制图、描图等人员的签字，方案 被确定下来，说明对方案的认可。 8.2.6 施工监理阶段 工程施工期间需按图纸要求核对施工实况，各专业须相互校对，经审核 无误后，才能作为正式的施工的依据。根据施工设计图，参照预定额来编制 设计预算，对设计意图、特殊做法做出说明；对材料选用和施工质量等方面 提出要求。为了使设计作品能有预期的效果，设计师还应参与施工的监理工 作，协调好设计、施工、材料、设备等方面的关系，随时和施工单位、建设 单位在设计意图上的沟通，以便达成共识，让设计作品尽量做到尽善尽美， 取得理想的设计效果。 设计师在施工监理过程中的工作包括：对施工方在用材、设备选用、施 工质量方面做出监督；完成设计图纸中未完成部分的构造做法；处理各专业 设计在施工过程中的矛盾；局部设计的变更和修改，按阶段检查工作质量， 并参加工程竣工验收工作。
8.2 餐饮空间设计的基本程序与步骤
8.2.3 初步设计阶段 3.方案比较 是对不同构思的几个方案进行功能、效果、经济等方面的比较， 以确定施工方案，达到完美的设计效果。 4.经费分配计划 包括设计所能提供的资金、设备所需要的资金、设施所需要的资 金，以及一些不可预见的费用，都必须有一个周密的计划和安排。整 个工程的资金认可后，如何安排和分配这些资金，设计师应该有周密 的安排和绝对的把握。
工学自动控制原理8状态空间分析法
例1 某机械动力系 统如图所示
质量-弹簧-阻尼系统 的微分方程式为：
x K
F(t)
f
M
d2 x dx M dt 2 f dt Kx F (t )
d2 x f dx K
1
dt 2 M dt M x M F (t )
选择位移 x(t) = x1(t) 和速度 x&(t) = x2(t) 作为系统的
n
L2
m
43
1
0
0
0
B 0 ,
M
1
C
例 已知系统的 传递函数为：
s2 2s 3 G(s) 2s3 4s2 6s 10
求出其对应的可控标准型
1 s2 s 3
解:
G(s)
s3
2
直接写出系统的可控标准型:
2
s
2xx&&123s2500 x&3 5
1 0 3
0
1
2
x&1 0 1 0 x1 0
0
an1
x2
M
0 M
an2 M
x3 M
b0 0
u
0 1
a2
xn1
a1 xn
M
0
n
m
1
Y 0 0 0 L
状态变量，可把上述方程化为两个一阶微分方程：
d2 x dt 2
f M
dx dt
K M
x
1 M
F (t )
x(t) = x1(t)
x&(t) = x2(t)
x&1
x&
x2
x&2
K M
x1
f M
第八章-栅格数据的空间分析
第八章 栅格数据的空间分析栅格数据结构简单、直观，非常利于计算机操作和处理，是GIS 常用的空间基础数据格式。
基于栅格数据的空间分析是GIS 空间分析的基础，也是ArcGIS 的空间分析模块的核心内容。
栅格数据的空间分析主要包括：距离制图、 密度制图、表面生成与分析、单元统计、领域统计、分类区统计、重分类、栅格计算等功能。
ArcGIS 栅格数据空间分析模块（Spatial Analyst ）提供有效工具集，方便执行各种栅格数据空间分析操作，解决空间问题。
本章将对ArcGIS 中栅格数据空间分析的各模块从原理上和实现上作详细的说明，并附以具体实例，引导读者更好的应用。
8.1 设置分析环境基于ArcGIS 进行空间分析首先要设置分析环境。
分析环境的设置会一定程度地影响空间分析结果。
它主要包括工作目录的选择、栅格单元大小的设定、分析区域的选定、坐标基准的配准模式、分析过程文件的管理等。
本节将逐一对各分析环境的设置作详细说明。
8.1.1工作路径缺省情况下分析结果将自动保存在操作系统的默认路径下，如c:\...\temp 。
当然，通过栅格空间分析模块中的Option 选项的设置，可以指定新的所有分析结果的默认存放位置。
图8.1 设置工作路径1． 单击Spatial Analyst 菜单下的Option 命令，打开Option 对话框。
2． 在弹出的Option 对话框中选择General 标签（图8.1）；3． 在Working 栏中指定存放路径；4． 点击确定按钮。
8.1.2 栅格大小此处栅格大指分析过程中系统默认的栅格数据的栅格单元大小（Cell Size ），也有人把它称为分析解析度。
栅格数据的空间分析就是在每一个栅格单元的基础上进行的。
如果单元过大则分析结果精确度降低，如果单元过小则会产生大量的数据，而且计算速度降低。
所以需要选择合适的单元大小。
可以通过如下方式来设置：1. 单击Spatial Analyst 菜单下的Option 命令，打开Option 对话框。
第8章-空间分析第1讲
地貌图
2
1
+
土壤图 A
B
2A 1A 1B 2B
合成图
GIS
建立地理对象之间的空间对应关系?
行政图
一般用于提取某个区域范围内某些专题内容的数
量特征，称为空间统计叠合
1 3
2
区域 类型
面积
数a
b…
1 3 30 50 …
＋
土壤图 b cΒιβλιοθήκη efdag
24
W=观测的路径长度/起点到终点的直线距离
GIS 2. 形状量算
面状地物形状量测的两个基本考虑： 空间一致性问题，即有孔多边形和破碎多边形
的处理； 多边形边界特征描述问题。 度量空间一致性最常用的指标是欧拉函数，用
来计算多边形的破碎程度和孔的数目。欧拉函 数的结果是一个数，称为欧拉数。欧拉函数的 计算公式为：
GIS
地理信息系统中空间数据可分为矢量和栅格两种 数据结构。由于矢量结构中包含了大量的拓扑信 息，数据组织复杂，使得空间变换十分繁琐。而 栅格结构简单规则，空间变换比较容易。另外基 于矢量结构的空间变换，对于单个图层意义不大， 生成新图层时往往需要多个图层的信息，在多图 层叠加分析中意义很大。
（2）面状地物的面积
矢量：
S
1 N 2 2 i1
xi yi1 xi1 yi
xN y1 x1 yN
Y
S
S2
S1
o
X
S=S2-S1
GIS
Y
(X1,y1)
(X5,y5)
(X2,y2)
(X4,y4)
(X3,y3)
四川大学高等数学教材目录
四川大学高等数学教材目录第一章：基础知识1. 数学概述2. 集合论3. 数与函数第二章：微分学1. 函数与极限2. 导数与微分3. 微分中值定理4. 高阶导数与泰勒展开第三章：积分学1. 不定积分2. 定积分3. 微积分基本定理4. 牛顿-莱布尼兹公式第四章：微分方程1. 常微分方程2. 变量分离与齐次方程3. 一阶线性微分方程4. 高阶线性微分方程第五章：多元函数微积分1. 多元函数与偏导数2. 多元函数的微分3. 隐函数与参数方程4. 多元函数的极值与条件极值第六章：概率统计1. 随机事件与概率2. 随机变量3. 概率分布函数4. 参数估计与假设检验第七章：数列与级数1. 数列极限2. 级数收敛与发散3. 收敛级数的运算第八章：空间解析几何1. 空间直线与平面2. 空间曲线与曲面3. 空间坐标系4. 空间向量与点的位置关系第九章：常微分方程的应用1. 弹簧振动2. 生物种群模型3. 电路模型4. 力学问题第十章：线性代数1. 行列式与矩阵2. 向量空间与线性变换3. 特征值与特征向量4. 正交与最小二乘第十一章：多元统计分析2. 方差分析3. 回归分析4. 主成分分析第十二章：傅里叶级数与傅里叶变换1. 傅里叶级数展开2. 傅里叶变换与逆变换3. 离散傅里叶变换4. 傅里叶变换的应用总结：本教材按照数学学科的发展顺序编排，内容全面系统，旨在帮助学生全面了解高等数学的基础理论和应用，为进一步深入学习数学打下坚实基础。
文字简洁明了，配以适当的例题和习题，便于学生理解和巩固知识。
希望本教材能够为四川大学的学生提供一个良好的学习工具，激发他们对高等数学的兴趣和热爱。
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件ppt
答案 B 解析 如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交;如图乙,△ABC的 三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故①②③均错. 不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的 交线上,故④正确.
反思感悟 平面与平面的位置关系的判断方法 判断两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据基本事实3 知,两个不重合的平面是相交的. 判断两个平面平行,可根据定义判断两个平面没有公共点,也可以排除两个 平面相交,从而判断两平面平行.
提示三种.直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相 交.
知识点三、空间中平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示
符号表示 公共点
两个平面 平行
α∥β
没有公共点
两个平面 相交
α∩β=l
有一条公共直线, 所以有无数个公共点
微练习
(1)正方体的六个面中互相平行的平面有( )
面相交于三条直线时,且三条交线交于同一点时,将空间分成八部分;当三
个平面相交于三条直线,且三条交线互相平行时,将空间分成七部分.即不
重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以
最多将空间分成八部分.
方法点睛平面划分空间问题,应根据平面的位置关系进行讨论分析,必要时 可以借助空间模型来求解.
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个
平面的位置关系是
.
答案 (1)C (2)平行或相交
解析 (1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平 面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平 面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对.
邬伦_第8章 空间分析教材
冲区边线的有效 组成部分；重叠 多边形不是缓冲 区边线的有效组 成，不参与缓冲 区边线的最终重 构。
左逆重
右逆岛
基于栅格结构缓冲区分析
基于栅格结构也可以作缓冲区分析，通常称为推 移或扩散（Spread）。推移或扩散实际上是模拟 主体对邻近对象的作用过程，物体在主体的作用 下在一阻力表面移动，离主体越远作用力越弱。 例如可以将地形、障碍物和空气作为阻力表面， 噪声源为主体，用推移或扩散的方法计算噪声离 开主体后在阻力表面上的移动，得到一定范围内 每个栅格单元的噪声强度。
5.4 多边形叠加
多边形叠加将两个或多个多边形图层进行叠加产 生一个新多边形图层的操作，其结果将原来多边 形要素分割成新要素，新要素综合了原来两层或 多层的属性。
多边形叠加过程
几何求交过程 求出所有多边形边界线的交点，再根据这些交点 重新进行多边形拓扑运算，对新生成的拓扑多边 形图层的每个对象赋一多边形唯一标识码，同时 生成一个与新多边形对象一一对应的属性表。 属性分配过程 将输入图层对象的属性拷贝到新对象的属性表中， 或把输入图层对象的标识作为外键，直接关联到 输入图层的属性表。
º ¼
º ± Ö £ Á ô ¼ Á · ö ä Ê È ë Í » ² ã Ä ¸ µ « ² ¸ Ç ø ò Ó
矢量数据的叠置分析示例
5.5 栅格图层叠加
能够极为便利地进行同地区多层面空间信息的自 动复合叠置分析，是栅格数据一个最为突出的优 点。正因为如此，栅格数据常被用来进行区域适 应性评价、资源开发利用、规划等多因素分析研 究工作。在数字遥感图象处理工作中，利用该方 法可以实现不同波段遥感信息的自动合成处理； 还可以利用不同时间的数据信息进行某类现象动 态变化的分析和预测。
第八章 智能化空间分析
行的计算机模拟研究，是模拟生物在自然环境中的遗传和进化 过程而形成的一种自适应优化概率搜索算法。80年代后遗传算 法得到广泛的应用。
◆1980年代末以后，神经网络、模糊逻辑与遗传算法开始进行 交叉和结合，形成了人工智能的新的研究方向——智能计算 （Computational intelligence）。
◆容错性 神经元网络和模糊推理系统都有很好的 容错性，从神经元网络中删除一个神经元，或从模糊推 理系统中去掉一条规则，并不会破坏整个系统，由于具 有并行和冗余的特征，系统可以继续工作。
◆全局优化 传统的计算方法一般采用的是梯度下降的爬 山策略，遇到多峰函数时容易陷入局部最优，遗传算法能在解 空间的多个区域内同时进行搜索，并且能够以较大的概率跳出 局部最优以找出整体最优解。
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◆不确定性 智能计算的不确定性是伴随其随机性而 来的，其主要操作都含有随机因子，从而在算法的进化过 程中，事件发生与否带有较大的不确定性。
◆强化计算 智能计算不需要很多待求解的背景知识， 而主要依赖于大量快速的运算，从数据集中寻找规则或者 规律，这是智能计算的主要特征。
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智能计算并不是单一的方法，而是众多方法和技术的集 合，实际应用中更多的是将多种方法有机结合起来，寻求 效率的最大化。
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8.2 模糊空间分析
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谢谢大家
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2 智能计算的概念 智能计算也称为“软计算”，迄今为止没有统一的定义，
大体有以下几种：
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欧氏距离,曼哈顿距离和一种非欧氏距离
各向同性和各向异性的距离表面
2.空间变换
基于栅格结构的空间变换可分为三种方 式:
– 单点变换; – 邻域变换; – 区域变换.
3.再分类
再分类(Reclassification):根据不同的需要
对原始数据再次进行分类和提取的过程.
4.缓冲区分析
邻近度:描述了地理空间中两个地物距离相近的程 度. 缓冲区:地理空间目标的一种影响范围或服务范围. 缓冲区分析:给定一个空间对象或集合,确定它们
第八章 空间分析
邬 伦
北京大学地球与空间科学学院 遥感与地理信息系统研究所 2004年12月 2004年12月
1.空间查询与量算
空间查询
– 基于空间关系查询 – 基于空间关系和属性特征查询 – 地址匹配查询
空间量算
– – – – 几何量算 :包括线的长度计算 和面状地物的面积 . 形状量算 质心量算 距离量算
8.空间统计分类分析
分类评价中常用的数学方法
主成分分析(Principal 主成分分析(Principal Component Analysis,PCA) Analysis,PCA) 层次分析法 系统聚类分析 判别分析
�
30 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
100 ∞ ∞ 10 60 ∞
10 1 5 2
10
20
∞ ∞ ∞ 50 ∞ ∞ ∞ ∞
3 50
∞ ∞ ∞ 20 ∞ ∞ ∞ ∞
带权的有向图和邻接矩阵
7.空间插值
空间插值 :用于将离散点的测量数据转换为连续的
数据曲面. – 空间内插算法 – 空间外推算法
空间插值的数据源
– 摄影测量得到的正射航片或卫星影象 – 卫星或航天飞机的扫描影象 – 野外测量采样数据,采样点随机分布或有规律的线 性分布(沿剖面线或沿等高线) – 数字化的多边形图,等值线图
欧式距离
(Xi, Yi ) (Xj, Yj ) d = Xi X j 2 + Yi Yj 2
(
) (
)
曼哈顿距离
欧拉数
高阻力
d = Xi X j + Yi Yj
非欧式距离
1 0. 6 d = X i X j 0.6 + Yi Y j 0.6
[ (
)
(
)
]
低阻力 (各向同性表面) 简单距离 耗费距离
交
只保留两个输入图层 的公共区域
多边形的不同叠加方式
6.网络分析
网络数据结构 :主要有链(Link)和结点. 主要有链 Link)和结点. 主要网络分析功能
– 路径分析 – 计算最短路径的Dijkstra算法 计算最短路径的Dijkstra算法 – 资源分配
100 0 30
5
60 4
∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞ 5 ∞
( 1) 规 则 采 样
( 2) 随 机 采 样
( 3) 断 面 采 样
( 4) 成 层 随 机 采 样
( 5) 聚 集 采 样
( 6) 等 值 线 采 样
各种不同的采样方式
7.空间插值
空间插值方法
– 整体插值方法
边界内插方法 趋势面分析 变换函数插值
– 局部插值方法
最近邻点法:泰森多边形方法 最近邻点法: 移动平均插值方法: 移动平均插值方法:距离倒数插值 样条函数插值方法 空间自协方差最佳插值方法: 空间自协方差最佳插值方法:克里金插值
分为以下五类
– – – – – 视觉信息叠加 点与多边形叠加 线与多边形叠加 多边形叠加 栅格图层叠加
多边形叠加分析叠加生成 来自屑多边形T1 时刻多边形
T2 时刻多边形
多边形叠加结果
多边形叠加产生碎屑多边形
输入图层
叠加图层
结果图层
并
保留两个输入图层 的所有多边形
叠和
以输入图层为界, 保留边界内两个多 边形的所有多边形
的邻域,邻域的大小由邻域半径R 的邻域,邻域的大小由邻域半径R决定.
点,线,多边形的缓冲区
4.缓冲区分析
缓冲区计算的基本问题是双线问题 .
– 角分线法 – 凸角圆弧法
5.叠加分析
叠加分析 :将有关主题层组成的数据层面,进行
叠加产生一个新数据层面的操作,其结果综合了原来 两层或多层要素所具有的属性.