福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)2017-2018学年高一数学下学

福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）2017-2018学年高一数学下学期期末联考试题满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．0sin585的值为A ．2B ．2-CD ．2．已知{}n a 为等差数列，1236a a a ++=，则2a 等于 A ．2B ．52C ．3D ．43．设,,a b c ∈R ，若a b >，则下列关系中正确的是 A ．ac bc >B ．11a b<C ．22a b >D ．33a b >4．已知向量1(,sin )2α=a ，(sin ,1)α=b ，若//a b ，则锐角α为 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．在ABC ∆中，BD 是AC 边上的中线，O 为BD 的中点，若AB =a ，AC =b ，则AO 等于A ．1122+a bB ．1142+a bC ．1124+a bD ．1144+a b 6．不等式1021x x +≤-的解集为A ．1[1,)2-B ．1[1,]2-C ．1(,1](,)2-∞-+∞D ．1(,1][,)2-∞-+∞7．已知2tan =α，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A ．0B ．34C ．1D ．548．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别可以是A ．1,3πB ．21,3π- C ．22,3πD ．2,3π-9．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于 A ．32-B ．32C ．64-D ．6410．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润3万元，每吨乙产品可获得利润2万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润为 A ．12万元B ．13万元C ．17万元D ．27万元11．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23sin ab A=，224a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为 A ．43B ．23C ．13D ．1612．将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间[0,]4π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5(,)126ππ--上，则ϕ的取值范围是 A ．(,]64ππB ．(,)62ππC ．(,]124ππD ．(,)122ππ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，且()⊥-a a b ，则a 与b 的夹角为 ． 14．已知0,0>>y x ，且2x y +=，则13x y+的最小值为 ．15．记不等式组(2)(3)0,0x y x y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的平面区域为D ，则圆221x y +=在区域D 内的弧长为 ． 16．已知函数2()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足12a =，2()n n a f a +=，若20162018a a =，则78a a +的值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．（12分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,)P t ，且1cos 23α=． （1）求实数t 的值； （2）若βα,均为锐角，3cos()5αβ+=，求cos β的值．19．（12分）已知向量(sin ,1)x x =m ，2(2sin ,4cos )x x =n ，函数()f x =⋅m n ．（1）当[0,]2x π∈时，求)(x f 的值域；（2）若对任意[0,]2x π∈，2()(2)()20f x a f x a -+++≥，求实数a 的取值范围．20．（12分）某物流公司进行仓储机器人升级换代期间，第一年有机器人400台，平均每台机器人创收利润1万元．预测以后每年平均每台机器人创收利润都比上一年增加0.25万元，但该物流公司在用机器人数量每年都比上一年减少10%．（1）设第n 年平均每台机器人创收利润为n a 万元，在用机器人数量为n b 台，求n a ，n b 的表达式；（2）依上述预测，第几年该物流公司在用机器人创收的利润最多？21．（12分）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，3ACD π∠=，4AD DB ==（1）若4CD =，求AC ； （2）若3B π=，求sin(2)6A π+的值．22．（12分）已知数列{}n a 满足10a =，22a =，2122n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足1n n n b a a +=-． （1）证明{}n b 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足12c =，11n n c c a +=+，记[]x 表示不超过x 的最大整数，求不等式122018111n n a b c c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦的解集．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2017级高一下学期期末考试联考试卷答案（数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

BADBC ABDBC BC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3π 14．2+ 15．4π 16．2111三、解答题：本题共6小题，共70分。

17．（10分）解：（1）由题意得2214a a a =，2111(1)(3)a a a ∴+=+，故11a =，所以{}n a 的通项公式为n a n =． …………………………………………………4分 （2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则 231232222n n n S =++++， 2341112322222n n nS +=++++，…………………………………………………6分 两式相减得2341111111()2222222n n n nS +=+++++- 11122n n n+=--， …………………………………………………8分 所以222n nn S +=-． …………………………………………………10分 18．（12分）解：（1）由题意得cos α=2分由1cos 23α=得，212cos 13α-=，即22cos 3α=，…………………………4分所以21213t =+，解得t = ……………………………………………6分（2）α为锐角，由（1）得，cos αα==，…………………8分 βα,为锐角，(0,)αβπ∴+∈，由3cos()5αβ+=得，4sin()5αβ+==， ………………9分 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++3455==．……………………………………………12分 19．（12分）解：（1）22()2sin cos 4cos f x x x x x =-+ …………………1分222cos cos x x x =+-3cos 22x x =+ ……………………………………………3分2cos(2)33x π=++ ……………………………………………4分当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-， 所以)(x f 的值域为[1,4]． ……………………………………………6分（2）令()t f x =，[0,]2x π∈，由（1）得[1,4]t ∈，问题等价于2(2)20t a t a -+++≥，[1,4]t ∈恒成立， …………………7分当1t =时，a ∈R ； ………………………………………………8分当1t ≠时，1(1)1a t t ≤-+-，(1,4]t ∈恒成立，因为(1,4]t ∈，1(1)21t t -+≥=-，当且仅当2t =时，等号成立， 所以1(1)1t t -+-的最小值为2，故2a ≤， ………………………………11分 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞． …………………………………12分20．（12分）解：（1）由题意知，数列{}n a 是首项为1，公差为0.25的等差数列，0.250.75n a n ∴=+（*n ∈N ）， (3)分数列{}n b 是首项为400，公比为910的等比数列， 19400()10n n b -∴=⋅（*n ∈N ）． …………………………………………6分（2）设第n 年该物流公司在用机器人创收的利润为n c ，则n n n c a b =⋅=19100(3)()10n n -+⋅， (8)分因为11910(6)()10n n n c c n -+-=-，所以12678c c c c c <<<=>>，即第6和第7年该物流公司在用机器人创收的利润最多． …………………………………12分21．（12分）解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得，222424cos3AC AC π=+-⋅⋅（， (2)分即24320AC AC --=，解得8AC =（负值舍去）． (4)分（2）在ABC ∆中，,,333B ACD BCD A πππ=∠=∴∠=-， 在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin 3DC A =，8sin DCA ∴=①，…………………………6分在BCD ∆中，由正弦定理得sinsin()33DC A π=-，32sin()3DC A π∴=-②， (8)分由①②得3sin sin()316A A π-=，13sin sin )216A A A ∴-=， ………………9分 213cos sin 216A A A -=，132(1cos 2)416A A --=， ………………11分 即172cos 2228A A +=，7sin(2)68A π∴+=． …………………………12分 22．（12分） 解：（1）121121()()22n n n n n n n n n b b a a a a a a a ++++++-=---=-+=，{}n b ∴是首项为1212b a a =-=，公差为2的等差数列． ………………………2分因为22(1)2n b n n =+-=，即12n n a a n +-=， ………………………3分 所以112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+22[(1)(2)1]0n n n n =-+-+++=-，又10a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为2n a n n =-． ……………………6分（2）由已知得，211n n n c c c +=-+，11(1)n n n c c c +∴-=-，111111(1)1n n n n n c c c c c +∴==----，即111111n n n c c c +=---， ………………8分1220181201920191111111111c c c c c c ∴+++=-=----， 又21(1)0n n n c c c +-=-≥，1n n c c +∴≥，201920182017232c c c c ∴≥≥≥≥=>，201911(0,1)1c ∴-∈-，1220181110c c c ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦， …………………………10分 不等式122018111n n a b c c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦等价于230n n -<，03n ∴<<， *n ∈N ，1n ∴=或2，故不等式122018111n n a b c c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦的解集为{1,2}． ……………………12分。