实变函数试题库(3)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（3）本科
一、填空题
1．设,A B 为集合，则()
\B A B A A B
2．设A 为无理数集，则A c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 3．设n
E ⊂
，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是
，E x ⎡⎣A B B =D B B = 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）是狄利克莱函数，即[[10x x ⎧⎪=⎨⎪为为A ()D x 几乎处处等于1B ()D x 几乎处处等于0 C ()D x 是非负可测函数D ()D x 是L 可积函数 2．设n
E ⊂
，*0m E =，则（）
A E 是可测集
B E 的任何子集是可测集
C E 是可数集
D
E 不一定是可数集
3．设n
E ⊂
，()10E c
x E
x x E
χ∈⎧=⎨∈⎩，则（） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集 C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数
D 当()
E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集
2. 设()[]22
,0,11n f x x n x =
∈+，求()[]
0,1lim n n f x dx →∞⎰. 七、证明题
1．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有
()[|()]a f x E
mE x f x a e e dx -≥≤⎰
2．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果
lim n n mE mE →∞
=
则lim ()()n
E E
n f x dx f x dx →∞=⎰⎰
3．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =
4．设n E R ⊂是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF = A
B B ⊂，又B A A *⊂，则B
为1R 中开集，则G 可表示成中至多可数个互不相交的开区间的并(mE 1.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是
()0,0,22cos f x dx xdx ππ
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎣⎦
⎣⎦
=⎰⎰
而cos x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式
因此
()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎣⎦
=⎰
2.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,
n =
又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,
1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=
∈=++
而22
lim
01n nx
n x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.
，)\()()()(\)(\)c c c A B C A B C A C B C A C B C ===
F E ⊂，*0m E =，由外测度的单调性和非负性，*0m F mE ≤≤=*0m F =，于是由卡氏条件易知F 是可测集
5.证明1,a b R ∀∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的连续函数，故()f x 是[],a b 上的连续函数，记[],F a b =，由()f x 在F 上连续，则(),M m m M ∃<，使
()m f x M ≤≤，则显然易证，()1,R F f αα∀∈≥是闭集，即()f x 为[],a b 上的可测函数，
f x是1R上的可测函数. 由,a b的任意性可知，()。