实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科、题

1设A, B为集合，贝U ABUB_AUB （用描述集合间关系的符号填写）

2•设A是B的子集，贝U A_B （用描述集合间关系的符号填写）

3•如果E中聚点都属于E，则称E是闭集

4.有限个开集的交是开集

5•设E i、E2是可测集，则m EUE2 _mE! mE?（用描述集合间关系的符号填写）

n * _

6•设E ?是可数集，则m E=0

7•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果 a ?1, E x f x a是可测集，则称f x在E上可测8可测函数列的上极限也是可测函数

9•设f n x f x , g n x g x ，贝V f n X g n x f X g x

10 •设f x在E上L可积，贝y f x在E上可积

11 •设A, B为集合，则B A U A A （用描述集合间关系的符号填写）

12•设A 2k 1 k 1,2丄，则A=a （其中a表示自然数集N的基数）

13•设E ?n，如果E中没有不属于E，则称E是闭集

14 •任意个开集的并是开集

15•设E1、E2是可测集，且E1 E2，则mE1 mE2

16.设E中只有孤立点，贝U m E =0

17•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1, E x f x a是可测，则称f x在E上可测

18 •可测函数列的下极限也是可测函数

19•设f n x f x , g n x g x，贝卩f n x g n x f X g X

20•设n X是E上的单调增收敛于f x的非负简单函数列，贝y E f x dx lim E n x dx

21 •设A, B为集合，则A B UB B

22•设A为有理数集，则A=a （其中a表示自然数集N的基数）

23•设E ?n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集

24 •有限个闭集的交是闭集

25•设E ?n，则m E 0 26•设E是？n中的区间，贝U m*E =E的体积

27•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果 a 71, E x f x a是可测集，则称f x在E上可测

28 •可测函数列的极限也是可测函数

29•设f n X f x , g n x g x a.e.,贝f n X g x

30•设f n x是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于 f x，由勒维定理，有

f x dx lim f n x dx

E n E

31 •设A, B 为集合，则B AI B UA=AU B

32•设A为无理数集，则A=c (其中c表示自然数集0,1的基数)

33•设E ?n，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集

34.任意个闭集的交是闭集

35•设E ?n，称E 是可测集，如果T ?n, m*T m* TI E m* T I E c

36•设E是外测度为零的集合，且 F E，则m*F =0

37•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1, E xa f x b是可测，(a b )则称f x在E上可测

38.可测函数列的上确界也是可测函数

39•设f n x f x , g n x g x a.e.,贝U f n x g. x f x g x

40•设f n x f x，那么由黎斯定理，f n x有子列f n k x，使f“k x f x a.e•于E

41. 设A, B为两个集合，则A B_ AI B c.(等于)

42. 设E R n,如果E满足E E(其中E表示E的导集),则E是闭.

43. 若开区间(，)为直线上开集G的一个构成区间，则(，)满(i) (a,b) G (ii) a G,b G

44. 设A为无限集.则A的基数A_a(其中a表示自然数集N的基数) 答案：

45. 设E1,E2 为可测集,mE2 ,则m(E1 E2)_mB mE?. 答案：

46. 设f (x)是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a ,都有E[x f (x) a]是可测集E上的可测函数.

47. 设X。是E( R)的内点,则m*E_0. 答案

48. 设仁匕)为可测集E上的可测函数列，且f n(X)f(X),X E ,则由________ 黎斯—定理可知得，存在花&)的子列

a.e

f n k(X)，使得f n k (X) f (X) (X E).

49. 设f (X)为可测集E( R n)上的可测函数，则f (X)在E上的L积分值不一定存在且|f(x)|在E上不一定L可积.

50. 若f (X)是［a, b］上的绝对连续函数，则f (X)是［a,b］上的有界变差函数•

51 •设A，B为集合，则AUB___(B A)UA 答案=

52•设E R n，如果E满足E0 E (其中E0表示E的内部)，贝U E是开集

53•设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b) G且a G,b G，则(a,b)必为G的构成区间

54.设A {x |x 2n,n为自然数}，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数)

55•设A, B为可测集，B A且mB ，则mA mB_m(A B)答案=

56•设f (x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a b)，都有E［x a f(x) b］是可测集

57•若E( R)是可数集，则mE_0 答案=

a.e

58 •设f n(x)为可测集E上的可测函数列，f (x)为E上的可测函数，如果f n(x) f (x) (x E),则

f n(x) f (X) X E不一定成立

59•设f (x)为可测集E( R n)上的非负可测函数，则 f (x)在E上的L积分值一定存在

60•若f (x)是［a,b］上的有界变差函数，则 f (x)必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)

多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)

1•设E 0,1中无理数，则(ACD )

A E是不可数集

B E是闭集

C E中没有内点

D m

E 1

2•设E ?n是无限集，则(AB )

A E可以和自身的某个真子集对等

B E a ( a为自然数集的基数)

C E

D m*

E 0

3•设f X是E上的可测函数，则(ABD )

A函数f x在E上可测