华东师范大学重点知识3-1

3. 分布函数和平均值
例:某大城市人口按身高的分布曲线。 总人数
N Ni
i
fi
归一化的分布数 归一化条件 令间隔h0，
Ni fi Ni
i
O
f(h)
h
hi
fi 1
i
人口按身高的分布
分布函数f(h)---分布在身高h附
近单位身高间隔的百分比。
O
人口按身高的分布
h
分布函数f(h)---分布在身高h 附近，单位身高间隔的 人口占总人口的百分比。 归一化分布函数f(h)满足
N v2 1 f (v)dv v1 N 16

0
Kv dv
3
f(v)
v1
Kv
O
3
1 v1 v0 2
v0
v
四、麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦速率分布函数
m f (v ) 4 ( )3 / 2 e 2kT
mv2 3/ 2 2 kT
m 2 v 2 kT
v2
麦克斯韦速度分布函数F(v)
3/ 2
ve
m0 v 2 2 2 kT
df (v) 0 令一次导数为 0 dv
e
m0v 2 / 2 kT
2v v e
2 m0 v 2 / 2 kT
m0 v 2 1 0 2k T
m0 2v 0 2k T
最概然速率
vp
2k T m0
2 RT M
讨论
在 2.总分子数为N， v v v区间内的 分子数为N
例如速率间隔取100m/s ,
0 100m/s 的分子数为N1 出现的概率为N1 / N 100 200 m/s 的分子数为N 2 出现的概率为 N2 / N
任一速率区间内分子出现的概率为 Ni / N 则可了解分子按速率分布的情况。 N N v
二、麦克斯韦速率分布律
问题:速率的分布函数f(v)的具体形式是怎样的? 1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律：
m f (v ) 4 ( 2kT
mv 2 3/ 2 ) e 2 kT
v
2
1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律
麦克斯韦速率分布律
利用理想气体模型，麦克斯韦 推导了分子速率分布函数：

2. v ?
4 3 4 v0 v vf ( v )dv v 4 v dv 5 v0 0 0
v0
1 3 求速率在 0 v0 之间的分子平均速率。 3
v

dN
v vfvf ( v )dv (v)dv
v1 0 v2 v1
v2
v0 / 3

f (v)dv
f (v)
dN f (v ) Ndv dN f (v)dv N
f (v)
o
3/ 2
dv dv
v
m0 4 ve 2k T
m0 v 2 2 2 kT
3.在f(v)～v曲线下的面积为该速率区间内分子 出现的概率。
v1 N f (v)dv 0 N
f (v) f (v)
最概然速率用在讨论分子速率分布。
f(v) O
vp v
v
2
v
v v vp
2
积分表
f (n) x e
0

n x 2
dx
p.81
f (n)
1 2 1 2 2 1
n
0
2 4 6
f (n)
1 2 1 3 4
n
1
3 5 7
பைடு நூலகம்
3 5 8 15 7 16
n x
1. vP与温度T的关系
f (v)
T vp
T1 T2
v p1 vp2
v
T2 T1
o
曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所 以峰值降低。
2. vP与分子质量m0的关系 v p
2k T m0
m0 v p
m2 m1
曲线的峰值左移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值升高。
dN m F (v)dvx dv y dvz ( ) e N 2kT
的概率。
dvx dv y dvz
既为分子分布在vx-vx+dvx, vy-vy+dvy, vz-vz+dvz间隔内
方均根速率与大气成分
在地球周围厚厚的大气层中，富含着 自有氧粒子和氮粒子，却几乎没有宇宙中 含量最多的氢分子和氦原子。这是什么原 因呢？
f(h)

0

f ( h)dh 1
O

人口按身高的分布
h
身高在h→h+dh 范围内的人数dN=Nf(h)dh
平均身高
1 h N
hdN
0
hf ( h)dh
0

可将h 推广为任意物理量。
二、速率分布函数
将h 推广为理想气体系统中分子的速度v . 讨论分 子数按速率的分布函数。
1.将速率从 0→ ∞ 按等间隔分割成很多相等 的速率区间。
归一化条件
速率分布曲线
例 试说明下列各式的物理意义。 (2)Nf (v)dv, (1) f (v)dv, v v (4 ) v Nf (v )dv. (3)v f (v )dv,
2
2
1
1
由速率分布函数可知
dN f (v ) Ndv
(1) 表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。 (2) 表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。 (3) 表示在速率v1~v2速率区间内，分子出现的概率。 (4) 表示在速率v1~v2速率区间内，分子出现的个数。
从图中可以看出，有相当数量 的一部分气体分子的速率比方均根 速率要大得多，当这些分子的 速率达到逃逸速率时，他们就逃 逸出地球的大气层。由于氢气的 方均根速率比氧、氮都大得多， 因此不断有氢分子逃逸出大气层， 氦气也与氢气有类似情况。
f(v)
v v vp
__ 2
O vp
v
v2
v
氧分子的方均根速率只有氢分子的1/4（氮分子也接 近），只有很少的氧分子能达到逃逸速率，所以，在地球 大气层中只有自由氧离子和氮离子，而几乎不存在自由氢 分子和氦离子。
麦克斯韦速率分布函数
3/ 2
f(v)
dN N
O
2 0
vp v v+dv
v
mv m0 f (v) 4 v 2e 2 kT 2k T
讨论 1. f(v)~v曲线
v 0时 f (v) 0 v 时 f (v) 0
f (v)
o
v
2.在速率为v, 速率区间为dv内分子出现的概率
体的各组分分别适用。
(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯 韦速率分布能很好的符合。
利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速 率、方均根速率、平均速率等物理量。
1.最概然速率vP
最概然速率表示在该速率下分子出现的 概率最大。
f (v)
vp
o
v
m0 将 f(v) 对 v 求导， f (v) 4 2k T
o
v
v
3.概率
Ni / N 与
v 有关，不同 v 附近概率不同。
v 有关，速率间隔大概率大。
dN f (v) Ndv
N N v
o
v
v
4. v dv 速率间隔很小，该区间内分
子数为dN，在该速率区间内分子的概率 dN dv N
dN f (v)dv 写成等式 N dN f(v)为速率分布函数 f (v) Ndv
§1 气体分子的速率分布律 一、统计规律性和涨落 1. 概率
用于表示偶然事件发生的频率。
掷骰子出现任一点数的概率为 1/6，分布为
概 1 率 6
1 2 3 4
5 6
点数
统计规律性：大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。
考试成绩分布
2. 涨落
伽尔顿板
O
x
涨落现象体现了单个随机事件的偶然性， 而大量随机事件所必然遵从的统计规律性是依 存于个别随机事件的偶然性的，涨落现象与统 计规律性相伴正表明了偶然性与必然性之间的 辩证关系。
v
o v 0
v1
4.在f(v)～v整个曲线下的面积为 1
——归一化条件。


0
f (v)dv

0
dN 1 dv Ndv N

N
0
N dN 1 N
f (v)
o
v
分子在整个速率区间内出现的概率为 1 。
说明
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子
数多少是没有意义的。
(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气
速率在 (v) 的物理意义？ 思考：vf 附近，单位速率区
间的分子数占总分子数的概 率。
dN f (v )dv N
dN ＝ f (v )dv N v1
v2
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率

N
0
dN f v dv 1 0 N
v dv
3
8k T m
RT 1.59 M
一般用于计算分子运动的平均距离；
同理，方均根速率
v v f ( v ) dv
2 2 0
3k T m
3RT RT 1.73 M M
方均根速率用来计算分子平均动能。 最概然速率
vp
2kT m
2 RT RT 1.41 M M
f (v)
m2 m1
o v p2 v p1
v
2. 速率的三个统计值
计算一个与速率有关的物理量 g(v) 的统计平均 值的公式：
0
g (v )

g(v) f (v)dv
mv 2 2 kT
算术平均速率

m 3/ 2 ) e v vf ( v )dv 4 ( 2k T 0 0
2
3
3
4



xe
2 f ( n ) n为偶数 dx 0 n为奇数
f(v)
例2
kv 3 0 v v 0 f (v ) 0 v0 v
Kv
O
v0
3
1. k =？
v0
v

0

f ( v )dv 1 即： kv 3dv 1 K 4 4 v0 0

v0 3 0 v0 3 0
vkv3dv kv3dv
1 4 求速率在 0 v0 之间的分子数。 3
v2

Nf ( v )dv N
v1
N
v0 / 3

0
N Nkv dv 81
3
5. 若0-v1之间的粒子数占总粒子数的1/16，则v1=?
dN f (v )dv N
N v2 f (v)dv v1 N
第三章 气体分子热运动 速率和能量的统计分布律
第二章作业： 习题：3-5，8-9，12-16
分子热运动的基本特征
特征一: 永恒的运动;频繁的碰撞 混乱性和无序性 特征二: 在分子热运动中，个别分子的运动存在着 极大的偶然性。但总体上却存在着确定的规律性 ——统计规律性。 特征三:涨落现象.一切与热现象有关的宏观量的数值 都是统计平均值(如理想气体压强)。在任一给定瞬间 或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平 均值有偏差。
地球表面附近的物体要脱离地球引力场的束缚， 其逃逸速率为v =11.2 km /s 。 计算一下t =200C 时，氢、氦原子、氧、氮的方均 根速率，依次得到：
1.91km / s, 0.48 km / s,
1.35 km / s, 0.51km / s
显然它们都小于逃逸速度，其中氢的方均根速率 最大，也只是逃逸速度的1/6，这样一来大气层中似乎 应该有大量的自由氢分子，但实际上地球大气层中几 乎没有自由氢分子。