2理想气体内能
物理学24-理想气体的内能
张宏浩
1
பைடு நூலகம்
三、理想气体的内能
分子间相互作用 可以忽略不计 分子间相互作用的势能=0
理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和
i i 1mol理想气体的内能为 E 0 N A ( kT ) RT 2 2
M i 一定质量理想气体的内能为 E RT M mol 2
温度改变，内能改变量为 E M
当温度极低时，转动自由度 r 也被“冻结”， 任何分子都可视为只有平动自由度。
4
刚性分子理想气体内能：
f E kT N 2 f R T N A 2 NA f RT 2
：气体系统的摩尔（mol）数
5
根据
求等体热容
小结：
练习 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2 和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、 32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol 空气在标准状态下的内能。
3
3
3 3 M 28 . 9 10 1 % 0 . 289 10 kg Ar质量 3
M3 0.289 摩尔数 n3 0.007 M mol 3 40 1mol空气在标准状态下的内能
i3 i1 i2 E n1 RT n2 RT n3 RT 2 2 2 1 ( i1 n1 i2 n2 i3 n3 )RT 2
内能： E N（ k p） p ij
i j
E (T ,V )
(i>j)
由 T 决定
由 V 决定
3
对理想气体： p ij 0 ， E E (T ) ；
对刚性分子（rigid molecule）：v 0 ，i t r
理想气体的内能、热容和焓
4
（2）由图可以看出：
PaVa = PcVc ∴Ta = Tc ⇒ ΔU = 0
P (atm )
a 3
2
b
1
c
o 1 2 3 V(10−3m3)
（3）由热力学第一定律得：
Q = ΔU + A = 405.2J
5
二、理想气体的热容
1. 热容、比热容、摩尔热容
设系统温度升高 dT ，所吸收的热量为dQ
在等压过程中，dp=0,故 pdVm = RdT 将其代入 Cp,mdT = CV ,mdT + pdVm 得：
Cp,mdT = CV ,mdT + RdT 等式两边约去dT得:
迈耶公式 C p,m = Cv,m + R
表明：理想气体定压摩尔热容等于定体摩尔热容与普适
气体常量R之和。
C p,m > CV ,m
质量之比。
c
=
C m
=
1 m
⎛ ⎜⎝
dQ dT
⎞ ⎟⎠
M：摩尔质量
摩尔热容Cm：物质的量为v的该物质的热容C与v之比。
Cm
=
C
ν
=1
ν
⎛ ⎜⎝
dQ dT
⎞ ⎟⎠
=
cm
ν
=
Mc
或： c = Cm
M
单位： J·mol-1·K-1
（1）定体摩尔热容CV, m：
CV ,m
=1
ν
⎛ ⎜⎝
dQ dT
⎞ ⎟⎠V
（2）定压摩尔热容Cp, m：
热容：
C = lim ΔQ = dQ ΔT →0 ΔT dT
单位：J/K
(1)定体热容：
CV
气体动理论-2
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二、能量均分定理
分子的平均平动动能：
kt
1 2
m v2
1 2
m
vx2
1 2
m vy2
1 2
m
vz2
3 kT 2
vx2
v2y
vz2
1 v2 3
1 2
m vx2
1 2
m vy2
1 2
m vz2
1 2
kT
分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个
§3-3 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
自由度 ( i )： 决定某物体在空间的位置所需要的 独立坐标数目。
质点: (x, y, z)
i=3
做直线运动的质点： 做平面运动的质点： 做空间运动的质点：
1个自由度 2个自由度 3个自由度
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运动刚体的自由度： 随质心的平动+绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度：
(t r 2s) 1 kT
2
返回 退出
三、理想气体的内能
气体的内能：气体中所有分子的热运动能量和分 子间相互作用势能的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的平均能量的总和。
1mol 理想气体的内能： （只考虑刚性分子）
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m'，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总
数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在v v dv区间的分 子数占总分子数的百分比.
速率在v v dv内分子数：dN Nf (v)dv
大学物理(12.4.1)--能量均分定理理想气体内能
一、自由度力学中要确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，叫做这个物体的自由度。
在热力学中一般不涉及原子内部的运动，仍将原子当作质点而将分子当作是由原子质点构成的。
一个要确定一个自由运动质点的空间位置需要3个独立坐标，因此单原子分子的自由度是3，即它有3个平动自由度。
对于刚性（原子间的相对位置不变）双原子分子气体，可看作两个原子（质点）被一条直线连接，需要用3个坐标确定其质心的位置，再用2个坐标确定其连线的方位，因此刚性双原子分子气体的自由度为5。
对于刚性多原子分子，具有3个平移自由度和3个转动自由度，总自由度为6。
二、能量按自由度均分定理1．能量按自由度均分定理理想气体分子平均平动动能 kT k 23=ε 222221212121z y x k v m v m v m v m ++==ε 又 222231v v v v z y x === 有 kT v m v m v m z y x 21212121222===这表明，气体分子沿x 、y 、z 三个方向的平均平动动能都相等，且都等于kT /2。
因为在温度公式中的分子是看作质点的，它只有三个自由度，而这个结果说明，每个分子的平均平动动能是均匀地分配给每个自由度，即每个自由度都均匀地分配了kT /2的能量。
这个现象可以这样解释：气体平衡态的建立和维持，是靠分子无规则运动和频繁碰撞实现的，在碰撞过程中，能量可以从一个分子传到另一个分子，也可以由一种运动形式转化成另一种运动形式，也可以从一个自由度转移到另一个自由度，这些转变是无规则的，但总的趋势是各种形式的平均能量趋于相等，这一结论是否可以推广到转动和振动上呢？经典统计物理已经证明了这一点：在温度为T 的平衡状态下，分子的每一个自由度上都具有相同的平均能量，其大小都为kT /2。
2．说明：1）能量均分定理是统计规律，是大量分子的整体表现。
对单个分子而言，分子的能量并不一定是均分分配的，但由于分子间的相互碰撞，在相互碰撞中分子可以交换能量；对于某一自由度来说，其上的能量也不一定均匀的，但由于分子的无规则运动和分子间的相互碰撞，使得在各个自由度上的能量不断“搅拌”，最后达到均匀。
理想气体的内能及其变化
理想气体的内能及其变化【编者按】焦耳在1845年做了著名的气体自由膨胀的实验，得到了理想气体内能的性质。
气体的内能是描述气体状态性质的物理量，是由气体内部状态所决定的能量，对于一定质量的气体，只要温度和体积确定了，它的状态也就确定了，在此状态下的内能也就被唯一地确定了，即内能是状态的单值函数，做功和热传递是改变内能的两种方式，当气体由某一状态出发，经过任意过程变化到另一状态时，气体内能的增量△U等于在这一过程中外界对气体所做的功W和气体所吸收的热量Q之和，即△U=W+Q，这就是热力学第一定律的物理表述，对于一定质量的理想气体的内能，焦耳在1845年做了著名的气体自由膨胀的实验，得到了理想气体内能的性质。
一、理想气体的内能焦耳的实验装置如图1所示，容器A部充以压强较低的气体(可以看成理想气体)，容器B部为真空，A、B用活门C隔开，整个装置浸入一个有绝热壳的水量热器中，当整个装置与水达到热平衡以后，打开活门C气体将膨胀充满整个容器，测量膨胀前后气体和水的平衡温度，发现没有改变，这个结果表明气体在膨胀前后的温度没有变化，同时也说明气体在膨胀过程中与水没有热量的交换，即Q=0，由于气体向真空中膨胀不受任何阻碍，所以外界对气体不做功W=0，根据热力学第一定律，△U=0，即气体在这一过程中内能没有发生变化，可见这是一个气体体积改变而内能保持不变的过程，实验结果又表明此过程中气体的温度并没改变，这就说明气体的内能只跟温度有关而跟体积无关，因此得到结论：理想气体的内能只与温度有关，与体积无关，这一结论称为焦耳定律。
从气体分子动理论的观点来看，气体的内能是气体中所有分子热运动的动能和分子间相互作用的势能的总和，而分子热运动的动能与气体的温度有关，分子间相互作用的势能与气体的体积有关，所以气体的内能是温度和体积的函数，而理想气体，是指分子间没有相互作用和分子可以看作没有大小的质点的气体，因而理想气体内能中就不存在分子间相互作用的势能，所以，理想气体的内能只是所有分子热运动的动能的总和，而分子热运动的动能只与温度有关，故理想气体的内能只与温度有关，与体积无关。
理想气体的内能
理想气体的内能理想气体是在热力学中常见的模型之一，我们将通过本文探讨理想气体的内能及其基本特点。
一、内能的定义内能是指理想气体分子所具有的能量，其中包含了分子的动能和势能。
根据理想气体的模型，分子之间相互作用力非常小，因此认为分子间的相互作用可以忽略不计，只考虑分子自身的运动即可。
二、内能的计算方法理想气体的内能主要由分子的平动动能和转动动能组成。
下面我们将分别介绍这两种动能的计算方法。
1. 平动动能平动动能是指分子由于直线运动而具有的能量。
根据经典力学的定理，平动动能可以通过下式计算：平动动能 = 1/2 * m * v^2其中，m为分子的质量，v为分子的速度。
由于理想气体的分子非常微小，因此其质量可以取为一个标准值，例如1个摩尔的分子质量。
而速度则与温度相关，根据理想气体状态方程，我们可以得到分子速度与温度之间的关系。
2. 转动动能转动动能是指分子围绕其自身轴心旋转而具有的能量。
与平动动能类似，转动动能可以通过下式计算：转动动能= 1/2 * I * ω^2其中，I为分子的转动惯量，ω为分子的角速度。
对于理想气体分子而言，其转动惯量与分子的结构和质量密切相关。
根据分子的形状和对称性，我们可以计算出适用于不同分子的转动惯量的表达式。
三、理想气体的内能与温度的关系根据热力学理论，理想气体的内能与温度成正比。
内能可以通过温度的变化来计算，即：内能 = 3/2 * R * T其中，R为气体常数，T为温度。
从上式可以看出，理想气体的内能与温度成正比，并且与分子数目无关。
四、内能的变化理想气体的内能在物理过程中可能发生变化，下面我们来讨论一些主要的内能变化情况。
1. 内能的增加当理想气体吸收热量时，其内能会增加。
这是因为外界对气体分子做功，将能量转化为内能，使得分子的动能和势能增加。
2. 内能的减少当理想气体释放热量时，其内能会减少。
这是因为气体分子向外界做功，将内能转化为其他形式的能量，使得分子的动能和势能减少。
热力学中的理想气体的功与内能
理想气体热力学第 一定律的表达式为： dQ=dW+dE
其中，dQ表示气体 吸收或放出的热量， dW表示外界对气 体所做的功，dE表 示气体的内能增量。
该定律描述了热力 学过程中能量守恒 的基本规律，是热 力学中最重要的定 律之一。
在理想气体的情况 下，该定律可以简 化为：ΔU=Q+W， 其中ΔU表示气体 内能的增量。
热力学中理想气体的功与内能
汇报人：XX
理想气体的基本概念 理想气体的功 理想气体的内能
理想气体的热力学第一定律 理想气体的热力学第二定律
理想气体的基本概念
理想气体的定义
理想气体是一种理想化的模型，忽 略了气体分子之间的相互作用力和 分子本身的体积
理想气体在宏观上表现为均匀且连 续，不表现出任何黏滞性
等压过程中的功
定义：等压过程中气体对外界 所做的功
计算公式：W = PΔV
物理意义：表示气体在压力不 变的条件下对外界做功的能力
影响因素：气体压力和体积的 变化
等容过程中的功
定义：等容过程中气体对外界所做 的功
物理意义：表示气体在等容过程中 反抗外界压力所做的功
添加标题
添加标题
计算公式：W = - pΔV
表达式：ΔU = Q + W，其中ΔU表示系统内能的增量，Q表示系统吸收的热量，W表 示系统对外做的功。
适用范围：适用于封闭系统中理想气体或准静态过程中的气体。
意义：热力学第一定律是热力学的基本定律之一，它为能量转换和利用提供了理论基础， 对于理解热力学过程和热力学系统的能量交换具有重要意义。
理想气体热力学第一定律的表达式
THANK YOU
汇报人：XX
理想气体热力学第一定律的应用
理想气体的内能、焓、比热容、熵介绍
3
对于实际气体可逆过程（reversible process ）
q du pdv
u f (T ,v)
u T
dT v
u v T
dv
pdv
u T
dT v
u T
T
pdv
对定容过程dv=0
qv
u T
dT v
cv
qv
dT
u T v
同样用 q dh vd可p 得定压过程dp=0：
q p
h T
dT p
cp
q p
dT
h T p
因此有：ds du pdv du p dv
Rg p dh v dp
Rg
T
TT
p
由： du cV0dT
dh c p0dT
以及： pv RgT
dp dv dT pv T
取对数后 再微分
对微元过程（insensible process ）：
352页附表2 求真实比热容(true specific heat) cv0 a0' a1T a2T 2 a3T 3
a0 a0' Rg
u1,2 u2 u1 12 du 12 cv0dT
h1,2 h2 h1 12 dh 12 c p0dT
适用范围：理想气体定比热工质的任意过程，1、2状 态为平衡状态。
标准状态熵：
当温度变化较大以及计算精度要求较高时， 可用标准状态熵来计算过程的熵变。
能量均分定理理想气体内能
要3个平动自由度， 确定连线， 要2个转动自由度；确定沿连线的简谐振动,
要1个动能和1个势能自由度，所以共有7个自由度。
非刚性双原子分子的能量： kt kr kv
•
多原子气体分子(原子数n3)
C
刚性: 6个自由度(3个平动自由度, 3个转动自由度);
非刚性：有3n个自由度,其中3个是平动的,3个是转动的,其 余3n-6是振动的。
教程
二 能量均分定理（玻耳兹曼假设） 气体处于平衡态时，分子任何一个自由
度的平均能量都相等，均为 1 kT ，这就是 能量按自由度均分定理 . 2
分子的平均能量 i kT
2
5
物理学
7-5 能量均分定理 理想气体内能
教程
三 理想气体的内能
1.气体的内能 理想气体的动能、振动势能、分子间相互作用势能的和
刚性双原子气体
Emol
5 2
RT
6
刚性多原子气体 Emol 2 RT 6
物理学
7-5 能量均分定理 理想气体内能
教程
例 设有一恒温容器，其内储有某种理想
气体，若容器发生缓慢漏气，问：
(1)气体的压强是否变化？为什么？ (2)容器内气体分子的平均平动动能是否变化？ 为什么？
(3)气体的内能是否变化？为什么？
p(2V)=(v1+v2)RT
解得:
T p1 p2 p1 p2
T1 T2
9
物理学
7-5 能量均分定理 理想气体内能
教程
例：水蒸汽分解为同温度的氢气与氧气，即
H 2O
H2
1 2
O2
求：此过程中内能的增量(不记振动自由度)
解：H2O，O2，H2分子的自由度分别为 6，5，5
理想气体的内能和CV
将数据点绘制成图表，如温度-压力图、温度-加 热量图等。
3
结果分析
根据图表分析气体状态的变化趋势，验证理想气 体状态方程和内能、cv值的理论值是否一致。
05
理想气体内能与cv值的 应用
在热力学中的应用
热力学第一定律
理想气体的内能是气体系统最重要的热力学 参量之一，通过理想气体的内能可以推导出 热力学第一定律的表达式。
详细描述
内能是物体内部所有微观粒子（如分子、原子等）动能和势能的总和。这些微观粒子在不停地做无规则热运动， 具有动能；同时，它们之间也存在相互作用力，具有势能。内能是系统内部的一种状态函数，与系统的状态有关， 与系统所处的宏观条件无关。
理想气体内能的计算公式
要点一
总结词
理想气体的内能计算公式为E=n*i/2*kT^2。
cv值随温度升高而增大，因为高温下 分子运动更加剧烈，内能增加，等容 过程中所需的热量也相应增加。
在高温下，cv值趋近于cp值，因为等 压过程中的热量主要用来做功，而不 是增加内能。
cv值与热容量的关系
cv值越大，表示等容过程中的热容量 越大，即单位质量的理想气体在温度 升高时所需的热量越多。
cv值反映了理想气体在等容过程中对 温度变化的敏感程度，cv值越大，温 度变化对内能的影响越显著。
热力学第二定律
理想气体的cv值与熵的关系是热力学第二定 律的重要应用，cv值越大，熵越大，反应自 发进行的趋势越大。
在化学反应中的应用
反应热
理想气体的内能和cv值可以用来计算化学反 应的反应热，从而判断反应是否自发进行。
反应速率
理想气体的cv值可以用来计算化学反应的速 率常数，从而预测反应的速率。
理想气体假设
第三章 理想气体的内能、焓、比热容、熵
pV nRT
pV mRgT
m mi
i 1
混合物的质量等于各组成气体质量之和： n
m m1 m2 mi mn
混合物物质的量等于各组成气体物质的量之和：
n ni
i 1 n
n n1 n2 ni nn
3.4.1 分压力和分容积（partial pressure and partial volume）
显然
w1 w2 wn 1
V
w
i 1 n
n
i
1
y1 y2 yn 1 1 2 n 1
y
i 1
n i 1
i
1
1
i
混合物组成气体分数各种表示法之间的关系：
Vi ni RT p ni 由 i V nRT p n
T
)rev
对可逆过程（reversible
process）
q du pdv
q dh vdp
du pdv du p dv 因此有：ds T T T
Rg v
Rg p
dh vdp dh v ds dp T T T
由：
以及：
du cV 0dT
dh c p 0 d T
(dh) p (q ) p c pdT
dh c p 0 d T
h2 h1
2 c dT 1 p0
u cv dT T v q p h
cp
q v
dT T p
注意：以上结论对理想气体可用于任意过程
4
3.1.2
u q v dT T v u cv dT T v
理想气体的内能、焓、比热容、熵
pV=nRT
n
V Vi i1
亚美格定律—理想气体混合物的容积等于各组成气体分容积之和
（amagat 's law）
对某一组成气体i，按分压力及分容积分别列出 其状态方程式，则有：
piVniRT pVi niRT
对比二式，有： p i V i pV
即组成气体的分压力与混合物压力之比，等于组 成气体的分容积与混合物容积之比。
dv v
dsdhTvdpcp0dTTvdpcp0dTTRg
dp p
dscv0dTTRg
dvvcv0dppdvvRg
dvvcv0dppcp0
dv
v
s
cv0
ln
T2 T1
Rg
ln
v2 v1
s
c
p0
ln
T2 T1
R g ln
p2 p1
s
c v 0 ln
p2 p1
c p 0 ln
v2 v1
T
M m m 1 m 2 m n n 1 M 1 n 2 M 2 n iM n
nn
n
又得： M y 1 M 1 y 2 M 2 y n M n
n
M yi Mi
i1
混合物的折合气体常数为：
R Rg M
R R gi M i
即得：R g R ( y 1 M 1 y 2 M 2 y n M n )
对定容过程dv=0
q v T u v dT
c v d q v T T u v
同样用 qdhvdp可得定压过程dp=0：
qp
h T
dT p
cp
qp
dT
h Tp
3
理想气体内能变化（Δu）的计算： 按定容过程(constant volume process)：
理想气体内能
mi E E2 E1 M 2 R(T2 T1 )
2、摩尔热容
定体摩尔热容
定压摩尔热容 摩尔热容比
i CV ,m 2 R
C p,m
i
2 2
R
C p ,m CV ,m
i2 i
对于单原子分子与双原子 分子，理论与实验符合得 很好，而对于多原子分子， 理论与实验相差较大。
气体
理论值
CV,m CP,m
kT 2d 2 p
1.381023 273 1.41 3.14(3.51010)1.01105
6.9108 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z v
448 6.9 108
6.5 109 s1
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将
与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 相应圆柱体体积为 d 2v
一秒钟内A 与其它分子 发生碰撞的
圆柱体内 分子数
d 2vn
Z d 2vn
平均次数
一切分子都在运动
Z d 2vn
Z 2d 2vn
二、平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
分子的自由度为i，则一个 说明：
分子能量为ikT/2， 1摩尔理 •理想气体的内能与温度和分子的
想气体，有个NA分子，内
能
E＝ i 2
kT
N
A
i 2
RT
m/M摩尔理想气体，内能
自由度有关。
•内能仅是温度的函数，即E=E(T)， 与P，V无关。
理想气体的热力学性质
理想气体的热力学性质理想气体是一种理论模型，它假设气体分子为无相互作用的点状粒子，并且在有限的温度和压力条件下满足适用于大量分子的统计规律。
在热力学中，理想气体的热力学性质是研究理想气体在不同温度、压力和体积条件下的行为和性质。
本文将从理想气体的状态方程、内能、焓、熵以及热容等方面来讨论理想气体的热力学性质。
一、理想气体的状态方程理想气体的状态方程描述了气体的状态与温度、压力和体积之间的关系。
根据理想气体状态方程可以得到以下形式：PV = nRT其中，P是气体的压力，V是气体的体积，n是气体的摩尔数，R是气体常数，T是气体的温度。
在这个方程中，R是一个常数，与气体的性质相关。
二、理想气体的内能理想气体的内能是指气体分子的平均动能和势能的总和。
由于理想气体的分子间相互作用力很小或者为零，因此它的内能仅与温度有关。
根据理想气体的内能公式可以得到：U = (3/2)nRT其中，U是内能，n是气体的摩尔数，R是气体常数，T是气体的温度。
这个公式表明，理想气体的内能与温度成正比，且与气体的体积和压力无关。
三、理想气体的焓理想气体的焓是指气体的内能与压力的乘积。
在常温常压条件下，理想气体的焓变化可以近似为：ΔH = ΔU + Δ(PV) ≈ ΔU对于理想气体，内能变化主要由温度变化引起，而体积和压力的变化对焓的贡献可以忽略不计。
四、理想气体的熵理想气体的熵是指气体在热平衡和不可逆过程中的熵变。
根据热力学第二定律，理想气体的熵变可以表示为：ΔS = nCvln(T₂/T₁) + nRln(V₂/V₁)其中，ΔS是气体的熵变，n是气体的摩尔数，Cv是气体的摩尔热容，R是气体常数，T₁和T₂分别是气体的初温和末温，V₁和V₂分别是气体的初体积和末体积。
这个公式表明，理想气体的熵变与温度和体积的变化有关。
五、理想气体的热容理想气体的热容是指单位摩尔气体在温度变化时吸收或者释放的热量。
根据理想气体的热容定义可以得到以下公式：Cv = (3/2)RCp = (5/2)R其中，Cv是等体热容，Cp是等压热容。
理想气体的内能汇总.
M i i U RT n RT 2 2
分子运动论也给出：理想气体的内能仅仅是温 度的函数。
二、理想气体的摩尔热容 ：
理想气体的定体摩尔热容为
CV , m
（dQ） 1 1 dU du i V R n dT n dT dT 2
2பைடு நூலகம்
5 对于刚性双原子分子： CV , m R 27 对于非刚性双原子分子： CV , m R 2 对于刚性多原子分子： CV , m 3 R
对于单原子分子： CV , m 3 R
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例题. 将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气， 求内能增加的百分比 。 解： 2 H 2O 2 H 2 O2
2 mol 水 2 mol 氢气 1 mol 氧气
U H 2O 2 3 RT 6 RT 5 U H 2 2 RT 5 RT 2
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在空间自由运动的质点:
位置由三个独立坐标确定，自由度 = 3 ； 在曲面上运动的质点: 位置由二个独立坐标确定 ，自由度= 2 ； 质点沿直线或曲线运动： 位置由一个独立坐标确定，自由度 = 1 .
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（2）刚体的自由度： 刚体除平动外还有转动。由于刚体的一 般运动可分解为随质心的平动和绕质心轴 的转动，所以刚体的位置可确定如下： a.三个独立坐标 x, y, z 确定其质心的位置； b.用两个独立坐标 , z 确定转轴的方位； （三个方位角中只有两个 2 2 2 cos cos cos 1 ) 是独立的 c.用一个独立坐标 ， y 确定刚体绕质心轴转过 的角度。 x
m 5 2 mv RT 2 2
T
P
v
理想气体的内能公式
理想气体的内能公式理想气体内能计算公式是：(i/2)×n×R×T。
理想气体内能是分子动能之和，其只与气体的温度有关，与体积无关。
理想气体内能计算公式(i/2)×n×R×T中，i是指单原子气体取3，双原子气体取5，三原子气体取6；n是指物质的量；R是指理想气体常数；T是指热力学温度。
内能是物体、系统的一种固有属性，即一切物体或系统都具有内能，不依赖于外界是否存在、外界是否对系统有影响。
内能是一种广延量或容量性质，即其它因素不变时，内能的大小与物质的数量物质的量或质量成正比。
气体是四种基本物质状态之一（其他三种分别为固体、液体、等离子体）。
气体可以由单个原子、一种元素组成的单质分子、多种元素组成化合物分子等组成。
理想气体内能的计算公式：E=n×C×T。
取n=1mol,则E=CT=(i/2)×R×T. 理想气体服从理想气体的状态方程和焦耳内能定律。
电流通过导体产生的热量与导体的电阻、通过导体的电流的平方以及通电时间成正比。
这个定律是由英国科学家焦耳在1841年发现的。
焦耳定律是一个实验定律，可以适用于任何导体，范围很广，所有电路都可以使用。
遇到电流热效应的问题，比如需要计算电流通过某一电路时释放的热量；在比较某一电路或导体放出的热量时，即从电流热效应的角度考虑电路的要求时，可以使用焦耳定律。
理想气体性质：分子体积与气体分子间的平均距离相比可以忽略不计；分子之间没有相互作用，不考虑分子势能；分子之间以及分子与壁之间的碰撞不会造成动能损失；在容器中，当没有碰撞时，被认为是匀速运动。
当气体分子碰撞时，有速度交换，没有动能损失。
理想气体的内能是分子动能的总和。
热力学：根据焦耳实验，理想气体的内能与体积无关，dU=nCvdT，U-U0=nCvdT，U=nCvT 2。
统计物理：理想气体满足麦克斯韦-玻尔兹曼分布，U=1.5nRT，n是物质的量。
理想气体内能的定义
理想气体内能的定义
理想气体内能指的是在温度和体积不变的条件下一定物质的气体内能，它是物质学和热力
学之间重要的一部分。
它是指一个系统在温度和体积不变的情况下，其内部能量的可变量，通常情况下，它可以通过其他的能量加以改变，如机械能、化学能、光能和电能等。
理想气体内能的大小只依赖于它的温度和体积，一般来说其内能升高的温度和减小的体积
越大，反之内能降低的温度和增大的体积越小。
理想气体内能的定义可以表示为：
U=f(T,V)。
因而，当体积和温度都固定时，其内能可以确定，而当体积或温度发生改变时，其内能也会随之改变。
然而，理想气体内能在实际系统中的应用是有限的，因为它对实际气体的压强和熵无法进
行有效的概述。
在实际条件下，往往是需要考虑物理性质、动能守恒和能量守恒等问题来
确定一个系统内能的大小。
因此，我们可以得出结论：理想气体内能只是一种简单的概念，它可以用来快速反应压力和体积变化对系统内能变化的影响，但是对于实际系统而言，它
是不精确的。
理想气体等温可逆内能公式
理想气体等温可逆内能公式
理想气体等温可逆内能公式是指在等温可逆过程中，理想气体内能的计算公式。
根据热力学第一定律，气体的内能变化等于对气体做功和气体所吸收的热量之和，即ΔU＝W＋Q。
在等温可逆过程中，气体所吸收的热量Q等于热力学温度T与气体所吸收的热量dQ 之积，即Q＝TdS。
根据熵的定义S＝nClnT＋nRlnV＋常数，可知等温可逆过程中熵的变化ΔS＝nRln(Vf/Vi)。
在等温可逆过程中，气体所做的功W等于PdV，因为过程是可逆的，所以气体的压强始终等于外界压强P0。
根据理想气体状态方程PV＝nRT，可得P＝nRT/V。
将上式代入W＝PdV中，可得W＝nRTln(Vf/Vi)。
因此，在等温可逆过程中，理想气体内能变化ΔU＝W＋Q＝nRTln(Vf/Vi)＋nRTln(Vf/Vi)＝nRTln(Vf/Vi)×2。
根据热力学第二定律，等温可逆过程中ΔS＝Q/T＝nRln(Vf/Vi)，以及ΔS＝
ΔU/T，可得ΔU＝nRTln(Vf/Vi)。
因此，理想气体等温可逆内能公式为ΔU＝nRTln(Vf/Vi)。
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高中物理竞赛第三阶段 第二讲 理想气体的内能(无答案)
1. 理想气体的压强，温度的微观解释2. 理想气体的内能3. 热力学第一定律知识点拨一．理想气体的微观模型先来作个估算：在标准状态下，1mol 气体体积1330104.22--⨯=moI m V ，分子数1231002.6-⨯=moI N A ，若分子直径m d 10100.2-⨯=，则分子间的平均间距m N V L A 93/101034.3)/(-⨯==，相邻分子间的平均间距与分子直径相比17/≈d L 。
由此可知：气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。
因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。
这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。
1．理想气体的压强宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。
在通常情况下，气体每秒碰撞21cm 的器壁的分子数可达2310。
在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。
可以用动量定理推导，其表达式为K n P ε32=设气体分子都以平均速率运动，因沿上下、左右、前后各向运动的机会均等，所以各占总数的．若分子的数密度（即单位体积内气体的分子数）为，则单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数应为．每个分子每次与器壁碰撞时将施于器壁的冲量，所以压强，假设每个分子的速率相同．每个分子的平均平动动v 16n 1(1)6n v ×2mv 211(1)263p n v mv nmv ==××知识体系介绍第二讲 理想气体的内能能，所以．，式中n 是单位体积内分子个数，221υεm K=是分子的平均平动动能，n 和K ε增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。
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(如：He)
(如：H2、O2、N2)
(如：H2O)
二、能量按自由度均分原理
理想气体分子的平均平动动能为：
1 v2 3 kT
2
2
1 2
vx2
1 2
v2y
1 2
vz2
1 2
kT
vx2
v2y
vz2
1 3
v2
气体分子的平动动能是按三个平动自由度平均分配的，
每一个自由度上的平均平动动能均为 1 kT 2
两个独立的a， b 决定转轴空间位置 一个坐标q 决定刚体转过的角度
z
q
A(x,y,z)
i=6 3个平动 3个转动
b
y
a
x
刚体的自由度为6
3、 刚性气体分子的自由度 i
自由度数目
i t r s
平动 转动 振动
自由度i
转动r 平动t
单原子分子
3
0
3
双原子分子
5
2
3
三原子( 多原子) 分子
6
3
3
•状态从T1→T2,不论经过什么过程，内能变化均为
E
E2
E1
m M
i 2
R(T2
T1 )
明确下列各种表示的物理意义：
1、 1 k T 2
2、 3 kT 2
在温度 T 时，分子每一个
自由度上的平均动能。
在温度T时，分子的平均
平动动能。
3、 i kT 2
4、 i RT 2
温度为T 时，自由度为i的分子
质点的自由度为3
确定一刚性杆子在空间位置需要六个坐标：
M1
l
M1(x1 , y1 , z1) M2 (x2 , y2 , z2 )
约束条件：
M2
l (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
6个坐标中只有5个是独立的 刚性杆子的自由度为5
2、刚体的自由度
三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点
Et
t
n
t
p kT
5.56
1021
1.013102 1.381023 273
1.52102 J/m3
(4) 由气体的内能公式，有
E m i RT 0.3 5 8.31 273 1.70103J
M2
2
Cp
2
CV
R
(i
2) 2
d E＝i R dT
R
CV i
2
单原子分子气体
i3
CV
3 2
R,
5/3
双原子分子气体
i5
CV
5 R, 2
7/5
多原子分子气体 i 6 CV 3R, 4/ 3
mol 理想气体的内能变化为
E
i 2
RT
CV T
例 一容器内某理想气体的温度为 273K，密度为 = 1.25
0.028 kg/mol
由结果可知，这是N2 或CO 气体, i=5
(2) 平均平动动能和平均转动动能为
t
3 kT 2
3 1.381023 2
273
5.56 1021
J
r kT 1.381023 273 3.77 1021J
(3) 单位体积内气体分子的总平动动能为
的平均总动能。
温度为T时，1mol 理想气体的内能。
5、 m 3 RT M2
温度为T时，m 摩尔理想气体分子的平均平动动能。 M
6、 i RT
2
温度为T时，摩尔理想气体的内能。
四、气体的摩尔热容
理想气体的定体摩尔热容为
CV
d QV dT
dE dT
iR 2
理想气体的定压摩尔热容为
比热容比为 Cp i
2
2
平均转定动能为：
1 rkT 2
说明：
平均振动动能为：
1 skT 2
•是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。
•气体分子无规则碰撞的结果。
•统计物理可给出严格证明。
三、理想气体的内能
内能：气体中所有分子的平动，转动，振动动能和势 能之和。用 E 表示。
对于理想气体，分子间的相互作用力忽略不计， 所以理想气体分子没有相互作用的势能。因此，理想 气体的内能就是所有分子的各种运动动能的总和。
推广：在温度为T的平衡态下，气体分子的每一个自由度
都具有 1 kT 的平均动能。——能量按自由度均分原理 2
对于有t 个平动自由度，s 个振动自由度和 r 个转动自由度 的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：
Hale Waihona Puke k1 (t 2
r
s)kT
i kT 2
平均平动动能为： 1 tkT 3 kT
g/m3，压强为 p = 1.0×10-3 atm
求 (1) 气体的摩尔质量，是何种气体？ (2) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平动动能？
(4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？
解 (1) 由 pV m RT，有 M
M
RT
p
1.25103 8.31 273 103 1.013105
分子的自由度为i，则一个分子能量为ikT/2， 1摩尔理
想气体，有个NA分子，内能为
E＝i 2
kT
NA
i 2
RT
m/M摩尔理想气体，内能为
E＝m i RT＝i pV M2 2
E＝m i RT M2
说明： •理想气体的内能与温度和分子的自由度有关。
•内能仅是温度的函数，即E=E(T)，与P，V无关。
§6.5 能量按自由度均分定理
一、自由度
确定一物体在空间位置所需之独立坐标个数用符号 i 表示。
火车：被限制在一直线
上运动，自由度为i=1；
轮船：被限制在一平面上
运动，自由度为i=2
（经度、纬度）
飞机：自由度为i=3(经度、
纬度、高度)
1、质点及刚性杆子的自由度
确定一质点在空间的位置需要三个坐标： M ( x,y,z )