江西省红色七校2018届高三第一次联考数学(理)试题+Word版含答案

江西省红色七校2018届高三第一次联考数学理科科试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学）命题人：会昌中学 徐流仁 分宜中学 谢平 莲花中学 周昔康一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在右边Venn 图中，设全集,U =R 集合,A B 分别用椭圆内图形表示，若集合{}(){}22,ln 1A x x x B x y x =<==-，则阴影部分图形表示的集合为 A ．{}1x x ≤ B ．{}1x x ≥ C ．{}01x x <≤ D ．{}12x x ≤<2．已知复数201811⎪⎭⎫⎝⎛-+=i i zi （i 为虚数单位），则z 的虚部（ ）A. 1B. -1C. iD. -i 3．若110a b<<，则下列结论不正确的是 A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+ 4．已知，是两条不同直线, 是一个平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则5.在斜三角形ABC 中， tan tan tan 2tan tan tan A B CA B C++=⋅⋅（ ）A. 1B.126．下列命题中，正确的是（ ） A ．23cos sin ,000=+∈∃x x R x B. 已知x 服从正态分布()20σ，N ，且()6.022-=≤<x P ，则()2.02=>x PC. 已知a ，b 为实数，则0=+b a 的充要条件是1-=baD. 命题：“01,2>+-∈∀x x R x ”的否定是“01,0200<+-∈∃x x R x ”7．观察数组： ()1,1,1--， ()1,2,2， ()3,4,12， ()5,8,40，…， (),,n n n a b c ，则n c 的值不可能为（ ）A. 112B. 278C. 704D. 16648．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=n （ ）A. 5B. 4C. 3D. 29．已知函数()sin ()f x x x x R =∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线π43=x 对称， 则θ的最小值为（ ）A. 6πB. 3πC. 512πD. 23π10．已知F 为双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的右焦点， 1l ， 2l 为C 的两条渐近线，点A 在1l 上，且1FA l ⊥，点B 在2l 上，且1FB l ，若45FA FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A2C.2或2D. 211．如图，梯形ABCD 中， AB CD ， 2AB =，4CD =，BC AD ==E 和F 分别为AD 与BC的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是（ ） A. 59,420⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 511,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 111,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 91,204⎛⎫-- ⎪⎝⎭12．已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A ．1(,ln 2]3B ． 1(ln 2,ln 6)3--C ．1(ln 2,ln 6]3--D ．1(ln 6,ln 2)3- 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．设⎰-=π)sin (cos dx x x a ，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数为__________．14．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+30102x y x y x ，若z mx y =+的最小值为3-，则m 的值为 .15．设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足123412346x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有________个．16．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为 ．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．如图，在中，已知点在边上，，，，.（1）求的值； （2）求的长.18．已知数列{}n a 满足2312232222n n a a a a n n ++++=+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若()12nnn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）为了解患肺心病是否与性别有关，在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查，结果如下列联表:（Ⅰ）是否有99.5%的把握认为入院者中患肺心病与性别有关？请说明理由； （Ⅱ）已知在患肺心病的10位女性中，有3位患胃病．现在从这10位女性中，随机选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（本小题满分12分）有一个侧面是正三角形的四棱锥P ABCD -如图（1），它的三视图如图（2）． （Ⅰ）证明：AC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求平面PAB 与正三角形侧面所成二面角的余弦值．21、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21，它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点。

（1）求椭圆C 的标准方程。

（2）已知点)0)(,2(),,2(>-t t Q t P 在椭圆C 上，点A 、B 是椭圆C 上不同于P 、Q 的两个动点，且满足：BPQ APQ ∠=∠。

试问：直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由。

22．已知函数()2xf x e ax bx =--．（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数； （2）当b a =时，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()12ln 22x x a +<．江西省红色七校2018届高三第一次联考数学理科答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 DADCB 6-10 BBBAD 11-12 DC二、填空题(每小题5分，共20分)13．192 14．23m=- 15．9 1617．解:(1)在中, , ，所以. ………………………(2分)同理可得, . ……………………………………(3分)所以.………( 5分)(2)在中,由正弦定理得, . .........(7分) 又,所以. (8))又在中,由余弦定理得,.……(10分)18．(Ⅰ)12nna n+=⋅；（5分）(Ⅱ)()()131229nnnS++-+=-.（7分）19. （Ⅰ）因为2250(2015105)25253020K⨯-⨯=⨯⨯⨯，所以2258.3333K=≈，…………………………(2分)又7.7898.333<<10.828，且2(.789).050.5%P K≥==，………………………………(3分)故，我们有99.5%的把握认为入院者中患肺心病是与性别有关系的．………………………(5分)（Ⅱ）ξ的所有可能取值：0，1，2，3 ，37310357(0)12024C P C ξ====，12373106321(1)12040C C P C ξ⋅====，…………………………………（8分）2137310217(2)12040C C P C ξ⋅====，333101(3)120C P C ξ===，……………………………………（10分）分布列如下：则721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………（12分）20. （Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，…………………………(1分)同时，222BC AD CD ===，四边形ABCD 为直角梯形．……………………………………(2分)过点A 作AG BC ⊥于G ，则1AG CD ==,1GC AD ==．∴AC ==,AB ，∴222AC AB BC +=，故A C A B ⊥．……………………………………………………………(4分) ∵PA ⊥平面A B ,AC ⊂平面A B ,∴PA AC ⊥.…………………………………………(5分)∵PA AB A = ，∴AC ⊥平面PAB ．……………………………………………………………(6分)（Ⅱ）由三视图可知，四棱锥P ABCD -的正三角形侧面为面PBC ．………………………(7分)PBC ∆为正三角形，∴2PB BC ==．在Rt PAB ∆中，PA =以A 为原点，,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，有(1,1,0),(1,1,0)P B C -．……………………………………………………(8分)由（Ⅰ）知(1,1,0)AC = 是平面PAB 的一条法向量．……………………………………………(9分)向量(0,2,0),(1,1,BC PC ==，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0,BC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得n的一组解=n ．……(10分)设平面ABP 与正三角形侧面PBC 所成二面角为θ，则c o s AC AC θ⋅==n n……………(12分)21、22．解：（1）当0a >，0b =时，函数()f x 在区间()0,+∞上的零点的个数即方程2x e ax =根的个数．由22xxe e ax a x=⇒=， ………………………………(1分)令()()()()()223222x x xxe x e x e h x h x x x x --'=⇒==， …………………………(2分)则()h x 在()0,2上单调递减，这时()()()2,h x h ∈+∞；()h x 在()2,+∞上单调递增，这时()()()2,h x h ∈+∞．所以()2h 是()y h x =的极小值即最小值，即()224e h =所以函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数，讨论如下：当20,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有0个零点； …………………………(3分)当24e a =时，有1个零点； ………………………(4分)当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，有2个零点． ………………………(5分)（2）由已知()2xf x e ax ax =--，∴()2xf x e ax a '=--，1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）， ∴0a >（若0a ≤时，()0f x '>，即()f x 是R 上的增函数，与已知矛盾）， 且()10f x '=，()20f x '=．∴1120x e ax a --=，2220x e ax a --=……………(6分)两式相减得：12122x x e e a x x -=-， ……………………………(7分)于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x xx x e e e x x +-<-，两边同除以2xe ， 即证12122121x x x x e ex x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，即证()121221210x x x x x x e e ----+>， 令12x x t -=，0t <．即证不等式210t tte e -+>，当0t <时恒成立． ………(9分)设()21t t t te e ϕ=-+，∴()2221122t t t t t t t e t e e e e ϕ⎛⎫'=+⋅⋅-=+- ⎪⎝⎭2212t t t e e ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．………(10分) 设()212t t h t e =--，∴()221111222t t h t e e ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，当0t <，()0h t '<， ()h t 单调递减，所以()()00h t h >=，即2102t t e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，∴()0t ϕ'<， ∴()t ϕ在0t <时是减函数．∴()t ϕ在0t =处取得极小值()00ϕ=． ∴()0t ϕ>，得证．∴()12ln 22x x a +<． ………………………(12分)。