全国2卷吉林省2019年高考数学最新信息卷理20190515033

1（全国2卷）吉林省2019年高考理数最新信息卷注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1i z =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．[2019·哈六中]03x <<是12x -<成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率 为（ ） A ．12 BCD5．[2019·郑州一中]已知函数()2log ,11,11x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（ ） A ．(],2-∞ B ．(](],01,2-∞ C ．[]0,2 D ．(][],01,2-∞ 6．[2019·烟台一模]将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5 8．[2019·哈六中]实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（ ）2A ．2B ．12 C ．10 D ．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n +的最小值为（ ）A ．32 B ．114 C ．83 D ．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y = B．y = C．y x = D．y =12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3，则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ）A ．2019-B ．3010-C ．3025-D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x ⎛- ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,0,0e x x x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =，则向量BA 在AD 上的投影 为______． 16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C = （1）求cos 2C ； （2）若1AC BC -=，求ABC △的周长． 18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． （1）求n 的值；3（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1BC =1B C 的中点为O ，若线段11AC 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． （1）求抛物线C 的方程； （2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．421．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12af x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M A B △的面积．523．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前理科数学答案一、选择题．1．【答案】B 【解析】复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -， 就是复数2i1i z =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ．2．【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定， 故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ．3．【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3， 所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ．4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率12ce a ==，故选A ．5．【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤；当1x <时，()1f x ≤，即为111x ≤-，解得0x ≤，综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦，故选D ． 6．【答案】C 【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后， 可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=， ∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ． 7．【答案】B 【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为 111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．【答案】A 【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数．画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距， 由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2mx y m ==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时max 352m z m =+=，解得2m =，故选A 项．9．【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由7652a a a =+，得6662q a a a q =+，化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去）， 因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a q a q a --=，则216m n q +-=，解得6m n +=， 所以()19119191810106663nm m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ．10．【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AH =AE =， 连接ED，ED =因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠， 在EAD △中，cos EAD ∠=，故选D ． 11．【答案】B 【解析】以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ， ∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=， 由对称性知ABC △的面积212222OBC S S ch ch a ==⨯==△， 即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c =， 则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b --=， 即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-， 即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-， 即2222a c a =-，得223a c =，得c =，b ．则双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，故选B ． 12．【答案】C 【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可，∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍）， ， ∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．二、填空题．13．【答案】80【解析】52x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rrr r r r r r T x x ---+⎛ ⎝==-， 令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80．14．【答案】31e【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3232331e e 2e f -⨯-⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故答案为31e ．15．【答案】【解析】2BC BD =，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+，111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-，221124AD AB AC ABAC =++⋅== 则向量BA 在AD上的投影为BA AD AD ⋅==16．【答案】【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24a g x x '=．由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=， 即2200024ln x ax a x b +=+，①200422a x a x +=，②解②得：0x a =或02x a =-（舍），代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞， ()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-， 当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b'>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<． ∴实数b的最大值是1144e e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 三、解答题．17．【答案】（1）1718-；（2）5 【解析】（1）∵tan C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵3sin 2sin A B =，∴32a b =， ∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =． 由余弦定理可得2222cos13211c a b ab C =+-=-=， 则c =ABC △的周长为5+ 18．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析． 【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +， 其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++，整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =． （2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况； 若2个全是小集团，共有28C 28=种情况， 故全为大集团的概率为21321287=+． （3）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()487415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19．【答案】（1（2【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC ，1BB ，BA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t ，)C ，()10,1,0B ，)1C ，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ，因此()13,1,0B C =-，()3,0,AC t =-，()113,0,A C t =-． 设()1113,0,A P A C t λλλ==-，易求得点P 的坐标为),1,t t λ-，所以13,2OP t t λ⎛⎫=- ⎪⎪⎭． 因为OP ⊥平面1AB C，所以()11132213102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=⨯--=⎪⎭⎫⋅=⨯--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭．解之得23t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB 方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1BC 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ， 在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ． 依题意易得，11RM A B PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面． 因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ON PO RO RMO ONP MO PN ⊥⇒~⇒=△△．①在1B ON △中，1tan30ON B O =⋅︒=，11cos30OB B N ==︒，因此N 为线段11B C 靠近1C 的三等分点． 由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得AB == （2）由（1）方法一可知，312OP ⎛=⎝⎭是平面1AB C 的一个法向量且()13,1,0B C =-，11B A ⎛= ⎝⎭． 设平面11A B C 的法向量为n ，则11100B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩n nn 可以为()． cos ,OP OP OP ⋅〈〉===n n n ． 因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --20．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --． 设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y x y x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-． 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =． 于是点()1,2P ±为满足题意的点． 21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--， 记()()h x f x ='，则()1axh x x='-． 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =． 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10axh x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max 1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭．令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=． 当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>． 所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增． 所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<， 欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-． 令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-． 所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈， 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'， 整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，，()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='， 所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()1F x F >，()0,1x ∈， 故122x x +>．22．【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）3．【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯= 23．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． ()2,2A ⊆-，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++， ()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤， ②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。