(整理)反比例函数与几何综合

一、反比例函数的定义函数ky x=（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．注意：⑴反比例函数ky x=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，知识点睛中考要求反比例函数与几何综合如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小． 这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.一、反比例函数与几何综合【例1】 已知点(1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的 中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.例题精讲【例2】 如图，点A (m ，1m +)，B (3m +，1m -)都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【例3】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【例4】 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【例5】 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F .求AF BE ⋅的值.【例6】 已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为()3-，点B 的坐标为()60-，． （1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值．【例7】 过原点作直线交双曲线ky x=(0k >)于点A 、C ，过A 、C 分别作两坐标轴的平行线，围成矩形 ABCD ，如图所示．⑴知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；⑵若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．【例8】 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数ky x=(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．⑴求B 点的坐标和k 的值；⑵当92S =时，求P 点坐标；⑶写出S 关于m 的函数关系式．【例9】 已知图中的曲线是反比例函数5m y x-=（m 为常数）图象的一支． ⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？⑵若该函数的图象与正比例函数2y x =的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当OAB ∆的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．【例10】 两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论： ①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．【例11】 两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2ky x=的图象于点B ．⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？【例12】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．【例13】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记O E F E C F S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例14】 如图，反比例函数8y x=的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，k 2x:2:1OA OC =．（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标；（2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．【例15】 若一次函数21y x =-和反比例函数2ky x=的图象都经过点（1，1）． （1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A O B P ，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．【例16】 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【例17】 已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． （1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【例18】 如图，已知反比例函数12y x=的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ，．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。

【例19】 反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数图像经过()a b ，，()1a b k ++，两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）求出两函数的交点A 的坐标．在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【例20】 如图，已知反比例函数12k y x=的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，()1122A n B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使AOP∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【例21】如图，如果函数y x=-与4yx=-的图像交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，求BOC∆的面积.【例22】如图，一次函数y kx b=+的图像与反比例函数myx=的图像交于(21)(1)A B n-，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB∆的面积．【例23】正比例函数y kx=(0k>)与反比例函数1yx=的图象相交于A、C两点，过A作AB x⊥轴于B，连结BC，若ABC∆的面积为S，求S．【例24】 将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()10y x x=>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=_____________．【例25】 已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为()3-，，点B 的坐标为()60-，．（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）．当α=30时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值．-------------【例26】 如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x=<′的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC ∆的面积．【例27】【例28】 如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于()()143A B m ，，，两点．（1）求一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．【例29】 如图，已知Rt ABC ∆的顶点A 是一次函数y x m =+与反比例函数my x=的图像在第一象限内的交点，且3AOB S ∆=．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作DE x ⊥轴于E ，那么ODE ∆的面积与AOB∆的面积的大小关系能否确定？（3）请判断AOD ∆为何特殊三角形，并证明你的结论．-------------【例30】 如图所示，设反比例函数1y x=的两支为12C C ，，正三角形PQR 三个顶点位于此反比例函数的图象上．（1）求证：P Q R ，，不能都在反比例函数的同一支上．（2）设()1P -，-1在2C 上，Q R 、在1C 上，求顶点Q R ，的坐标．。