实变3-4

n≥k 0
m( limE n） limm( E n )。 ≥
n →∞ n →∞
证明： En = ∩ ∪ En，由于{ ∪ En：k ∈ N }为递减集列，则 lim
n →∞ k ≥1 n ≥ k n ≥k k ≥1 n ≥ k
∩ ∪ En = lim ∪ En；而当k充分大时（k ≥ k 0），m( ∪ En） m( ∪ En） +∞, ≤ <
k →∞ n ≥ k n≥k n ≥ k0 n →∞ k →∞ n ≥ k k →∞ n ≥ k k ≥k 0
⇒ 由可测集列的上连续性知：m( limEn） m( lim ∪ En ) = m( lim ∪ En ) = = lim m( ∪ En ) = limm( ∪ En ) ≥ limm( Ek ) = limm( En ).
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
9.
设E ⊆ R，则m( E ) > 0, 则存在x0 , x1 ∈ E使得：x1 − x0.为无理数。 证明：显然E不是至多可数集， G = {x − x0. | x ∈ E}, ⇒ 显然， = E > ℵ0 , 故G中至少含一个无理数y，即∃x1 ∈ E , x1 − x0. = y. G
而由习题 2 知： m ( G 1 ∪ G 2 ) + m ( G 1 ∩ G 2 ) = m ( G 1 ) + m ( G 2 )；
∗ 而 m（ A ∪ B ） m ∗ ( A ∩ B ) +
≤ m (G1 ∪ G 2 ) + m (G1 ∩ G 2 ) = m (G1 ) + m (G 2 )
2.R n空间中lebesgue测度的常见性质： 空间中lebesgue测度的常见性质： （定义中10条除外） （定义中10条除外）
（1）单调性：
若A，B均可测，A ⊂ B，则mA ≤ mB.
（2）可减性：
若 A,B可测， A ⊂ B, mA < +∞, A,B可测 可测， 则 m ( B − A) = mB − mA
n →∞ n →∞
= = 证明：m(lim E n） m( ∪ ∩ E n） lim m( ∩ E n）
n →∞ k ≥1 n ≥ k k →∞ n ≥k
= lim m( ∩ E n） lim m( E k） lim m( E n ). ≤ =
k →∞ n ≥k k →∞ n→∞
8
设E n 为可测集（n = 1， L），若存在k 0，使得：m( ∪ E n） +∞, 则 ,2 <
n→ ∞ n→ ∞
m(lim An ) = lim mAn
n →∞ n →∞
mA1 < +∞
则 m ( lim An ) = lim mA n
3.R n空间中lebesgue测度的等价条件： 空间中lebesgue测度的等价条件：
(1) E可测 ⇔ ∀ε > 0, ∃开集G， 使得E ⊂ G且m(G − E ) < ε。
2 设A，B是Rn的子集，A可测，证明等式 的子集， 可测，
m ( A ∪ B) + m ( A ∩ B ) = m ( A) + m ( B)
证明： 证明： 由于A可测，
故∀T ⊂ R ，有m T = m (T ∩ A) + m (T ∩ A )
n c ∗ ∗ ∗
∗
∗
∗
∗
取T = A ∪ B，有m A ∪ B） m ( A) + m ( B ∩ A ) （ =
（3）次可数可( ∪ An ) ≤ ∑ m( An );
n =1 n =1
2）若{A i }为两两不交的可测集列,则 m ( ∪ 1 A i ) = i=
∞
∑
∞
mA
i=1
i
（4）测度的下连续性与上连续性： (a) 若An是递增的可测集列，则 (b) 若An 是递减的可测集列且
1）µ (φ ) = 0; 2)可数可加性，
定义1：设X为空间，ϑ为X中一个σ − 代数，µ：ϑ → [0,+∞], 满足：
称µ为（X , ϑ）上的一个测度，（X , ϑ，µ）为测度空间。 若（X , ϑ，µ）还满足：µ（A) = 0，则∀B ⊆ A，有B ∈ ϑ， 则称µ为完备测度。
定义2：设（X , ϑ，µ）为测度空间，µ（X） +∞, < 则称µ为有限测度。 定义3：设（X , ϑ，µ）为测度空间，µ（X） 1, = 则称µ为概率测度。其中，X为样本空间,ϑ为所有的事件。
证明：m( lim E n） m(lim E n） lim m( E n ) ≤ limm( E n ) ≤ m( limE n） m( lim E n） = ≤ = .
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
⇒ m( lim E n） lim m( E n ) = limm( E n ) = lim m( E n )。 =
例（计数测度）：设X ≠ φ , ϑ = 2 X , 事实上，µ（φ） 0；若{ An }互不相交，且An 有限时（n = 1， L），µ（ ∪ An） ∞ = ∑ µ（An） = 2， = ；
n
二、习题选讲。
m∗ E > 0 ，则对任意小 1 设E是直线上的一有界集， 是直线上的一有界集， ∗ ∗ 的正数c 恒有子集E 于 m E 的正数c，恒有子集E1，使 m E1 = c
n =1 n =1 ∞ ∞
注：
若m( E ) = ∞，则E必为无界集。（否则为有界集，测度闭有限） 反之不对，E必为无界集，m( E )不一定为∞（如有理数集）。 即：有界集，测度必有限；测度有限未必就是有界集。
7
设E n 为可测集（n = 1， L），则 ,2 m(lim E n） lim m( E n ). ≤
证明：由于 有界 有界， 证明：由于E有界，故不妨令 E ⊂ [a, b] 令f(x)=m*(E∩[a,x])，则f(a)=0,f(b)=m*E, ， 则f(x)在[a,b]上（一致）连续（以前已证）； 在 上 一致）连续（以前已证）； 界值定理知 存在ξ 由界值定理知，存在 ∈[a,b] ,使f(ξ)=c, 使 令E1=E ∩[a, ξ]，则E1满足要求. ， 满足要求
第三章 测度论
小结与习题讲解
一、 小结与补充 1.R n空间中lebesgue测度的公理化定义 空间中lebesgue测度的公理化定义
若存在集族µ及集函数m：µ → [0,+∞] 使得：
( P1 )φ ∈ µ； ( P2 )若{E n }为µ中的集族, 则 ∪ E n ∈ µ；
n
( P3 )E ∈ µ , 则E C ∈ µ ; ( P4 )G为开集, 则G ∈ µ。 (Q1 )m(φ ) = 0; (Q2 )正则性：m([0,1]n ) = 1; (Q3 )可数可加性（σ − 可加性） ; (Q4 )完备性：m(E) = 0，则∀E 0 ⊆ E , 有E 0 ∈ µ； (Q5 )平移不变性：E ∈ µ，x0 ∈ R n，则E + {x0 } ∈ µ，且m( E + {x0 }) = m( E ). （Q6 )逼近性质：E ∈ µ，∀ε > 0, 存在开集G，及闭集F使得： F ⊆ E ⊆ G, 且m(G − F ) < ε .
k →∞ n ≥k k →∞ n≥k k →∞ n →∞
注：运用7、8可以证明： 运用 、 可以证明
设En为可测集（n = 1， L）， En 存在，且若存在k 0， ,2 lim
n →∞
使得：m( ∪ En） +∞, 则m( lim En） lim m( En )。 < =
n≥k 0 n →∞ n →∞
6（正可测集与区间的关系） 正可测集与区间的关系）
设E为R n中可测集，且m( E ) > 0,0 < λ < 1, 则存在区间I 使得：
λ | I |< m（I ∩ E )。
证明：若m( E ) = ∞，则E必为无界集，显然任取区间I 就有：λ | I |< m（I ∩ E )， 1 不妨设m( E ) < +∞, 取ε为小于( − 1)m( E )的正数，
∞
证明：令 O = ∩ B n，则 E ⊂ O ， O 为可测集，
n =1
且 m (O − E ) ≤ m ( Bn − E ) → 0( n → ∞ )
* *
从而m (O − E ) = 0
*
说明： 说明：也可通过
令 H = ∪
∞ n =1
故 O − E为可测集，
进一步 E = O − (O − E )
A
n
E = H ∪ (E − H ) 为可测集。 为可测集。 来证明
5 直线上可测集全体A的势为 2 ℵ 直线上可测集全体A 证明： 集为P， 由于Cantor的测度为 ， 的测度为0， 证明：令Cantor集为 ， 由于 集为 的测度为 从而它的子集都可测， 从而它的子集都可测，故 2 P ⊂ A ⊂ 2 R 又P，R的势都为 ℵ ， 的势都为 从而 2 ℵ = 2 P ≤ A ≤ 2 R = 2 ℵ 再由Bernstein定理知 A = 2 ℵ 定理知 再由
∗ ∗
3 设A，B是Rn的子集，证明不等式 的子集，
m ( A ∪ B ) + m ( A ∩ B ) ≤ m ( A) + m ( B )
证明： 证明：作 G δ 型集 G 1，使 A ⊂ G 1 且 mG
1 2
∗
∗
∗
∗
= m ∗A， = m ∗B，
作 G δ 型集 G 2，使 B ⊂ G 2 且 mG
ε
, 存在可测集A，A为覆盖E，且m( A) < c + . 2 2