《二次根式的混合运算》课件

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15.4 二次根式的混合运算

A. a b ab
B． a2 2 a4
C．a 22 a2 4
D. a b a (a≥0，b＞0) b
知1－练
（来自《典中点》）
知1－练
3 【中考·钦州】对于任意的正数m，n，定义运算※为：
m※n＝
m m
n (m≥n)， n (m＜n)，计算(3※2)×(8※12)的结
果为( B )
第十五章二次根式
15.4 二次根式的混合运算
1 课堂讲解 2 课时流程
二次根式的混合运算乘法公式在二次根式中的应用
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
母亲节快到了，为了表示对妈妈的敬意，格格同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为 800 cm2，另一张面积为 450 cm2，她想，如果把壁画的边包上金色彩带应该会更漂亮，她手上现有1.2 m 长的金色彩带，请你帮格格算一算，她的金色彩带够用吗? 如果不够，还需买多长的金色彩带?
(1) 2 8 10 ;
(2) 24 50 2;
解：(1) 2 8 10 16 20 4 2 5.
还可以：
2 8 10 2 2 2 2 5 4 2 5.
（来自《教材》）
(2) 24 50 2
24 2 50 2 12 25 2 3 5. 还可以：
(3)原式
6 3 2
6 2
3
3 1
3 3
6 3 6 3 3 3 3 6 1 6
22
3
3
2 6.
（来自《点拨》）
(4)原式 6 3 2 1
6
3 2
6 6 3 2 3 2 6.
知1－练
（来自《点拨》）
2 【中考·宁夏】下列计算正确的是( D )

16.第2课时二次根式的混合运算课件数学沪科版八年级下册

3
原式=
1
a
a b b
a b
b b a
把a=3，b=2代入代数式中，
2 2 3.
2 2 3.
先代入后化简
先化简后代入
哪种更
简便？
例3
已知 =

−
，b=

，求 a2 b2 2.
+
分析先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即
a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知
条件，再代入即可求得，必要时要先借助乘法公式变形再代入．
练习
已知x＝ − ，y＝ + ，求x3y＋xy3的值．
解：因为x＝ 3 − 2，y＝ 3 + 2，
所以xy＝( 3 − 2)( 3 + 2)＝1，
x＋y＝ 3 − 2 + 3 + 2 = 2 3
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
二次根式的运算律：
(1)实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中
的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．
(2)在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意
合理地运用运算律．
练习计算:
(1)( 3 1)( 3 1);
运算顺序
二次根式的
混合运算
运算原理
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
如果有括号就先算括号里面的
运算律、多项式的乘法法则、乘法公式仍
然适用
化简已知条件和所求代数式

《二次根式的混合运算》PPT课件

(2) (2 5 + 2 )2
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−

÷ ( −
−

)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −

·

− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3

16.3 二次根式混合运算公开课PPT教学课件

三更灯火五更鸡，正是男儿读书时；黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

一：二次根式混合运算
例：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
[4分]
＝[( 10)2－32]2010
[4分]
＝(10－9)2010＝1
9
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
16.3 二次根式的混合运算
1
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm，高为 6 cm ，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
4
例计算： 1- 5 . 1+ 5
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4

二次根式的混合运算

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适
用吗?
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟
整式的乘法公式就是多项式×多项
式
典例精析
例3 计算：（1） ( 5 3)( 5 3) ; (2) ( 3 2)2.
解：（1） ( 5 3)( 5 3) （ 5）2 （ 3）2 53 2.
(2) ( 3 2)2 （ 3）2 2 3 2+22 3 4 3+4 74 3.
(3) 3 2 48 18 4 3 ; (4) a3 a2b a b .
a ab
a b
解：(3) 3 2 48 18 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3
2
5 1 4.
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab
化简已知条件和所求代数式化简求值
分母有理化
解:∵ x 3 2, y 3 2 ， ∴ x y 3 2 3 2 2 3,
xy 3 2 3 2 3 2 1,
∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]
1
2
3 2 2 1 10.
归纳用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的
a 3, b 10 3 . a2 b2 32 ( 10 3)2

《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件 (共25张PPT)

x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母都乘以分母的有理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题

怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式

7 二次根式第3课时二次根式混合运算省优获奖课件

所捂二次三项式的值为____6_____.
三、解答题 9. 计算：
(1) 48÷ 3－
21× 12＋ 24；
解：原式＝4＋ 6
(2)
（ 8＋
2－2 1）2－(
5＋1)(
5－1)；解：原式＝
2－52
10.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上像
5 3
，
2 3＋1
这样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
A)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
2 ，n＝1－
2 ，则代数式
二、填空题
6.
计算：
72－ 8
24·(3＋
3)＝____6_____.
7. 设a＝ 7－1，则代数式a2＋2a－10的值为___－__4____.
8. (深圳二模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂
住了一个二次三项式，形式如下：－3x＝x2－5x＋1，若x＝ 6 ＋1，则
【变式训练】
1. 化简 54× 12＋ 12的结果是( D ) A．5 2 B．6 3 C. 3 D．5 3 2. 计算 8－ 2( 2＋2)的结果是( D ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 D．－2

二次根式ppt课件

通过案例讲解二次根式在实际问题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各种实际问题的数学工具，它表示一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正值性等性质，这些性质在解决实际问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以求解一元二次方程的解，确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进行化简可以简化表达式，提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二次不等式，通过确定不等式的解集，解决实际问题。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次根式的全面理解和运用，例如

八年级上：15.4《二次根式的混合运算》ppt课件[精选]

不雅看各算式的特点 ,说一说你在运算过程中,用到了哪些运算律跟乘法公式.
剖析 :第(1)题可单刀直入应用乘法调配律停顿计划 ;第(2)题用括号内的每2 一项分不除以 ;(3)跟 (4)应用平方差公式单刀直入计划 .
解：(1) 3 ( 6 10)= 3 6 3 10= 18+ 30=3 2+ 30.
计划以下各式.
(1) 1 ；（2）（5+ 3）( 3 3). 2 1
考虑 :(1)中怎样样能把其分母有理化? (2)应采用哪种办法计划 .
解：(1) 1 =
2 1 = 2 1 = 2 1.
2 1 （ 2 1)( 2 1) 2 1
（2）（5+ 3）( 3 3) 5 3 15 ( 3)2 3 3 2 3 12.
）
在停顿二次根式的加减乘除混淆运算时,先应用乘法法那么停顿二次根式的乘法运算,再停顿二次根式的加减运算.
A .24 剖析 :第(1)题可单刀直入应用乘法调配律停顿计划 ;第(2)题用括号内的每一项分不除以 ;(3)跟 (4)应用平方差公式单刀直入计划 .
(1)变更后的图形的长为 + ,宽为 - ,面积为( + )( - );
留心 :在计划过程中,有同类项或被开方数一样的最简二次根式要停顿兼并 .
D . ,因而 A选项精确 ;B.
985/211重点高校
32
大在剖年停析夜顿:能二够老次师应根用式及的解时平运方析一算差对时：公一,式能原跟用式乘完法整=公（平式方的公3要式尽停2管）顿•（应计用划3乘. 法2公）式2,0如15此• ( 能3够+使2)计=划（过3-程4大)20年15夜• (大年3 夜 2简) 化.

人教版八年级下册数学《二次根式的混合运算》二次根式说课教学复习课件

）
随堂练习
3．已知＝ − ，则代数式(＋ ) ＋＋＋的值是（C
．
A．
4．已知＝

－
，＝
．＋

＋
． −
，则＋＋＝_______．

）
随堂练习
5．计算:
（1） (1＋ )(2－ )；
解： (1＋ )(2－ )
问卷调查，统计如下表所示：
颜色
学生人数
黄色绿色白色紫色红色
100
180
220
80
750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是( C )
A. 平均数
C. 众数
B. 中位数
D. 方差
课堂检测
基础巩固题
2.学习了《数据的分析》后，某同学对学习小组内甲、乙、丙、
丁四名同学的数学月考成绩进行了统计，发现他们的平均成绩
这些平均数受这个人的影响，而中位数是210件，众数
是210件，因此我们认为以210件为规定量比较科学.
巩固练习
1.甲、乙两位同学在几次数学测验中，各自的平均分都
是88分，甲的方差为0.61，乙的方差为0.72，则（ A
A、甲的成绩比乙的成绩稳定
B、乙的成绩比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样好
D、甲、乙两人的成绩无法比较
＝( )²＋2× ×1＋1²
＝5－2
＝3＋2 ＋1
＝3．
＝4＋2 ．
典例精析
例3
计算下列各式：

（1）
；
−

解：
−
+
＝
( −)( +)
+

华师大版九上数学课件21.3.2 二次根式的混合运算

2
2
a
2
2 a
1
1 a a
2
运算类似，先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二
次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算
法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．
第二十一章
二次根式
21.3
二次根式的加减
第2课时
二次根式的
混合运算
1
课堂讲解二次根式的混合运算
2
课时流程
逐点导讲练课堂小结作业提升
复
习
提
问
1、二次根式的乘除法则是什么？ 2、什么是同类二次根式？ 3、二次根式加减运算的法则是什么？
知1－讲
知识点
1 二次根式的混合运算
1. 二次根式的混合运算：
(6)既可用完全平方公式又可用平方差公式进行计算．
知1－讲
解：(1) 2 15 3 3 6 2 15 6 3 3 6
2 15 6 3 3 6 6 10 9 2.

(2) 6 3 3 6 2 3 6 3 2 3 3 6 2 3
=2 a 2 a 4.
知1－讲
方法二：
1 1 a a a a
2
2
1 1 a 2 a a a 1 1 a 2 a 2 a a 1 1 a 2 a 2 a a 4.

2
1 1 (6) a a . a a
知1－讲
导引： (1) 可以类比单项式乘多项式的运算法则进行计算；

二次根式的乘除法PPT课件

二次根式的乘除法PPT 课件
contents
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式乘法运算规则 • 二次根式除法运算规则 • 乘除混合运算及简化方法 • 在实际问题中应用举例 • 错题集锦与答疑环节
二次根式基本概念与
01
性质
二次根式定义及表示方法
定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式子叫做二次根式。
解析
首先将二次根式化为最简形式，$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{12} = 2sqrt{3}$。然后进行乘法运算，$2sqrt{2} times 2sqrt{3} = 4sqrt{6}$。
典型例题解析
• 例题2：计算$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$。 • 解析：首先将二次根式化为最简形式，$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。然后
注意挖掘题目中的隐含条件，避免因为忽视条件而导致错误。
学生提问环节，老师答疑解惑
学生提问
老师，我在计算二次根式的乘法时总是出错，有什么方法可以避免吗？
老师回答
首先，你需要熟练掌握二次根式的乘法运算法则，其次在计算过程中要保持细心和耐心，注意每一步的计算准确性。同时，你可以通过多做练习题来提高自己的计算能力和准确性。
进行除法运算，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$。 • 例题3：计算$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。 • 解析：首先观察分子分母的特点，发现可以分母有理化。然后进行化简，
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + 3}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1$。