高中数学奥赛函数性质(奥赛培训)

① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)<g(a)g(-b)
③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④ f(a)-f(-b)<g(b)g(-a)
其中成立的是（ ）
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
g(x) f(x)
由函数的奇偶性可知： f(-a)=-f(a)、f(-b)=-f(b) g(-a)=g(a)、g(-b)=g(b) 而f(a)=g(a)、f(b)=g(b)
x1),
∵x2> x1, ∴x2－ x1 >0. 由已知得 f(x2－ x1)<0, ∴f(x2)<f(x1).故f(x)在R上是减函数. ∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大
值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).
又 ∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1) +f(1)=－6, f(－3)=－f(3)=6.
【思路分析】因为x∈R，由区间的 特殊点，即x=0入手，是解题的出
发点.
【略解】
（1）令x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x), ∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x), ∴f(x)是奇函数.
（2）设x1, x2∈R，且x1 < x2,则 f(x2)=f[x1 +(x2－ x1)]=f(x1)+f(x2－
∴
又∵a ax22-1a<x1 0, a, xa1 >0ax2即a x2 a x1 0, a x1 ax2 0 ∴因f(此x2f)(-xf()x在1)R>上0即为f增(x2函)>数f(x1)
例9、定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。 设a>b>0，给出下列不等式：
（4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0） 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______．
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a) 说明“两个自变量相差a，则函数值互 为相反数”，于是相差2a时，函数值 相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴－1－2 2 <k<－1+2 2 .
故使不等式恒成立的实数k的范围是 （－1－2 2 ，2 2 －1）.
竞赛试题
例11．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的
奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限 个元素，则M（C ）
(A)可能是 Φ
(B)元素的个数是偶数
(C)元素的个数是奇数
(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也 是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
4.函数图象的对称性
一·中心对称：
(1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地， 如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线
f(x,y)=0关于原点对称 （2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的
x恒成立
1 4
log
a
1 2
当0＜a＜1时，由
1 4
log
a
1 2
，得
1 2
1
a4
∴ 1 a1
16
例3、解不等式
4 x log 3 x x 2 5
例4设关于x的一元二次不等式
2x 1 (x2 1)m 对满足
2 m 2 的一切实数m都成立，
求实数x的取值范围.
析解： 令g(m) (x2 1)m 2x 1 为单调函数
故选C
例10设函数f(x), 对任意x, y∈R都有
f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且
f(1)=－2.
（1）证明：f(x)是奇函数；
（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最
小值.
（3）当t>2时，
不等式
f(klog
2
t)
f
(log
2
tபைடு நூலகம்
log
2 2
t
2)
0
恒成立，求实数k的取值范围.
x)
a( x 2 x(a 2
1) 1)
（1）求f(x);
（2）求证f(x)是奇函数；
（3）求证f(x)在R上的增函数；
解：（1）设t=logax(t∈R)则x=at(x>0) 于是 f (t) a(a2t 1) a (at at )
at (a2 1) a2 1
因此
f
(x)
a
a 2
1
(a
x
只需gg((22) )00
2 x 2 2 x 2
2x 2x
3 0 1 0
解得
x( 7 1,1 3) 22
3.函数的周期性 (1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零
常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且 f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x) 的一个周期。
定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常 数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且 f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b 为f(x)的一个周期。 (2)最小正周期:
∴ 等式（3）使f (x)是周期函数， 且a－b是周期．
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表 明自变量相差a－b时，函数值互为相 反数，于是相差2（a－b）时，函数值 相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为 周期函数，且 2（a－b）是周期．
综上所述，应填（1），（3）， （4）．
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b) 和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时， f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周 期。当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数。
例5已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关 系式成立：
（1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）； （2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）； （3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0）
命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的 一个周期。
命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对 称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个 周期。
命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函 数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)
满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝ （a+b)/2对称. 一般地，如果方程f(x,y)=0满足 f(x,y)= f(2a-x,y)， 则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称
函数图象的对称性与函数的周期性有着密切 的内在联系，我们有下面的结论：
命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线 x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周 期函数。
二·轴对称： （1）偶函数的图象关于Y轴对称； 一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则 曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中
的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)
则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 （３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均
选（C）。
2， 函数的单调性
（1） 函数的单调性的定义。
（2） 函数的单调性的判断与证明。
复合函数的单调性
（3） 求函数的单调区间。
例2 如果不等式 x2－ log a x ＜0
在区间( 0，1 ] 上恒成立，那么实数a 2
的取值范围是___________．
数形结合的思想
log
a
1 2
小结:
关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表 示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮 助记忆:(f可念虎, X可念司)
f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差;
f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心.
方程坐标和折半, 符号一定要小心.
双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.
f(a+x)= ±f(b±x)
x同号 周期性
x异号
对称性
f同号 f异号
轴对称 中心对称
高考题例 例7. 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减
函数，则a的取值范围是（ B） (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D) [2,+∞)
2-ax>0恒成立
例8、设 0<a<1，
f
(log a
1 4
0 a 1
【讲解】 设y＝x2 ①
y＝loga x 当a＞1时，函数②在
②
(0
，1
]上取负值，
2
因此 不可能有x2＜ loga x成立．
在( 0，1 ]上函数①的最大值是 1 ，
2
4
在( 0，1 ]上，当0＜a＜1时，②的最小
2
值是
log a
1 2
，
在
(
0
，
1 2
]上，x2＜log
a
充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)