如何求原函数2
复合函数求原函数公式
复合函数求原函数公式复合函数是高等数学中的一个重要概念，它在微积分、微分方程等领域中都有着广泛的应用。
求原函数是微积分的基本问题之一，而复合函数求原函数则是其中的一个重要分支。
本文将介绍复合函数求原函数的公式及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数h(x)可以表示为：h(x) = f(g(x))其中，g(x)称为内函数，f(x)称为外函数。
复合函数的定义域是内函数的定义域，值域是外函数的值域。
例如，若有f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，则它们的复合函数为h(x) = f(g(x)) = (2x+1)^2。
复合函数有以下性质：1. 复合函数的可结合性：设有三个函数f(x)、g(x)和h(x)，则(f g) h = f (g h)。
2. 复合函数的可逆性：若f(x)和g(x)都是可逆函数，则它们的复合函数h(x) = f(g(x))也是可逆函数，其逆函数为(g^-1 f^-1)(x)。
3. 复合函数的导数公式：设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数h(x) = f(g(x))的导数为：h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(x)和g'(x)分别为f(x)和g(x)的导数。
此公式也被称为链式法则。
二、复合函数求原函数的公式求原函数是微积分中的一个基本问题，而复合函数求原函数则是其中的一个重要分支。
对于给定的复合函数h(x) = f(g(x))，我们需要求出它的原函数F(x)。
根据微积分的基本公式，我们有：F(x) = ∫ h(x) dx要求出F(x)，我们需要将h(x)表示为基本函数的复合形式，并借助基本积分公式求解。
1. 外函数为幂函数若外函数f(x)为幂函数，则可以将复合函数h(x)表示为：h(x) = f(g(x)) = (g(x))^n其中，n为正整数。
求原函数的方法
求原函数的方法在微积分学习中，求原函数是一个非常重要的问题。
原函数，也称为不定积分，是导数的逆运算。
在实际问题中，我们经常需要求解原函数，以便得到函数的定积分或者解决微分方程等问题。
那么，如何求原函数呢？接下来，我们将介绍几种常见的方法。
1.直接求导反推法。
这是最常见的方法之一。
我们知道，如果函数f(x)的导数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
因此，我们可以通过求导的逆运算来求解原函数。
具体而言，我们可以通过观察导数的形式，反推出原函数的形式。
例如，如果我们知道f'(x)=2x，那么我们可以得出f(x)=x^2+C，其中C为常数。
这种方法适用于一些简单的函数，但对于复杂的函数来说，往往不太容易直接观察出原函数的形式。
2.换元法。
换元法是求解不定积分的常见方法之一。
它的基本思想是通过变量代换来简化积分的形式。
具体来说，我们可以通过选择合适的代换变量，将原函数转化为一个更容易求解的形式。
例如，对于形如∫f(ax+b)dx的积分，我们可以通过令u=ax+b来进行变量代换，从而得到∫f(u)du的形式。
这样一来，原函数的求解就变得更加简单了。
当然，换元法的关键在于选择合适的代换变量，这需要一定的技巧和经验。
3.分部积分法。
分部积分法是求解定积分的常见方法之一，但它同样适用于求解不定积分。
分部积分法的基本思想是将原函数中的一个因子求导，另一个因子求积，通过不断重复这个过程，最终得到原函数的解。
具体来说，如果我们要求解∫udv的形式的积分，可以通过选择u和dv来进行分部积分，从而得到原函数的解。
分部积分法在一些特定的函数形式下非常有效，能够大大简化原函数的求解过程。
4.特殊函数的积分。
在实际问题中，我们经常会遇到一些特殊的函数形式，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
对于这些特殊函数，通常有一些常用的积分公式，我们可以通过这些公式来求解原函数。
例如，对于sin(x)和cos(x)这样的三角函数，我们可以直接利用它们的积分公式来求解原函数。
不定积分原函数
高数4.1 原函数（不定积分）我们接下来来看积分的部分。
首先是原函数的定义。
所谓的原函数，就是如果一个函数F(x)的导数F’(x)=f(x)，我们就把F(x)称为f(x)的原函数（antiderivative）。
我们把原来的常见初等函数的导数反写，就能得到对应的原函数，主要有以下这些：首先是幂函数和指数函数：然后是三角函数：对于对数函数和反三角函数，我们一般不去找他们的原函数。
这里面有几点值得说的•我们看到所有的原函数都带一个+c，这里的c是一个常数。
这是因为，F(x)和F(x)+c的导数是一样的，因为(F(x)+c)’= F’(x)+c’= F’(x)。
所以如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)+c也是f(x)的原函数，所以每个函数的原函数都不是有一个，而是有无数个，他们互相之间相差一个常数。
••1/x的原函数相对有点儿奇怪，我们知道lnx’=1/x，但这只是在x>0的情况下。
而在x<0的情况下得到的是ln(-x)’=-1/(-x)，也是1/x。
因此准确的说，应该是(ln|x|)’=1/x，所以1/x的原函数应该是ln|x|+c•求原函数是整个微积分里面最难的点之一，理论上可以无限难。
而且有很多函数根本就没有原函数，比如你找不到一个函数，它的导数是lnx。
求原函数的主要方法主要有换元、分步积分等。
这里并不是我们的重点（虽然考试的时候还蛮重要的），我们只是建立一个直观上的概念。
换元法，是将某一个部分替换为一个整体，例如：分步积分法利用的是函数乘积导数的结论两端积分求原函数，有：举个例子：。
求函数原函数的方法
求函数原函数的方法
函数原函数（也称为不定积分）的求解有多种方法，具体选择哪种方法取决于函数的形式和性质。
以下是一些常用的方法：
1. 基本积分公式：利用基本积分公式，例如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等的不定积分公式，将给定函数转化为基本函数的积分。
2. 分部积分法：对于两个函数的乘积的积分，可以使用分部积分法，将乘积积分转化为两项分别的积分。
3. 逆链规则（反函数法）：有时候可以通过找出原函数的导数形式，然后根据逆链规则（反函数的导数为原函数的导函数的倒数），找出原函数。
4. 替换变量法：当被积函数中存在特殊形式时，可以通过替换变量的方法将原函数化简，常见的有三角函数、指数函数等。
5. 凑微分法：对于具有特殊形式的函数，可以凑微分将积分转化为常见函数的积分形式。
6. 级数展开法：对于特定的函数形式，可以使用级数展开的方法将函数展开为幂级数，然后积分求和。
需要注意的是，由于不定积分的结果存在任意常数，因此在求解不定积分时需要加上常数项。
n元函数怎么求原函数
n元函数怎么求原函数一、概述在微积分学中，求解一个函数的原函数是非常重要的。
对于一元函数而言，我们可以通过积分来求解其原函数。
但是对于n元函数而言，如何求解其原函数呢？本文将详细介绍n元函数如何求解原函数。
二、n元函数的定义在多元微积分中，我们将自变量从一元扩展到了n元。
因此，我们需要重新定义一个n元函数。
对于一个n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn均为自变量，f(x1, x2, ..., xn)为因变量。
其中，x1, x2, ..., xn所在的集合称为定义域。
三、偏导数在多元微积分中，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数指的是当一个多元函数中只有一个自变量发生微小变化时，其他自变量保持不变所导致的因变量的变化率。
它可以表示为∂f/∂xi或f(xi,x2,...xn)对xi求偏导数。
四、求解n元函数的原理对于n元函数而言，我们需要使用多重积分来求解其原函数。
具体来说，如果f(x1,x2,...xn)是一个连续可微的实值多元函数，则其原函数F(x1,x2,...xn)可以表示为：F(x1,x2,...xn) = ∫∫...∫f(u1,u2,...un)du1du2...dun其中，积分区域为：x1∫u1, x2∫u2, ..., xn∫un五、求解n元函数的步骤求解n元函数的原函数需要经过以下几个步骤：1. 求出偏导数首先，我们需要求出n元函数f(x1,x2,...xn)的所有偏导数。
这一步骤是非常重要的，因为它将帮助我们确定积分的顺序。
2. 确定积分顺序在确定积分顺序时，我们需要根据偏导数来决定。
具体来说，我们需要先对最后一个自变量进行积分，然后再对倒数第二个自变量进行积分，以此类推。
3. 确定积分区间在确定积分区间时，我们需要根据题目所给出的条件来决定。
通常情况下，我们可以将每个自变量的取值范围都表示为一个区间，并将这些区间组合起来形成一个多维区域。
4. 进行多重积分在确定了积分顺序和积分区间之后，我们就可以开始进行多重积分了。
不定积分运算法则乘法
不定积分运算法则乘法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数原函数的过程。
不定积分运算法则乘法是求不定积分时常用的一种方法，它可以将一个复杂的函数分解为两个简单的函数相乘的形式，进而求出原函数。
本文将详细介绍不定积分运算法则乘法的基本概念、原理和应用。
一、不定积分运算法则乘法的基本概念不定积分运算法则乘法是一种将复杂的函数分解为两个简单的函数相乘的形式，进而求出原函数的方法。
它的基本思想是将被积函数表示为两个函数的积，然后利用乘积的求导法则求出原函数。
不定积分运算法则乘法的公式如下：∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫F(x)g'(x)dx其中，f(x)和g(x)是两个函数，F(x)是f(x)的一个原函数，g'(x)是g(x)的导数。
该公式表明，被积函数f(x)g(x)可以分解为两个函数F(x)和g(x)的积，其中F(x)的导数是f(x)，g(x)的导数是g'(x)。
利用该公式，可以将原函数的求解转化为求解F(x)g'(x)的不定积分。
二、不定积分运算法则乘法的原理不定积分运算法则乘法的原理是利用乘积的求导法则求出原函数。
乘积的求导法则是：(uv)' = u'v + uv'其中，u和v是两个函数，u'和v'是它们的导数。
将u'和v'分别代入上述公式，得到：uv' = (uv)' - u'v将上式中的u'和v'分别替换为f(x)和g(x)的导数，得到不定积分运算法则乘法的公式：∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫F(x)g'(x)dx该公式表明，被积函数f(x)g(x)可以分解为两个函数F(x)和g(x)的积，其中F(x)的导数是f(x)，g(x)的导数是g'(x)。
利用该公式，可以将原函数的求解转化为求解F(x)g'(x)的不定积分。
2sin^2原函数
2sin^2原函数摘要：一、原函数的定义与性质1.原函数的定义2.原函数的性质二、2sin^2 原函数的求解过程1.求解步骤2.结果三、2sin^2 原函数在实际问题中的应用1.实际问题背景2.应用过程3.结果与意义正文：一、原函数的定义与性质在微积分中，原函数是指对于一个可积函数，求解其不定积分的过程。
原函数具有以下性质：1.线性性质：对于任意常数k，有f(x) + k = F(x) + k，其中f(x) 和F(x) 分别为可积函数和它的原函数，k 为常数。
2.常数性质：对于任意常数c，有f(x) = F(x) + c，其中f(x) 和F(x) 分别为可积函数和它的原函数，c 为常数。
3.逆函数性质：若F(x) 是f(x) 的原函数，那么f(x) 是F(x) 的逆函数。
二、2sin^2 原函数的求解过程1.求解步骤首先，我们需要找到一个可积函数，使得它的原函数等于2sin^2x。
考虑使用三角函数的性质，我们知道sin^2x = (1 - cos^2x)，那么2sin^2x =2(1 - cos^2x)。
接下来，我们需要对2(1 - cos^2x) 进行积分。
使用分部积分法，令u = 1 - cos^2x，dv = 2dx，那么du = -2cos^2x dx，v = x。
则有：∫2(1 - cos^2x)dx = ∫2udu = -2∫cos^2x du = -2∫(1 - sin^2x) du = -2(x + 1) + 2∫sin^2x du接下来，我们需要求解∫sin^2x du。
2.结果经过计算，我们得到：∫2sin^2x dx = -2x - 2 + 2∫sin^2x du = -2x - 2 + 2(1/3 - 1/3) = -2x - 2 + 2/3 = -2x + 2/3所以，2sin^2x 的原函数为-2x + 2/3。
三、2sin^2 原函数在实际问题中的应用假设我们有一个实际问题，需要求解一个物体在弹性绳的拉力作用下，沿着x 轴运动的位移与时间之间的关系。
取整函数的原函数 -回复
取整函数的原函数-回复取整函数，也被称作floor 函数，是常见的一种数学函数，它可以将输入的实数向下取整为一个整数。
取整函数的主要应用是在计算机程序中，通常用于表示内存大小、数据类型转换等。
然而，在使用取整函数的同时，我们也常常需要反向计算一个原函数。
也就是说，如果我们已知一个取整函数，我们希望能够求出一个与之对应的原函数，可以将整数映射回实数。
这个问题一般被称为“取整函数的原函数”。
本文将介绍如何求取整函数的原函数，包括初步的定义、相关概念、具体示例和实用技巧等内容。
我们将从以下几个方面进行探讨：1. 取整函数和floor 函数的定义及性质；2. 取整函数的简单应用示例；3. 求取整函数的原函数的解题思路；4. 实用技巧和注意事项等。
一、取整函数和floor 函数的定义及性质取整函数，即floor 函数，是一种常见的数学函数，它可以将输入的实数向下取整为一个整数。
形式上，floor 函数可以定义为：\lfloor x \rfloor = n\ ,\ \text{where}\ n \in \mathbb{Z}\ \text{and}\ n \leqslant x < n+1其中，\lfloor x \rfloor 表示将x 向下取整得到的结果，以n 表示。
简单来说，取整函数的作用就是去掉实数x 的小数部分，得到不大于x 的最大整数。
有一些关于取整函数的性质是我们需要掌握的，例如：1. 取整函数的值域为整数集合\mathbb{Z}，即\lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}；2. 当x 为整数时，\lfloor x \rfloor = x；3. 取整函数有舍去小数的效果，即若x 为正数，小数部分不为零，则有\lfloor x \rfloor < x；若x 为负数，则有\lfloor x \rfloor > x。
二、取整函数的简单应用示例在很多实际问题中，我们需要对实数进行向下取整的操作，此时就需要使用到取整函数。
原函数和导函数的转换常用公式
原函数和导函数的转换常用公式在微积分中，我们经常需要求一个函数的导函数，或者根据已知的导函数求原函数。
这种转换是十分重要的，因为它们可以帮助我们在计算复杂的函数时简化问题，同时也有助于解决最优化问题、物理问题等。
下面是一些常见的原函数和导函数之间转换的公式。
1.常数法则：如果f(x)=k，其中k是常数，那么它的导函数是f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示函数的值不会因x的变化而改变。
2.幂法则：a) 若 f(x) = x^n，其中 n 是任何实数，那么它的导函数是 f'(x) = nx^(n-1)。
这可以通过幂函数的定义和导数的定义来推导。
b) 若 f(x) = a^x，其中 a 是常数，那么它的导函数是 f'(x) = (ln a) * a^x。
这是由对数函数和指数函数之间的相关性推导出来的。
3.指数法则：若f(x)=e^g(x)，其中g(x)是一个可导函数，那么它的导函数是f'(x)=(g'(x))*e^g(x)。
这可以通过链式法则来推导。
4.对数法则：a) 若 f(x) = ln(x)，那么它的导函数是 f'(x) = 1/x。
这是对数函数的导数定义。
b) 若 f(x) = log_a(x)，其中 a 是常数，那么它的导函数是 f'(x) = 1/(xln a)。
这是对数函数的导数定义和换底公式的结合。
5.三角函数法则：a) 若 f(x) = sin(x)，那么它的导函数是 f'(x) = cos(x)。
这是三角函数的导数定义。
b) 若 f(x) = cos(x)，那么它的导函数是 f'(x) = -sin(x)。
这也是三角函数的导数定义。
c) 若 f(x) = tan(x)，那么它的导函数是 f'(x) = sec^2(x)。
这是由三角函数的定义和相关性质推导出来的。
6.反函数法则：若y=f(x)和x=f^(-1)(y)是反函数，那么它们的导函数之间满足f'(x)=1/f'^(-1)(y)。
分段连续函数原函数
分段连续函数原函数原函数是指给定一个分段连续函数的表达式，并求出其对应的原函数表达式。
下面我们分别介绍几种常见的分段连续函数，并求出它们的原函数。
一、多项式函数原函数求解：考虑一个多项式函数f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... +a_1x + a_0。
我们按照多项式函数的幂递减次序，依次求出每一项的原函数1.对于常数项a_0，它的原函数为a_0x；2.对于一次项a_1x，它的原函数为(a_1/2)x^2+c；3.对于二次项a_2x^2，它的原函数为(a_2/3)x^3+c；4.对于三次项a_3x^3，它的原函数为(a_3/4)x^4+c；……5. 对于n次项a_nx^n，它的原函数为(a_n/ (n+1))x^{n+1} + c；其中c为任意常数。
二、绝对值函数原函数求解：绝对值函数是一个分段函数，定义为：f(x)=，x，=x(x>=0),-x(x<0)。
要求解绝对值函数的原函数，在x为0的点有一个分段的变化，所以按照0为中点进行分段求解。
1.对于非负区间[0,+∞)，绝对值函数的原函数为f(x)=x^2/2+c1，其中c1为任意常数；2.对于负区间(-∞,0)，绝对值函数的原函数为f(x)=-x^2/2+c2，其中c2为任意常数。
三、分段线性函数原函数求解：分段线性函数是一个由线段构成的函数，每个线段由一对点的坐标决定。
定义一个分段线性函数f(x)=a_1x+b_1(x∈(x1,x2)),a_2x+b_2(x∈(x2,x3)),……a_nx + b_n (x ∈ (x_{n-1}, x_n))。
要求解分段线性函数的原函数，需要对每个线段进行积分求解1. 设一个线段的起点为(x1, y1)，终点为(x2, y2)，斜率为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
则线段函数为f(x) = kx + b其中b = y1 - kx1为截距。
对线段函数f(x)进行积分，得到原函数F(x) = (k/2)x^2 + bx + c，其中c为任意常数。
原函数的求法
t?
?? ? ?
? 2
,
? 2
?? ?
?
1 x2 ?
dx a2
?
1
?a sec t
?a sec2
tdt
? ?sec tdt ? ln(sec t ? tan t) ? C
?
? ln???
x a
?
x2 ? a
a2
? ??? ?
C.
第五章 “积零为整”的数学方法
返回
x2 ? a2
x
t a
上一张 下一张 退 出
? F[ ? (x)] ? C .
u?? ( x)
例
求
ln x
?x
dx.
答案 1 ?ln x?2 ? C .
2
第五章 “积零为整”的数学方法
返 回 上一张 下一张 退 出
2019年11月16日星期六
例 求 ?tan xdx.
? 例
求
dx . x2 ? a 2
? 例 求 sin 4 xdx.
微积分
2
2019年11月16日星期六
微积分
7
? 例 求
1 dx (a ? 0).
x2 ? a2
解 令x ? a sec t dx ? a sec t tan tdt
?
1 x2 ? a2 dx ?
a
?
sec t ?tan a tan t
tdt
t?
??0, ?
? 2
?? ?
? ?sec tdt ? ln(sec t ? tan t) ? C
答案 2( x ? 1)e x ? C 。
Ⅵ当积分中含自然数n时，可先求递推公式，再依次代入。
已知直线的导函数求原函数
已知直线的导函数求原函数在微积分学中，求导是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们计算函数在某一点的斜率，从而帮助我们更好地理解函数的性质。
但是，有时候我们需要反过来，也就是已知函数的导函数，求出原函数。
这个过程被称为求原函数。
在本文中，我们将讨论如何通过已知直线的导函数来求出原函数。
首先，我们需要了解什么是导数和导函数。
导数是一个函数在某一点的斜率，也就是函数在该点的变化率。
导函数是一个函数的导数，它描述了函数在每个点的变化率。
如果我们知道一个函数的导函数，我们就可以通过积分来求出原函数。
现在，假设我们已知一条直线的导函数为f(x)，我们需要求出这条直线的原函数。
我们可以使用积分来解决这个问题。
具体来说，我们可以使用不定积分来求出原函数。
不定积分是一种反导数运算，它可以帮助我们求出一个函数的原函数。
在这种情况下，我们需要将导函数f(x)积分，得到原函数F(x)。
具体来说，我们可以使用下面的公式：F(x) = ∫f(x)dx这个公式告诉我们，如果我们知道一个函数的导函数，我们就可以通过积分来求出原函数。
在这个例子中，我们需要将直线的导函数f(x)积分，得到直线的原函数F(x)。
现在，让我们来看一个具体的例子。
假设我们已知一条直线的导函数为f(x) = 2x + 3，我们需要求出这条直线的原函数。
我们可以使用不定积分来解决这个问题。
具体来说，我们可以使用下面的公式：F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2x + 3)dx我们可以将这个积分分解成两个部分：F(x) = ∫2xdx + ∫3dx现在，我们可以使用积分的基本公式来求解这个积分：F(x) = x^2 + 3x + C其中，C是一个常数，它表示积分的任意常数。
这个常数可以通过给定的初始条件来确定。
已知直线的导函数求原函数是一个非常重要的问题。
通过使用不定积分，我们可以将导函数积分，得到原函数。
这个过程可以帮助我们更好地理解函数的性质，并且在实际应用中非常有用。
e^t^2原函数
e^t^2原函数
在微积分中，e^t^2 是一个非常重要的函数，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
但是，它的原函数并不是一个简单的表达式，需要通过一些特殊的技巧才能求出它的原函数。
首先，我们可以将 e^t^2 写成幂级数的形式：e^t^2 = 1 + t^2 + (t^2)^2/2! + (t^2)^3/3! + …，然后利用幂级数求导和求和的公式，推导出 e^t^2 的原函数。
具体来说，我们可以对幂级数逐项积分，得到：
∫(e^t^2) dt = ∫(1 + t^2 + (t^2)^2/2! + (t^2)^3/3! + …) dt
= t + t^3/3 + t^5/(3*5) + t^7/(3*5*7) + …
这个级数可以通过换元法和递推公式进行求和，最终得到：
∫(e^t^2) dt = (π/2)^(1/2) * erf(t)
其中 erf(t) 是误差函数，定义为：
erf(t) = (2/π)^(1/2) * ∫(0 to t) e^(-x^2) dx 这个结果虽然看起来比较复杂，但是它的应用非常广泛，特别是在概率论和统计学中。
因此，对 e^t^2 的原函数的求解是非常有意义的。
- 1 -。
求原函数的万能公式
求原函数的万能公式求原函数的万能公式：1、公式法例如∫x^ndx=x^（n+1）/（n+1）+C∫dx/x=lnx+C∫cosxdx=sinx等不定积分公式都应牢记，对于基本函数可直接求出原函数。
2、换元法对于∫f[g（x）]dx可令t=g（x），得到x=w（t），计算∫f[g （x）]dx等价于计算∫f（t）w'（t）dt。
例如计算∫e^（-2x）dx 时令t=-2x，则x=-1/2t，dx=-1/2dt，代入后得：-1/2∫e^tdt=-1/2e^t=-1/2e^（-2x）。
3、分步法对于∫u'（x）v（x）dx的计算有公式：∫u'vdx=uv-∫uv'dx （u，v为u（x），v（x）的简写）例如计算∫xlnxdx，易知x=（x^2/2）'则：∫xlnxdx=x^2lnx/2-1/2∫xdx=x^2lnx/2-x^2/4=1/4（2x^2lnx-x^2）通过对1/4（2x^2lnx-x^2）求导即可得到xlnx。
4、综合法综合法要求对换元与分步灵活运用，如计算∫e^（-x）xdx。
原函数的几何意义和物理意义：设f（x）在[a，b]上连续，则由曲线y=f（x），x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数（指代数和——x轴上方取正号，下方取负号）是f（x）的一个原函数。
若x为时间变量，f （x）为直线运动的物体的速度函数，则f（x）的原函数就是路程函数。
原函数性质：1、若函数f（x）在某区间上连续，则f（x）在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。
2、函数族F（x）+C（C为任一个常数）中的任一个函数一定是f（x）的原函数，3、故若函数f（x）有原函数，那么其原函数为无穷多个。
对数函数的原函数
对数函数的原函数对数函数是数学中经常使用的一种函数，其原函数的求解也是数学学习中必须掌握的知识点之一。
本文将为大家介绍对数函数的原函数的概念、基本性质以及求解方法等方面的内容，希望对大家的学习有所帮助。
一、对数函数的原函数的概念对数函数是指函数y=logb(x)(b>0且不等于1，x>0)。
其原函数就是指求解这个函数的导数为对数函数的函数y=F(x)。
根据导数的定义可知，如果求出对数函数的原函数，则此函数在x处的导数就等于对数函数在x处的值。
也就是说，对数函数的原函数就是求解一个函数y=F(x)，满足在任何一个正实数x处，这个函数的导数都等于logb(x)。
二、对数函数的原函数的基本性质1. 对数函数的原函数是唯一的。
由于对数函数的导数是单调递增的，因此只有一个函数y=F(x)可以使其导数等于对数函数。
因此，对数函数的原函数是唯一的。
2. 对数函数的原函数具有取对数的性质。
对于任意的正实数x和y，有F(xy)=F(x)+F(y)。
这是因为对数函数的性质决定了logb(xy)=logb(x)+logb(y)。
3. 对数函数的原函数在x=1处的函数值为0。
对数函数在x=1处的函数值为0，因此对数函数的原函数在x=1处的导数也应该为0。
因此，对数函数的原函数在x=1处的函数值为0.三、对数函数的原函数的求解方法求解对数函数的原函数需要使用到微积分中的积分技巧。
一般将对数函数的原函数写成以下形式：F(x)=∫logb(t)dt则F(x)的导数就是logb(x)。
现在需要求解∫logb(t)dt的值。
根据定积分的定义，将积分区间[a, x]进行一个无穷小的变化Δx，可以得到以下公式：F(x+Δx)-F(x)=∫x+Δx xlogb(t)dt将logb(t)进行泰勒展开，可得到：logb(t)=logb(x)+(t-x)logb'(x)-(t-x)^2/2!logb''(x)+...将其代入上式，可得到：F(x+Δx)-F(x)=Δxlogb(x)+1/2(Δx)^2logb'(x)+O((Δx)^3)令Δx→0，可得到：F'(x)=logb(x)因此，∫logb(t)dt=xlogb(x)-x+C。
2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解
2018考研数学：由偏导数求原函数的方法详解高等数学的研究对象是函数，而函数可分为一元函数和多元函数。
在考研数学中，多元函数的偏导数是一个基本考点，每年都会考，考试大纲要求考生理解多元函数偏导数的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数。
大家知道，在一元函数中，如果已知某函数的导数，而要求原函数，只要对其导数求不定积分即可，那么在多元函数中，如果已知某函数的偏导数，而要求其原函数，我们应该如何计算呢?下面本文就这个问题做些分析总结，供各位同学参考。
一、由偏导数求原函数的方法由多元函数的偏导数求原函数，主要有以下两种方法：1.如果已知多元函数的某个一阶或二阶偏导数的简单方程，则可以通过直接求不定积分来求出原函数;从上面的分析和例题来看，若已知多元函数的偏导数，如果要求其原函数的话，可以通过求不定积分来求原函数，这是针对比较简单的情况，如果是复杂一些的情况，则可能需要将其转化为常微分方程来进行求解，这就要求同学们掌握微分方程的求解方法，并能综合灵活运用，这也是学好并考好数学的要求。
When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
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∫ ∫ 例 1
1
dx
u=3+2 x
====
1
1du = 1 ln | u | +C = 1 ln | 3 + 2x | +C .
3 + 2x 2 du=2dx u
2
2
∫ ∫ 例 2
2
xe
x
2
dx
u=x2
====
eudu = eu + C = ex2 + C .
du=2 xdx
3
∫ ∫ 例 3
x
1−
x2 dx
u=1− x2
====
−
1
2 du=−2 xdx
udu = − 1 u 2 + C = − 1
23
3
2
例4
∫
tan
xdx
=
∫
sin x dx cos x
=
∫
d cos x cos x
=
ln
|
cos
x
|
+C
.
(1− x2 )3 + C .
∫ ∫ 例 5
a2
1 +
x2
dx
=
1 a
1 d ( x ) = 1 arctan x + C .
ln a
三、不定积分的性质
1、 ∫[ f (x) ± g(x)]dx =∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .
( ) 证明：
d dx
∫
f (x)dx ± ∫ g(x)dx
=
d dx
∫
f
( x)dx
±
d dx
∫
g
( x)dx
= f (x) ± g(x) ,
∴ ∫[ f (x) ± g(x)]dx =∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .
∫ 例 2 求
1 1+ x2
dx.
解:
(arctan
x)′
=
1 1+ x2
,
∴
∫
1 1+ x2
dx
=
arctan
x
+
C.
例 3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标
的两倍，求此曲线方程.
解:设曲线为 y = f (x), 根据题意知 dy = 2x, dx
( ) ∫ x2 ′ = 2x, ∴ 2xdx = x2 + C, 于是 f (x) = x2 + C,
x
−x
x
∴
∫
dx x
=
ln
|
x
|
+C.
∫ (4)
1 1+ x2
dx
=
arctan
x
+
C;
∫ (5)
1 dx = arcsin x + C;
1− x2
(6) ∫ cos xdx = sin x + C;
(7) ∫ sin xdx = − cos x + C;
∫ ∫ (8)
dx cos2
x
=
sec2 xdx = tan x + C;
(2)
d dx
∫
f
(x)dx =
f (x) .
(3) ∫ df (x) = f (x) + C .
(4) d ∫ f (x)dx = f (x)dx .
可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、基本积分表 1、问题提出
∫ 例：
x µ
µ +1
+1
′
=
xµ
(µ
≠
−1)
⇒
xµdx = xµ+1 + C. µ +1
∴ ∫ 2 cos 2xdx = sin 2x + C . ∫ 解法：令 u = 2x , 由于 cos udu = sin u + C ,
而 du = 2dx , cos u = cos 2x ,
∴ ∫ 2 cos 2xdx = sin 2x + C .
2、第一类换元法
定理：设 f (u) 具有原函数， u = ϕ (x) 可导，则有换元公式
∴∃C ∈ R, s.t. F (x) − G(x) = C .
(4) 设 F(x) 为 f (x) 在 I 上的原函数,则 f (x) 在 I 上全体原函数为 F(x) + C,C ∈ R .
3、不定积分：函数 f (x) 在 I 上的全体原函数称为 f (x) 在 I 上的不定积分,
∫ 记作 f (x)dx .其中： ∫ (1) 称为积分号； (2) f (x) 称为被积函数；
=
1 2
∫
(cos
x
+
cos 5x)dx
=
1 2
sin
x
+
1 10
sin
5x
+
C
.
注意到： cosα cos β = 1 [cos(α + β ) + cos(α − β )] . 2
二、第二类换元法 1、问题提出
∫ 问题：如何求 1− x2 dx ？
解法：如果令 x = sin t , t ∈[− π , π ] ,那么 22
∫= (sin2 x − 2sin4 x + sin6 x)d sin x = 1 sin3 x − 2 sin5 x + 1 sin7 x + C .
3
5
7
例 12
∫
cos2
xdx
=
∫
1+
cos 2
2xdx
=
1 2
x
+
1 4
sin
2x
+
C
.
∫ 例 13 cos4 xdx = 3 x − 1 sin 2x + 1 sin 4x + C .
∫ ∫ ∫ 例 7
2x exdx =
(2e) x dx
=
(2e) x ln(2e)
+
C
=
2x ex 1+ ln 2
+
C
.
a
x dx
=
ax ln a
+
C
∫ ∫ ∫ 例 8
1+ x + x2 x(1+ x2 )
dx
=
x + (1+ x2 x(1+ x2 )
)dx
=
1
1 +x
2
+
1 x
∫
∫ 1− x2 dx = cos2 tdt = 1 t + 1 sin 2t + C
24
= 1 t + 1 sin t cos t + C = 1 arcsin x + 1 x 1− x2 + C .
22
2
2
2、第二类换元法
(1) 定理：设 x =ψ (t) 是单调的、可导的函数，并且ψ ′(t) ≠ 0 ， 又设 f [ψ (t)]ψ ′(t) 具有原函数，则有换元公式
∫ ∫ f (x)dx =[ f [ψ (t)]ψ ′(t)dt] t=ψ (x) .
其中ψ (x) 是 x =ψ (t) 的反函数.
证明：
d dx
[∫
f
[ψ (t)]ψ ′(t)dt] =
d dt
[∫
f
[ψ
(t)]ψ ′(t)dt] ⋅
2、 ∫ kf (x)dx =k ∫ f (x)dx .（ k 是常数, k ≠ 0 ）.
( ) 证明：
d dx
k∫
f (x)dx
=k
d dx
∫
f (x)dx = kf (x) ,
∴ ∫ kf (x)dx =k ∫ f (x)dx .
∫ ∫ 例 4
x2
xdx =
5
x 2dx
=
5 +1
x 5
2
+
1
+
(2)若 F(x) 为 f (x) 在 I 上的原函数，则 F (x) + C 都是 f (x) 的原函数, 其中 C 为任意常数.
(3)若 F (x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数，则 ∃C ∈ R , s.t. F(x) − G(x) = C .
证明： [F (x) − G(x)]′ = F′(x) − G′(x) = f (x) − f (x) = 0 .
∫ ∫ (9)
dx sin 2
x
=
csc2 xdx = − cot x + C;
(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C;
(11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C;
∫ (12) exdx = ex + C;
∫ (13) axdx = ax + C;
启示：能否根据求导公式得出积分公式？
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
2、基本积分表
∫ (1) kdx = kx + C ( k 为常数)； ∫ (2) xµdx = xµ+1 + C (µ ≠ −1);
µ +1
(3)
∫
dx x
=
ln
|
x
|
+C;
∫ 证明：① x > 0, ⇒ dx = ln x + C, ② x < 0, [ln(−x)]′ = 1 (−x)′ = 1 ,