高中竞赛之重要不等式
几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a L是非负实数，则12n a a a n+++≥L2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ*()n N ∈有()()()12121().n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++⎡⎤⎣⎦L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、引言二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他不等式三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧2.柯西不等式的应用及解题技巧3.排序不等式的应用及解题技巧4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧5.其他不等式的应用及解题技巧四、高中竞赛不等式公式大全的总结正文：一、引言不等式作为数学中的一个重要部分，在高中竞赛中占据着举足轻重的地位。
熟练掌握各类不等式及其应用，对于提高竞赛成绩具有至关重要的作用。
本文将为您整理一份高中竞赛不等式公式大全，助您竞赛之路一臂之力。
二、高中竞赛中常见的不等式类型1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式类型之一，主要包含算术平均数与几何平均数的不等式、调和平均数与几何平均数的不等式等。
2.柯西不等式柯西不等式是一种在向量空间中的重要不等式，它可以用于证明其他许多不等式，同时也是解决某些问题的重要工具。
3.排序不等式排序不等式是一种与排序相关的不等式，可以用于解决一些与排序有关的问题，如求解排序问题、证明排序的稳定性等。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种在概率论和统计学中常见的不等式，可以用于求解一些概率和方差的问题。
5.其他不等式除了以上常见的不等式类型，还有一些其他的不等式，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。
三、各类不等式的应用及解题技巧1.基本不等式的应用及解题技巧基本不等式在求解一些最值问题、比较大小问题等方面有着广泛的应用。
解题时需要注意观察题目条件，灵活运用基本不等式。
2.柯西不等式的应用及解题技巧柯西不等式在求解一些向量空间中的最值问题、证明其他不等式等方面具有重要意义。
解题时应熟练掌握柯西不等式的形式，灵活运用。
3.排序不等式的应用及解题技巧排序不等式在解决排序问题、证明排序的稳定性等方面具有重要意义。
解题时需要注意排序不等式的适用范围，正确运用。
4.切比雪夫不等式的应用及解题技巧切比雪夫不等式在求解一些概率和方差的问题中具有重要作用。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、前言二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.赫尔德不等式6.闵可夫斯基不等式7.伯努利不等式8.拉格朗日不等式9.詹森不等式10.其他不等式三、高中竞赛不等式公式应用举例1.基本不等式应用2.柯西不等式应用3.排序不等式应用4.切比雪夫不等式应用5.赫尔德不等式应用6.闵可夫斯基不等式应用7.伯努利不等式应用8.拉格朗日不等式应用9.詹森不等式应用10.其他不等式应用四、结论正文：一、前言在高中数学竞赛中，不等式问题常常出现在各个章节中，解决不等式问题需要掌握一定的技巧和方法。
为了更好地应对这类问题，我们整理了高中竞赛中常见的不等式公式大全，希望能为同学们提供帮助。
二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式基本不等式（Fundamental Inequality）是最常见的不等式之一，形式为：(a^2 + b^2) / 2 >= ab。
当且仅当a = b 时，等号成立。
2.柯西不等式柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种特殊的平方和不等式，形式为：(a_1^2 + a_2^2 + ...+ a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^2。
当且仅当存在一个标量k 使得a_i = kb_i 时，等号成立。
3.排序不等式排序不等式（Sorting Inequality）是一种关于排序的数学不等式，形式为：对于任意的实数a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1 + a_n) * n / 2 >= (a_2 +a_(n-1)) * n / 2 >= ...>= (a_n + a_1) * n / 2。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式（Chebyshev"s Inequality）是一种概率论中的不等式，形式为：对于任意的实数k > 0，有P(|X - μ| >= k) <= 1 / k^2。
高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)
（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。
数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式
（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到 均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛holder不等式摘要：1.介绍高中数学竞赛的holder 不等式2.holder 不等式的基本原理3.holder 不等式的应用实例4.结论正文：一、介绍高中数学竞赛的holder 不等式在高中数学竞赛中，holder 不等式是一个非常重要的知识点，它是解决许多数学问题的关键思想。
holder 不等式是一种不等式，它的本质是关于p 和q 指数的不等式，可以广泛应用于各种数学问题中。
二、holder 不等式的基本原理holder 不等式的基本形式为：$|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|leqprod_{i=1}^{n}|a_ib_i|$。
其中，$a_i$和$b_i$是实数或复数，$n$是正整数，$p$和$q$是正实数，满足$1<p<q$。
holder 不等式的证明比较复杂，需要涉及到一些高级的数学知识，比如Hlder 不等式和Minkowski 不等式。
在理解holder 不等式的基本原理之前，需要先理解它的前提条件和结论。
三、holder 不等式的应用实例holder 不等式在实际应用中非常广泛，它可以用于解决各种数学问题，比如不等式问题、最大值最小值问题、积分问题等。
例如，考虑以下不等式问题：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$，如何求解$x,y,z$的取值范围？这就是一个典型的holder 不等式问题，可以通过holder 不等式来解决。
具体来说，我们可以把$x^2-4y^2+z^2$看作是一个三元数的平方，然后应用holder 不等式，得到：$|x^2-4y^2+z^2|leq 1$$Leftrightarrow |x|leq 1, |2y|leq 1, |z|leq 1$$Leftrightarrow -1leq xleq 1, -1/2leq yleq 1/2, -1leq zleq 1$因此，$x,y,z$的取值范围为$[-1,1]times [-1/2,1/2]times [-1,1]$。
三个重要不等式
三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ， 则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明 先证左端 设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ， 所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端 又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数 由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥， 得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时， 采用数学归纳法.1） 当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立 例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题） 设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一 （用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二 （用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解 不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明 由 222x y xy +≥， 得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥， 故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明 构造均值不等式的模型 由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ， 所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明 构造柯西不等式的模型 构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明 由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明 由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全
高中数学竞赛中涉及到不等式的公式大全包括但不限于以下内容：
1. 平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数a1,
a2, ..., an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)。
这个
公式在解决求最值问题时非常常用。
2. 柯西-施瓦茨不等式，对于实数a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +
a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
这个不等
式在向量和内积的相关问题中经常被应用。
3. 阿贝尔不等式，对于实数序列a1, a2, ..., an和b1,
b2, ..., bn，若a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an且b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn，则有a1b1 + a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。
这个不等式在求和问题中有着重要的应用。
4. 杨辉不等式，对于非负实数a, b, c，有(a+b)^n ≥ a^n + b^n，其中n为自然数。
这个不等式在代数不等式证明中经常被使用。
5. 三角不等式，对于任意实数a, b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式在解析几何和向量的运算中常常被用到。
以上是高中数学竞赛中常见的不等式公式，当然还有其他一些不等式公式和定理，但这些是比较基础和常见的。
希望这些内容能够对你有所帮助。
高中竞赛不等式公式大全
高中竞赛不等式公式大全【最新版】目录1.竞赛不等式的概念与意义2.高中竞赛不等式的分类3.常用的高中竞赛不等式公式4.竞赛不等式公式的应用案例5.如何灵活运用竞赛不等式公式正文一、竞赛不等式的概念与意义在高中数学竞赛中，不等式问题是一个重要的组成部分，它涉及到解决实际问题和理论研究的方方面面。
竞赛不等式是指在高中数学竞赛中出现的具有一定难度的不等式问题，通常需要运用一些特殊的方法和技巧来解决。
掌握高中竞赛不等式对于提高学生解决实际问题的能力，培养数学思维和技巧具有重要意义。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式可以分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 2 的不等式。
3.多元不等式：涉及多个未知数的不等式。
4.含有绝对值的不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.其他特殊类型的不等式：如对数不等式、指数不等式等。
三、常用的高中竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，有一些常用的公式和方法可以帮助我们快速求解。
以下是一些常用的高中竞赛不等式公式：1.一元一次不等式的解法：同号得正，异号得负，移项，分式讨论等。
2.一元二次不等式的解法：判别式法，韦达定理，二次函数图像法等。
3.含有绝对值的不等式的解法：分段讨论，绝对值不等式的性质等。
4.多元不等式的解法：消元法，代入法，行列式法等。
四、竞赛不等式公式的应用案例以下是一些高中竞赛不等式公式在实际问题中的应用案例：1.利用一元一次不等式的解法求解实际问题中的不等式。
2.通过一元二次不等式的解法求解复杂的不等式问题。
3.运用含有绝对值的不等式的解法解决实际问题中的不等式。
4.多元不等式在解决组合优化问题中的应用。
五、如何灵活运用竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，要注意以下几点：1.仔细审题，分析问题的实际背景和需求。
2.根据问题的特点，选择合适的不等式公式和方法。
数学竞赛中的不等式知识点总结
数学竞赛中的不等式知识点总结数学竞赛在学生的学习中扮演着很重要的角色，不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
在数学竞赛中，不等式是一个非常重要的知识点，很多的数学竞赛都会考察不等式相关的题目，因此在备战数学竞赛的过程中，掌握好不等式知识点是非常必要的。
1.基本不等式基本不等式是指在所有正整数中，算术平均数大于等于几何平均数。
即对于任意正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，都有：$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$基本不等式是不等式中最基础的知识点，但是在数学竞赛中应用的非常广泛，尤其是在证明其他不等式定理时，基本不等式起到了非常重要的作用。
2.均值不等式均值不等式是指在所有实数中，算术平均数大于等于几何平均数。
均值不等式分为两种情况，一种是两个数的情况，另一种是多个数的情况。
两个实数$a$和$b$的均值不等式如下：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$多个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的均值不等式如下：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$均值不等式是在基本不等式的基础上发展起来的，应用范围比基本不等式更广泛，也更加灵活。
3.柯西不等式柯西不等式是指两个向量的点积不大于这两个向量的模的乘积。
柯西不等式可用于证明其他不等式，也可作为求极值的工具在数学竞赛中得到广泛应用。
柯西不等式如下：$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2 \leq(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$是任意实数。
高中竞赛之重要不等式
高中竞赛之重要不等式1 •柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1对任意实数组a i,b（i 1,2丄，n）恒有不等式“积和方不大于方和积”2 0等式当且仅当时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法证明1:右=牙翘十£融；十卑i-l 1 卄na：b2 2 a i b i a j b ji 1 ■- - Vj --当且仅当时，等式成立。
柯西不等式的两个推论：i •设同号，则当且仅当=I - I时取等号。
ii.若，且出总疋。
二12…同，则€ +三+…+吐王⑷+忑+…+心)：71 % 人卄+必亠…+儿(分母作和)由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n次。
(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)(c13+c23+c33) (a1b1c1 +a2b2c2 +a3b3c3)3333333 333 3 证明：对(a1 +a2 +a3 )(b1 +b2 +b3 )禾廿(c1 +c2 +c3 )(a1b1c1+a2b2c2 +a3b3c3)分别用柯西不等式，可得到两个不等式，将这两个不等式相乘，再用一次柯西不等式即可证明原不等式•柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设门，心，…，心；〉，：，•••，'是两组正数，k 0且k 1，则J：】丘i * 】［丫的+骈比近爲爭+(2＞爭(-「：；•-)u 1 x 丄 R 1［兀@+別］"0＞爭+(2＞爭当且仅当邑电L 乞时等号成立。
bi b2 b n闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当:■ 一、■?时得平面上的三角形不等式：血亍+（也十亠）'盂屈+拧+擔+冒/8biOAWOE +BA右图给出了对上式的一个直观理解-b~fci若记一-- ，'"， 则上式为a^b < a b多个根式可转化为一个根式 赫尔德不等式已知（二■-"；）是」个正实数，则僅⑴+两花/ +…兰（巧+勺+…+兔厂（屮鸟+…+0）0」佝 a ? L a m )2 ⑴ b 2 L b m )2 特例:3|2 bla 22b 22 L22b m )(G C L C m )q 2 bj q 2a 22b 22 q 2 L^等工Jo〔切比雪夫不等式〕F 面给出一个J■-时的契比雪夫不等式的直观理解。
高中竞赛之重要不等式(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设 同号（），则当且仅当时取等号。
ⅱ．若 ，且，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥ 证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式. 柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，0k >且1k ≠ ，则 （ ）（）当且仅当1212n na a ab b b === 时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当 时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记，，则上式为特例：2212122222221122()()m mm ma a ab b ba b a b a b+++++++≤++++++222121212222222222111222()()()m m mm m ma a ab b bc c ca b c a b c a b c+++++++++++≤+++++++++多个根式可转化为一个根式。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。
高中竞赛常用的不等式
高中竞赛常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
附：给出大家可能没见过的证明:对于一元二次方程0)()(2)(2n 2221n 221122n 2221=+++++++-+++b b b x b a b a b a x a a a n 等价于0)()()(2222211=-++-+-n n b x a b x a b x a ，该方程最多只有一个解，判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ， 得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n 2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均n n n a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和） （乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有 nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
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高中竞赛之重要不等式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方） 定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n =恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。
本不等式称为柯西不等式。
证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当 时，等式成立。
柯西不等式的两个推论： ⅰ．设同号（），则当且仅当 时取等号。
ⅱ．若，且，则（分母作和）3由柯西不等式可以证下面的不等式。
3次可以推广为4、5等n 次。
3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式 设，，…，； ，，…，是两组正数，0k >且1k ≠ ，则（ ）（）当且仅当1212nnaa ab b b ===时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。
若记，，则上式为特例：2212122222221122()()m mm ma a ab b ba b a b a b+++++++≤++++++222121212222222222111222()()()m m mm m ma a ab b bc c ca b c a b c a b c+++++++++++≤+++++++++多个根式可转化为一个根式。
赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令12αβ==，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）设naaa≤≤≤21，nbbb≤≤≤21，则有∑∑∑===-+≤≤niiinitiniinibababai1111．即“反序和”≤“乱序和”≤“同序和”．其中{}{}ntttn,,2,1,,,21=．当且仅当naaa===21或nbbb===21时等号成立．〔切比雪夫不等式〕45实数i a ，i b 满足n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21（1=i ，2，…，n ）．则∑∑∑∑=-+===≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni i n in i i n i i n i i i b a n b n a n b a n 111111111． 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立． 下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。
如图，矩形OPAQ 中， ，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知）。
于是有，也即3 琴生不等式 〔凸函数定义〕1．设()x f 是定义在闭区间[]b a ,上的函数，若对任意x ，y []b a ,∈和任意()1,0∈λ，有()()()()()y f x f y x f λλλλ-+≤-+11成立，则称()x f 是()b a ,上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．62．设()x f 是定义在[]b a ,上的函数，若对任意x ，[]b a y ,∈且y x ≠和任意[]1,0∈λ，有()()()()()y f x f y x f λλλλ-+<-+11 成立，则称()x f 是[]b a ,上的严格凸函数．3．设()x f 是定义在[]b a ,上的函数，若对任意x ，y []b a ,∈和任意[]1,0∈λ，有()()()()()y f x f y x f λλλλ-+≥-+11 成立，则称()x f 是()b a ,上的上凸函数．凸函数的定义表明了，上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不小(大)于其函数值的算术平均值．从图象上看，表明联结上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．图1注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的任意两点x 1和x 2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的区域．正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数．在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断．例如，读者不难根据图象可以得出：幂函数y=x a．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上的下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的上凸函数．指数函数y=a x(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数．对数函数y=log c x(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞) 上的上凸函数；当0＜a ＜1时，是(0，∞)上的下凸函数．三角函数y=sinx是[0，π]上的上凸函数，是[π，2π]上的下凸函上述函数的凸性；也可以根据定义用初等方法来证明．学过微分学的读者还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有' 'f()x＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有' 'f()x＞0，则f(x)是(a， b)上的下凸函数．〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和）∈有若()x f是区间()b a,上的凸函数，则对任意1x，2x，…，n x()b a,78()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i x f n x n f 1111． 当且仅当n xx x === 21时等号成立．当()x f 为上凸函数时，不等式反向． 〔琴生〔Jensen ）不等式推论，即加权琴生不等式〕若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意1x ，2x ，…，n x ()b a ,∈和对任意满足11=∑=ni i p 的正数1p ，2p ，…，n p ，有()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f p x p f 11．当且仅当n x x x === 21时等号成立． 若令q i =p i ／(p 1＋…＋p n )，其中p 1，…，p n 是任意正数．则琴生不等式(2)变成：在(2)或(3)式中，f(x)取不同的凸函数，便得不同的不等式． 例1 令f(x)=x k ，x≥0，k ＞1，则f(x)是R +上的凸函数，因此有例2令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上的凹函数，故有取反对数，得此即加权平均不等式．9101．设i a 全是正数，且i n i i a a m s >⎪⎭⎫⎝⎛=∑=11（1=i ，2，…，n ），且m n >，2≥n ．求证：（1）()m m n n a a s ni i i -≥-∑=1； （2）mn nma s a ni i i -≥-∑=1． 证明：不妨设021>≥≥≥n a a a ，于是11a s a s a s n n -≥≥-≥-- ，11111a a a n n ≥≥≥- ．由切比雪夫不等式得 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑∑∑∑====n i in i in i i n i i i a n n s m n a n a s n a a s n 1111111111．（*） 又由均值不等式知∑∑==≤ni i n i ia n a n1111．又∑==ni i ms a 1，所以msnana n ni in i i=≥∑∑==1111，而m n >，代入（*）后整理可得（1）成立． 另一方面na s a s a s -≥≥-≥-11121 ，n a a a ≥≥≥ 21．由切比雪夫不等式得 ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-∑∑∑===n i i n i i n i i ia n a s n a s a n 1111111．（**） 由均值不等式：()n msns a s n a s n n i i ni i-=-≤-∑∑==1111，故∑=-n i i a s n 111()sm n n -≥． 又∑==ni i ms a 1，代入（**）整理后可得（2）成立．2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第i 个人的水桶需要it 分钟，且这些i t （1=i ，2，…，10）各不相等，试问：（1）只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水的次序，使他们花费的总时间最少这个最少的总时间是多少（2）若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，使他们花费的总时间最少这个最少的总时间是多少解：（1）设安某次序打水时水龙头灌满第i 个人的水桶需要i s 分钟，则第一人花费的时间为分钟，第二人花费的时间为()21s s +分钟，……，第十人花费的时间为()1021s s s +++ 分钟．总的花费时间为1s +()21s s +++ ()1021s s s +++ 109212910s s s s ++++= ．其中，序列1s ，2s ，…，10s 是1t ，2t ，…，10t 的一个排列．由题设各i t 各不相同，不妨设1t <2t << 10t ，则由排序原理知109212910s s s s ++++ 109212910t t t t ++++≥ ．即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间：先安打水所需时间从小到大依次排队，然后逐个打水．即此时花费时间最省，总花费的时间为（109212910t t t t ++++ ）分钟．（2）如果有两个水龙头，设总时间最少时有m 个人在第一个水龙头打水，设依次所需时间为1p ，2p ，…，m p ；有m -10个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为1q ，2q ，…，m q -10．显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则105<≤m ．由（1）知：m p p p <<< 21，m q q q -<<<1021 ．总花费的时间为：()()()m m q q m q m p p m mp T -++-+-+++-+=1021219101 ．其中{}m m q q q p p p -102121,,,,,,, {}1021,,,t t t =，1t <2t << 10t ． 首先我们来证明5=m ．若不然，我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总花费的时间变为：()()()m m q q m p m p p m T -++-+-+++-='1011210111 ．()01121>-='-p m T T ．即当5>m 时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少．故在5=m 时，总时间可能取得最小值．由于5=m ，故两个水龙头人一样多．总用时为：()()543215432123452345q q q q q p p p p p T +++++++++=．由于521p p p <<< ，521q q q <<< ．不妨设11t p =．下证21p q <．否则我们交换用时为1q ，2p 的两人的位置后，总用时变为()()543225431123452345q q q q p p p p q p T +++++++++=''，21p q T T -=''-0>．即经交换后总时间变少．故21p q <．也即21t q =．类似地我们可以证明：1+<<i i i p q p （1=i ，2，3，4），55q p <．从而最省时的打水顺序为：水龙头一：1t ，3t ，5t ，7t ，9t ；水龙头二：2t ，4t ，6t ，8t ，10t ． 其中：1t <2t << 10t ．3．在ABC ∆中，求证下列各不等式： （1）233sin sin sin ≤++C B A ； （2）mm C m B m A 3tan 3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ． 证明：（1）考查正弦函数x y sin =，在()π,0为上凸函数，故233sin 3sin 3sin sin sin ==++≤++πC B A C B A ．即233sin sin sin ≤++C B A ．（2）考查函数()mxx f tan=，在()π,0上是凸函数． 6．设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+． 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 7．对正数1a ，2a ，…，n a ， 若1≥k 或0<k ，则kn k n k k n a a a n a a a ⎪⎭⎫⎝⎛+++≥+++ 2121；若10<<k ，则kn kn k k n a a a n a a a ⎪⎭⎫⎝⎛+++≤+++ 2121．证明：考查函数()k x x f =（0>x ）．其二阶导数()()21--=''k x k k x f ． 当0<k 或1≥k 时，()0≥''x f ，故函数()k x x f =（0>x ）为凸函数； 当10<<k 时，()0<''x f ，故函数()k x x f =（0>x ）为上凸函数． 以下由琴生不等式立得．8．已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni i a ．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．4．设021>≥≥≥n x x x ，实数p ，q 都不为零，且t q p +=．则（1）若p ，q 同号，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n i q i n i p i n i t i x n x n x n 111111；（2）若p ，q 异号，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i q i n i p i n i t i x n x n x n 111111．证明：当p ，q 同号时，两者都是正数，由不等式单调性得p n p p x x x ≥≥≥ 21，qn q q x x x ≥≥≥ 21，由切比雪夫不等式得（1）成立；当p ，q 异号时，假设0>p ，0<q ，由不等式单调性得p n p p x x x ≥≥≥ 21，q n q q x x x ≤≤≤ 21，由切比雪夫不等式得（2）成立；5．设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证：()()()abc c b a c b a c b a c b a 3222≤-++-++-+．证明：不妨设c b a ≥≥，易证()()()c b a c b a c b a c b a -+≤-+≤-+．由排序原理得()()()c b a c b a c b a c b a -++-++-+222()()()a c b a c c b a c b b a c b a -+⋅+-+⋅+-+⋅≤abc 3=．6．设n x x x ≥≥≥ 21，n y y y ≥≥≥ 21．求证：()()∑∑==-≤-ni i i ni i iz x y x1212．其中1z ，2z ，…，n z 是1y ，2y ，…，n y 的任意一个排列．证明：要证()()∑∑==-≤-ni i i ni i i z x y x 1212，只要证()()()()∑∑∑∑====-+≤-+ni ii ni iin i i i ni iiz x zx y x y x1122112222．只要证∑∑==≥ni iini iizx y x 11．由题设及排序原理上式显然成立． 7．在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数； （2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ． ()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕． 8．设π<<i x 0，1=i ，2，…，n ．那么（1）⎪⎭⎫⎝⎛≤∑∑==n i i n i i x n x n 111sin sin 1；（2）nn i i ni i x n x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∏==111sin sin ．证明：（1）考查函数()x x f sin =，其在()π,0上为凸函数． （2）考查函数()x x f sin ln =，其在()π,0上为凸函数．证明如下： 令1x ，()π,02∈x ，则21sin sin x x ()()[]2121cos cos 21x x x x +--=()[]21cos 121x x +-≤2212sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ． 将上述不等式两端取自然对数，得2sinln 2sin ln sin ln 2121x x x x +≤+，即2sin ln 2sin ln sin ln 2121x x xx +≤+．故函数()x x f sin ln =在()π,0上为凸函数．由琴生不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑==n i i n i i x n x n 111sin ln sin ln 1． 故nn i i ni i x n x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∏==111sin sin ． 4．平均值不等式 设12,,,n a a a R +∈，对于n N +∈，则222121212n nn n a a a a a a a a a nn++++++≥≥12111nn a a a ≥+++其中等号当且仅当12n a a a ===时成立。