概率论与数理统计9.1

不含未知参数, 则称 f ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是一个统 计量.
f ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是 X 1 , X 2 ,L , X n 的函数, 若 f 中
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i =1
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n
例
设总体 X 服从参数为 λ (λ > 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自总体的样本, 求样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的概率密度.
2 2 2
分布, 则称统计量 χ ＝X + X + L + X 服从自由
自由度 :
2 2 指 χ n = X 12 + X 2 + L + X n 中右端包含独立 2
变量的个数 .
χ (n)分布的
2
概率密度为
n x 1 1 x2 e 2 n 2 n f ( x) = 2 Γ ( ) 2 0
t分布的概率密度曲线如 图
显然图形是关于 t = 0对称的. 当n充分大时, 其图 形类似于标准正态 变量概率密度的图 形.
1 e 因为 lim h( t ) = n→ ∞ 2π
t2 2
,
所以当n足够大时t分布近似于N (0,1)分布,
但对于较小的 n , t分布与 N ( 0,1)分布相差很大 .
2 2
X / n1 称随机变量 F = 服从自由度为 (n1 , n2 ) 的 F 分布, Y / n2 记为 F ~ F (n1 , n2 ). F ( n1 , n2 )分布的概率密度为
n1 n1 2 Γ n1 + n2 n1 y 2 1 2 n2 , y>0 n1 + n2 ψ ( y) = n1 n2 n1 y 2 Γ Γ 1 + 2 2 n2 其它 0 ,
(2)若总体X 的分布密度为f ( x ), 则样本( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的分布密度为∏ f ( xi ).
i =1 n
(3)若总体X 的分布率为P{ X = x } = p ( x )(i = 1, 2,L),
* i * i
则样本( X 1 , X 2 ,L , X n )的分布率为∏ p ( xi ).
T2 = X 1 + X 2e , T1 = X 1 , 是 1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), T5 = X 1 + X 2 2, 3 T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ),
X3
设 x1 , x2 ,L , xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L , X n
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统计量
由样本推断总体特征,需要对样本值进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数, 它把样本中所含的信息集中起来. 1. 统计量的定义 设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体 X 的一个样本,
(2)样本方差 1 n 1 n 2 2 2 2 S n = ∑ ( X i X ) = ∑ X i nX . n i =1 n i =1 (3)样本标准差
1 n 2 2 Sn = Sn = ∑ (X i X ) ; n i =1
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个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 X i 表示. 样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 ( X1, X2 ,L, Xn ) 表示, 称 (x1, x2 ,L, xn ) 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现. 样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
t 分布又称学生氏(Student)分布. t (n) 分布的概率密度函数为
n + 1 n +1 Γ t2 2 2 1 + h( t ) = , ∞ < t < +∞ n n πnΓ 2
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简单随机样本 若总体 X 的样本 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 满足: (1) X 1 , X 2 ,L , X n 与X 有相同的分布 则称 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 为简单随机样本. 一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是 (2) X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立
顺序统计量 中位数 极差 四分位数 样本相关系数
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1. χ 分布
2
常见分布
2 n 2 1 2 2 2 n
定义 设 X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立，同服从 N (0, 1) 度为 n 的 χ 分布, 记为 χ n ~ χ (n).
2 2n2 ( n1 + n2 2) D( F ) = , ( n2 > 4) 2 n1 ( n2 2) ( n2 4)
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则C1 = 1 2 , C 2 = 1 4 .
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2. t 分布
定义
设 X ~ N (0, 1), Y ~ χ 2 (n), 且 X , Y X 独立, 则称随机变量 T = 服从自由度为 n Y /n 的 t 分布, 记为 T ~ t (n).
i =1 i =1 i =1
n
n
n
(2) D( X ) = D(
1 n
∑ X ) = ∑ D( X ) = ∑ σ
i =1 i 1 n2 i =1 i 1 n2 i =1
n
n
n
2
= σ
1 n
2
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其他常见统计量
(此性质可以推广到多个随机变量的情形) 性质2 ( χ 2分布的数学期望和方差 ) 若 χ 2 ~ χ 2 ( n), 则 E ( χ 2 ) = n, D( χ 2 ) = 2n.
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例1 设 X 1 , X 2 ,L , X 6为来自正态总体 N (0,1)的一组 样本, 求 C1 , C 2 使得 Y = C1 ( X 1 + X 2 ) 2 + C 2 ( X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) 2 服从 χ 2 分布.
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F分布的概率密度曲线如 图
F分布有以下性质
(1) 若F ~ F ( n1 , n2 ),
1 则 ~ F ( n2 , n1 ). F
(2)
n2 E(F ) = , ( n2 > 2), n2 2
解
同理
X1 + X 2 X 1 + X 2 ~ N (0,2), 则 ~ N (0,1) 2
X3 + X4 + X5 + X6 4 ~ N (0,1)
X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ~ N (0,4), 则
X3 + X4 + X5 + X6 X1 + X 2 且 与 相互独立 4 2 X1 + X 2 2 X 3 + X 4 + X 5 + X 6 2 ) ~ χ 2 ( 2) ) +( 所以( 4 2
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Y 例 设X ~ N ( , σ ), 2 ~ χ 2 (n), 且X , Y 相互独立, 试求 σ X T= 的概率分布. Y n
2
X 解 因为X ~ N ( , σ ), 所以 ~ N (0,1) σ Y X Y 2 又 2 ~ χ ( n), 且X , Y 独立, 则 与 2 独立, σ σ σ 由t分布得
1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). 不是 σ
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几个常用统计量的定义
x1 , x 2 ,L , x n 是这一样本的观察值 . (1)样本平均值 1 n X = ∑ Xi; n i =1 设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自总体的一个样本 ,
2
X (X ) /σ T= = ~ t (n) Y n (Y / σ 2 ) / n
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3. F分布 定义 设 X ~ χ (n1 ), Y ~ χ (n2 ), 且X , Y 独立, 则
N / n ≥ 10.
总体中个体总数 样本容量
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样本的分布 定理 设( X , X ,L , X )为来自总体X 的样本. 1 2 n