空间角的计算课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
空间向量与空间角、距离 课件
(1)证明：DC1⊥BC； (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小．
[解] (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1. 又因为 AC＝12AA1，可得 DC21＋DC2＝CC12，所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. BC⊂平面 BCD，故 DC1⊥BC. (2)由(1)知 BC⊥DC1，且 BC⊥CC1，则 BC⊥平面 ACC1，所以 CA，CB，CC1 两两相互垂直．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或
法向量．
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量―A→B ；
(3)求平面的法向量 n；
―→
(4)计算：设线面角为
θ，则
sin
θ＝
|n·AB | ―→
.
|n|·| AB |
求二面角 [例 3] 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝12AA1， D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD.
空间向量与空间角、距离
[导入新知] 1．空间角及向量求法
角的分类 异面直线 所成的角
直线与平 面所成的 角
二面角
向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方 向向量为a，b，则cos θ
|a·b|
＝ |cos〈a，b〉|＝_|_a_||_b_|
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为
∵cos〈―P→B ，―D→B 〉＝|――PP→B→B|··|――DD→B→B |＝2
4 2×2
2＝12，
∴〈―P→B ，―D→B 〉＝π3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为π6.
[解] (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1. 又因为 AC＝12AA1，可得 DC21＋DC2＝CC12，所以 DC1⊥DC.
而 DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. BC⊂平面 BCD，故 DC1⊥BC. (2)由(1)知 BC⊥DC1，且 BC⊥CC1，则 BC⊥平面 ACC1，所以 CA，CB，CC1 两两相互垂直．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或
法向量．
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量―A→B ；
(3)求平面的法向量 n；
―→
(4)计算：设线面角为
θ，则
sin
θ＝
|n·AB | ―→
.
|n|·| AB |
求二面角 [例 3] 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝12AA1， D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD.
空间向量与空间角、距离
[导入新知] 1．空间角及向量求法
角的分类 异面直线 所成的角
直线与平 面所成的 角
二面角
向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方 向向量为a，b，则cos θ
|a·b|
＝ |cos〈a，b〉|＝_|_a_||_b_|
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为
∵cos〈―P→B ，―D→B 〉＝|――PP→B→B|··|――DD→B→B |＝2
4 2×2
2＝12，
∴〈―P→B ，―D→B 〉＝π3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为π6.
《角的度量》PPT课件
03
CHAPTER
角的度量方法
量角器的使用
量角器的构造
量角器是一种测量角度的专用工具， 由半圆形或圆形的刻度盘和固定臂组 成，刻度盘上标有度数。
使用方法
将量角器的中心与角的顶点重合，固 定臂与角的一条边重合，另一条边所 对的量角器上的刻度就是这个角的度 数。
角度的测量与标注
角度的概念
两条射线或线段相交于一点所形 成的夹角，通常用度数来表示。
《角的度量》PPT课件
汇报人： 2023-12-23
目录
CONTENTS
• 角的定义与分类 • 角的度量单位与换算 • 角的度量方法 • 角的应用举例 • 角的度量误差分析 • 拓展知识：角的高级应用
01
CHAPTER
角的定义与分类
角的定义
01
角是由两条射线共享一个端点所 形成的几何图形。
02
04
CHAPTER
角的应用举例
几何图形中的角
角度与边长关系
多边形的内角和与外角和
在直角三角形中，角度与边长之间满 足正弦、余弦、正切等三角函数关系 。
多边形的内角和等于（n-2）×180°， 外角和等于360°。
角的平分线与垂直平分线
角的平分线将一个角分为两个相等的 小角，而垂直平分线则垂直平分一条 线段。
误差对测量结果的影响
误差导致测量结果不准确
由于误差的存在，测量结果可能会偏离真实值，影响对角度大小 的判断。
误差累积可能导致严重后果
在需要高精度测量的场合，误差的累积可能会导致严重的后果，如 建筑设计中的角度偏差可能导致结构不稳定等问题。
对科学研究的影响
在科学研究中，准确的测量结果是得出正确结论的基础。误差的存 在可能会影响研究结果的准确性和可靠性。
空间角-课件
在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
返回
课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
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误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
2025届高中数学一轮复习课件《空间角、距离以及综合问题》ppt
第27页
高考一轮总复习•数学
第28页
题型 探究性问题 典例 3(2024·湖北襄阳四中模拟)如图所示，在三棱锥 P-ABC 中， 已知 PA⊥BC，PB⊥AC，点 P 在底面 ABC 上的射影为点 H. (1)证明：PC⊥AB. 概括来讲，在三棱锥中，若两组对棱互相垂直，则第三组对棱也 互相垂直． (2)设 PH＝HA＝HB＝HC＝2，对于动点 M，是否存在 λ，使得C→M 这组数量关系说明此三棱锥是正三棱锥． ＝λC→P，且 BM 与平面 PAB 所成角的余弦值为45？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明 理由．
高考一轮总复习•数学
第7页
(2)设平面 ABN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则由 n⊥A→B，n⊥A→N， 得n·A→B＝2 3x＋2y＝0，
n·A→N＝4y＋2z＝0，
令 z＝2，则 y＝－1，x＝ 3 3，即 n＝ 3 3，－1，2. 易知C→1N＝(0,0，－2)，
高考一轮总复习•数学
第14页
高考一轮总复习•数学
第15页
题型 翻折问题 典例 2 如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AE⊥CD，垂足为 E，AB＝AE＝12CE＝1，
DE＝ 2.将△ADE 沿 AE 翻折到△APE，如图 2 所示．M 为线段 PB 的中点，且 ME⊥PC. 最后这个条件，暗示△ADE 翻折到怎样的位置？
由 ME∩BE＝E，ME，BE⊂平面 BEM， 得 BC⊥平面 BEM，PE⊂平面 BEM，于是 PE⊥BC. 由题意，知 PE⊥AE，AE 与 BC 相交， 则 PE⊥平面 ABCE，又 EC⊂平面 ABCE， 所以 PE⊥EC.
高考一轮总复习•数学
第19页
(2)解：连接 BN，MN，设 EN＝t，由(1)知 PE，EA， 平面 BMN 和平面 PCE 无公共边，这样引入参数 t，使 t 参与二面角余弦值的计算，用 函数法求最小值． EC 两两垂直，故以 E 为坐标原点，E→A，E→C，E→P的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系，如图所示，
高三数学二轮复习专题空间角与距离的计算与证明公开课一等奖课件省赛课获奖课件
最小值是_______.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
最小值是_______.
[简评] 线段AB、CD的中点连线即 为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异 面直线AB、CD的距离.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
[长郡演习]
B组
[长郡演习]
B组
1. 在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD， PA=AB=1，BC=2. 求证：
(1) 平面PDC⊥平面PAD；
(2) 若E是PD的中点，求异面直线AE 与PC所成角的余弦；
(3) 在BC边上与否存在一点G，使得 D点到平面PAG的距离为1，如果存在， 求出BG的值，如果不存在，阐明理由.
D1
C1
A1
B1
E
F A
D O
C B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
正方体中
中，O是底
面ABCD的中心，E、F分别是 、AD
的中点. 那么异面直线OE和 所成的
角的余弦值等于 ( )
D1
C1
A1
B1
E
D
C
[解析] 运用空
F
O
间向量求解较简便. A
B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
[解析] △EFG中，∠EFG=60° 或120°，则EG=2或 .
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
最小值是_______.
[简评] 线段AB、CD的中点连线即 为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异 面直线AB、CD的距离.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
[长郡演习]
B组
[长郡演习]
B组
1. 在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD， PA=AB=1，BC=2. 求证：
(1) 平面PDC⊥平面PAD；
(2) 若E是PD的中点，求异面直线AE 与PC所成角的余弦；
(3) 在BC边上与否存在一点G，使得 D点到平面PAG的距离为1，如果存在， 求出BG的值，如果不存在，阐明理由.
D1
C1
A1
B1
E
F A
D O
C B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
正方体中
中，O是底
面ABCD的中心，E、F分别是 、AD
的中点. 那么异面直线OE和 所成的
角的余弦值等于 ( )
D1
C1
A1
B1
E
D
C
[解析] 运用空
F
O
间向量求解较简便. A
B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
[解析] △EFG中，∠EFG=60° 或120°，则EG=2或 .
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
立体几何复习-空间角的求法
立体几何复习-空间角的求法
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π /2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
(1)求证：平面 AEC⊥平面 PDB； (2)当 PD＝ 2AB，且 E 为 PB 中点时， 求 AE 与平面 PDB 所成角的大小．
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π ].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
2
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材·填要点]
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π /2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
(1)求证：平面 AEC⊥平面 PDB； (2)当 PD＝ 2AB，且 E 为 PB 中点时， 求 AE 与平面 PDB 所成角的大小．
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π ].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
2
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
综合法求空间角与距离课件--2024届高考数学一轮复习
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考向3 二面角
例3
如图，将正三角形 ABC 绕 AB 旋转到△ABC'的位置，当二面角 C － AB －
π
2π
C'的大小在 ，
3
3
，
围是
.
内时，直线BC'与直线 AC 所成角的余弦值的取值范
返回目录
总结提炼
求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强
调“垂直”，其常见途径：
（2） 求证： BC ⊥ PB .
返回目录
解：（1） 因为平面 PAC ⊥平面 ABC ，平面 PAC ∩平面 ABC ＝ AC ，
PD ⊂平面 PAC ， PD ⊥ AC ，所以 PD ⊥平面 ABC . 如图，取 AC 的中点
E ，连接 BE . 在△ ABC 中，因为 AB ＝ BC ，所以 BE ⊥ AC . 因为 AB ＝
线中，与 AD 1所成角为60°的有（ C
A. 4条
B. 6条
）
C. 8条
D. 10条
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4. （多选）（RA二P163习题8.6第6题改编）在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1
D 1中，平面 ABC 1 D 1与正方体的各个面所在平面所成角的大小可以是
（
BD
A. 30°
）
B. 45°
BC ＝ ， AC ＝ AD ＋ CD ＝4，所以 BE ＝ −
（
−
.所以 S △ ABC ＝ AC ·BE ＝2
V 三棱锥 P － ABC ＝ S △ ABC ·PD ＝ ×2 ×2＝
.
人教版高中数学选修2-1课件-第课时空间角与空间距离
则 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．
由题意知D→A1＝(1，0，1)是平面 ABD1 的一个法向量，
D→C1＝(0，1，1)是平面 BCD1 的一个法向量．
所以 cos〈D→A1，D→C1〉＝
→→ DA1·DC1 →→
＝12，
|DA1|·|DC1|
所以〈D→A1，D→C1〉＝60°.
(2)二面角的求法． ①几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形 获解． ②向量法：设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的 法向量分别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉．
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间角与空间距离 [学习目标] 1.向量法求解线线、线面、面面的夹角 (重点)． 2.线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难 点)． 3.两点间的距离，点到平面的距离(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平 移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获 解． (2)向量法：设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ| ＝||aa|·|bb||.
设 AC 的中点为 M，连接 BM，
则 BM⊥AC， 又由题意知 BM⊥CC1， 又 AC∩CC1＝C， 所以 BM⊥平面 A1C1C， 即B→M＝(1，1，0)是平面 A1C1C 的一个法向量． 设平面 A1B1C 的法向量为 n＝(x，y，z)． A→1C＝(－2，2，－2)，A→1B1＝(－2，0，0)，
由题意知D→A1＝(1，0，1)是平面 ABD1 的一个法向量，
D→C1＝(0，1，1)是平面 BCD1 的一个法向量．
所以 cos〈D→A1，D→C1〉＝
→→ DA1·DC1 →→
＝12，
|DA1|·|DC1|
所以〈D→A1，D→C1〉＝60°.
(2)二面角的求法． ①几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形 获解． ②向量法：设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的 法向量分别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉．
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间角与空间距离 [学习目标] 1.向量法求解线线、线面、面面的夹角 (重点)． 2.线线、线面、面面的夹角与向量的应用(难 点)． 3.两点间的距离，点到平面的距离(重点)．
[知识提炼·梳理] 1．两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平 移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获 解． (2)向量法：设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ| ＝||aa|·|bb||.
设 AC 的中点为 M，连接 BM，
则 BM⊥AC， 又由题意知 BM⊥CC1， 又 AC∩CC1＝C， 所以 BM⊥平面 A1C1C， 即B→M＝(1，1，0)是平面 A1C1C 的一个法向量． 设平面 A1B1C 的法向量为 n＝(x，y，z)． A→1C＝(－2，2，－2)，A→1B1＝(－2，0，0)，
《空间角的复习》课件
空间角在几何图形中有着广泛的应用，如多面体、球体、旋 转体等，通过空间角的分析可以深入理解图形的结构和性质 。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
数学：《空间角》课件(人教a版必修二)
在直角三角形AFE中，得tan∠AFE=2 故∠AFE=arctan2
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
过点B作BE⊥AD于E，过点E作EF⊥CD于F 点，连接BF。 ∵平面ABC⊥平面DBC DB⊥BC F ∴BD⊥平面ABC，BD⊥AC ∵ AC⊥AB E C ∴AC⊥平面DBA
D
B
平面ACD⊥平面DBA
∵ BE⊥AD ∴BE⊥平面ACD 而EF⊥CD ∴BF⊥CD (依解法1可得∠BFE=arctan2)
训练3:
自点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成 600 角,则
直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为
C
3 3
A P
O B
3、二面角
• 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
A
• 二面角的大小用它的平面角来度量；
求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
0
3、直线B1D与EF所成角的大小
A1
E
C1
B1
F
90
0
例1.
正三棱锥A-BCD中,E,F分别在棱AB,CD上,
且
AE CF .) 设α为异面直线EF与AC所成的 ( 0 EB FD
角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+ β=
A.
6
A
B.
3
C.
2
D.是 一 个 与 有 关 的 变 量
A B D C
M
H
cos S DBC S ABC
用这个关系式求可锐二面角的平面角。
例3、将一副三角板拼接,公共边为BC,且两个三角板 0 所在平面互相垂直,若∠BAC= ∠CBD=90 , 0 ∠BCD=60 ， AB=AC,求二面角A-CD-B的大小.
空间向量与空间角、距离问题课件-2025届高三数学一轮复习
C
A. B. C. D.
解析 取线段的中点，连接，则，设直三棱柱 的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ， 所以，，, ， 所以 .故选C.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1. 建立空间直角坐标系；2. 用坐标表示两异面直线的方向向量；3. 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4. 注意两异面直线所成角的范围是， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量 夹角的余弦值的绝对值.
因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以 .
（2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则, ,，则,, ， 设平面的一个法向量为 ， 则令,则,，所以 ，则,所以与平面所成角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
平面与平面所成的角
二、空间向量与距离
直线外一点 到直线 的距离
如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线 上的投影向量⑭________，则点到直线 的距离为 ⑮_______________
平面外一点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线 的方向向量，则点到平面 的距离⑯______ ⑰_______
B
A. B. C. D.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，，，所以，，.设平面 的一个法向量为，则令，得 ，故点到平面的距离 .故选B.
4.（人教A版选修①P43 · T10改编）设，分别是正方体的棱 和的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为________.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则，，，， ，则，， .设平面的一个法向量为 ，故令，则，，所以 ，所以与平面所成角的正弦值为 .
A. B. C. D.
解析 取线段的中点，连接，则，设直三棱柱 的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，， ， 所以，，, ， 所以 .故选C.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1. 建立空间直角坐标系；2. 用坐标表示两异面直线的方向向量；3. 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4. 注意两异面直线所成角的范围是， ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量 夹角的余弦值的绝对值.
因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以 .
（2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则, ,，则,, ， 设平面的一个法向量为 ， 则令,则,，所以 ，则,所以与平面所成角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
平面与平面所成的角
二、空间向量与距离
直线外一点 到直线 的距离
如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线 上的投影向量⑭________，则点到直线 的距离为 ⑮_______________
平面外一点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线 的方向向量，则点到平面 的距离⑯______ ⑰_______
B
A. B. C. D.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，，，所以，，.设平面 的一个法向量为，则令，得 ，故点到平面的距离 .故选B.
4.（人教A版选修①P43 · T10改编）设，分别是正方体的棱 和的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为________.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则，，，， ，则，， .设平面的一个法向量为 ，故令，则，，所以 ，所以与平面所成角的正弦值为 .
高三数学一轮复习 第十三章 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理 新人教A版
取 x1＝2，则 y1＝－1，z1＝2，z＝12.∴CM＝12.
第二十二页，共42页。
考点3 立体几何中的综合问题
例3：如图 13－7－5，S 是△ABC 所在平面(píngmiàn)外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面(píngmiàn) ABC，SA＝3a，求点 A 到平 面SBC 的距离．
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求 出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大
第十八页，共42页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2011年江苏)如图13－7－4，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1
中，AA1＝2，AB＝1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二 面角 A1－DN－M 的大小(dàxiǎo)为θ.
与平面(píngmiàn)所成的角，其(范0°围，是9_0_°__) _________． 斜线(xiéxiàn)与平面线所面成角的_______是这条斜线(xiéxiàn)和平面内经
直线所成的一切角中最___小的角． 3．二面角
从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二
面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角
2．直线与平面所成的角
(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的
角等于__0_°__.
第三页，共42页。
(2)如果直线和平面(píngmiàn)垂直，则直线与平面(píngmiàn)9所0成°的角等
(3)平面(píngmiàn)的斜线与它在平面(píngmiàn)上的射影所成的锐角叫做
则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(－1， 3，0)，P(0,0,1)． 则 AB＝(－1， 3，0)，PB＝(0， 3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．
第二十二页，共42页。
考点3 立体几何中的综合问题
例3：如图 13－7－5，S 是△ABC 所在平面(píngmiàn)外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面(píngmiàn) ABC，SA＝3a，求点 A 到平 面SBC 的距离．
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求 出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大
第十八页，共42页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2011年江苏)如图13－7－4，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1
中，AA1＝2，AB＝1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二 面角 A1－DN－M 的大小(dàxiǎo)为θ.
与平面(píngmiàn)所成的角，其(范0°围，是9_0_°__) _________． 斜线(xiéxiàn)与平面线所面成角的_______是这条斜线(xiéxiàn)和平面内经
直线所成的一切角中最___小的角． 3．二面角
从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二
面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角
2．直线与平面所成的角
(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的
角等于__0_°__.
第三页，共42页。
(2)如果直线和平面(píngmiàn)垂直，则直线与平面(píngmiàn)9所0成°的角等
(3)平面(píngmiàn)的斜线与它在平面(píngmiàn)上的射影所成的锐角叫做
则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(－1， 3，0)，P(0,0,1)． 则 AB＝(－1， 3，0)，PB＝(0， 3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．
空间角PPT教学课件
法一：在内a l，在内b l，其方向如左下图， 则二面角 l 的平面角 arccos a b ；
| a || b |
其方向如右上图，则二面角 l 的平面角 arccos a b .
| a || b |
法二：设n1，n2是二面角 l 的两个半平
面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个
则PAF为异面直线AP与BC所成的角．
由1可知AB BC，所以CF AF.
又PC 平面ABCF， 所以PF AF. 则AF CF AC sin45 2，
PF PC2 CF 2 6.
在RtPFA中，tanPAF PF 6 3， AF 2
所以异面直线AP与BC所成的角为 .
3
方法2：1同方法1. 2由1知AB 平面PCB，因为PC AC 2.
由1知，A1D是B1D在平面A1 ADD1上的射影，
根据三垂线定理得B1D AE.
3设A1D AE F，连结CF.
因为CD 平面A1 ADD1，且AE DF， 根据三垂线定理得AE CF， 所以DFC是二面角C AE D的平面角． 在RtADE中，由AD DE AE DF，
得DF AD DE 3 . AE 3
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是 5 . 5
【思维启迪】根据条件中E为BC1的中点易想 到BC的中点就是E在平面ABCD上的射影， 这是解答本题的突破口．
变式题：已知S是正三角形ABC所在平面外 一点，且SA SB SC，D是AB的中点，且 SD与BC成45角，则SD与底面ABC所成角 的正弦值为( )
专题四
立体几何
1．两条异面直线所成的角
1定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，
分别作a//a，b//b，相交直线a，b所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a，b所成的角．
| a || b |
其方向如右上图，则二面角 l 的平面角 arccos a b .
| a || b |
法二：设n1，n2是二面角 l 的两个半平
面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个
则PAF为异面直线AP与BC所成的角．
由1可知AB BC，所以CF AF.
又PC 平面ABCF， 所以PF AF. 则AF CF AC sin45 2，
PF PC2 CF 2 6.
在RtPFA中，tanPAF PF 6 3， AF 2
所以异面直线AP与BC所成的角为 .
3
方法2：1同方法1. 2由1知AB 平面PCB，因为PC AC 2.
由1知，A1D是B1D在平面A1 ADD1上的射影，
根据三垂线定理得B1D AE.
3设A1D AE F，连结CF.
因为CD 平面A1 ADD1，且AE DF， 根据三垂线定理得AE CF， 所以DFC是二面角C AE D的平面角． 在RtADE中，由AD DE AE DF，
得DF AD DE 3 . AE 3
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是 5 . 5
【思维启迪】根据条件中E为BC1的中点易想 到BC的中点就是E在平面ABCD上的射影， 这是解答本题的突破口．
变式题：已知S是正三角形ABC所在平面外 一点，且SA SB SC，D是AB的中点，且 SD与BC成45角，则SD与底面ABC所成角 的正弦值为( )
专题四
立体几何
1．两条异面直线所成的角
1定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，
分别作a//a，b//b，相交直线a，b所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a，b所成的角．