新课标2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_7函数图象课时规范练理含解析新人教A版
2025版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第1课时函数的零点与方程的解课件
= ln .作出函数 =
1
和
3
1
e
= ln 的图象如图所示.显然 = 在( ,1)内无零点，在 1, e 内
有零点.
1
e
1
3
1
（方法二）当 ∈ ( ,e)时，函数图象是连续的，且′ = − =
1
e
在( ，e)上单调递减.又
1
e
1
e
=
1
3e
1
3
−3
3
< 0，所以函数
10
− 的零点个数，即函数
10
图象的交点个数，作出图象如图所示.
10
，当
10
= 0时， = 0；当 = 10时，
= 1；当 > 10时， > 1.
所以在轴非负半轴上两个函数图象有4个交点.
由对称性，知在轴负半轴上两个函数图象有3个交点.
综上，函数 = sin −
的零点个数为7.故填7.
图4
变式1（1） 方程 2 = 4 − ln 的解所在的区间是(
A. 0,1
B. 1,2
√
C. 2,3
)
D. 3,4
解：令 = 2 − 4 + ln , > 0，易知 单调递增.又 1 = −3 < 0，
2 = ln 2 > 0，故其唯一零点在 1,2 内.故选B.
（2）设函数 =
√
∪
1
( ,+∞)
5
D. −∞, −1
解：显然 ≠ 0.因为 在 −1,1 上为单调函数，且在区间 −1,1 上存在一个零点，
2020届高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课件理新人教A版
考点1 求函数的定义域(自主演练)
1．(2019·郑州调研)函数f(x)＝ln
x x－1
＋x
1 2
的定义域
为( )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0，1)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：要使函数f(x)有意义，则 x－x 1＞0， 解得x＞ x≥0，
1，故函数f(x)＝ln x－x 1＋x12的定义域为(1，＋∞)． 答案：B
考点 2 求函数解析式(自主演练)
1．若 f1x＝1－x x，则当 x≠0，且 x≠1 时，f(x)等于
()
A.1x
B.x－1 1
C.1－1 x
D.1x－1
1 解析：f(x)＝1－x 1x＝x－1 1(x≠0 且 x≠1)．
答案：B
2．已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x －1，则 f(x)＝________．
3.了解简单的分段函数，并能
简单应用.
核心素养
1.数学运算 2.逻辑推理
1．函数与映射的概念
项目
函数
映射
两个集合 设 A，B 是两个 设 A，B 是两个
A，B _非__空__数__集__
_非__空__集__合__
如果按照某种确定 如果按某一个确定的
的对应关系 f，使对 对应关系 f，使对于集 对应关系 f： 于集合 A 中的_任__意__ 合 A 中的_任__意__一个
A．y＝( x＋1)2 C．y＝xx2＋1
B．y＝3 x3＋1 D．y＝ x2＋1
解析：(1)A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不 表示函数，D 中函数值域不是[0，2]．故选 B.
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第7讲函数的图象理解析版
第7讲函数的图象[考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题．2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点)3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解.1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝□07|f (x )|； ②y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝□08f (|x |)． (4)伸缩变换1．概念辨析(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(x)与y＝f(|x|)的图象相同．( )(2)函数y＝f(x)与y＝|f(x)|的图象在x轴上方的部分是相同的．( )(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )(4)若函数y＝f(x)满足f(π＋x)＋f(π－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(π，0)中心对称．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )答案 A解析因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．故选A.(2)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到( )A．函数y＝f(－x－1)的图象B．函数y＝f(－x＋1)的图象C．函数y＝f(－x)－1的图象D．函数y＝f(－x)＋1的图象答案 B解析函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(－(x－1))，即y ＝f(－x＋1)的图象．(3)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．答案(2,8]解析结合图象知不等式f(x)>0的解集为(2,8]，所以函数g(x)＝log 2f(x)的定义域是(2,8]．(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．答案(－1,1]解析作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．题型一函数图象的画法作出下列函数的图象：(1)y ＝2－x x ＋1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|； (3)y ＝|log 2x －1|；(4)y ＝x 2－2|x |－1. 解 (1)易知函数的定义域为{x ∈R |x ≠－1}．y ＝2－x x ＋1＝－1＋3x ＋1，因此由函数y ＝3x 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y ＝2－xx ＋1的图象，如图1所示．(2)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y 轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的图象，如图2所示．(3)先作出y ＝log 2x 的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得到y ＝|log 2x －1|的图象，如图3所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1x ≥0，x 2＋2x －1x <0的图象如图4所示．条件探究 将举例说明(4)改为y ＝|x 2－2x －1|，其图象怎样画？解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋11－2<x <1＋2，画图如图所示．函数图象的画法(1)直接法：当函数的表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．如举例说明(4)．(3)图象变换法：若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．如举例说明(1)、(2)、(3)．作出下列函数的图象：(1)y＝1x－1＋1；(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；(3)y＝10|lg x|.解(1)函数图象如图1所示．(2)函数图象如图2所示．(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，其图象如图3所示．题型 二 函数图象的辨识1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故不选A ；∵f (1)＝e －e －1>0，∴不选D ； ∵f ′(x )＝e x＋e－xx 2－e x －e －x 2xx 4＝x －2e x ＋x ＋2e －xx 3，∴当x >2时，f ′(x )>0，∴不选C.因此选B.2．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 解法一：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.解法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.函数图象辨识的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．1．(2018·安徽安庆二模)函数f (x )＝x ＋1|x ＋1|·log a |x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C解析 f (x )＝x ＋1|x ＋1|log a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log a －x ，x <－1，log a －x ，－1<x <0，log a x ，x >0.故选C.2．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y ＝f (x )的部分图象(在虚线范围内)，则f (x )可能是( )A ．x sin xB ．x cos xC ．x 2cos x D ．x 2sin x答案 A解析 由图象可知y ＝f (x )为偶函数．因为f (x )＝x cos x ，f (x )＝x 2sin x 都是奇函数，所以排除B ，D.由图象可知，在第一象限内，y ＝f (x )的图象在直线y ＝x 的右下方，点(2π，4π2)在f (x )＝x 2cos x 的图象上，且此点在直线y ＝x 的左上方，故排除C.所以f (x )可能是x sin x .题型 三 函数图象的应用角度1 研究函数的性质1．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则下列说法：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确说法的序号是________． 答案 ①②④解析 由已知条件，得f (x ＋2)＝f (x )， 故y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示，当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．角度2 解不等式2．(1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(2)不等式3sin π2x －log 12 x <0的整数解的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 (1)D (2)A解析 (1)因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0可化为f xx<0，即xf (x )<0.由已知得f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集即原不等式的解集为(－1，0)∪(0,1)．(2)不等式3sin π2x －log 12 x <0可化为3sin π2x <log 12 x ，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象如下图所示：结合图象可知，3sin π2x <log 12 x 的整数解为3和7，共2个．角度3 求参数的取值范围3．(1)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2.若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[－1，＋∞) (2)(0,1)解析 (1)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0<a <1.1．利用图象研究函数性质问题的思路对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明2.3．研究方程根的个数及参数的值(或范围)构造函数，转化为两函数图象交点的个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明3(2)．1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析 函数f (x )＝x |x |－2x 的定义域是R ，且f (－x )＝－x |－x |－2(－x )＝－x |x |＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，f (x )＝x |x |－2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.如图所示．函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)．2．若a ＝2x，b ＝x ，c ＝log 12 x ，则“a >b >c ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由图可知，“x >1”⇒“a >b >c ”，但“a >b >c ”⇒/ “x >1”，即“a >b >c ”是“x >1”的必要不充分条件．故选B.3．(2018·安徽皖南八校三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0，其中a >0且a ≠1，若函数f (x )的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 将f (x )在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与f (x )在y 轴右侧的图象有且只有一个交点．当0<a <1时一定满足，当a >1时必须log a 4>1，解得a <4.综上知，a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)．高频考点 高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．1．函数图象和解析式的对应问题[典例1] (2018·浙江高考)函数f (x )＝2|x |sin2x 的图象可能是( )答案 D解析 因为f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin2x ＝－f (x )，所以该函数为奇函数，排除A ，B ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0,2|x |sin2x >0，所以图象在x 轴的上方，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin2x <0,2|x |sin2x <0，所以图象在x 轴的下方．2．函数图象的应用[典例2] 已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，如图所示．故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_6幂函数、二次函数课件理新人教A版
答案：C
2．(必修1·第一章复习参考题改编)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－
4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为
．
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．(必修1·第一章复习参考题改编)若g(x)＝x2＋ax＋b，则g(2)与
1 2
[g(1)＋g(3)]的大
小关系为
上单调递减
奇偶性 顶点
当 b＝0 时为偶函数 －2ba，4ac4－a b2
对称性 图象关于直线
x＝－2ba
成轴对称图形
[三基自测]
1．(必修1·第二章复习参考题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点
12，
2 2
，则k
＋α＝( )
A.12
B．1
C．32
D．2
第六节 幂函数、二次函数
栏目 导航
教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念．
以幂函数的图象与性质的应
2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，用为主，常与指数函数、对数函数
y＝1x，y＝x 的图象，了解它们的 交汇命题；以二次函数的图象与性
变化情况．
质的应用为主，常与方程、不等式
②由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b. 记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c ＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
g－3＝5－7b＞0， 则gg－0＝2＝－11－－5bb＜＜00，，
g1＝b＋1＞0
⇒15＜b＜57，
即b的取值范围为15，57.
3．理解并掌握二次函数的定义、等知识思
4．能用二次函数、方程、不等式 想，题型一般为选择、填空题，中
高三数学一轮复习知识点专题2-7函数的图象及其应用
高三数学一轮复习知识点专题专题专题2-7函数的图象及其应用【核心素养分析】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】知识点一 利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.知识点二 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―——————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象―————————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.【典型题分析】高频考点一 由函数式判断图像 例1．【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为 （ ）A BC D 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误，故选A 。
2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_1函数及其表示课件文新人教A版
第二章 函数、导数及其应用
第一 函数及其表示
微知识·小题练 微考点·大课堂 放飞思维·开启心智
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．函数与映射的概念
函数
映射
建立在两个__非__空__数__集__ A 到 B 建立在两个_非__空___集__合__ A 到 B
的一种确定的对应关系 f，使 的一种确定的对应关系 f，使
定义
对于集合 A 中的___任__意_____一 对于集合 A 中的_任__意__一__个___元
个数 x，在集合 B 中都有
素 x，在集合 B 中都有
_____唯__一__确__定____的数 f(x)和 __唯 ___一__确__定______的元素 y 与
它对应
之对应
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
答案 (3)－xx＋2 1
求函数解析式常用到如下方法 ①待定系数法；②换元法；③配凑法；④转换法；⑤解方程组法。
【变式训练】 (1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋ 1，则 f(x)＝________。
解析 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋ bx。又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即 ax2 ＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2aa＋＋bb＝＝1b，＋1， 解得 a＝b＝12。 所以 f(x)＝12x2＋21x(x∈R)。
考点三 分段函数微点小专题 方向 1：分段函数求值 【例 3】 (2018·江苏高考)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第7课时 函数的图象精品课件
答案： D
3．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所 有的点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析： 由y＝2x得到y＝2x－3－1，只需向右平移3个单位，向下平 移1个单位． 答案： A
1．(2010·重庆卷)函数f(x)＝4x2＋x 1的图象(
)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析： ∵f(x)＝4x2＋x 1＝2x＋2－x，∴f(－x)＝f(x)，是偶函数． 答案： D
2．(2009·北京卷)为了得到函数y＝lg
x＋3 10
的图象，只需把函数y＝
答案： A
【变式训练】 3.若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、 一解、无解？
解析： 原方程化为：a＝－x2＋5x－3，① 作出函数 y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图， 显然该图象与直线 y＝a 的交点的横坐标是方程①的解， 由图可知，当 3＜a＜143时，原方程有两解； 当 1＜a≤3 或 a＝143时，原方程有一解； 当 a＞143或 a≤1 时，原方程无解．
分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
lg x x≥1 解析： (1)y＝－lg x 0＜x＜1. 图象如图①. (2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.
x2－2x－1 x≥0 (3)y＝x2＋2x－1 x＜0 .图象如图③.
有两个不同实根，则a的取值范围为( )
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件理新人教A版
跟踪训练 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：C
(2)(2017·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝
1 x
的图象交点的横坐标所在区间为
() A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
第八节 函数与方程
栏目 导航
教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图 利用函数零点的存在性定理或函数的图
象，了解函数的零 象，对函数是否存在零点进行判断或利
点与方程根的联 用零点(方程实根)的存在情况求相关参
系，判断一元二次 数的范围是高考的热点，题型以选择、
方程根的存在性及 填空为主，也可和导数等知识交汇出现
．
答案：(1,1.5)
考点一|判定函数零点区间 (方法突破)
方法1 使用零点存在性定理判断区间
【例1】
(2017·安徽芜湖模拟)函数f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
的零点所在的大致区间是
() A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[解析]
f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
＝
2 x
－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，
2 x
＞0，所以
f(x)＞0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－33ln 2
＝
2－ln 3
8 .∵
8 ＝2
2 ≈2.828＞e，∴8＞e2，即ln
2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件
70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的 变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快 随 x 值增大，
图象与 y 轴 接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢 随 x 值增大，
图象与 x 轴 接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳 随 n 值变 化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_7函数图象课件文新人教A版
考点三|函数图象的应用 (方法突破) 方法1 利用图象研究函数的性质 【例3】 (2018·长春质检)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
跟踪训练 作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋2； (2)y＝log2|x－1|. 解析：(1)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图所示．
(2)作y＝log2|x|的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y＝log2|x－1| 的图象．
考点二|函数图象的识别 (思维突破)
【例2】 (1)函数f(x)＝lnx－1x的大致图象是(
象．当x＞1时，函数x－1x单调递增，故f(x)＝lnx－1x单调递增．故选B.
(2)函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝
xax |x|
＝
ax，x＞0， －ax，x＜0.
当x＞0时，函数是一
Байду номын сангаас
个指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数递增，所以应选D.
(3)令f(x)＝1－sincos2x
[解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x－2－x22－x，2xx，≥x0<，0， 画出函数f(x)的 图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函 数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
方法2 方程的根或函数图象的零点 【例4】 已知f(x)＝|2lg|x|，x|x，≤x0>，0， 则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为 ________．
2020版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念及运算课件理
[双基夯实]
一、疑难辨析
判 断下 列 结 论 的正 误 ． ( 正确 的 打“√” ，错 误 的打
“×”)
1．f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) 2．f′(x0)是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的函数值．( 3.sinπ3′＝cosπ3.( × )
√)
4．若(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x．( × ) 5．y＝cos3x 由函数 y＝cosu，u＝3x 复合而成．( √ )
满分策略 1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公 式(xn)′＝nxn－1 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a 混淆． 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线 与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反 之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公 共点． 3.曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线 y＝0 是曲线 y ＝x3 在点(0,0)处的切线.
线的倾斜角为(
)
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析 由 y′＝3x2－2 得 y′x＝1＝1 ，即曲线在点(1,3) 处的切线斜率为 1，所以切线的倾斜角为 45°，故选 B.
3．[2016·长春二模]若函数
f(x)＝lnx x，则
1－ln 2 f′(2)＝___4___.
二、小题快练
1．[课本改编]曲线 y＝x2 在(1,1)处的切线方程是(
)
A．2x＋y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析
∵
y′＝2
x，
∴k＝y′
x＝1
＝2，故所求切线方程
为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0，故选 D.
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.7函数的图象学案理
2．7 函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|； ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A1P 75T 10)函数y ＝lg |x －1|的图象大致为( )答案 B解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1 C．e－x＋1 D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )答案 C解析 由函数的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，y ＝1＋b >0，且过定点(0,1＋b )．故选C.题型1 函数图象的画法典例1作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.用图象变换作图．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．用数形结合法．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，所以abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．见冲关针对训练(1)．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．见典例1. 3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x ＝10lg 1x＝1x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x根据图象奇偶性及变化趋势用排除法．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法，导数法．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．见角度1典例．2．由解析式确定函数图象的判断技巧：(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合，故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x答案 C解析 A 中，∵y ＝2x－x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x－x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，当x >0时，y ＝2xsin x 4x ＋1有无数个零点，与图象不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.题型3 函数图象的应用角度1 利用函数图象求解不等式(多维探究)典例(2015·北京高考)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}用数形结合法．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.[条件探究] 若本例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例(2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8根据函数周期性用数形结合．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．见角度1典例．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．见冲关针对训练1.冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)，故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C. 如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4，故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ∈(0,1]，故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x 2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x 2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A 、B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由于f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B 、D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，所以选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第2课时 函数的单调性与最值精品课件
3．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析： ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－2ba＜0，
∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 答案： B
解析： 要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
2．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋
∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析： 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－x12＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函
数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数；
在D中，由f′(x)＝
1 x＋1
且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)
上为减函数． 答案： A
x2＋4x 3．(2009·天津卷)已知函数f(x)＝ 4x－x2
x≥0， x＜0.
若f(2－a2)＞
f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
练规范、练技能、练速度
2020年高考数学一轮复习讲练测专题2.7函数的图象(讲)(含解析)(2021-2022学年)
第0７讲函数的图象－--讲1. 会运用函数图象理解和研究函数的性质.2。
高考预测:(1）函数图象的辨识(2）函数图象的变换（3）主要有由函数的性质及解析式选图;由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题.常常与导数结合考查。
3．备考重点(1）基本初等函数的图象(2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用知识点1.利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2)化简函数解析式;（3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；（４）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．【典例1】【20１８年全国卷Ⅲ理】设函数．（1)画出的图象;（2)当，,求的最小值.【答案】(1)见解析;（２)ﻬ【解析】（1）的图象如图所示.(2）由（1）知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立，因此的最小值为．【规律方法】 函数图象的画法(1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．（2）转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象． 【变式1】【北京海淀十一学校2０1７—２018学年高一上期中】对、,记,函数.(1)求,.（２）写出函数的解析式，并作出图像．ﻬ（3)若关于的方程有且仅有个不等的解,求实数的取值范围.(只需写出结论)【答案】见解析．ab ∈R (0)f (4)f -()f x x()f x m =3m【解析】解：(1)∵，函数，∴，．(2）（3)或．知识点２.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换（２)对称变换5m=mｙ=f(ｘ)的图象错误!ｙ＝-f（x)的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝ｆ（－ｘ)的图象;y＝ｆ（ｘ）的图象错误!y＝-f(-ｘ)的图象；y＝a x(a＞0,且a≠1）的图象错误!y＝log a x（ａ〉0,且a≠１)的图象．(3）伸缩变换y＝f(x)错误!未定义书签。
2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示课件
5．(2018·石门模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，从M到N有四种 对应如图所示：
其中能表示从M到N的函数关系的有
(B)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析] ①中定义域为[0,1]，不符合题意；④中对应关系为一对二，不符合
题意，②③正确．
6．(2018·衡水调研卷)函数 f(x)＝2loxg，2xx，≤x0>，0，则 f(14)＝__－__2___；方程 f(－x) ＝12的解是_－____2_或__1_____.
[解析] f(14)＝log214＝－2；当 x<0 时，由 f(－x)＝log2(－x)＝12，解得 x＝－ 2， 当 x>0 时，由 f(－x)＝2－x＝12，解得 x＝1.
考点突破
考点1 函数与映射的概念——自主练透
例 1 (1)下列对应是否是从集合 A 到 B 的映射，能否构成函数？ ①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x. ③A＝N，B＝Q，f：x→y＝x12. ④A＝{x|x 是平面 α 内的矩形}，B＝{y|y 是平面 α 内的圆}，对应关系 f：每一 个矩形都对应它的外接圆．
1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的 映射就是函数；
(2)映射的两个特征： 第一，在A中取元素的任意性； 第二，在B中对应元素的唯一性； (3)映射问题允许多对一，但不允许一对多． 2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第2讲函数的定义域值域
第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0．(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (4)一次函数、二次函数的定义域均为R ． (5)函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． (6)指数函数的定义域为R ． (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)． 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．2．y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a<0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b 24a ． 3．y ＝kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}．4．y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． 5．y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 3．函数f(x)与f(x ＋a)(a 为常数a≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x>1.( × ) (3)函数y ＝f(x)定义域为[－1，2]，则y ＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1，1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a)的值域为R ，则a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × ) [解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y≥2或y ≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.( √ ) [解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a)值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤14.题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f(x)＝2x－1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0x －2≠0，解得x≥0且x≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f(0) D ．f(0)，f(3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f(x)＝x ＋9x ，x∈[2，4]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132．[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132.题组三 走向高考5．(2020·北京，11，5分)函数f(x)＝1x ＋1＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．[解析] 要使函数f(x)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x>0，故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝xx －1(x≥2)的最大值为2．[解析] 解法一：(分离常数法)f(x)＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x≥2，∴x－1≥1，0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1，2]，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy－y ＝x ，∴x＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－yy －1≥0，解得1<y≤2，故函数f(x)的最大值为2.解法三：(导数法)∵f(x)＝x x －1，∴f′(x)＝x －1－x （x －1）2＝－1（x －1）2<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( B )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，x ＋1>0，x≠0，解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[解析] 由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f(x)与f(2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f(2x ＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x<0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x －1)定义域改为[0，1]，求y ＝f(2x ＋1)的定义域，又该怎么办？ [解析] ∵y＝f(2x －1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x－1≤1，要使y ＝f(2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x≤0， 因此y ＝f(2x ＋1)定义域为[－1，0]． 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出； ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 〔变式训练1〕(1)(角度1)函数f(x)＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x ＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f(x)的定义域为[－1，2]． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1<x≤2，且x≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a>0，所以x<a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]．考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x|1＋|x|；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；(6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x|1＋|x|＝－1＋21＋|x|， ∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<2|x|＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x|≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法：由y ＝1－|x|1＋|x|，得|x|＝1－y 1＋y.∵|x|≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y≤1，即函数值域(－1，1]．(2)解法一：配方法：y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3， 由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t≤258，又∵y＝t 有意义，∴0≤t≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝2，∴|y －1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y)x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y －1)2≥4，∴y－1≤－2或y －1≥2.得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 解法三：导数法(单调性法)令y′＝1－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2<0， 得－1<x<0或0<x<1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3； 函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1. ∴y ≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法设1－2x ＝t(t≥0)，得x ＝1－t22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t≥0)，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：单调性法∵1－2x≥0，∴x≤12，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上均单调递增，∴y≤12－1－2×12＝12，∴y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴y∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x<－1），3（－1≤x≤2），2x －1（x>2）.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf （x ）＋daf （x ）＋b (a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b±cx ＋d (c≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b±c 2－x 2(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x>12.[解析] (1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1，1]．解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0，所以1－y 1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1，1]． (2)设t ＝1－x ，t≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t≥0)， 所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x>12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2＋12，＋∞. 导数法：y′＝4x 2－4x ＋1（2x －1）2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f(x)＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f(x)的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立；(2)由f(x)的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a>53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为[0，1]．(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R. ②当m≠0时，由定义域为R 可知， mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0， 解得0<m≤1，∴m 的取值范围是[0，1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，∴32≤m≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_7函数图象课件理新人教A版
跟踪训练 (1)在本例(1)中，若函数变为y＝
x－1x，其图象如何选．
解析：定义域仍为(－1,0)∪(1，＋∞)，排除A，D后，
当x＞1时，由于x－1x递增，故f(x)＝
x－1x递减，故选C.
(2)在本例(2)中，若a的取值为(1，＋∞)，y＝x|xa|x，如何选？
解析：当x＞0，f(x)＝ax为增函数，排除C，D.
答案：D
3．(必修1·2.2练习改编)函数y＝ln1＋1 x的图象大致为(
)
答案：B
4．(必修1·习题1.2B组改编)函数r＝f(p)的图象如图所示，若只有唯一的p值与r对
应，则r的范围为
．
答案：(3,5]∪(0,2)
考点一|作函数的图象 (易错突破) 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝xx＋ －21； (3)y＝|log2(x＋1)|.
第七节 函数图象
栏目 导航
教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同 函数图象的辨析；
的需要选择图象法、列表法或 函数图象和函数性
解析法表示函数．
质的综合应用；利
2．会运用函数图象理解和研 用图象解方程或不
究函数的性质和解决方程解的 等式，题型以选择
个数与不等式解的问题.
跟踪训练 作出下列函数的图象： (1)y＝|x2－4x＋3|； (2)y＝2xx＋＋11； (3)y＝10|lg x|.
解析：(1)先画出函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上 方，如图①.
(2)y＝
2x＋1 x＋1
＝2－
1 x＋1
，可由y＝－
1 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2-7 函数图象
课时规范练
(授课提示：对应学生用书第229页)
A 组 基础对点练
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( B )
A ．y ＝ln(1－x )
B ．y ＝ln(2－x )
C ．y ＝ln(1＋x )
D ．y ＝ln(2＋x )
2．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( B )
3．(2018·高考浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( D )
解析：易知函数y ＝2|x |sin 2x 为奇函数，故排除A ，B.当x ＝
时，函数值为0，故排除C.π2
故选D.4．(2015·高考北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( C )
A ．{x |－1＜x ≤0}
B ．{x |－1≤x ≤1}
C ．{x |－1＜x ≤1}
D ．{x |－1＜x ≤2}
5．(2017·河南平顶山模拟)函数y ＝a ＋sin
bx (b ＞0，且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝
log b (x －a )的图象可能是( C )
6．(2017·山东临沂模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝1312
f ′(x )的图象如图所示，则函数
g (x )＝|a x －2|的图象可能是( D )
7．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( D )
A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e －x ＋1
D ．e －x －1
8．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( B )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
B 组 能力提升练
1．(2018·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0，且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可能是( D )
解析：由题意知0＜a ＜1，函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为x ＞1或x ＜－1，当x >1时，函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以由函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，故选D.
2．(2018·岳阳二模)函数y ＝的图象大致是( D )x 2ln |x ||x |
解析：当x ＞0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，
即0＜x ＜时，函数y 单调递减，当x ＞，函数y 单调递增，且函数y 为偶函数，故选D.1e 1e
3．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( A )
A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0
B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0
D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0
4．(2018·上海模拟)点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图象的形状大致是图中的( A )
解析：根据题意得f (x )＝Error!
分段函数图象分段画即可，故选A.
5．(2017·河北石家庄模拟)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( D )
A ．3c ＞3a
B ．3c ＞3b
C ．3c ＋3a ＞2
D ．3c ＋3a ＜2
6．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是( A )
A ．[－1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．[－1,1]
7．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( B )
A. B ．(0，12
)(0，12]C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)
解析：原不等式等价于a x －1<x －1，令f (x )＝a x －1，g (x )＝x －1，结合函数图象讨论a >1时，3434
0<a <1时两种情况，得出a 的取值范围．
8．设函数f (x )＝Error!g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( C )
A ．m ≥或m ＝－114
B ．m ≥14
C ．m ≥或m ＝－115
D ．m ≥15
解析：本题可转化为函数y ＝f (x )的图象与过定点的直线y ＝4mx ＋m 的交点个数问(－14
，0)题．
9．(2017·山东聊城模拟)若方程|3x －1|＝k 有两个解，则实数k 的取值范围是 (0,1) ．
解析：曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 的图象如图所示，由图象可知，如果y ＝|3x －1|与直线y ＝k 有两个公共点，则实数k 应满足0＜k ＜1.
10．(2018·湖北模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，y ＝g (x )是偶函数，它们的定义域均为[－3,3]，
且它们在x ∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是 {x |－2＜x ＜－1或0＜f x g x
x ＜1或2＜x ＜3} ．
解析：∵f (x )是奇函数，∴由图象知，当0＜x ＜2或－3≤x ＜－2时，f (x )＞0；
当－2＜x ＜0或2＜x ≤3时，f (x )＜0.
∵g (x )是偶函数，∴由图象知，当1＜x ＜3或－3＜x ＜－1时，g (x )＞0；
当－1＜x ＜0或0＜x ＜1时，g (x )＜0.
则不等式<0等价为Error!或Error!f x g x
即Error!或Error!
得0＜x ＜1或2＜x ＜3或－2＜x ＜－1，即不等式的解集为{x |0＜x ＜1或2＜x ＜3或－2＜x ＜－1}．。