巴特沃斯数字低通滤波器

目录

1.题目.......................................................................................... .2

2.要求 (2)

3.设计原理 (2)

3.1 数字滤波器基本概念 (2)

3.2 数字滤波器工作原理 (2)

3.3 巴特沃斯滤波器设计原理 (2)

3.4脉冲响应不法 (4)

3.5实验所用MATLAB函数说明 (5)

4.设计思路 (6)

5、实验内容 (6)

5.1实验程序 (6)

5.2实验结果分析 (10)

6.心得体会 (10)

7.参考文献 (10)

一、题目：巴特沃斯数字低通滤波器

二、要求：利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器，通带截止频率

100HZ,采样频率1000HZ ，通带最大衰减为0.5HZ ，阻带最小衰减为10HZ ，画出

幅频、相频相应相应曲线。并假设一个信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其

中f1=50HZ,f2=200HZ 。用此信号验证滤波器设计的正确性。

三、设计原理

1、数字滤波器的基本概念

所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输

入信号所含频率成分的相对比例，或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程

序，因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是的形式和实现滤波方法不同。

正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳定、体积

小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法实现的特殊

滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A\DC 和D\AC,在信号形式上进行

匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。

2、数字滤波器的工作原理

数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也是

一个时间序列。如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为h(n),则在时间域

内存在下列关系

y(n)=x(n) h(n)

在Z 域内，输入输出存在下列关系

Y(Z)=H(Z)X(Z)

式中，X(Z),Y(Z)分别为输入x(n)和输出y(n)的Z 变换。

同样在频率域内，输入和输出存在下列关系

Y(jw)=X(jw)H(jw)

式中，H(jw)为数字滤波器的频率特性，X(jw)和Y(jw)分别为x(n)和y(n)的频谱。

w 为数字角频率，单位rad 。通常设计H(jw)在某些频段的响应值为1，在某些频

段的响应为0.X(jw)和H(jw)的乘积在频率响应为1的那些频段的值仍为X(jw)，

即在这些频段的振幅可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。X(jw)和H(jw)

的乘积在频段响应为0的那些频段的值不管X(jw)大小如何均为零，即在这些频

段里的振幅不能通过滤波器，这些频带称为阻带。

一个合适的数字滤波器系统函数H(Z)可以根据需要输入x(n)的频率特性，经

数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成

分。

3、巴特沃斯滤波器设计原理

（1）基本性质

巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器

是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。

巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示1

()ΩΩ+=Ωc N /22a 11)(j H

N=1,2，…… （2-6）

下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征

a 对所有的N ，()1a j H 20=Ω=Ω。

b 对所有的N ，()707.0a

j 2c =ΩΩH =Ω即()dB 3a lg 20j H c =Ω=ΩΩ c ()Ωj H a 2是Ω的单调下降函数。

d ()Ωj H a 2

随着阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。 如下图2所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的增加而变

得越来越好，在截止频率Ωc 处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的

频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。

图2 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数

（2）系统函数

设巴特沃斯的系统函数为H a （s ），则：

（3）设计过程

巴特沃思低通滤波技术指标关系式为

a p >-20log|H a (j Ω)|，Ω<ΩP

a s <-20log|H a (j Ω)|，Ω>Ωs

其中：Ωp 为通带边界频率，Ωs 为阻带边界频率。代入式1.4.1可得:

经过化简整理可得：

取满足上式的最小整数N作为滤波器的阶数。再将N代入可得：

或

查表求得归一化传输函数H(s),令s/Ωc代替归一化原型滤波器系统函数中的s,即得到实际滤波器传输函数。

4、脉冲响应不变法

所谓脉冲响应不变法就是数字滤波器的脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的响应ha(t)的采样值，即

h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT)

式中，T为采样周期。

因此数字滤波器的系统函数H(Z)可由下式求得

H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)]

Z[-]表示[-]的内容进行变换，变换的内容请参考相应的数字信号处理材料。

如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数Ha(s) ,求与之对应的数字滤波器的传递函数H(z)的方法是：

（1）、求模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)。

式中，L[Ha(s)]表示对Ha(s)的Laplace.逆变换。Laplace变换内容请参考高等数

学的积分变换或信号处理教材。

（2）、求模拟滤波器单位冲激响应ha(t)的采样值，即数字滤波器冲激响应序列h(n)。

（3）、对数字滤波器的冲激h(n)响应进行z变换，得到传递函数H(z)。

由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器系统函数Ha(s)求出数字滤波器系统函数H(z)的步骤是：

（1）利用部分分式展开将模拟滤波器的传递函数H(z)展开成

Ha(s)= Rk\(S-Pk)

在MATLAB中这步可通过residue函数实现

若调用residue函数的形式为[b,a]=residue(R,P,K)形式。

若为[R,P,K]=residue(a,b)则为上面调用形式的反过程。

(2)将模拟极点Pk变换为数字极点e^pkT即得到数字系统的传递函数

H(z)= Rk\(1-e^pkT*z*(-1))

式中T为采样间隔。

（3）将上式转换为传递函数形式，可采用[R,P,K]=residue(b,a)。