1)为白噪声序列,无周期性,谱密度为

差序列不是白噪声。
2）由正态检验可以看出残差自协方差函数 1 步截尾，可以用 MA(1)
模型拟合残差，而
ρ1
=
1
b + b2
计算 b ≈ 1± 1− 4*0.42 = 0.5(or 2)
2ρ1
由
( ) σ 2 1+ b2 = 1.25
得σ 2 = 1(or 0.25)
因此有一解
et = εt + 0.5εt−1 ， εt 为标准白噪声，进而可得
同为σ 2 ，当 b 接近 1 时，前者还是为σ 2 ，但后者接近 2σ 2 。即当 b 越
大，近似方法带来的误差越大。
第六题：
推导过程见教材《应用时间序列分析》
可得， Xt+1和{X1,", Xt }−1 正交，同样也和{W1,",Wt }−1 正交。
当
m
≤
t
−
1时，
E
⎛ ⎜ ⎝
X
t
+1
−
bσ 2 vt −1
Wt
⎞ ⎟ ⎠
(Wm
)
=
0
当 m = t 时，
E
⎛ ⎜ ⎝
X
t
+1
−
bσ 2 vt −1
Wt
⎞ ⎟ ⎠
(Wt
)
=
E
(
X
W t+1 t
)
−
bσ
2
( ( )) = E Xt+1 Xt − Xˆ t − bσ 2
Wt+1 = Xt+1 − Xˆ t+1 为预测偏差，vn = EWn2+1 为预测均误差。利用最优线性预 测的相关性质证明
（1）
L
(
X
t +1
|
Xt
,",
X1
)
=
L
(
X
t +1
|
Wt
,",W1
)
=
bσ 2 vt −1
Wt
（2） vn
=
σ
2
1− b2n+4 1− b2n+2
（ 3 ） 记 X t = bεˆt−1 为 利 用 利 用 {X1,", Xt} 对 Xt+1 的 近 似 预 测 ， 其 中 X1 = 0, εˆt = Xt − X t 。推导 X t+1 关于 {X1,", Xt} 的表达式，并计算近似
若 B ( z) = 0 的根为 q 个互异 z1,", zq ，则φk 有通解
q
∑ φk =
U
z−t
jj
，其中U
j
被
q
个初值确定。
j =1
第三题 （10 分）
某人对时间序列 x1,", x100 进行分析，获得如下模型
Xt = 0.4Xt−1 + et , Var (et ) = 1.245
分析残差时发现残差的样本（偏）相关系数如下：
limN→∞ N·Var ( X N ) ，其中 Var ( X N ) 为时间序列样本均值的方差。
答案：
上述自回归序列 Xt 的期望为 0，因此
( ) N·Var
XN
=
N·E
⎛ ⎜⎝
X1
+"+ N
XN
⎞2 ⎟⎠
=
1 N
E(
X1
+"+
XN
)2
∑ ∑ ∑ ( ) γ = 1 N N N i=1 j=1
∞
C ( z) = ∑φj z j ,φ0 = 1 在单位元内收敛，并且 C (B) B (B)εt = εt , 即有在单位 j=0
圆内C ，有
q
∞
∞q
∞q
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 = bj z j φk zk =
φkbj z j+k =
第一 题（20 分）
εt 为标准白噪声序列, 说明下列模型的类别和其周期性，给出 1-3 的
谱密度。并讨论相应模型的样本自协方差函数的性质。
1） Xt = εt ；
2）
Yt
=
−
2 1.1
X
t −1
−
1 1.21
X
t−2
+
εt
；3）Zt
= εt + bεt−1,
b <1；
4）Wt = μ + at + εt ；5）Vt = 1.5Vt−1 − 0.5Vt−2 + εt
1）残差是白噪声序列吗？给出检验（正态分布函数 Φ (1.96) = 0.975 ）
2）如果不是，给出更好的模型，估计{Xt} 模型的参数（精确到十分位）。
参考答案：
1）不是白噪声序列
如果是白噪声，则样本相关系数 95%的置信区间为[−0.196， 0.196] ，可
以看出只有一阶相关系数不在该区间，利用白噪声的正态检验可得残
因 为 Xˆ t 为 X1,", X t−1 的 线 性 组 合 ， 它 们 和 X t+1 正 交 ， 可 得
( ( )) ( ) E Xt+1Wt = E Xt+1 Xt − Xˆ t = bσ 2 ，因此
当
m
=
t
时，
E
⎛ ⎜ ⎝
X t+1
−
b vt −1
Wt
⎞ ⎟ ⎠
(Wt
)
=
0
。由最优线性预测的性质得
预测的均方误差 wt = E Xt+1 − X t+1 2 ，该值和最优线性预测的均方误差
vn 有差异，讨论该差异和参数 b 的关系。
参考答案：
（ 1 ） 记 Ln = sp{X1,", Xt} 为 {X1,", Xt} 线 性 组 合 的 全 体 ，
M n = sp{W1,",Wt} 为{W1,",Wt} 线性组合的全体。首先由Wt+1 = Xt+1 − Xˆ t+1 ，
1.1 1.21
3） 可逆 MA(1)模型，无明显周期性，谱密度为 |1+ beiλ
|2
1+ 2b cos (λ ) + b2
=
，样本自协
2π
2π
方差函数 1 步截尾。 4） 带确定性线性趋势的时间序列，没有明显周期性；样本自协方差函数缓慢减小，不会快
速收敛到 0 5） ARIMA（1，1，0）模型，没有明显周期性；样本自协方差函数缓慢减小，不会快速收
可得对任意 Mn 中的随机变量，一定属于 Ln ，因此 Mn ⊆ Ln 。另一方面，
由 X1 = W1 ，所以 L1 ⊆ M1 ，利用归纳法可得 Ln ⊆ M n 。即可得 Ln = M n ，因
此
L ( Xt+1 | Xt ,", X1 ) = L ( Xt+1 | Wt ,",W1 )
由最优线性预测的性质可得{Wn} 为正交序列，由 MA (1) 序列的协方差函数截尾性
敛到 0
第二题（15 分）
εt 为白噪声序列， X t = εt + b1εt−1 +" + bqεt−q 为可逆的 MA(q) 模型，则 εt 可
∞
∑ 以写成 AR (∞) 的形式 εt = Xt + φ1Xt−1 + φ2 Xt−2 +" = φ j Xt− j ，其中φ0 = 1。推 j=0
导φj 的递推公式，并且给出φj 关于特征多项式 B ( z) = 1+ b1z +"+ bq zq 的
i− j
=
1 N
N −1 i =1− N
N−|i| γi
∑ ∑ =
N −1 i=1− N
γi
+
1 N
N −1
|i
i=1− N
|γi
由 Kronecker 引理，当 N → ∞ 时，上式第二项趋于 0，由 Xt = 0.8Xt−1 + εt ,
∞
∑ 可得 Xt = 0.8 j εt− j ，由此 j=0
t
t −1
−b 2 j + 2bσ 2
−b 2 j+1
j=0
j=0
( ) ( ) = σ 2
1+ b2
1− b2t+2 1− b2
+
2bσ
2
−b − −b 2(t)+1 1− b2
( ) = σ 2 1+ b2t+2
( ) vn
=σ2
1− b2n+4 1− b2n+2
和对应σ 2
1+ b2n+2
比较，当 b 接近 0 时，两者差别不大，
−
b2σ
4
σ
1− 21
b2(k −1)+2 − b2(k −1)+4
=
σ
2
1 1
− −
b2 b2
n+4 n+2
3）
由
∑( ) εt
=1 1+ bB
Xt
=
∞ j=0
−b
X j t− j
∞
则， Xt = εt − ∑(−b) j Xt− j ，近似预测假定 X j = 0, j ≤ 0 ，因此有 j =1
参考答案
1） 为白噪声序列，无周期性；谱密度为 1 ；样本协方差函数在 0 点为 1，在其它点接近 2π
0.
2） 可逆自回归模型 AR(2) ，因为特征方程有负根-1.1，幅角为 π ，周期为 2，谱密度