11.3.1 一次函数与一元一次方程--.
11.3.1 一次函数与一元一次方程(含答案)-
11.3.1 一次函数与一元一次方程角度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。
1．解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的函数值为0，•求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x•轴的交点的横坐标．2．在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0•的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象．魔法师例：若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？分析：（1）一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三角形，•两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值．（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得．解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B．令y=0得x=-6k；令x=0得y=6．∴A（-6k，0）、B（0，6）∴OA=|6k|、OA=│6│=6∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24∴│k│= 43∴k=±43演兵场☆我能选1．直线y=3x+9与x轴的交点是（）A．（0，-3） B．（-3，0） C．（0，3） D．（0，-3）2．直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（）A．3 B．2 C．-2 D．-33．已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，则b的值是（）A．1 B．-1 C．13D．-134．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是（-1，1），则直线y=x与直线AB的交点是（） A．（1，1） B．（-1，-1） C．（1，-1） D．（-1，1）☆我能填5．直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a•的值是______．6．已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______．•与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．7．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x•轴的交点坐标是________．8．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x等于_________•时的函数值是8．☆我能答9．用作图象的方法解方程2x+3=910．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？探究园11．有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征．可心：图象与x轴交于点（6，0）。
一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程一、引言数学中的一次函数和一元一次方程是初中数学中最基础的概念之一。
理解和掌握这两个概念对于学习数学的后续内容具有重要意义。
本文将对一次函数和一元一次方程进行详细介绍，并探讨它们之间的关系。
二、一次函数的定义及特点一次函数，又称为线性函数，是指一个变量的函数，其最高次项为一次。
一般形式为：y = kx + b，其中k和b为常数，k称为斜率，表示函数的变化趋势，b称为截距，表示函数与y轴的交点。
一次函数的特点有以下几个方面：1. 图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度；2. 函数的自变量为一元变量x，因变量为y；3. 一次函数可表示线性关系，如速度与时间的关系、温度与时间的关系等；4. 一次函数可以通过斜率和截距的值来确定一次函数的图像。
三、一元一次方程的定义及解法一元一次方程是指只有一个变量的一次方程，其一般形式为：ax +b = 0，其中a和b为常数，且a ≠ 0。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 对方程进行整理，将x的项移动到等式的一边，常数项移动到另一边；2. 通过移项和化简的步骤，得到方程的标准形式ax = b；3. 对方程两边同时除以系数a，得到x = b/a；4. 得到方程的解x = b/a。
需要注意的是，一元一次方程可能有无穷多个解，也可能没有解。
当方程无解时，得到矛盾的等式，如0 = 1，这是不成立的。
四、一次函数与一元一次方程的关系一次函数和一元一次方程之间存在密切的关系。
一次函数的图像实际上是一元一次方程的解集的图像表示形式。
以一次函数y = 2x + 3为例，我们可以将其转化为一元一次方程2x + 3 = 0，并解得x = -3/2。
这个解告诉我们，当y = 0时，x取-3/2。
因此，一次函数的x轴上的截距实际上就是一元一次方程的解。
同样地，我们可以将一个一元一次方程转化为一次函数的形式。
比如方程3x - 1 = 0，可以转化为函数y = 3x - 1的形式。
一次函数与一元一次方程、不等式
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
1 知识小结
任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常 数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某 个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图 象上看，相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴的交点 的横坐标．即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解， 充分体现了数形结合的思想．
1 【2016·桂林】如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2) 和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( D ) A．x＝2 B．x＝0 C．x＝－1 D．x＝－3
2 【中考·合肥】已知方程 1 x＋b＝0的解是x＝
2 －2，下列可能为直线y＝
1 2
x＋b的图象的是
( C)
3 如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点
因为任何一个以x为未知数的一 元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
一次函数与一元一次方程的联系： 任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变
形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映 在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
知识卡片-一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程能量储备因为任何一个以x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax ＋b ＝0(a ≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y ＝ax ＋b 的函数值为0时，求自变量x 的值．(1)直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程kx ＋b ＝0(k ≠0)的解．在求直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标时，可令y ＝0，得到一元一次方程kx ＋b ＝0，解方程得x ＝－b k ，则－b k就是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标，即直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－b k ，0. (2)直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点的横坐标是一元一次方程kx ＋b ＝b 的解.求直线y ＝kx ＋b 与y 轴交点的坐标，可令x ＝0，得y ＝b ，b 就是直线y ＝kx ＋b 与y 轴交点的纵坐标，即直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标为(0，b )．(3)对于一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，在已知x 值求y 值或已知y 值求x 值时，也都是把问题转化成关于y 或关于x 的一元一次方程来求解的．通关宝典★ 基础方法点 方法点1：方程ax ＋b ＝k (a ≠0)的解⇔函数y ＝ax ＋b (a ≠0)中，y ＝k 时x 的值.方程ax ＋b ＝k (a ≠0)的解⇔函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标．例1 一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则方程kx ＋b ＝0的解是________，方程kx ＋b ＝1的解是________．解析：观察图象发现：当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝1.所以方程kx ＋b ＝0的解是x ＝－2，方程kx ＋b ＝1的解是x ＝0.答案：x ＝－2；x ＝0蓄势待发考前攻略一次函数与方程(组)或不等式的关系，主要考查利用方程(组)确定函数图象特殊点(公共点)的坐标，利用一次函数图象来求一元一次不等式(组)的解集等，题型以填空题、选择题为主，难度适中．完胜关卡。
一次函数与一元一次方程和不等式同步辅导(含答案)--绝对经典
11.3.1 -11.3.2 一次函数与一元一次方程和不等式重点知识讲解1．一元一次方程ax+b=0（a≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的关系（1）一元一次方程ax+b=0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时的特殊情形．（2）直线y=ax+b与x轴交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解x=-ba。
2．一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值不等于0的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集．经验与方法技巧1．利用一次函数求一元一次方程的解题步骤（1）将一元一次方程化成ax+b=0的形式．（2）画出y=ax+b的图像，确定其与x轴交点的横坐标．2．利用一次函数求一元一次不等式的解集的技巧根据不等式的特点，灵活采用求解方法：（1）利用一个一次函数；（2）•利用两个一次函数．典型例题例1画出y=-3x+5的图象，利用图像求方程-3x+5=0的解．解析取点（0，5），（53，0），图像如图所示．∵直线y=-3x+5与x轴交点的横坐标为53，∴方程-3x+5=0的解为x=53。
评注画函数图像时要准确，求出直线y=-3x+5与x•轴交点的横坐标即为方程的解．例2画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．（3）如果y的值在-6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？解析取点（0，12），（4，0），作出函数图像，如图所示，由图像可以看出：（1）当y>0时，x的取值范围为x<4，∴不等式-3x+12>0的解集为x<4．（2）当y≤0时，x的取值范围为x≥4．∴不等式-3x+12≤0的解集为x≥4．（3）当-6≤y≤6时，x的取值范围为2≤x≤6．评注借助图像求不等式的解集，关键是要清楚以下几点：①y>0时，x•的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围．②y<0时，x的取值范围就是x•轴下方的图像所对应的x的取值范围．③y=0时，x的值就是图像与x轴交点的横坐标．④当y>a或y<a（a≠0）时，应先确定当y=a时对应的x值，然后再进一步确定x的取值范围．例3若y1=-x+3，y2=3x-4，当x取何值时，y1<y2？解析∵y1<y2，∴-x+3<3x-4，解得x>74，∴当x>74时，y1<y2．评注此题是两个一次函数之间的关系，可以直接借助一元一次不等式求出x的取值范围．教材例题习题的变形题例（P41例2）用画图像的方法解下列各题：（1）解不等式：5x+4>2x+10．（2）解方程：5x+4=2x+10．解析（1）如图，原不等式可化为3x-6>0，画出直线y=3x-6，由图像可以看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=3x-6>0，所以不等式的解集为x>2．（2）原方程可化为3x-6=0．由图像可以看出，y=3x-6与x轴交点的横坐标为2，所以原方程的解为x=2．评注①从函数的角度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式、•一元一次方程之间的联系，体现了数形结合的思想．②本题求不等式的解集时，还可将不等式的两边分别看作两个一次函数，画出两条直线，比较直线上点的位置的高度，也可求得不等式的解集．学科内综合题例1甲、乙两辆摩托车分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中的L1，L2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）•之间的函数关系．（1）哪辆摩托车的速度较快？（2）经过多长时间，甲摩托车行驶到A，B两地的中点？解析（1）由图像可以看出，甲摩托用了0．6h行驶了20km，而乙摩托车用了0．•5h 行驶了20km，所以乙摩托车的速度较快．（2）设L1的关系式为y=kx，把x=0．6，y=20代入，得20=0．6k，解得k=1003，∴y=1003x.当y=10时，10=1003x．所以经过0．3h，甲摩托车行驶到A，B两地的中点．评注本题第（1）题是比较速度的大小，这一点可以通过图像提供的数量直接分析出来．第（2）题的关键是要分析出甲摩托车行驶到中点时所行驶的路程为10km．例2已知y=12x-2．（1）x取何值时，y>0？（2）x取何值时，y<0？（3）当x>4时，求y的取值范围．解析作出y=12x-2的图像，如图所示．（1）当x>4时，y>0．（2）当x<4时，y<0．（3）当x>4时，y的取值范围是y>0．评注本题可以通过图像直观地得出结论．综合应用题例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，•甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，再给其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解析设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时所需的费用为y1元，选择乙旅行社时所需的费用为y2元，则y1=200×0．75x，即y1=150x；y2=200×0．8（x-1），即y2=160x-160．由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16；由y1>y2，得150x>160x-160，解得x<16；由y1<y2，得150x<160x-160，解得x>16．因为参加旅游的人数估计为10～20人，所以，当x=16时，甲、•乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤20时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．评注已知前提条件，设计方案是解决实际问题的一种常见形式．明确每一种收费方式占优势时对应的自变量的取值范围是解决此类问题的关键，•借助不等式就可确定自变量的取值范围．例2兄弟俩赛距，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3m，•哥哥每秒跑4m．列出函数关系式，作出函数图像，观察图像回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？解析设哥哥跑了ts，则哥哥所跑的路程与时间的关系式为s1=4t；弟弟所跑的路程与时间的关系为s2=3t+9．图像如图所示．当s1=s2时，4t=3t+9，t=9．（1）当0≤t<9时，弟弟跑在哥哥的前面．（2）当t>9时，哥哥跑在弟弟的前面．（3）∵20<36，∴弟弟先跑过20m．∵100>36，∴哥哥先跑过100m．评注本题可以从时间或路程两个角度进行分析．在同一时间内，谁跑的路程远，谁就在前面，谁就先跑过20m，100m．也可比较他们各自所用的时间，谁用的时间短，•谁就先跑过．本题既可以通过计算来进行比较，也可通过图像直观地进行判断．创新题例（探究题）我边防局接到情报，在离海岸5海里处有一可疑船只A•正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶．图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（min）之间的关系．（1）A，B哪一个的速度快？（2）至少要用多长时间才能追上可疑船只A？解析由图像可确定L表示快艇B的图像，L表示可疑船只A的图像．（1）快艇10min行驶了5海里，所以其速度为5÷10=0．5（海里/min）．可疑船只10min行驶了7-5=2（海里），所以其速度为2÷10=0．2（海里/min）．所以快艇B的速度快．（2）设L1的关系式为y1=kx，把（10，5）代入，得5=10k，解得k=0．5，∴y1=0．5x．设L2的关系式为y2=kx+5，把（10，7）代入，得7=10k+5，解得k=0．2，∴y2=0．2x+5．当y1≥y2，即0．5x≥0．2x+5时，0．3x≥5，x≥503.所以至少需要503min，快艇才能追上可疑船只．中考题例（2004年苏州卷）如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．（1）根据图像，求k和b的值．（2）在图中画出函数y=-2x+2的图像．（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．解析（1）∵直线y=kx+b经过点（-2，0），（0，2）．∴02,20,k bb=-+⎧⎨=+⎩解得1,2,kb=⎧⎨=⎩∴y=x+2．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图像如图所示．（3）当y=kx+b 的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，•即x 的取值范围为x>0．11.3.1 一次函数与一元一次方程同步练习［要点再现］1.由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
一次函数与一元一次方程,一元一次不等式及二元一次方程组
一次函数与一元一次方程，一元一次不等式及方程组目标：1.理解一次函数与一元一次方程，一元一次不等式及方程组之间的关系，会根据一次函数的图像解决一元一次方程，一元一次不等式及方程组求解问题。
2.学习用函数的观点看待方程，不等式及方程组的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
学习重点：用一次函数解一元一次方程，一元一次不等式及方程组。
学习难点：理解一次函数与一元一次方程，一元一次不等式及方程组之间的关系一.温故知新1.已知直线经过（2,4）和点（0，-2），那么这条直线的解析式是（）A.y=-2x+3B.y=3x-2C.y=-3x+2D.y=2x-32.解下列一元一次方程。
（1）2x+1=3 (2) 2x+1=0 (3) 2x+1=-1解(1) 2x+1=3 (2) 2x+1=0 (3) 2x+1=-1X=1 x=-1/2 x=-1二.合作探究1.下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？（1）2x+1=3 (2) 2x+1=0(3) 2x+1=-1共同点：都是一元一次方程.都可以化成ax+b=0的形式.左边都是2x+1.不同点：等号右边分别是3, 0，-1.从函数的角度看：解这三个方程实际上是求一次函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时的自变量的值.当y=3时2x+1=3，当y=3时x=1所以2x+1=3的解x=1当y=0时2x+1=0，当y=0时x =-1/2所以2x+1=0的解为X=-1/2当y=-1时2x+1=-1，当y=-1时x=-1所以2x+1=-1的解为x=-12.利用函数图像解方程2x+3=4x-1解：原方程化为2x-4=0过（1，-2），（0，-4）两点做出y=2x-4函数的图像与x轴交于A（2，0）所以方程2x+3=4x-1的解为x=2.A3.归纳总结：任何一个一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以一元一次方程的解就是一次函数y=ax+b的函数值为0时的自变量的值.即函数y=ax+b 与X轴交点的横坐标就是方程ax+b=0(a≠0)的解.4.下面3个不等式有什么共同点什么不同点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？（1）3x+2>2 (2)3x+2<0 (3)3x+2<-1共同点：都是一元一次不等式.都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.左边都是3x+2. 不同点：不等号及不等号右边不同.从函数的角度看：解这三个不等式实际上是求一次函数y=3x+2的函数值分别大于2，小于0，小于-1时的自变量的取值范围值.在平面直角坐标系中做出y=3x+2函数的图像，分别求出y大于2，小于0，小于-1的自变量的范围.当y>2时,x>0.即3x+2>2的解集为x>0.当y<0时，x< -2/3,即3x+2<0的解集为x<-2/3当y<-1时，x< -1,即3x+2<0的解集为x< -15.用函数图像解不等式-x+3<3x-4解：在同一直角坐标系做出y1=-x+3, y2 =3x-4的图像 .两图像的交点坐标为P（7/4，5/4）由图像知：当x＞7/4时，y1<y2 ，即不等式-x+3<3x-4的解集为x＞7/4y2 =3x-4Py1=-x+35.归纳总结：任何一个不等式都可以变形为ax+b＞o或ax+b<o的形式，所以解一元一次不等式相当于求一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围。
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
一次函数与解一元一次方程
一次函数与解一元一次方程一次函数与解一元一次方程是数学中的两个重要概念，它们在我们的日常生活中有着广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面，探讨一次函数与解一元一次方程的关系。
一、一次函数的定义和性质一次函数是指函数的表达式中只包含一次幂的变量。
一般来说，一次函数的表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数。
k称为斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b称为截距，决定了函数图像与y轴的交点位置。
一次函数的性质有很多，下面我们来看一些常见的性质。
1. 斜率的意义：斜率k表示函数图像上任意两点之间的纵向变化与横向变化的比值。
当k为正数时，函数图像呈现上升趋势；当k为负数时，函数图像呈现下降趋势；当k为零时，函数图像为水平直线。
2. 截距的意义：截距b表示函数图像与y轴的交点位置。
当b为正数时，函数图像与y轴的交点在y轴的上方；当b为负数时，函数图像与y轴的交点在y轴的下方。
3. 函数图像的平移：对一次函数的表达式中的常数k和b进行变换，可以使函数图像在坐标平面上发生平移。
平移的方向和距离由常数k和b的取值决定。
二、解一元一次方程的方法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次方程的方法有很多，下面我们来看几种常见的方法。
1. 等式法：将方程中的等号两边进行相同的运算，使得方程变为x = a的形式，其中a为常数。
这样就得到了方程的解。
2. 图像法：将方程转化为一次函数的形式，然后画出函数图像。
通过观察函数图像与x轴的交点，可以得到方程的解。
3. 代入法：将方程中的一个变量用另一个变量的表达式代入，然后解得另一个变量的值。
再将求得的值代入方程中，得到另一个变量的值。
4. 消元法：通过变换方程，使得方程中的未知数系数相等或者相差一个常数。
然后将两个方程相减或相加，消去一个未知数，解得另一个未知数的值，再代入原方程求得另一个未知数的值。
三、一次函数与解一元一次方程的关系一次函数与解一元一次方程之间有着密切的联系。
一次函数与一元一次方程之间的关系
一次函数与一元一次方程之间的关系1. 概述一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。
通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。
2. 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。
一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。
3. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。
一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。
4. 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。
通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。
而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。
5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x就是使得方程成立的值。
通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。
6. 一次函数的图像与一元一次方程的解一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。
通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。
7. 解一元一次方程画一次函数的图像通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。
首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。
8. 画一次函数的图像解一元一次方程通过画一次函数的图像来解一元一次方程也是一种常见的方法。
首先根据一次函数的表达式y=ax+b，画出函数的图像，然后找到直线与x轴的交点坐标，即为一元一次方程的解。
一次函数与一元一次方程,一元一次不等式的关系
详细描述
解一元一次不等式的步骤包括：去分、去括号、移项、合 并同类项和化简。在解不等式时，需要注意不等号的方向在 不等式两边同时除以或乘以负数时需要改变。
一元一次不等式的应用
总结词
一元一次不等式在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如比较大小、解决优化问题 等。
详细描述
一元一次不等式可以用来解决各种实际问题，如比较大小、解决优化问题、确定范围等。 例如，在购物时比较不同商品的价格和优惠条件，或者在生产中优化资源分配和成本效
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项 、合并同类项和系数化为1等步骤 。
详细描述
对于 ax + b = 0，解得 x = -b/a。 如果 a = 0 且 b ≠ 0，则方程无解。 如果 a = 0 且 b = 0，则方程有无 数多个解。
一元一次方程的应用
总结词
一元一次方程在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如购物时计算找零、 物理中的简单运动问题等。
一次函数与一元一次方程、一元一 次不等式的关系
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次
不等式的关系
01 一次函数
一次函数的定义
01
一次函数的一般形式为 y = ax + b， 其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
02
一次函数是函数的一种，自变量 x 和因变量 y 之间存在线性关系 。
一元一次不等式通常表示为 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c 的形式，其中 a、 b、c 是常数，且 a ≠ 0。这个不等式只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数为1。
中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。
一次函数与一元一次方程
§11.3.1 一次函数与一元一次方程讲课人：凤小刚【教学目标】1. 理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。
2. 学习用函数的观点看待方程的方法，感受“转化”的数学思想。
3. 经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。
【重难点】理解一次函数与一元一次方程的关系，会用函数的思想处理一元一次方程的问题【教学方法】自主——合作——探究；归纳——总结——应用.【教学流程】一、英语与汉语之间转化我是一个男孩。
转化成英语为：I am a boy。
转化成汉语为：二、“解方程ax+b=0（a≠0）”与“当y=ax+b的值为0时，x为何值？”两问题之间的转化1、老师为了检测小凯的数学学习情况，编了二道测试题.问题①：问题②：解方程2x+20=0 当函数y=2x+20的值0时，x为何值？解：x=－10 解：∵y=0∴=0∴x=－10问题①②有何关系？答：2、“问题转化”练习①填表②解方程5x-3=x+2经移项、合并后为 =0,可以转化为当函数 的值为0时，求自变量x 值。
解方程6x+1=x-3经 ,可以转化为当函数 的 时，求 值。
(注意:任意一个方程经移项、合并后都可写成ax+b=0的形式.)三、“解方程ax+b=0（a ≠0）”与“求直线y=ax+b 与x 轴交点的横坐标” 两问题的转化。
问题③：求函数y=2x+20的图象与x 轴的交点的横坐标；答： “问题转化”练习 1、填表：2、解方程5x-3=x+2经移项、合并后为 =0,可以转化为求函数的图象与x 轴的交点的横坐标；解方程6x+1=x-3经 可以转化为 求的图象与 。
3、已知：函数y=2x+20的图象 则方程2x+20=0的解为 。
问题① ③有何关系呢？x =－10 解：∵与x 轴交点的纵坐标为0. ∴ =0∴ x =－10问题①：解方程2x +20=0 +204、根据下列图象，我能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？. 5、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b 的是（ ）问题①②从数的角度看（注意：双向箭头表示两者之间可以互相转化。
一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程都是数学中基础的概念，用来描述数值之间的关系。
虽然它们在形式上有所区别，但本质上都是线性关系的一种表达方式。
下面将分别从定义、图像特征、性质和应用等方面展开，详细介绍一次函数与一元一次方程。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指定义域内的每一个元素与值域内的每一个元素之间存在着一一对应关系的函数。
一次函数的表达式为y=ax+b，其中a 和b为常数，且a≠0。
2.图像特征：一次函数的图像呈现一条直线，斜率a代表了直线的斜率大小，b代表了直线与y轴的交点。
3.性质：(1)一次函数的斜率表示了函数图像在定义域内的变化趋势，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。
(2)常函数是一种特殊的一次函数，其斜率恒为0，函数图像为一条水平直线。
(3)一次函数的图像关于直线y=x对称。
(4)一次函数的定义域为全体实数，值域也为全体实数。
4.应用：(1)一次函数广泛应用于物理学中的运动学问题，例如描述直线运动的速度-时间关系。
(2)一次函数可以用来描述经济学中的线性需求或供给曲线。
(3)一次函数也常用于描述回归分析中的线性关系。
1. 定义：一元一次方程是指一个未知数x的一次多项式等于一个已知数的关系式。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知实数，a≠0。
2.图像特征：一元一次方程没有直接的图像特征，因为它只是一个等式，而非函数表示的关系。
3.性质：(1)一元一次方程通常只有一个实数解，除非方程的系数a为0，此时方程无解或有无穷多解。
(2)一元一次方程可以通过移项、合并同类项和因式分解等方式进行求解。
(3)一元一次方程的解可以通过图像上与x轴的交点表示。
(4)一元一次方程的解可以是实数或复数。
4.应用：(1)一元一次方程广泛应用于代数中的各个领域，用来求解问题中的未知数。
(2)一元一次方程在几何学中用于解决线性关系问题，例如求线段的长度或面积。
(3)一元一次方程也常用于物理学问题中的运动学分析，比如解决速度、时间或位置等相关问题。
一次函数与一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组
一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y bk 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。
一、一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x < C ．6x <- D ．6x >-【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围； （4）当21y -<<时，x 的值范围．三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例12】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】 已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是________．【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图①． 观察图①可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3)就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩； 在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图②；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．(1)y=2x+1x=1x=1(2)(3)回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组122x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；2y 1=2x+1(4)⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示2220x y x y ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所围成的区域．⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .【例18】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例19】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >-B ．0x >C.4x <-D ．0x <【例20】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例21】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例22】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例23】 线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？【例24】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例25】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>C ．2x <-D ．0x <【例26】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例27】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ）A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例28】 b 取什么整数值时，直直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？练习1．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是 。
一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程1，一次函数的概念。
表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数,等号右侧是一次多项式。
当k>0时，y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随x值的增大而减小。
当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。
当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0）[这时函数被称为正比例函数，y与x成正比]，这时的常数k也叫比例系数。
y关于自变量x的一次函数有如下关系：1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数）x为自变量，y为因变量，k为常数，y 是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点2，如何作图（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
（3）连线：按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑曲线连接起来。
一次函数和方程，一次函数与一元一次方程有着密切的联系。
任何一个一元一次方程都可以转化为（a、b为常数，）的形式。
因此解一元一次方程也就可以转化为当某一个一次函数值为0时，求相应的自变量的值，从一次函数的图象看，这相当于已知直线，确定它与x轴交点的横坐标的值。
也就是说：一次函数与x轴交点的横坐标就是方程的解。
在一次函数中，y如果等于某一个确定值，求自变量x的值就要解一元一次方程。
例1.如图，分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。
（1）根据图象分别求出的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相同？解：（1）设直线的解析式为由图象得：解得：设直线的解析式为：由图象得：解得：（2）当时，两种灯的费用相等。
一次函数与一元一次方程
实际案例分析：通过具体案例展示一次函数与一元一次方程在 实际问题中的应用，如经济学、物理学等领域的问题。
物理学中的应用：例如计算物体的运动轨迹、速度和加速度等 化学中的应用：例如计算化学反应中物质的浓度、温度和压力等 生物学中的应用：例如研究生物种群数量变化、生长曲线等 经济学中的应用：例如分析商品价格与需求量之间的关系、预测市场趋势等
b决定了函数图 像在y轴上的截 距，b>0时，截 距在y轴正半轴； b<0时，截距在 y轴负半轴
一次函数图像是 一条直线，且与 x轴、y轴分别交 于两点
PART TWO
方程中只含有一 个未知数
未知数的次数为1
方程两边为整式， 可以化简为 ax+b=0的形式
解为x=(-b/a)， 当a≠0时
定义：一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程 解法：通过移项、合并同类项和系数化为1来求解一元一次方程 例子：解方程2x+3=7，得x=2 应用：一元一次方程是数学中的基础方程，广泛应用于实际问题中
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一次函数的应用：描述现实生活中的变化关系，如速度与时间 的关系、成本与数量的关系等。
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一元一次方程的应用：解决实际问题中的数量关系，如购物时 找零钱、计算时间与速度的问题等。
添加项标题
一次函数与一元一次方程的关联：通过建立数学模型，将实际 问题转化为数学问题，利用函数和方程的知识求解。
代数问题：通 过方程求解代 数式或未知数
实际问题：将 实际问题转化 为数学模型， 利用一元一次
方程求解
几何问题：利 用一元一次方 程解决与几何 图形相关的问
题
物理问题：利 用一元一次方 程解决与物理 现象相关的问
一次函数与一元一次方程的根和一元一次不等式解集关系
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式是数学中的三个重要概念，它们之间存在密切的关系。
理解这种关系不仅有助于更好地理解这三个概念，还可以帮助我们更好地解决与这些概念相关的数学问题。
一元一次方程一元一次方程是一个等式，其中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
例如，3x + 5 = 14 就是一个一元一次方程。
解一元一次方程的关键是找到等式两边的平衡点，通过调整未知数的值使得等式两边相等。
这个过程通常涉及到移项、合并同类项和系数化简等步骤。
解出一元一次方程的解集后，我们就可以得到未知数的值。
一次函数一次函数是一种特殊的线性函数，它的图像是一条直线。
在坐标系中，我们可以用一条直线来表示一次函数。
例如，y = 3x + 5 就是一个一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
我们可以看到，当x取不同的值时，y的值也会随之改变。
因此，一次函数可以用来描述变量之间的关系，并帮助我们解决一些实际问题。
一元一次不等式一元一次不等式是一个不等式，其中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
例如，3x + 5 > 14 就是一个一元一次不等式。
解一元一次不等式的关键是找到使不等式成立的x的取值范围。
这个过程通常涉及到移项、合并同类项和系数化简等步骤。
解出一元一次不等式的解集后，我们就可以得到x的取值范围。
关系现在我们来探讨一次函数与一元一次方程的根和一元一次不等式解集之间的关系。
首先，对于一元一次方程来说，它的根就是使得等式成立的未知数的值。
这个根可以通过解方程得到。
而一次函数和一元一次不等式则可以看作是方程的拓展和延伸。
其次，对于一次函数来说，它的图像是一条直线，可以看作是无数个点的集合。
这些点满足函数的表达式，并且可以用方程来表示。
因此，一次函数和一元一次方程之间存在密切的关系。
通过对方程进行求解，我们可以得到函数的图像和性质。
最后，对于一元一次不等式来说，它的解集是一组满足不等式的x的值。
这个解集可以通过解不等式得到。
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序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 2 3 4
解方程3x-2=0 解方程8x+3=0 解方程-7x+2=0 解方程6x+4=5
当x为何值时，y=3x-2的 值为0? 当x为何值时，y=8x+3的 值为0? 当x为何值时，y=7x+2的值为0？ 当x为何值时，y=6x+4的 值为5？
根据下列图象，你能说出哪些是一元一次方程的解？ 并直接写出相应方程的解。
y y=5x x y 2 -2 y=x+2
x
y 2
y
y=x-1
2
x
-1 1
x
y=-x+2
例1：一个物体现在的速度是5米/秒，其
速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度 为17米/秒？
你能用几种方法解决它呢？
6
x
-12
归纳
从数的角度看：
求ax+b=0(a≠0) 的解
从形的角度看：
X为何值时 y=ax+b的值为0
求ax+b=0(a≠0) 的解
确定直线y=ax+b 与x轴的横坐标
例2：某单位急需用车，但又不 y/元 准备买车，他们谁备和一个体车 3000 主或一国有出租车公司其中一家 2000 签订合同。设汽车每月行驶x 千米， 应付给个体车主的月费用是y1 元，，应付给出租车公司的月费 1000 用是y2元，y1、y2分别与x之间函 数关系如下图所示。每月行驶的 o 路程等于多少时，租两家车的费 用相同，是多少元？
解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒，列 方程 2x+5=17 解得 x=6
例：一个物体现在的速度是5米/秒，其
速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度 为17米/秒？
你能用几种方法解决它呢？
解法2：速度y(单位：米/秒)是时间x(单位：秒) 的函数 y y=2x-12 y=2x+5 由 得 2x+5=17 2x-12=0 x=6
y2
y1
1000 2000 3000 x/km
解：每月行驶1500km时，租两家车费用相同，都是2000 元. 每月行驶少于1500km时，租个体户车便宜； 每月行驶大于1500km时，租出租车公司的车便宜.
通过这节课的学 习，你有什么收 获？
作业P451,2,5,8
比较下列两个问题，看看有什么关系？ 1. 解方程：2x+20=0 2. 当自变量为何值时，函数y=2x+20 的值为零？
y
20 10
y=2x+20
观察直线y=2x+20,看 看两个问题是怎样的一 种关系？
10
－20
－10
0
x
－10
归纳
以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一 个问题。
人教版八年级《数学》上册源自11.3.1 一次函数与一元一次方程
练一练
比较下列两个问题，看看有什么关系？
1. 解方程：2x+20=0 2. 当自变量为何值时，函数y=2x+20 的值为零？
对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么 相同和不同的地方？