双曲线的几何性质(一)
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双曲线的几何性质(一)
1、范围
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a
2、对称性
2
y
(-x,y)
-a
(x,y)
o a
x
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x2 y 2 25 设双曲线方程为 2 2 1(b 0, ), 点C (13, y ). B/ 12 b 132 y 2 25 2 ( y 55) 2 则点B(25, y 55), 2 1或 2 1. 2 2 12 b 12 b
B
5b 联立方程组解得, y (负值舍去) 12
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y x ,它的 4
离心率为
.
例3 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m, 高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程. y 13 建立如图直角坐标系,使小圆直径AA'在x 轴 C/ 解: C '， 上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC 12 BB'平行于x轴。 A/ O A x 且 | CC'| 13 2(m), | BB'| 25 2(m).
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
( x c )2 y 2 a2 x c
c ①, a
x y 令 c a b ,方程②化为 2 2 1 这就是所求的轨迹方程. a b
2 2 2
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a
2、对称性
2
y
(-x,y)
-a
(x,y)
o a
x
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x2 y 2 25 设双曲线方程为 2 2 1(b 0, ), 点C (13, y ). B/ 12 b 132 y 2 25 2 ( y 55) 2 则点B(25, y 55), 2 1或 2 1. 2 2 12 b 12 b
B
5b 联立方程组解得, y (负值舍去) 12
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y x ,它的 4
离心率为
.
例3 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m, 高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程. y 13 建立如图直角坐标系,使小圆直径AA'在x 轴 C/ 解: C '， 上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC 12 BB'平行于x轴。 A/ O A x 且 | CC'| 13 2(m), | BB'| 25 2(m).
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
( x c )2 y 2 a2 x c
c ①, a
x y 令 c a b ,方程②化为 2 2 1 这就是所求的轨迹方程. a b
2 2 2
双曲线简单几何性质一
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
25 B
双曲线简单几何性质一
12
3. 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a或 x≤ a ， y Ry≥ a或 y≤ a ， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,
又叫做双曲线的中心.
双曲线简单几何性质一
3
(下一页)顶点
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A 1 A 2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B 1B 2 叫做双
e c (e 1) a
y
b a
x双曲线简单几何性质一
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e ) a
ya x b
8
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)
6 ,0
e 3 2 2
3
10 , 0
0 , 2 2
e 2
y x
0 ,
e
74
e 10
74 5
y
2 4
x
y=±3x
y
5 7
x
例题讲解
1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
e 增大时，渐近线与实轴
的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线
(5)
e
c a
c a b
2 2
2
y
在 a 、 b 、 c 、 e 四个参数中，知二可求
2 2
二
2
B2
c b a
c b a
A2
几何意义
( a ,0),(0,b),且 原 点 到 直 线 l的 距 离 为
解 : l : b x a y a b 0 ,
ab a b
2 2
=
3c 4 2 3 3 ,
则 3e -16e +16=0,解 得 e=2,或 e= 0<a<b e= 1+ b a
2 2
4
2
> 2 ,则 e=2.
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
双曲线的几何性质(1)
3、顶点：
双曲线和它的对称轴的两个交点 叫做双曲线的顶点。
A 1 a,0, A 2 a,0
线段A1A2叫做双曲线的实轴，
|A1A2|=2a， a叫做双曲线的实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，
|B1B2|=2b
b叫做双曲线的虚半轴长。
4、渐近线：
b x y y x， 即 2 2 0 a b a
双曲线的几何性质
双曲线的标准方程：
1 x a
2 2
y b
2 2
1 (焦 点 在 x轴 上 )
y x 2 a b
2 2
2
a>0，b>0
1 (焦 点 在y 轴 上 )
2
双曲线的几何性质
1、范围：
x a或x a
2、对称轴： 坐标轴是双曲线的对称轴，
原点是双曲线的对称中心， 双曲线的对称中心叫做双曲线 的中心。
2 2
x y 1 4 9
2 2
2
2
x y 1 8 18
y x 1 9 4 2 2 y x 1 18 8
2
2
重要结论：
x y 与 0共渐近线的 a b 双曲线方程可设为 x y ( 0) 2 2 a b
2 2
等轴双曲线: 实轴和虚轴等长的双曲 线
2 2 2 2
m 2 以直线y x渐近线的 n 双曲线方程可设为: x y λ λ 0 2 2 m n 3 练习：求以y x为渐近线且 4 过点A 2 3 , 3 的 双曲线方程。
2 2
两条渐近线的夹角为60 且过 点( 3 ,3)的双曲线标准方程.
0
x y 2.以椭圆 1的焦点为顶点， 16 9 顶点为焦点的双曲线的 方程是（ ） x y x y A 1 B 1 16 9 9 16 2 2 2 2 y x x y C 1 D 1 7 9 7 9
几何性质1双曲线标准方程双曲线图像
x
渐近线
y a
x b =0
离心率
e=
c a
（e>1)
例析
例1.画出双曲线
x2 16
y2 1 的图形。
9
解:由已知a=4、b=3，且焦点在x轴上，渐近线
方程为 y=+3/4x，因此图像如下：
y
3
-4
o
4
x
-3
例析
例2.求双曲线9x2-4y2=36的实轴长、虚轴长、顶点、离心
率以及渐近线方程。
解：将双曲线方程化为标准方
教学目标：
掌握双曲线的几何性质 运用双曲线的几何性质解题
图形的范围： x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
x2 a2
=
y2
b2 + 1
≥1，即x2≥a2，从而x≥a或x≤-a。
因此双曲线位于直线x= -a的左侧，以及直线x=a的右侧。
对称性：
y
F1
O
F2 x
x2
4
由此可得：a=2，b=3，实轴在x轴上，c=
y2 1
9 √ 13
所以双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，顶点为
（-2，0）、（2，0），渐近线方程为y=+3/2x，
离心率为e= √ 13 2
例析
例3.已知双曲线的两个顶点的坐标是(0，-4)，(０，4）， 离心率为3/2，求双曲线的标准方程。
解：由已知条件得a=4，e=3/2，焦点在y轴上，因此c=6。
如图所示：双曲线关于原点中心 对称；关于x轴，y轴是轴对称。
几何性质1:
双曲线标准方程
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
双曲线的简单几何性质 第1课时(上课课件)
4
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(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
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(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
高中数学教程双曲线的几何性质
高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
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坐标系。 设双曲线方程为
x2 y2 a2 b2
1, (a 0,b 0)
令C（13，y），则 B（25，y-55），
13 2 12 2
y2 b2
1
把B、C两点坐标代入双曲线方程，得： 25 2 ( y 55)2 1
使用计算器求得，b 25m
12 2
b2
得所求双曲线方程为： x2 y 2 1 144 625
P
R
Q
o
N
x
F2
NF1 NF2 2a
说明N点在双曲线上，故N点为双曲线的顶点。
作业：Ｐ61Ａ组３、4 ， P80 A组10
例3 已知双曲线的渐近线方程为 4x 3y 0，求满足下列条
件的双曲线方程（1）焦距为10 ；（2）过点A（2，4）。
解
（1）如果焦点在X轴上，设其方程为：x
b4
a
2 2
y2 b2
1
则
a3
2c 10
a 3,b 4, c 5
得
x2 y2 1 9 16
c2 a2 b2
y2 x2
如果焦点在Y轴上，设其方程为： a2 b2 1
80 5
待
9
定 系
所求双曲线也可设为 16 x2 9 y2 k
数 法
设P是双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上一点，F1, F2 是其左右焦点，
求证：PF1F2 的内切圆切实轴于顶点
y
证：设 PF1F2 的内切圆与X轴切于点N
切 PF1 于R 切 PF2 于Q
F1
则 PF1 PF2 RF1 QF2
a4 b3
则 2c 10
a 4,b 3, c 5
得
y2 x2 1 16 9
c2 a2 b2
待定系数法
x2
（2）设双曲线方程为：
y2
k
9 16
把A（2，4）代入
得 22 42 k k 5
9 16
9
故 x2 y2 5 9 16 9
整理得所求双曲线方程为 y2 x2 1
5
y离2 心 率b2：( axe22c1)
y
(e 1)
b a
x
e
1 (a)2 x
b x, (x ) a
越大双曲线开口越大
a
e2 c2 a2 b2 1 b2
a2
a2
a2
注释：
1 A1(a,0), A2 (a,0) 称为实轴端点，A1A2 叫双曲线的实轴
B1(0,b), B2 (0,b) 称为虚轴端点，B1B2 叫双曲线的虚轴
双曲线的几何性质(一)
一：以
x2 a2
y2 b2
1, (a 0,b 0)
为例
1 范围： x a, y R
2 对称性：X，Y轴是对称轴，原点O是对称中心
3 顶点： A1(a,0), A2 (a,0)
4
渐近线：y b x a
注：渐近线是Biblioteka x a2 2y2 b2
0 的两个解
以第一象限为例说明如下：
2
x2
等轴双曲线：
a
2
y2 a2
1
离心率 e
2
渐近线 y x
3
共轭双曲线： x2 a2
y2 b2
1
y2 b2
x2 a2
1
注意 （1）共轭双曲线是相互的；（2）a,b含义已发生改变； （3）把方程中的 1 改为 –1 即为共轭双曲线；（4）共轭双 曲线具有相同的渐近线。
根据以上问题，口述
y2 a2
渐近线方程: x 3 y， 4
，即
y4x 3
例2：双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其
虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为 13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m 。选择适当的坐标
系，求此双曲线的方程。
解：以小圆直径 AA 为X轴， AA 的垂直平分线为Y轴建立
x2 b2
1
的几何性质。
例1 求双曲线 9 y2 16 x2 144 的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程。
y2
解：把双曲线化为标准式方程得：
x2
1
16 9
a 4,b 3 所以 c a2 b2 5
得实半轴长a 4，虚半轴长，b 3
焦点坐标是（0，-5），（0，5），离心率 e c 5 ， a4