基本不等式的综合应用
基本不等式的综合应用
基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
基本不等式的原理应用
基本不等式的原理应用一、不等式的基本概念不等式是数学中一种重要的表达方式，它比等式多了大小的概念。
在数学中，我们常常会用到各种各样的不等式来解决问题，包括一元不等式、二元不等式等等。
不等式在实际应用中有着广泛的用途，特别是在优化问题、约束条件等方面。
二、一元不等式的原理一元不等式是指只含有一个未知数的不等式。
我们可以通过以下原理来解决一元不等式问题：1.若两不等式同时改为等号，则原不等式的解集不变。
2.若不等式两边同时加上（或减去）同一个数，则原不等式的解集不变。
3.若不等式两边都乘（或除）以同一个正数（或负数），则原不等式的解集不变。
如果乘（或除）以负数，则不等号方向发生改变。
三、一元不等式的应用举例下面通过几个具体的例子来说明一元不等式的应用：例1: 求解不等式2x−3>5解: 我们可以将不等式转化为等价的形式，即2x−3−5>0。
然后，我们可以通过移项和整理得出2x−8>0，再进一步化简为x>4。
因此，不等式2x−3>5的解集为x>4。
例2: 求解不等式 $\\frac{3}{2}x + \\frac{1}{3} < \\frac{1}{6}$解: 首先，我们可以将不等式中的分数进行通分，得到不等式9x+2<1。
接下来，我们可以继续通过移项和整理将不等式简化为9x<−1。
由于系数为正数，所以不等号的方向不变。
最后，我们可以将不等式化简为 $x < -\\frac{1}{9}$。
因此，不等式 $\\frac{3}{2}x + \\frac{1}{3} < \\frac{1}{6}$ 的解集为 $x < -\\frac{1}{9}$。
例3: 求解不等式 $\\frac{x-3}{2} \\geq \\frac{1}{3}x - 1$解：首先，我们可以将不等式中的分数进行通分，得到不等式 $3(x-3) \\geq2(1x-3)$。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.问题的提出II.基本不等式的应用方法III.实际问题中的应用IV.结论正文（篇1）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题中发挥着越来越重要的作用。
本文旨在探讨基本不等式在解决实际问题中的应用方法。
首先，我们需要明确基本不等式的概念。
基本不等式是指两个或多个数相加或相乘，它们的和或积不超过另外两个数之和或积的等式。
基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程设计、财务管理、物流规划等领域。
其次，在解决实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的基本不等式。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度等。
最后，通过具体实例，我们可以看到基本不等式在解决实际问题中的有效性。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本，从而优化物流方案；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率，从而做出更明智的投资决策；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度，从而确保工程的安全性。
总之，基本不等式作为一种有效的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
目录（篇2）1.引言2.基本不等式的概念和性质3.应用基本不等式解决实际问题的方法4.结论正文（篇2）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为一种重要的数学工具，在解决实际问题中起到了关键作用。
基本不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来解决各种实际问题，包括但不限于最大值、最小值、平均值等问题。
基本不等式是指“和的平方等于各加和的平方和”，即“a+b≥2√ab”。
它具有以下基本性质：一、乘法分配律；二、乘法结合律；三、二次方差恒等式。
这些性质使得基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用。
在解决实际问题时，我们需要将问题转化为基本不等式可以解决的问题。
高中数学基础之基本不等式及应用
当acb取得最大值时，3a＋1b－1c2的最大值为( C )
A．3
B．94
C．1
D．0
[思路引导] (1)2x－1>0，y－1>0→构建与2x－1，y－1相关的基本不等式． (2)三元变成二元→确定acb取得最大值时a，b，c的关系→求出结果．
[解析]
(1)依题意得2x－1>0，y－1>0，则
4x2 y－1
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多 少？(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范 围内？
[解]
(1)依题意得，y＝
920v v2＋3v＋1600
＝
920 3＋v＋16v00
≤
920 83
，当且仅当v＝
16v00，即v＝40时，等号成立，
3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知
2021年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，
厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
＋
y2 2x－1
＝
[2x－1＋1]2 y－1
＋
[y－1＋1]2 2x－1
≥
42x－1 y－1
＋
4y－1 2x－1
≥4×2
2yx－－11×2yx－－11
＝8，即
4x2 y－1
＋
y2 2x－1
2x－1＝1，
≥8，当且仅当
y－1＝1， 2yx－－11＝2yx－－11，
高考数学：基本不等式在实际问题中的应用
试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--.∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．（2）设平均处理成本为 90050y Q x x x==+-5010≥=， 当且仅当900x x =时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于y x，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化。
基本不等式的综合应用
作业布置： 课时作业（二十九）
最大值和最小值。此方法在应用中一定要注意满足 三个条件：一正---各项为正数；二定-----“和”或 “积”为定值；三相等------等号一定能取到。三条 件缺一不可。
题型二：利用基本不等式求代数式的最值
知识归纳：知分式求整式最值或知整式求分式最值 都是巧妙代换，保证式子定值，以便基本不等式应 用的成立。
复习回顾
1.基本不等式的内容是什么？
若a>0，b>0，则
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号
2.基本不等式应用应注意什么？
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
题型一：利用基本不等式求最值
知识归纳：利用基本不等式，通过恒等变形，以及
配凑，造就“和”或“积”为定值，进而求得函数
题型三：利用均值不等式求参数的取值范围
知识归纳：利用基本不等式，构造关于某个变量的 不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围， 再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值。
题型四：利用基本不等式证明不等式
知识归纳：把数、式合理地分拆小结回顾：
第一章 §1.5 基本不等式的综合应用
每套会徽及吉祥物售价为 x 元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价 为50＋15－100.1x元， 单套利润为 x－50－15－100.1x＝x－50－15100－0 x， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150，
所以单套利润为 y＝x－50－15100－0 x＝－150－x＋15100－0 x＋100 ≤100－2 150－x·15100－0 x＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号. 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是 80元.
第一章
§1.5 基本不等式的综合应用
课标要求
1.会求与基本不等式有关的恒成立问题. 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
题型一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)已知x>0，y>0，且 2x＋1y ＝1，若2x＋y<m2－8m解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意 变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型， 再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在 四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某 商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销 售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1， 所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9， 当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得 最小值 9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
高考数学一轮复习考点知识专题讲解48---基本不等式的综合应用
高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式的综合应用题型一 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1(1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为() A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案D解析因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切， 所以1a 2＋b2＝2，即a 2＋b 2＝14， 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则() A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案A解析∵sin B ＋sin C ＝2sin A . ∴b ＋c ＝2a . 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝b 2＋c 2－(b ＋c )242bc＝3(b 2＋c 2)－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12，当且仅当b ＝c 时取等号． 又A ∈(0，π)，∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3.教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则ba 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案B解析设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又2mn ≤2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即4b 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴0<b a ≤22. 思维升华基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件．跟踪训练1(1)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b的最小值等于()A ．2 B.32 C.12 D ．1答案B解析∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值， ∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， 则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， 即a ＋b ＝6， 又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32，当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立． 此时满足在x ＝1处有极值． ∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________． 答案－12解析∵a 2a 5a 8＝－8， ∴a 35＝－8， ∴a 5＝－2， ∴a 1<0，a 9<0， a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1) ≤－2(－a 9)(－9a 1) ＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25 ＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二 求参数值或取值范围例2(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于() A ．6 B ．8 C ．16 D ．36 答案D解析因为f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)，故4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a 2时取等号，故a 2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，9]B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36] 答案C解析因为x ，y 属于正实数， 所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )min ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4y x ＝9xy，即3x ＝2y 时，等号成立，所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为() A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2) 答案C解析∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数， 且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )， ∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4tt 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t≥－42t ·2t＝－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立，∴m <－ 2.思维升华求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2(1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k≤2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为对任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，而对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab，所以－2≤k≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab”是“k≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p：∃x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1＝0，当p是真命题时，则λ的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析依题意，方程x2－λx＋1＝0有正解，即λ＝x＋1x有正解，又x>0时，x＋1x≥2，∴λ≥2.题型三基本不等式的实际应用例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车运输到第x 年年底， 该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)， 由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以二手车出售后， 小王的年平均利润为y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm 2.答案72600解析设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 由题意可得3ab ＝60000， 所以ab ＝20000，即b ＝20000a，所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm，即(3b ＋30)cm ， 所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600 ＝30(a ＋2b )＋60600＝30⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋40000a ＋60600 ≥30×2a ·40000a＋60600＝30×400＋60600＝72600， 当且仅当a ＝40000a，即a ＝200时等号成立，所以当广告栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm 2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案37.5解析由题意知t＝23－x－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝⎝⎛⎭⎪⎫32×150%＋t2xx－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－13－x＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x)＋13－x≤45.5－216＝37.5，当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l与曲线y＝x3－2x＋1相切，则l斜率的最小值为()A. 6 B．4 C．2 6 D．3 2 答案C解析因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立，所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6 答案C解析由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立． 3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则() A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7<b 4＋b 6D ．a 3＋a 7＝b 4＋b 6 答案C解析因为数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列， 所以a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， 所以a 3＋a 7≤b 4＋b 6， 又因为公比q >1，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．8 答案B解析已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是() A ．第一种方案更划算 B ．第二种方案更划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定 答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则 方案一：两次加油平均价格为 40x ＋40y 80＝x ＋y2>xy ， 方案二：两次加油平均价格为 400200x ＋200y＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 答案A解析∵綈p 为假命题，∴p 为真命题， 即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解． 由4x ＋2x ·m ＋1＝0， 得m ＝－2x－12x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x≤－22x·12x ＝－2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a nn的最小A.72B.185C.113D.92答案A解析因为数列{a n}满足a2＝9，a n－1＋n＝a n＋1(n≥2且n∈N*)，所以a1＋2＝a2＋1，解得a1＝8，所以a n＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋a n－a n－1＋a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋8＝n2－n＋162，则ann＝n2－n＋162n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n＋16n－1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n·16n－1＝72，当且仅当n＝16n，即n＝4时，等号成立，所以ann的最小值为72.8.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为(单位：cm2)()A．8 B．10 C．16 D．20解析连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2， 所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)， S ＝2x 16－x 2＝2x 2(16－x 2) ≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________．答案124解析因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，y －12， 且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1.因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ， 即xy ≤124，当且仅当3x ＝2y ＝12，即x ＝16，y ＝14时取等号．10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________． 答案52＋5解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×(a ＋b )24，所以(a ＋b )2≤50， 所以5<a ＋b ≤52， 当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立． 故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．答案9解析因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1， 故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b2＋b2a 2＋5≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元． 答案3解析设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0， 则f (x )＝8m －x ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x ＋1－x ＝24－16x ＋1－x ＝25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x ＋1＋(x ＋1) ≤25－216x ＋1(x ＋1)＝25－8＝17， 当且仅当x ＋1＝16x ＋1， 因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形B ．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案A解析由a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又因为0°<C<180°，所以C＝60°，因为a2＋b2－c2≥2ab－c2，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥2ab－c2，解得ab≤c2，又因为ab≥c2，所以ab＝c2，且a＝b时取等号，因为C＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．答案[－2,2]解析由OC→＝xOA→＋yOB→，两边同时平方得OC→2＝(xOA→＋yOB→)2，即OC→2＝x2OA→2＋y2OB→2＋2xyOA→·OB→，∵平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，∴x2＋y2－xy＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为() A ．M >N >Q B ．M >Q >N C ．N >Q >M D ．N >M >Q 答案B解析∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0， 即ab ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2 ＝1a ＋1a＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14， ∴a 2＋b 28>14， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为()A ．[－4,2]B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案A解析依题意k 2＋2k ≤1t＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t min ， 因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t ) ＝2＋2＋1－2tt＋4t 1－2t ≥4＋21－2tt·4t1－2t＝8， 当且仅当1－2t t ＝4t1－2t 时取“＝”，即t ＝14时取得最小值，所以k 2＋2k ≤8， 所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。
基本不等式实际应用题
• 基本不等式的概念和性质 • 基本不等式的应用场景 • 基本不等式的解题技巧 • 基本不等式的实际应用案例 • 基本不等式的扩展和深化
01
基本不等式的概念和性质
基本不等式的定义
定义
基本不等式是数学中常用的一个不等 式，它表示两个正数的平均数总是大 于或等于它们的几何平均数。
总结词：代数变换技巧是基本不等式 解题中的重要技巧之一，通过代数运 算对项进行变换，可以简化计算过程， 提高解题效率。
放缩法技巧
放缩法技巧是指通过放缩不等式的两边，使不等式更易于解 决。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过放缩法技 巧将问题转化为更容易求解的形式。
总结词：放缩法技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一， 通过放缩不等式的两边，可以将问题转化为更容易求解的形 式，提高解题效率。
构造函数技巧
构造函数技巧是指根据题目的特点，构造一个函数来解决问题。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过构造函数技巧 将问题转化为求函数的最值问题。
总结词：构造函数技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一，通过构造函数可以将问题转化为求函数的最值问题，简化计算 过程，提高解题效率。
04
基本不等式的实际应用案例
VS
详细描述
在资源有限的条件下，如何合理分配资源 以达到最优效果是资源分配问题的核心。 基本不等式可以用来解决这类问题，例如 在农业生产、资金分配等方面，通过优化 资源配置，可以提高整体效益。
最短路径问题
总结词
在交通、通信和工程领域，最短路径问题至关重要，基本不等式为寻找最短路径提供了 理论支持。
极值问题
在极值问题中，基本不等式可以用来确定函数的极值点，以及极值的大小。
优化问题的求解
最新基本不等式的应用
方法二：
∵x>0，y>0，且 2x＋y＋6＝xy，
∴xy＝6＋2x＋y≥6＋2 2xy当且仅当 2x＝y 时取等号．
令 t＝ xy，则有 t2－2 2t－6≥0，
多次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立
练习 5：已知正数 a，b 满足
1 1 a＋b＝1，则a＋a＋b＋b的最小
5 值是______________．
1 1 1 1 a＋ ＋b＋ ＝a＋b＋ ＋ 正解： a b a b
a＋b a＋b ＝1＋ a ＋ b b a ＝1＋1＋a＋b＋1 ≥3＋2 ba a·＝5. b
[( x 1) 4 4 ] 5 2 ( x 1) 5 9 x 1 x 1
当且仅当 x 1
4 ，即 x 1 时，等号成立. x 1
∴当 x 1 时， f ( x ) 取得最小值 9 .
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示范4 （2）
x2＋5 练习 4：求函数 y＝ 2 的值域： x ＋1
练习 6．(2010· 安徽卷)若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切 满足条件的 a，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． 1 1 ①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤ ＋ ≥2. a b
解析 两个正数，和为定值，积有最大值， a＋b2 即 ab≤ ＝1， 4 当且仅当 a＝b 时取等号，故①正确； ( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝2＋2 ab≤4， 当且仅当 a＝b 时取等号，得 a＋ b≤2，故②错误；
不等式基本不等式实际应用
最优策略问题
总结词
不等式可以用于最优策略问题，通过建立不等式关系，确定最优策略的取值范围。
详细描述
在决策和规划中，最优策略问题是非常常见的问题。不等式可以用来描述策略变量之间的关系，从而建立不等 式模型。通过解不等式，可以得到策略变量的可行区间，并确定最优策略的取值范围。例如，在市场调研中， 可以利用不等式关系来分析市场需求和竞争状况之间的平衡，从而制定最优的市场策略。
时取等号） • 排序不等式：对于两组实数a_1 \le a_2 \le a_3 \le ... \le a_n和b_1 \le b_2 \le b_3 \le ... \le b_n，有
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n \le a_1b_n+a2b{n-1}+...+a_nb_1 （当且仅当a_1=a_2=...=a_n和 b_1=b_2=...=b_n时取等号）
不等式的性质
它是解不等式和不等式组的基础，包括传递性、加法单调性、乘法单调性、正值不等式、正值不等式、正值不 等式等。
重要不等式
• 算术平均数与几何平均数的不等式：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ （当且仅当a=b时取等号） • 柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geq (a_1b_1+a_2b_2)^2$ （当且仅当a_1b_2=a_2b_1
总结词
不等式可以用于资源分配问题，通过建立不等式关系， 确定资源的最优分配方案。
详细描述
在生产和运营管理中，资源分配是一个非常重要的问题 。不等式可以用来描述资源限制和需求之间的关系，从 而建立不等式模型。通过解不等式，可以得到资源的最 优分配方案，使得资源得到充分利用，并满足各种需求 。例如，在物流管理中，可以利用不等式关系来分析运 输成本和交货时间之间的平衡，从而制定最优的运输计 划。
基本不等式的八大应用
基本不等式的八大应用作者：许少华来源：《广东教育·高中》2008年第11期不等式充斥着整个数学空间.随意浏览一下任意一套试卷，用不等号连接的式子总是占据着“上风”，这说明了不等式的应用性与重要性,也说明了不等式是永不衰退的高考热点.面对丰富的不等式内容，哪些知识点的“出镜率”高？又为什么总是它们高？请看：应用一：最值问题最值问题是基本不等式的重要应用之一，是不等式应用的核心，也是不等式应用的精华.应用基本不等式求最值时，一定要注意等号会不会成立.有些时候不等式的推导没有问题，但不可能有等号成立的时刻，这时的值是取不到的值，当然，不能作为最值.例1 设x,y∈R+，且 + =1，求x+y的最小值.解法一由x+y=( + )(x+y)=(2+ + )≥4，当且仅当 = ，结合 + =1，得x=2，y=2时，取得最小值4.解法二由已知，设 = ， =x=1+ ，y=1+ ，x+y=(1+ )+(1+ )=2+( + )≥4，当且仅当m=n，即x=2，y=2时，取得最小值4.解法三由+ =1 x+y=xy x+y≤( )2，由x,y∈R+，得x+y≥4，当且仅当x=y=2时，取得最小值4.点评本题给出了三种方法求解，这三种方法都是基本方法.涉及的技能是我们必须熟练掌握的基本技能.例2 已知x,y∈(-1,1)，且xy=- ，求u= + 的最小值.解析由u= + ≥2 =2 ≥2 =4，或由u= + = =1+ ≥1+ =4.点评本题很精干，基本不等式的应用也很特别，第一种解法，两次使用到它，幸好两次不等式成立的条件相同；第二种解法转化后再用，两解都具有“活”的特点，欣赏价值较高.应用二：恒成立问题恒成立问题是不等式的“特产”，它的求解方法常规是最值转化法，求最值的方法往往有两类，一类是利用基本不等式求最值；另一类是函数求最值.例3 若常数k＞0，对于任意非负实数a，b，都有a2+b2+kab≥c(a+b)2恒成立，求最大的常数c.解析（i）当k≥2时，a2+b2+kab≥a2+b2+2ab=(a+b)2，当且仅当ab=0时等号成立.（ii）当0由（i）（ii），知c=1,(k≥2) .(0点评本题中基本不等式的应用较为隐含，且在应用时还必须进行分类讨论.这两点若有一点“上不去”，就出现要么不会做，要么产生错误结论的后果.例4 若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0, ]恒成立，则a有（）A．最大值0B. 最大值-2C. 最小值-D. 最小值-2解析由x2+ax+1≥0及x∈(0, ]，得a≥- =-(x+ ).由于x∈(0, ]时，函数是增函数，又当x= 时，-(x+ )=- ，因此a最小值为- ，选C.点评当得到a≥-(x+ )后，也许一下子就看到了希望，借助基本不等式，很快就可以在B或D中找到一个想要的答案，再看一下基本不等式中的等号会不会成立，便大失所望.这是建立在基本不等式的基础上，常设的陷阱之一，同学们必须清楚.应用三：范围问题考查代数式的范围或某一字母的范围是基本不等式的又一考查方式.在这种考查中，要么基本不等式应用很灵活，要么基本不等式应用很隐蔽.不论是哪一种，设计出来的试题难度都不一般.例5 当0解析由a2+b2≥2ab a2+b2≥ (a+b)2，于是+ ≥ ( + )2.又( + )2≥ · ≥ · = .上述三个不等式中等号均在同一时刻x=a-x时成立，由≥2 0＜a≤2，故实数a的范围为(0,2].点评本题求解中，三次利用了基本不等式的变式.虽然过程不长，但历经“曲折”.当结论产生之后，回首过程时，你也许会看到基本不等式是多么地“迷人”.例6 函数f(x)=ax2+bx+c，（1）当b2>4a2时，在[-1,1]上是否存在一个x值使得|f(x)|>b；（2）当a,b,c均为整数，且方程f(x)=0在(0,1)内有两根，求证：|a|≥4.解析（１）由b2>4a2 - >1或-f(x)在[-1,1]上单调.若存在,由|f(x)|>b f(x)>b或f(x)当f(x)在[-1,1]上递增时，f(1)>b或f(-1)0或a+c显然，a+c=0时,不存在；a+c≠0时，存在.同理，f(x)在[-1,1]上递减时亦有上述结论.（２）设f(x)=0的两根分别为x1,x2，则0由f(0)f(1)=a2x1x2(1-x1)(1-x2)≤a2( )2( )2= a2.由于f(x)=0在(0,1)内有两根，因此f(0)>0，f(1)>0，又a,b,c均为整数，得f(0)≥1，f(1)≥1，则f(0)f(1)≥1，∴1≤ a2 |a|≥4.点评本题的综合性较强，它将二次不等式与二次函数有机地结合在一起．第一问利用二次函数的单调性；第二问利用二次函数的“零点式”、基本不等式等,可以看出，在第二问求解中，基本不等式起到至关重要的作用.应用四：证明问题证明问题是基本不等式的常规题型之一.在对不等式的证明过程中，有时应用基本不等式进行和与积不等关系的相互转换；有时应用基本不等式的各种变式.例7 已知a>2时，求证：loga(a-1)证明由a>2，得loga(a-1)>0且log(a+1)a>0.又 =loga(a-1)·loga(a+1)≤[ ]2=[ ]2点评本题证明过程中，将积的式子应用基本不等式转化为和的式子，使对数的性质得以充分应用，从而结论合理产生.例8 设≤x≤2，求证：2 + +证明由a+b≤ ，得+ ≤ = .2 + ≤ =2 ≤2 =8.上述第一个不等式中等号成立的条件为：2x-3=15-3x x= [ ,2]，故原不等式成立.点评由2ab≤a2+b2(a+b)2≤2(a2+b2)a+b≤ ，本题就是利用最后的变式完成证明的.当然，在利用过程中根据题目特点，既有灵活性，也有技巧性.应用五：实际应用问题高考紧跟时代步伐，围绕社会热点命制应用题是十分常见的.看看2008年广东高考文科卷，就是建立在基本不等式的基础上，设计的楼房造价问题.本文也设计一道关于房地产方面的应用题.例9 某房地产公司要在荒地ABCDE上列出一块长方体地面修建一幢公寓楼，问如何设计才能使公寓的面积最大，并求其最大面积.解析如图，分别以BC,AE边所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则直线AB的方程为+ =1.设另一顶点为G(3x,20-2x)，那么矩形GHDF的面积S=(100-3x)[80-(20-2x)]= (200-6x)(180+6x)≤( )2= ，当且仅当100-3x=80-(20-2x)，即x= 时，等号成立.故在线段AB上取点G(5, )，过G分别作AE,BC的平行线DE交于F、交CD于H，则矩形GHDF的面积最大，其值为 .点评房地产是近年倍受关注的行业，针对房地产的命题也随之诞生.本题的求解借助直线方程，通过直线方程进行设点，然后利用基本不等式产生问题的结论.应用六：交汇性问题不等式的交汇性是人所共知的，可以说，没有不等式不能交汇的.此类题既可以是基础题，也可以是高难度的解答题，君不见：数列中不等式呈强、导数中不等式泛滥、解几中不等式压轴、函数中不等式随处可见.不等式的交汇性是高考命题的热点，必须引起高度重视.例10 定长为3的线段AB的两端点在y2=x上移动，AB的中点为M，求M点到y轴的最短距离.解析设A(x,x1)，B(x,x2)，M(x,y)，则x+x=2x,x1+x2=2y,(x-x)2+(x1-x2)2=9 x+x=2x,2x1x2=4y2-2x,(x1-x2)2[(x1+x2)2+1]=9．由于(x1-x2)2[(x1+x2)2+1]≥2 =6，即4x+1≥6，得x≥ ，其中等号成立的条件为(x1-x2)2=[(x1+x2)2+1]，即4x1x2=-1，也就是4y2-2x=- ，结合x= ，得到y=± ,故最短距离为，此时点M的坐标为( ,± ).点评本题是解几问题，但求解中的关键是基本不等式.通过合理的应用基本不等式使条件恰到好处地得到了应用，既方便了求解，也优化了解题过程.例11 设数列{an}是由正数组成的等比数列，sn为前n项和，试问：是否存在常数c，使得： [lg(sn-c)+lg(sn+2-c)]=lg(sn+1-c)成立？证明你的结论.解析由snsn+2-s=sn(a1+qsn+1)-sn+1(a1+qsn)=a1(sn-sn+1)=-anan+1c[２ -2(sn+1-c)]=0.显然，与snsn+2-s点评本题是一道探索性试题，在假定存在的前提下进行推理，通过出现矛盾，产生了不存在的结论，整个过程短小精悍，“数学味”极浓.应用七：创新型问题创新型试题，由于背景公平，因而具有较强的选拔功能.近年高考在试题设计上，此类题随处可见.基本不等式是十分活跃的内容，它是产生创新型试题的重要“沃土”.例12 无穷正数列{xn}，具有以下性质：x0=1，xi+1≤xi(i=0,1,2…)，（I）试证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使它以后的所有项，都满足不等式+ +…+ ≥3.999；（II）寻求一个数列使不等式+ +…+解析（I）由已知得：≥xn-1，+ ≥ +xn-1≥2xn-2，+ + ≥ +2xn-2≥2 xn-3=2 xn-3，…， + +…+ ≥2 x0，由于x0=1，又1+ +…+（） = =2- ，由2 ≥3.999，即≤2-n≥1+ ·lg( ).由于{xn}是无穷数列，那么[1+ ·lg( )]（取整数部分）以后的所有项，都满足不等式 + +…+ ≥3.999.（II）结合等比数列，不妨设数列{xn}是首项为q，公比也为q的等比数列，则 =qn-2 ，取q= ，此时xn=( )n，则+ +…+ =2+1+ +…+( )n-2=2+ =4-故满足条件的数列{xn}的通项为：xn=( )n.点评本题的两问很新颖，第一问巧妙应用基本不等式后，将问题转化为解不等式与寻找理想的n；第二问要结合题目要求进行构造，只要构造的结果符合要求即可.可以看出，满足条件的数列不唯一.应用八：综合问题由于不等式的灵活性与巧妙性，决定了它是选拔优秀人才的重要题材.基本不等式的综合应用是设计高难度试题重要基地.例13 若方程f(x)=x2+ax+b的两实根均为非整数，试探求a.b满足什么条件时,一定存在整数n，使|f(n)|≤ 成立.证明设方程f(x)=0的两根分别为α，β，且m（1）若m显然，必有|f(m)|≤ 或|f(m+1)|≤ ，此时整数n一定存在.（2）若β同理可得β>m+1时，结论同上.综合可知：当4a2-16b≤1时一定存在整数n，使|f(n)|≤ 成立.点评本题是一道探索性试题，求解过程有两大特点：第一，对根所在区间进行分类;第二，在每一类中灵活应用基本不等式.抓住这两个特点，就抓住了求解的关键.关于基本不等式的应用就谈到此，当你掩卷时，有何感想呢？是为了解了基本不等式的试题类型而高兴，还是为见到基本不等式诸多灵活应用而惊讶呢？相信，你一定会有自己的答案.责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
基本不等式的综合应用
即x 1时, x 1有最小值2 x 2. 4 (2)、已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x
2
9 例1：讨论函数 f ( x) 4 x ( x 0) 的最值. x
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“
成立的诸条件是否相容。
尝试练习：
1 的最小值为 2 ，此时x= 1 1、当x>0时， x x
2、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0)
解:
应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值: 二不定, 需变形 例二. 函数y=x
解: x 0,
1 1 0 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1 1
0
( x 1) 4 ( x 1) 的最小值. 练习 :1.求函数 f ( x) x 1 2 x 3x 1 ( x 1) 的最小值. 练习 :2.求函数 f ( x) x 1 4 ( x 4) 练习 :3.求函数 f ( x) x 的最小值. x 1
的最小值.
错解: x
y
2
5
x2 4
当且仅当
x2 4 1 2 时取等号 x 4 x2 4
x2 4 1
x 4
2
1 x 4
2
2
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
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周后来
2012年10月
5. 已知等比数列{an}中，a2=1， 则其前3项的和S3的取值范围是________. 构造函数后，求最值.
[练习] 设{an}是等比数列, 公比q= 2 , Sn为{an}的前n项和, 17Sn S 2n 记 Tn (n N*) an 1 设 Tn 为数列{Tn}的最大项，则n0=_____. 0
3. 设x>0, y>0, 不等式 x y a xy 恒成立， 求 a 的取值范围. (1990年广东高考题)
4. 已知x2+y2=1，若x+y-k0对任意x, y都成立， 求 k 的最大值. 恒成立问题： 参数分离 后，用 最值法 转化.
2 b2 a 解法1：利用不等式 ( a b )2求最值. 2 2
[练习] 1. 若a,b满足0<a<b, a+b=1, 则下列四个数中最大的是( A. 0.5 B. a2+b2 C. 2ab D.a 2. 比较lg9· lg11与1的大小. 周后来
[应用1]——比较大小：
)
2012年10月
[应用2]——求最值：(和) (积)
1 1. 若 x 5 ，求函数 y4x2 的最大值. 4x5 4 基本不等式法求最值： 创造一个应用基本不等式的情境， 注意“正、定、等”的条件.
周后来 2012年10月
1 a 6. 数列{xn}由下列条件确定： x1 a 0, xn1 (xn ) 2 xn （1）证明：对n2，总有 xn a ；
（2）证明：对n2，总有xn xn1 .
周后来
2012年10月
7. 设 an 1 2 2 3 nn 1 ，
[练习] 1. a、b为正常数，若正变量x, y满足 a b 1， x y 则 x+y 的最小值为____. 2. 已知不等式 (x y)( 1 a ) 9对任意正实数x,y恒成立， x y 则正实数a的最小值为_____.
3. 已知 x>0,y>0, 且2x+8y-xy=0, 求 x+y 的最小值. 周后来 2012年10月
2
证明不等式 n(n 1) an n 1 对所有nN*都成立. 2 2 利用不等式放缩！
x 8. 已知函数 f (x) ， x1 数列{an}满足： an 0, a1 1, an1 [f ( an )]2
(1) 求数列{an}的通项公式an；
(2) 若数列{an}的前n项和为Sn， 判断Sn与2的大小关系, 并证明你的结，则 2 ab 的最小值为___.
a b
2. 若a, b, c > 0 且 a(a+b+c)+bc = 4-23, 则 2a+b+c 的最小值为______. 周后来 2012年10月
条件最值
2. 若正数x, y满足 1 9 1 ，则 x+y 的最小值为____. x y
解：由f(x)是奇函数，有-f(-2) = f(2). f(sin2x-msinx+m) > f(2). 又f(x) 是减函数，有 sin2x-msinx+m < 2 . 设sinx = t，由 x 知：0 t < 1. [0, )
则可化为 t2-mt+m<2 在[0, 1)上恒成立. 2 2 t m (0t1) 恒成立. 1t 2 2 t (0t1)]min 则只需：m < [ 1t 1 2 [0, 1)上是增函数， 2012 m<g(0)=2. 因g(x)= (t1) 周后来 年10月 t1
a = f(x) 有解 a f(x) 的值域 周后来 2012年10月
3. 已知P=[ 1 , 2], 函数f(x)=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q. 2 (1) 若PQ , 求实数a的取值范围； (2) 若方程f(x)=2在[ 1, 2]内有解, 求实数a的取值范围. 2 a = f(x) 有解 a > f(x) 有解 a > f(x) 恒成立 a f(x) 的值域 a > [f(x)]min a > [f(x)]max
2
2. 若关于x的方程 x2+(4+a)x+4=0 有正根, 求实数a的取值范围. 法：一元二次方程根的分布问题： (与“根为正数”的区别！) 法：参数分离法： 4 a (x 4 ) 在(0,+)上有解， x 4 ) (x 0) y ( x 则 4+a 的范围即函数 的值域. x 4+a - 4 由 y (x 4 ) 2 4 (x 0) 得： x 故 a - 8.
a2 b2 a b ab 2 2 2 1 1 a b
lg a lg b a b 例1 a>1, b>1, P lgalgb ,Q ,Rlg( ), 2 2
则 P、Q、R 的大小关系是________. 1. 利用基本不等式和函数单调性比较大小. 2. 特值法.
周后来
2012年10月
x 4 2 4. 设函数 f (x) x ， 4 8
(1) 求 f(x) 的最大值；
(2) 求证: 对于任何实数a, b，恒有f(a)<b2-3b+ 21 .
4
f(a) < g(b) 恒成立 f(a)max < g(b)min f(x) < g(x) 恒成立 f(x)max < g(x)min
解法2：利用几何意义求最值： [练习] 已知 x2+y2=1，若 2x+y-k 0 对任意 x, y 都成立， 求 k 的最大值. 周后来 2012年10月
[应用3]——综合应用：
1. 定义在R上的函数f(x) 既是奇函数又是减函数， 当 x [0, )时，f(sin2x-msinx+m)+f(-2)>0恒成立， 2 求实数 m 的取值范围.