122-6-3松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel迭代法）是一种用于解线性方程组的迭代方法，通常用于求解大型稀疏线性方程组。
在MATLAB 中，可以使用该方法来解决线性方程组的数值解。
首先，让我们来了解一下逐次超松弛迭代法的基本原理。
该方法是基于迭代的思想，通过不断迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件为止。
具体步骤如下：
1. 首先，需要将线性方程组表示为矩阵形式 Ax = b，其中A 是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
2. 然后，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，即A = L + D + U。
3. 接下来，可以根据逐次超松弛迭代法的迭代公式来更新解向量x的各个分量，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到指定的值为止。
在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现逐次超松弛迭代
法。
具体步骤如下：
1. 首先，需要编写一个函数来实现逐次超松弛迭代法的迭代过程，可以使用for循环来进行迭代更新解向量的各个分量。
2. 其次，需要编写主程序来调用该函数，并传入系数矩阵A、常数向量b以及迭代的初始解向量作为输入参数。
3. 最后，可以设置迭代的终止条件，例如迭代次数的最大值或者解的精度要求，以及初始解向量的初值。
需要注意的是，在实际应用中，逐次超松弛迭代法的收敛性和稳定性需要进行分析和验证，以确保得到正确的数值解。
此外，还需要注意选择合适的松弛因子来加速收敛速度。
总的来说，逐次超松弛迭代法是一种常用的求解线性方程组的数值方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码来实现该方法，并得到线性方程组的数值解。
松弛迭代法
令B (D L)1[(1 )D U ], g (D L)1b,则
x(m1) B x(m) g (m 0,1,2,)
三、松弛法算法
输入 方程组的阶数n, A的元素aij，1 i, j n;b的分量bi ,1 i n;
x(0)的分量x0i ,1 i n;允许误差；最大迭次次数N. 输出 近似解x1, x2,, xn或N次迭代后不收敛的信息 . 步骤
S1 对m 1,2,, N作 S11~S13
S11 对i 1,2,, n
置xi
(1 )x0i
bi
i 1
aij x j
n
aij x0 j
aii .
j 1
j i 1
S12 若对i 1,2,, n, xi x0i ,则输出x1, x2,, xn ;停机.
在修正量前乘上一个参数，即
x ( m 1) i
xi( m )
r (m1) i
(i 1,2,, n)
这种求方程组近似解的方法称为松弛法，称为松弛因子. 当 1时，称为低松弛法,当 1时，就是赛德尔迭代法， 当 1时，称为超松弛法，简称为SOR.
在实际计算中，松弛法常采用以下形式：
§4-3 松弛迭代法
一、松弛迭代计算公式
赛德尔迭代法的迭代公式可表示为
x(m1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(m1) ij j
j 1
n
aij
x(m) j
)
j i 1
x(m) i
1 aii
数值计算方法 松弛迭代法 - 松弛迭代法
n1
(k 1)
1
n2
(k 1)
2
b x
( k 1)
n,n1 n1
g n
x
(
0
)
( x1(0) ,
,
x(0) n
)T
,
xi
x (k1) i
x(k) i
xi
(bi
i 1
a x (k1) ij j
n
aij
xj(k) )
/
aii
x(k) i
ji
j i 1
i 1
n
(bi
aij
x (k1) j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
(2.13)
代
j1
ji1
法
(2) 再由xi(k ) 与x~i(k1) 加权平均定义xi(k1) ，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x(k1) i
x(k) i
( xi(k1)
xi(k) )
(2.14)
将(2.13)代入(2.14)得到解 Ax b 的SOR迭代公式.
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理
2 Jacobi迭代法 3 高斯-塞德尔迭代法 4 松弛迭代法
5 迭代法的收敛性与稳定 性
松弛法的基本思想 松弛法的矩阵表示 松弛法的程序 迭代法收敛性的其它判定方法
松弛法的基本思想
为Gauss-Seidel 迭代法加速
记：x x1 , x2 , , xn T x(k1) x(k)
松
可以把 x 看作Gauss-Seidel 迭代的修正项，即第k次
松弛迭代法
一、松弛迭代计算公式
松弛迭代法
赛德尔迭代法的迭代公式可表示为 i 1 n 1 xi( m +1) = (bi ∑ aij x (jm +1) ∑ aij x (jm ) ) aii j =1 j =i +1
=x
(m) i i 1 n 1 ( m +1) + (bi ∑ aij x j ∑ aij x (jm ) ) aii j =1 j =i
令Bω = ( D ωL) 1[(1 ω ) D + ωU ], gω = ( D ωL) 1 b, 则
x ( m +1) = Bω x ( m ) + gω
(m = 0,1,2, L)
三、松弛法算法 输入 方程组的阶数n, A的元素aij，≤ i, j ≤ n; b的分量bi ,1 ≤ i ≤ n; 1
在实际计算中，松弛法常采用以下形式：
x
( m +1) i
= (1 ω ) x
( m) i
+ ω (bi ∑ aij x
j =1
i 1
( m +1) j
∑ aij x (jm ) ) / aii (i = 1,2, L , n)
j =i
n
二、松弛法的矩阵形式 x (m +1) = ( D ωL) 1[(1 ω ) D + ωU ]x ( m ) + ω ( D ωL) 1 b (m = 0,1,2, L)
ri( m +1) → 0(i = 1,2, L , n)
在修正量前乘上一个参数，即
xi( m +1) = xi( m ) + ωri( m +1)
超松弛迭代法(SOR方法)
解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方 程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法） 使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速 度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值 。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐 次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参 数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞 德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
松弛迭代法
松弛迭代法
拉格朗日松弛迭代法(Rayleigh-Ritz Relaxation Method，简称 RRR 法)也称为牛顿松弛迭代法，它结合了牛顿法和松弛迭代法的理论思想，是一种求解常微分方程组的迭代法。
该法引入拉格朗日函数作为迭代的手段，是一种改进的迭代法。
拉格朗日松弛迭代法的基本思想是：针对解决系统方程中的迭代过程，可以将周期性求解出的解表达成一个拉格朗日函数，然后计算最优解以期达到更快的收敛。
具体工作步骤如下：
第一步：初始化变量和精度参数；
第二步：将各变量表示成Fourier级数；
第三步：任意给定初始值，用此为步进量，将目标函数拆分为拉格朗日函数，使得精度参数达到最优值；
第四步：将此值作为步长，依次求解各个变量；
第五步：在迭代过程中，改变步长，即可更新函数值，达到最优解。
拉格朗日松弛迭代法基于牛顿法可以求解出一个准确的解，并以此作为步长，松弛系数以较小的步长，任意的改变步长，不断的拉格朗日函数更新，然后求解最优解，使得整个迭代过程逐渐收敛，同时也充分考虑了步长的变化，可以研究出解析解。
本方法既可以用于求解定常面上的静解又可以用于求解一定频率的动解，甚至于一般情况下的复杂系统，该法有着广泛的应用。
松弛因子与迭代次数的关系
松弛因子与迭代次数的关系介绍：松弛因子是迭代法中的一个重要参数，用来控制每次迭代的步长。
迭代法是解决线性方程组的常见方法之一，在实际应用中，通过调整松弛因子可以使得迭代更快收敛或更稳定。
本文将探讨松弛因子与迭代次数的关系，并分析不同松弛因子对迭代法收敛速度的影响。
一、松弛因子的定义和作用松弛因子（relaxation factor）是在迭代法中用来调整每次迭代的步长的参数，通常用符号ω表示。
对于迭代法求解线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，松弛因子ω用于计算每次迭代的解向量x：x(k+1) = (1-ω)x(k) + ωD^(-1)(b - Rx(k))其中x(k)是第k次迭代的解向量，D是系数矩阵A的对角矩阵，R是A的严格下三角矩阵或严格上三角矩阵。
通过调整松弛因子的取值，可以控制每次迭代解向量的更新幅度，从而影响迭代的收敛性和速度。
二、松弛因子与迭代次数的关系1. 松弛因子小于1的情况当松弛因子ω小于1时，迭代法称为欠松弛法（under-relaxation method）。
此时，每次迭代的解向量更新比较小，迭代过程较为稳定。
在数值计算中，欠松弛法常用于处理病态问题和不可收敛问题，能够提高迭代法的稳定性和收敛性。
然而，欠松弛法由于每次迭代步长较小，收敛速度相对较慢。
因此，在求解较大规模的线性方程组时，需要进行很多次迭代才能达到收敛要求。
2. 松弛因子等于1的情况当松弛因子ω等于1时，迭代法称为正常迭代法（Gauss-Seidel method）。
此时，每次迭代的解向量更新完全由当前迭代的解向量决定，即x(k+1) = x(k)。
正常迭代法是一种简单的迭代方法，容易实现。
然而，在某些情况下，正常迭代法可能会发散或收敛速度较慢，特别是对于病态问题。
3. 松弛因子大于1的情况当松弛因子ω大于1时，迭代法称为超松弛法（over-relaxation method），也称为逐次上松法（successive overrelaxation method，SOR）。
超松弛迭代法
超松弛迭代法
超松弛迭代法是一种回归模型的最优化算法，主要用于减少损失函数。
如果损失函数是凸函数，则可以使用自动对准算法来使目标函数最小，以备测试目标模型。
超松弛迭代法的技术流程如下：
1. 定义初始参数：设置参数的初始值x0。
2. 迭代：通过迭代公式X[i + 1] = (1 –λ) X[i] + λF(X[i])来更新X[i]，得到新的迭代值。
3. 收敛：检查超参数δ和终止准则，查看目标函数值是否趋于收敛。
4. 调整超参数：如果目标函数值没有收敛，则可以尝试调整超参数X0和λ来降低目标函数值。
5. 返回最优化结果：将参数X[i]返回到最终收敛状态，即最优化结果。
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
松弛加速算法的原理和应用
松弛加速算法的原理和应用1. 引言松弛加速算法（Relaxation Acceleration Algorithm，简称RAA）是一种用于优化问题求解的迭代算法。
它通过不断迭代和逐渐增加松弛因子的方式来加速问题的收敛速度。
本文将介绍松弛加速算法的原理和应用。
2. 原理松弛加速算法的核心思想是通过引入松弛因子来平衡问题的约束条件和目标函数之间的关系，从而加快问题的收敛速度。
在每一次迭代中，通过逐渐增加松弛因子的值，使得问题的约束条件更加灵活，从而使问题更易于求解。
2.1 算法步骤松弛加速算法的主要步骤如下：1.初始化问题的初始解；2.根据初始解求解问题的残差，即目标函数与约束条件的差值；3.设置松弛因子的初值；4.进行迭代计算，直到问题满足收敛条件：–在每一次迭代中，根据当前的松弛因子和残差值，更新问题的解；–根据更新后的解重新计算问题的残差；–调整松弛因子的值；–根据调整后的松弛因子和残差值，判断是否满足收敛条件。
5.输出最终求解结果。
2.2 松弛因子的选择选择合适的松弛因子对于松弛加速算法的性能起到至关重要的作用。
一般来说，当松弛因子较小时，问题的收敛速度较慢，但可能会增加迭代过程中的稳定性；而当松弛因子较大时，问题的收敛速度较快，但可能会导致迭代过程的不稳定。
在实际应用中，选择适当的松弛因子需要根据具体的问题进行调整。
一种常见的方法是通过试验和观察，不断调整松弛因子的值，直到达到较好的收敛性能。
3. 应用案例松弛加速算法在各领域都有广泛的应用。
下面将介绍几个具体的应用案例。
3.1 线性规划问题线性规划问题是求解一个线性目标函数在线性约束条件下的最优解的问题。
松弛加速算法可以用于加速线性规划问题的求解过程。
通过引入松弛因子，可以使得线性规划问题更易于求解，并且能够提高求解的效率和性能。
3.2 图像处理图像处理是计算机视觉和图像处理领域中的一个重要研究方向。
松弛加速算法可以用于图像处理中的一些问题，如图像去噪、图像增强等。
松弛迭代法
松弛迭代法松弛迭代法是一种解决复杂优化问题的新方法，其主要思想是采用迭代松弛的方式来求解数学优化问题。
它可以用来解决各种非线性最优化问题，如：单纯形、线性规划、最小二乘法和二次规划等。
以下是松弛迭代法的相关算法介绍。
1.法介绍松弛迭代法是一种基于迭代松弛的数学优化方法，算法的基本步骤如下：（1）确定一个初始松弛参数，其形式为σ>0；（2）计算一个初始解Xo；（3）根据此初始解Xo,算对应的步长和梯度，令X1=Xo-*Grad(Xo)；（4）重复步骤3,不断迭代，直至解变得满足优化算法的收敛条件为止；（5）输出最终的解X。
2. 优缺点松弛迭代法的优点是其高效收敛，算法简单易行，可以用来解决复杂优化问题，并且可以求得全局最优解。
另外，松弛迭代法的步长的选取简单，受到限制的条件较少，只需要给定一个初始松弛参数即可。
但是，松弛迭代法也有一定的缺点，比如：（1）算法只能求出局部最优解，不能保证全局最优解；（2）在求解复杂优化问题时，松弛参数的选取可能会影响算法的收敛性；（3）算法容易陷入局部最优解中，不能跳出局部最优解。
3.用实例松弛迭代法主要应用于复杂优化问题的求解，例如：（1）线性规划问题的求解：对于最简单的线性规划问题，给定n个未知变量，其目标函数可以表达为：min f(x)=cTx，松弛迭代法可以用来求解该问题；（2）最小二乘优化问题的求解：给定一组样本数据，其拟合模型可以表达为：min f(x)=∑||y-x||2，松弛迭代法可以用来求解该问题；（3）凸优化问题的求解：给定凸函数f(x)，求解min f(x)，松弛迭代法可以用来求解该问题。
4.论松弛迭代法是一种求解复杂优化问题的有效方法。
它的优点是算法简单易行，可以求得局部最优解，而且只需要给定一个初始松弛参数即可。
但它也有一定的缺点，比如不能保证全局最优解，受到步长选取影响，容易陷入局部最优解中，等等。
不过，由于松弛迭代法具有高效收敛性，可以用来求解线性规划、最小二乘法和二次规划等优化问题，它仍是一种有效的求解复杂优化问题的算法。
超松弛迭代法matlab程序
超松弛迭代法matlab程序超松弛迭代法是一种解线性方程组的迭代方法，其主要思想是在松弛因子的基础上，加入一些超松弛因子，使得迭代更加快速和稳定。
本文将介绍超松弛迭代法的原理，并给出相应的matlab程序实现。
一、超松弛迭代法的原理超松弛迭代法是通过将松弛因子ω加上一个超松弛因子λ，来加速收敛的一种迭代方法。
具体来说，对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将其表示为：Ax(k)=b其中，x(k)表示第k次迭代的解向量，A表示系数矩阵，b表示右侧向量。
在超松弛迭代法中，我们将x(k)表示为：x(k)=x(k-1)+ωλ(k-1)其中，λ(k-1)是超松弛因子，ω是松弛因子，x(k-1)是上一次迭代的解向量。
将其代入原方程组，得到：(A-ωD)x(k)=ω(D+L)x(k-1)+ωUx(k-1)+b其中，D表示A的主对角线元素组成的对角矩阵，L表示A的下三角矩阵，U表示A的上三角矩阵。
将其化简为：x(k)=D^-1[(1-ω)D+ωL]x(k-1)+ωD^-1b其中，D^-1表示D的逆矩阵。
该式子即为超松弛迭代法的迭代公式。
二、matlab程序实现下面给出超松弛迭代法的matlab程序实现。
假设我们要解如下线性方程组：3x1+0x2+0x3=90x1+4x2+0x3=80x1+0x2+2x3=2其系数矩阵为：A=[3,0,0;0,4,0;0,0,2];右侧向量为：b=[9;8;2];我们可以通过如下matlab程序实现超松弛迭代法：function [x,iter]=sor(A,b,omega,tol,maxit)% A:系数矩阵% b:右侧向量% omega:松弛因子% tol:容差% maxit:最大迭代次数% x:解向量% iter:迭代次数n=length(b); % 系数矩阵的阶数x=zeros(n,1); % 初始化解向量iter=0; % 初始化迭代次数while iter<maxit % 迭代次数未达到最大值xold=x; % 记录上一次迭代的解向量for i=1:n % 按行迭代sigma=0;for j=1:nif j~=isigma=sigma+A(i,j)*x(j);endendx(i)=(1-omega)*x(i)+omega*(b(i)-sigma)/A(i,i); % 更新解向量enditer=iter+1; % 迭代次数加1if norm(x-xold)<tol % 当解向量的变化小于容差时，认为已收敛break;endend调用该函数，求解上述线性方程组，可以使用如下代码：A=[3,0,0;0,4,0;0,0,2];b=[9;8;2];omega=1.5;tol=1e-6;maxit=1000;[x,iter]=sor(A,b,omega,tol,maxit);disp(x);其中，omega为松弛因子，tol为容差，maxit为最大迭代次数。
超松弛迭代法课程设计
超松弛迭代法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解超松弛迭代法的概念，掌握其基本原理和应用场景。
2. 学生能够运用超松弛迭代法解决线性方程组问题，并理解其收敛性。
3. 学生能了解超松弛迭代法在工程和科学计算中的重要性。
技能目标：1. 学生能够独立进行超松弛迭代法的计算步骤，包括设定松弛因子、构造迭代矩阵等。
2. 学生能够运用数学软件（如MATLAB）实现超松弛迭代法的算法，并进行简单的程序调试。
3. 学生通过实际案例分析，培养运用超松弛迭代法解决实际问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习超松弛迭代法，培养对科学计算和数学建模的兴趣，增强对数学学科的学习信心。
2. 学生在小组讨论和合作中，学会尊重他人意见，培养团队协作精神。
3. 学生能够认识到超松弛迭代法在科技发展中的重要作用，增强科技创新意识和社会责任感。
课程性质：本课程为高中数学选修课，以培养学生解决实际问题能力和数学思维能力为目标。
学生特点：学生具备一定的线性代数基础，具有较强的逻辑思维能力和动手操作能力。
教学要求：教师应注重理论与实践相结合，引导学生通过实际案例掌握超松弛迭代法的应用。
同时，注重培养学生的团队协作能力和创新意识。
在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学策略，确保课程目标的实现。
通过课堂讲解、上机实践和小组讨论等多种教学方式，提高学生的学习效果。
二、教学内容1. 引言：介绍超松弛迭代法的背景和在实际问题中的应用，激发学生学习兴趣。
相关教材章节：第二章第四节“迭代法及其应用”。
2. 基本概念：讲解超松弛迭代法的基本原理，包括迭代格式、松弛因子选取等。
相关教材章节：第二章第四节“超松弛迭代法”。
3. 算法实现：详细讲解超松弛迭代法的计算步骤，并通过实例进行演示。
相关教材章节：第二章第四节“超松弛迭代法的计算步骤”。
4. 实践应用：分析实际案例，让学生动手实践，运用超松弛迭代法解决线性方程组问题。
相关教材章节：第二章第五节“迭代法解决实际问题”。
超松弛迭代法历史演变
超松弛迭代法历史演变超松弛迭代法（SOR）是一种用于线性方程组求解的数值方法。
它结合了松弛迭代法和高斯-赛德尔迭代法的优点，具有快速收敛和稳定性的特点。
本文将从超松弛迭代法的起源开始，详细阐述它的历史演变。
超松弛迭代法最早由美国数学家David M.Young于1950年提出。
当时，他受到高斯-赛德尔迭代法的启发，希望通过引入松弛参数来提高迭代的收敛速度。
这个想法是在每次迭代时，对于每个未知数，根据已知的值和方程组来更新它的值，而不是等到所有未知数都计算完毕再更新。
这样可以更快地逼近方程组的解。
然而，Young的初始提案并不是很成功。
他发现在一些情况下，超松弛迭代法的收敛速度并没有比传统的迭代法更快。
于是，他开始研究如何选择合适的松弛参数。
在他的研究中，他发现如果松弛参数大于1，超松弛迭代法的收敛速度会加快，而如果松弛参数小于1，收敛速度反而会变慢。
这一发现打开了超松弛迭代法的新局面。
在1960年代，科学家们开始对超松弛迭代法进行更深入的研究和改进。
他们发现，超松弛迭代法在对称正定矩阵的线性方程组求解中表现得尤为出色。
这是由于对称正定矩阵具有特殊的性质，可以使得超松弛迭代法更快地收敛。
为了进一步提高超松弛迭代法的收敛速度，研究人员开始探索如何自适应地选择松弛参数。
他们发现，选择合适的松弛参数可以使得超松弛迭代法在不同情况下都表现得更好。
于是，一些自适应超松弛迭代法被提出。
在20世纪80年代和90年代，随着计算机技术的快速发展，科学家们开始使用超松弛迭代法来解决更大规模的线性方程组。
他们发现，超松弛迭代法可以通过并行计算的方式，进一步提高求解效率。
这为超松弛迭代法的应用提供了更广阔的空间。
随着时间的推移，超松弛迭代法在求解线性方程组中的应用越来越广泛。
它被广泛应用于科学计算、工程建模、优化问题等领域。
许多数值计算软件和库都提供了超松弛迭代法的实现，使得使用者可以方便地应用该方法。
尽管超松弛迭代法在求解线性方程组中表现出色，但它也有一些局限性。
超松弛迭代法及其松弛因子的选取
2013届学士学位毕业论文超松弛迭代法及其松弛因子的选取学号：09404307XX：程启远班级：信息0901指导教师：艳星专业：信息与计算科学系别：数学系完成时间：2013年5月学生诚信承诺书本人重声明：所呈交的论文《超松弛迭代中松弛因子的选取方法》是我个人在导师艳星指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性.指导教师签名：时间摘要本文首先给出了超松弛迭代法解线性方程组的基本概念，引进了关于超松弛迭代法收敛性判别的一些定理.再基于超松弛迭代法收敛性快慢与松弛因子的选择密切相关，本文给出了能准确快速地确定最优松弛因子的方法逐步搜索法和黄金分割法，并且写出了其Matlab程序（附录），最后通过实例验证了方法的准确性，快速性.关键词线性方程组；超松弛迭代；Matlab程序；松弛因子AbstractThis paper firstly introduces the basic concept of the super relaxation iteration method for solving linear equations, introduced on some criterion theorem Overrelaxation iterative convergence, gives a simple Matlab program super relaxation iteration (Appendix 1). Then Overrelaxation iterative convergence speed and relaxation factor is selected based on the close relation is proposed in this paper, the rapid and accurate method of determining the optimal relaxation factor of the direct search method and the golden section method, and write the Matlab program (Appendix 2), finally the method is accurate, rapid.Key word：Linear equations;Successive Over Relaxation;Matlab program; relaxation factor超松弛迭代法及其松弛因子的选取09404307 程启远信息与计算科学指导教师艳星引言在科学计算和工程设计中，经常会遇到求解线性代数方程组的问题，而怎样快速的求解一直是我们共同关心的课题.随着计算机技术及数学编程软件的发展，我们有了在计算机上解线性方程组的条件.最初遇到的方程数和未知数比较少的方程组我们就是利用线性代数知识直接解出来.直接解法只能适用于经过有限步运算能求得解的方程组.后来遇到的方程数和未知数都比较多的方程组，特别是经常会遇到的大型的方程组，直接解法工作量太大，花费时间太多，因此迭代法发展了起来.从最初的Jacobi迭代法到Gauss-Seidel迭代法，很多学者一直在研究找到一种迭代法能更加快速，简单的解决线性方程组.通过不断的实验和计算，在Gauss-Seidel迭代法基础上，人们发现通过迭代-松弛—再迭代的方法，能更加减少计算步骤，极大的缩短计算时间，在此基础上，超松弛迭代法被学者们研究出来.通过比较三种迭代方法，我们得到超松弛迭代的收敛速度是最快的，而且超松弛迭代法具有计算公式简单，编制程序容易等突出优点.在求解大型稀疏线性方程组中超松弛迭代法得到广泛应用.而SOR 迭代方法中松弛因子ω的取值直接影响到算法的收敛性及收敛速度，是应用超松弛迭代法的关键.选择得当,可以加快收敛速度,甚至可以使发散的迭代变成收敛.因此, 超松弛因子的选取是学者们又一个研究目标.通过一些被验证的定理，我们知道为了保证迭代过程的收敛,必须要求1<ω<2，而且松弛因子和迭代矩阵谱半径之间有着密切的联系，现今学者们已经研究出部分特殊矩阵的最优松弛因子的计算公式.对于一般的矩阵，我们也可以从松弛因子和谱半径的关系着手研究最优松弛因子的选取，这就为本篇论文的形成提供了行文思路.本文给出了求超松弛迭代最优松弛因子的两种方法.1.超松弛迭代基本知识1.1超松弛迭代法定义[1]超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 迭代法，它是在Gauss-Seidel 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法.设解方程组的Gauss-Seidel 法记为1(1)(1)()111(),1,2,,i nk k k ii ij j ij j j j i ii x b a x a x i na -++==+=--=∑∑（1）再由()k ix 与(1)k ix +加权平均得(1)(1)(1)()()()(1)(),1,2,,k k k k k k i i i ii x x x x x x i nωωω+++=-+=+-=这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得1(1)()(1)()11(1)(),1,2,,i nk k k k iii ij jijjj j i iix x b a x a xi na ωω-++==+=-+--=∑∑ （2）称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)即为Gauss-Seidel 法，将(2)写成矩阵形式，则得(1)()(1)()(1)()k k k k Dx Dx b Lx Ux ωω++=-+++于是得SOR 迭代的矩阵表示[3](1)()k k i x G x f ωω+=+ (3)其中1()[(1)]G D L D U ωωωω-=--+1()f D L b ωωω-=-1.2收敛性判别条件根据迭代法收敛性定理[2]，SOR 法收敛的充分必要条件为()1G ωρ<，但要计算()G ωρ比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR 迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件. 定理1]4[设(),0(1,2,...,)n nij ii A a Ra i n ⨯=∈≠=，则解方程Ax b =的SOR 迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2. 定理2]5[若n nA R⨯∈对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b 的SOR 迭代法(3)对nx R ∀∈迭代收敛.对于SOR 迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论. 1.3收敛速度的估计SOR 迭代法的迭代矩阵G ω与ω有关，当选取不同的ω时，其迭代速度也有所不同.因此，需要找到最优的松弛因子b ω，使对应b ω的SOR 方法收敛最快. 定理3]7[设n A Rn⨯∈,如果存在排列矩阵P ，使1122T D M PAP M D =其中，1D ,2D 为对角矩阵，则称A 是2-循环的.此外，若当0α≠时，矩阵11-1D U D L αα--+的特征值都和α无关，则称A 是相容次序矩阵.定理4]7[设n A Rn⨯∈，A 有非零的对角元，且是2-循环和相容次序的矩阵.又设1(U)J B D L -=+是方程组A x b =的Jacobi 法迭代的迭代矩阵,且2B 的所有特征值均在（0,1）上，若()1J B ρ<,记()J B μρ=,则SOR 法的最优松弛因子b ω为211b ωμ=+-且222[4(1)]()1,2bb G ωωμωμωωωρωωω⎧+--⎪<<=⎪-<<⎩02()min ()bb G G ωωωρρ≤≤=图12松弛因子选取方法方法思想]8[：(1)给出ω的围，当取不同的ω值时，进行迭代，在符合同一个精度要求下依次求出谱半径的值，比较出最小的谱半径，那么这个最小的谱半径所对应的的ω,即为所求最佳松弛因子. (2)给出ω的围，当取不同的ω值时，进行迭代，看它们在相同精度围的迭代次数，找到迭代次数最少的那一个，其所对应的ω即为最佳松弛因子.” 2.1 逐步搜索法 算法：Step 1：读入线性方程组的系数矩阵，常数向量，初值，精度，给出ω的取值围,以及其变化步长；Step 2：按照如下公式迭代(1)()k k i x G x f ωω+=+找出符合精度要求ε的迭代次数及谱半径;Step 3：循环迭代，最后找到最优松弛因子Step 4: 改变ω的取值围，重新设定变化步长，重复Step2. 2.2黄金分割法从定理4我们可以看到，最优松弛因子对应的谱半径最小，而黄金分割法对于数值求解单调函数的极小和极大值是非常方便和有效的]9[，因此，我们可以把黄金分割法应用在求最优松弛因子上，其算法与主要思想是： Step1:利用优选法思想，在)2,1(之间选取四个点，12441314141,0.618(),0.618(),2p p p p p p p p p p ==--=+-=Step 2: 分别取2p 与3p 作为松弛因子代入迭代程序，比较出最少的迭代次数，如果对2p 应的迭代次数少，则选取),(31p p 作为收敛区间，如果是对应的3p 迭代次数少，则选取),(42p p 作为收敛区间.Step 3: 在所选取的收敛区间里循环进行上述的两个步骤，直到选取出满足精度要求且2p ，3p 所对应的迭代次数差不超过某个数∆时选3p 为最优松弛因子.3 数值算例例1:矩阵3101130000311013A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(1,2,2,1)T b =----，精度为161.0*10k k x x ---≤解法1:黄金分割法令05.0=∆，程序结果如下：由上可以看出我们只需作几次0.618法就可以找到最优松弛因子，本例中最优松弛因子0901.1=ω，迭代次数为8次.解法2：逐步搜索法，步长为0.1，21<≤ω程序结果如下：图3图3中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径.也可以求出最优松弛因子为1.1，迭代次数为8.然后我们改变松弛因子区间，令1.11≤≤ω以步长为0.01来继续求更精确的松弛因子.程序结果如下：图4图4中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径.这样继续缩小松弛因子围，以更小的步长求得的最优松弛因子为1.0900，更加精确. 例2 方程组A x b =，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=40001-1-1-0004001-01-1-0004001-1-01-0004001-1-1-1-1-00400001-01-00400001-1-1-0040001-01-00040001-1-00004A T (2,2,0,2,2,1,1,1,1)b =.精度为161.0*10k k x x ---≤.初始迭代值为0(0,0,0,0,0,0,0,0,0)T x =.求最优松弛因子.解法1 黄金分割法令001.0=∆，程序结果如下：求得最优松弛因子为1.1772.解法2 逐步搜索法首先以21<≤ω，步长为0.1搜索求得的最优松弛因子为1.2000,然后重新设定围，以步长为0.01运行程序在改变围，以步长为0.001运行，程序结果如下：求得的最优松弛因子为1.1780.由这两个例子可以看出利用黄金分割法求最优松弛因子比用逐步搜索法更加简便快速，但是用逐步搜索法步长取的很小时求得的松弛因子比黄金分割法更加精确.4 结束语超松弛迭代方法是解决线性方程组的一个十分有效快捷的方法，很多工程学，计算数学中都会应用.而且超松弛迭代法公式简单，编制程序容易.而使用超松弛迭代法的关键在于选取合适的松弛因子，如果松弛因子选取合适，则会大大缩短计算时间. 本文依据松弛因子和矩阵谱半径的关系给出了两种选取松弛因子的方法逐步搜索法和黄金分割法及其Matlab程序. 但这两种方法仍不是足够简便，有所不足，有待进一步研究.5 参考文献:[1] 庆扬，王能超，易大义.数值分析[M], 清华大学，2008.[2] 施. 计算机数值方法[M] . : 高等教育, 2000.[3] 蔡大用.数值分析与实验学习指导[M]，清华大学，2001.[4] 建宇，黎燕. 牛顿一SOR迭代方法中最佳松弛因子的算法[J]，大学学报，4,381-382,1995.[5] 王诗然. 稀疏线性方程组求解的逐次超松弛迭代法[J]，师大学学报,4,407-409,2006.[6] 卫国. MATLAB程序设计与应用[M]，高等教育，2008.[7] 知难.关于相容次序矩阵的性质的图论证明[J].XX大学学报, 1983, 12(3):23-26.[8] 春光，徐成贤.确定SOR最优松弛因子的一个实用算法[J].计算力学学报，2002,19(3)：299-302.[9] 家羚，王勇.最有超松弛因子的一种确定方法及其在裂纹计算中的应用[J].研究简报，2002,24(1)：133-135.[10] 王晓东. 计算机算法设计与分析[M] . : 电子工业, 2000.附录逐步搜索法A=[-3,1,0,1;1,-3,0,0;0,0,-3,1;1,0,1,-3]; %系数矩阵%b=[-1;-2;-2;-1];D=diag(diag(A)); %A的对角矩阵%U=-triu(A,1) ; %A上三角矩阵%L=-tril(A,-1); %A的下三角矩阵%m=[];t=[]; %创建两个空矩阵分别存放相对应的谱半径和记录迭代次数% for w=1:0.01:1.1; %取w的值%q=(D-w*L);p=inv(q); %求q的逆%Gw=p*((1-w)*D+w*U); %求得迭代矩阵%V=eig(Gw); %计算迭代矩阵的特征值%R=max(abs(V)); %找出绝对值最大的谱半径%m=[m,R];plot(w,R,'o'); %画出w和R的关系图%grid;hold onf=inv(D-w*L)*b*w;x0=[0;0;0;0]; %取迭代初值%y=Gw*x0+f;n=1;while norm(y-x0)>=1.0e-6 %迭代条件%f=inv(D-w*L)*b*w;x0=y;y=Gw*x0+f;n=n+1;endt=[t,n];end[h,k]=min(t); %h记录最小的迭代次数，k记录第几个数最小%求解过程g=1.0+(k-1)*0.01;f=inv(D-g*L)*b*g;y=Gw*x0+f;n=1;while norm(y-x0)>=1.0e-6;f=inv(D-g*L)*b*g;x0=y;y=Gw*x0+f;n=n+1;endk,h,t,m,g %g是最佳松弛因子%黄金分割法A=[-3,1,0,1;1,-3,0,0;0,0,-3,1;1,0,1,-3]; %系数矩阵% b=[-1;-2;-2;-1];D=diag(diag(A)); %A的对角矩阵%U=-triu(A,1) ; %A上三角矩阵%L=-tril(A,-1); %A的下三角矩阵%c=1;d=2;m=0.618;x0=[0;0;0;0];w1=d-m*(d-c);w2=c+m*(d-c);y=[];r=[];s=[];z=[];while abs(w2-w1)>=0.05n=1; w=w1;G=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);f=w*((D-w*L)*b);x=G*x0+f;while norm(x-x0)>=1.0e-6x0=x;G=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);f=w*((D-w*L)*b);x=G*x0+f;n=n+1;endr=[r,w];y=[y,n];k=1; w=w2;G=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);f=w*((D-w*L)*b);x=G*x0+f;while norm(x-x0)>=1.0e-6x0=x;G=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);f=w*((D-w*L)*b);x=G*x0+f;k=k+1;ends=[s,w];z=[z,k];if n>kc=w1;w1=d-m*(d-c);w2=c+m*(d-c);elsed=w2;w1=d-m*(d-c);w2=c+m*(d-c);endendr,y,s,z,w2致本文在指导老师老师的精心指导下完成的，无论是在选题、确定研究容和研究过程中都凝聚着由老师的辛勤与汗水.由老师的严谨治学态度、无私奉献的精神、丰富的教学经验令我受益匪浅.在他那里不仅让我学到了许多宝贵的知识财富，更让我懂得了许多做人的道理.在这里我衷心地向我的指导教师艳星老师表示最诚挚的意和尊敬.最后向所有关心我和帮助我的老师和同学们表示我衷心的感和最诚挚的意！。
松弛迭代法解线性方程组
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------松弛迭代法解线性方程组计算方法第八章上机作业沈欢北京大学工学院，北京100871 2012-05-011问题描述编制松弛法求解线性方程组的程序：分别取松弛因子ω =0, 0.1, 0.2,…2.0（间隔为0.1），求解线性方程组Ax = b ，其中 ? ? 1 1 1 1 1 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ? ? 2 3 4 5 6 ? ?1 1 1 1 1 ? ? A=? ? 3 4 5 6 7 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? 4 5 6 7 8 ?1 5 1 6 1 7 1 8 1 9(1)? ? ? ? b=? ? ? ?1 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ?(2)→ → 要求精度为 ? x ?? x ? < 10?4 (1) 经过计算判断对那些ω 迭代收敛？ (2) 记下迭代次数，据此判断对哪个ω 迭代收敛最快。
2SOR方法描述? → → → → x k+1 = ωL? x k+1 + [(1 ? ω )I + ωU ]? x k + ω? g松弛法迭代的矩阵形式为： (3)其中，常数ω 称为松弛因子。
ω < 1称为低松弛或亚松弛法。
ω > 1称为超松弛法，ω = 1时为Seidal迭代法。
收敛最快的松弛因子称为最优松弛因子，一般要由经验或通过试算来确定。
选取适当的松弛因子，SOR迭代要比Jacobi 迭代或Seidal迭代快很多。
11/ 8在编制计算机程序的过程中使用分量形式进行迭代：i?1 +1 xk = i j =1(?ω ?aij k+1 aij k bi (?ω ? )xj + (1 ? ω )xk )xj + ω ?i + aii aii aii j =i+1n(4)其中，i=1,2,.....,n。
数值分析大作业超松弛迭代法如何选取最佳松弛因子
数值分析⼤作业超松弛迭代法如何选取最佳松弛因⼦超松弛迭代法如何选取最佳松弛因⼦船建学院B1301095 wj⼀、课题背景逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel⽅法的⼀种加速⽅法，是解⼤型稀疏矩阵⽅程组的有效⽅法之⼀，它具有计算公式简单，程序设计容易，占⽤计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因⼦（即最佳松弛因⼦）。
最佳松弛因⼦ω的确定是数值代数中的⼀个理论难题，对于不同的矩阵，其最佳松弛因⼦往往相差很⼤，没有统⼀的计算公式来确定ω。
由于对称正定矩阵sor⽅法收敛的充分必要条件为w在0到2之间，故利⽤对称正定矩阵⼀定收敛的性质，本⽂提供⼀种针对于系数矩阵为对称正定矩阵时，如何选取合适的最佳松弛因⼦的⽅法。
⼆、课题研究流程图三、SOR迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提⾼收敛速度，采⽤加权平均⽽得到的新算法，设解⽅程的GS法记为(1)再由与加权平均得这⾥ω＞0称为松弛参数，将（1）式代⼊则得(2)称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因⼦，当ω=1时(2)式即为GS法，将(2)式写成矩阵形式，则得即于是得SOR迭代的矩阵表⽰(3)四、Matlab程序%sor法确定对称正定矩阵的最佳松弛因⼦w%clc;clear;n=100;%矩阵的阶数%for num=1:100X=diag(rand(n,1));U=orth(rand(n,n)-0.5);a=U'*X*U;%以上是利⽤随机对⾓矩阵和随机正交矩阵，产⽣随机的对称正定矩阵，正交变化不改变特征值%L=zeros(n,n);U=zeros(n,n);%分配L和U的内存空间%step=0.02;%定义w的计算精度%for k=1:(2/step) %由于对称正定矩阵sor⽅法收敛的充分必要条件为w在0到2之间%w=(k-1)*step;for i=1:n %⼀个总的for循环给三个矩阵赋值D-L-U=A,%for j=1:i-1L(i,j)=-a(i,j);%L矩阵的赋值%endfor j=i+1:nU(i,j)=-a(i,j);%U矩阵的赋值%endD(i,i)=a(i,i);%D矩阵的赋值%endH=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);%sor⽅法的核⼼，H矩阵为迭代矩阵%p(k)=max(abs(eig(H)));%利⽤此函数求矩阵的谱半径%endk_min=find(p==min(p));%find函数寻找不同的w中谱半径的最⼩值，即寻找收敛最快的w%w_min(num)=(k_min-1)*step;%由最⼩值的序号得到最优的w%endhist(w_min,100)%对数量⾜够多的随机对称正定矩阵做频率统计，w划分100份，做出统计图%mean(w_min)%对不同矩阵的最⼩谱半径所对应的w对平均统计%五、结果对于不同阶数，计算得到的最佳收敛因⼦w不同，⼤致是随阶数增⼤⽽增⼤。
松弛迭代法
)
x(m) i
r (m1)
i
(i 1,2,, n)
其中，ri(m1)
1 aii
(bi
i 1
a x(m1) ij j
j 1
n j i
aij
x
(m) j
)(i
1,2,, n)
称为第m+1步第I个分量的修正量. 当迭代法收敛时
r (m1) i
0(i
1,2,, n)
在修正量前乘上一个参数，即
x ( m 1) i
xi( m )
r (m1) i
(i 1,2,, n)
这种求方程组近似解的方法称为松弛法，称为松弛因子. 当 1时，称为低松弛法,当 1时，就是赛德尔迭代法， 当 1时，称为超松弛法，简称为SOR.
在实际计算中，松弛法常采用以下形式：
令B (D L)1[(1 )D U ], g (D L)1b,则
x(m1) B x(m) g (m 0,1,2,)
三、松弛法算法
输入 方程组的阶数n, A的元素aij，1 i, j n;b的分量bi ,1 i n;
x(0)的分量x0i ,1 i n;允许误差；最大迭次次数N. 输出 近似解x1, x2,, xn或N次迭代后不收敛的信息 . 步骤
S13 对i 1,2,, n
置x0i xi S2 输出“N次迭代后不收敛”；停机.
作业：
教材P91 习题4
i 1
n
x(m1) i
(1 )xi(m)
(bi
a x(m1) ij j
aij
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation，简称SOR）是一种解线性方程组的迭代方法，它在雅可比迭代法的基础上，对于每次迭代的结果进行超松弛处理。
超松弛迭代法通过引入一个松弛因子来加快收敛速度，尤其对于收敛慢的问题具有较好的效果。
超松弛迭代法的基本思想是，在每次迭代时，在当前解的基础上引入一个松弛因子ω，将当前解对应的分量更新为上一次迭代得到的解和当前迭代中该分量的修正量的线性组合。
换句话说，超松弛迭代法通过适当地加权迭代，既保留了松弛迭代法的简洁性，又在一定程度上加快了收敛速度。
超松弛迭代法可以用以下公式表示：x_i^{(k+1)} = (1 - ω)x_i^{(k)} + ω/α_ii(b_i - \sum_{j=1}^{n}α_ijx_j^{(k+1)}) (i = 1, 2, ..., n)其中，x_i^{(k+1)} 表示第k+1次迭代时第i个未知量的近似解，x_i^{(k)} 表示第k次迭代时第i个未知量的近似解，α_ij 是系数矩阵的元素，b_i 是方程组的常数向量的第i个分量，α_ii是系数矩阵的第i行的对角元素，n 表示未知量的个数，k 表示当前的迭代次数，ω 是松弛因子。
超松弛迭代法的收敛性与松弛因子ω有关，当ω=1时，迭代法变成了雅可比迭代法；当0 < ω < 1时，称为欠松弛迭代；当ω > 1时，称为超松弛迭代。
一般来说，超松弛迭代法只在0 < ω < 2的范围内收敛。
对于特定的线性方程组，选择一个合适的松弛因子可以有效地加快迭代的收敛速度。
在实际求解问题时，选择合适的松弛因子是非常重要的。
如果选取的松弛因子过大，可能导致迭代法不收敛或者收敛非常慢；如果选取的松弛因子过小，则可能无法发挥超松弛迭代法的优势。
一种常用的方法是通过试验和经验来确定最佳的松弛因子，或者通过一些启发式的方法进行优化。
总结起来，超松弛迭代法是一种通过引入松弛因子来加快雅可比迭代法收敛速度的方法。
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(k 1)
n
n1
(k 1)
1
n2
(k1) L
2
n,n1
( k 1) n1
g n
x
(
0
)
( x1(0) ,L
,
x(0) n
)T
,
xi
x (k1) i
x(k) i
xi
(bi
i 1
a x (k1) ij j
n
aij
xj(k) )
/
aii
x(k) i
ji
j i 1
i 1
n
(bi
aij
代 法
R=Max[Abs[Eigenvalues[N[SOR]]]]-1 f=w*DDLN.b; x[0]={1,1,1};
x[n_]:=SOR.x[n-1]+f;
Table[x[n],{n,0,16}];
MatrixForm[%]//N
LinearSolve[A,b]
程序设计
松弛法的程序
1.
1.
x(0) 初始向量
x
(
k
1)
SOR x(k )
f
k 0,1,L
其中 f (D L)1b.
SOR 方 法
x(k)
( x1(k ) ,
x
( i
k
)
,
x
(k n
)
)T
,
SOR方法的计算公式
x( xi(
0)
k 1)
( x1(0) ,
x(k) i
x
(0 n
)
)T
xi ,
松
(i 1,2, , n; k 0,1, ),
例2
用SOR方法解方程组
1
4
1
1
x2
1 ,
验证：松弛因子
1 1 4 1 x3 1
1
1
1
4
x4
1
与迭代次数的关系，它的精确解为 x* 1, 1, 1, 1T .
取 x(0) 0 ，迭代公式为
x1k
x
k
2
1 1
x1k x2k
1 1
4 x1k x2k x3k x4k 4 ; x1k1 4 x2k x3k x4k 4 ;
将(2.13)代入(2.14)得到解 Ax b 的SOR迭代公式.
典型例题
例1
松 弛 迭 代 法
取 1.4, x( 0 ) (1,1,1 )T
用超松弛法解方程组
2x1 x2 x1 2x2
x3
1 0
x2 2x3 1.8
x(k1) i
(1 )xik
aii
(bi
i 1 j 1
1.
1.
1.
1.56
1.
1.392 1.532
松
1.2744
1.3528 1.602
弛
1.1372
1.40376 1.59164
迭
1.22775 1.39396 1.60108
代 法
1.18467 1.40106 1.59889
1.20687 1.39917 1.60024
1.19667 1.40021 1.59984
当 1 时称为超松弛法。
松弛法的矩阵表示
选取分裂矩阵M为带参数下三角阵
M 1 (D L)
松 其中 0 为可选择的松弛因子。
弛 迭
构造以 SOR I (D L)1 A 为迭代矩阵的迭代公式
代 法
x(k1) I (D L)1 A x(k) f
解 Ax b 的SOR方法为
程序设计
1.20148 1.19932 1.2003 1.19987 1.20006 1.19998 1.20001
1.2
1.39988 1.60004
1.40004 1.59998
1.39998 1.60001
1.40001 1.6
1.4
1.6
1.4
1.6
1.4
1.6
1.4 1.6
典型例题
4 1 1 1 x1 1
将 x(0) (1,1,1)T 带入上式开始迭代 x(9) (1.200, 1.3996, 1.6001)T
精确解： x (1.2, 1.4, 1.6)T .
松弛法的程序
A={{2,-1,0},{-1,2,-1},{0,-1,2}};
MatrixForm[%];
b={1,0,1.8};
w=1.4;
其中 x(k1) Gauss-Seidel 迭代公式得到，于是有
松
弛 迭 代 法
x (k1)
1
b x b x b x g (k)
(k) L
(k)
12 2
13 3
1n n
1
x b x
(k 1)
2
21
( k 1) 1
b x b x g
(k) L
(k)
23 3
2n n
2
LL
x b x b x b x
(i 1,2,L , n)
松
可以把 x 看作Gauss-Seidel 迭代的修正项，即第k次
弛
近似解 x( k ) 以此项修正后得到新的近似解
迭
代
x( k1 ) x( k ) x
法
松弛法是将 x 乘上一个参数因子 作为修正项而得到新的近似解
具体公式为
x( k1 ) x( k ) x
松弛法的基本思想
迭代法收敛性的其它判定方法
0 松弛法收敛的必要条件是： 2
前面的判定定理虽然给出了判别迭代收敛的充要条件，但要求逆矩
松 弛
阵和特征值。而 0 2 也只是松弛法收敛的必要条件，应用不方便。
迭
代
法
即
x ( k 1) i
x(k) i
xi
(1 )xi(k)
aii
(bi
i 1
a x(k1) ij j
j 1
n
aij x(jk ) )
j i 1
按上式计算 Ax b 的近似解序列的方法称为松弛法。
松 弛
称为松弛因子
迭 代
当 1 时称为低松弛；
法
当 1 时称为Gauss-Seidel迭代；
对 取其他值，迭代次数如下表，从此例看到，松弛因子选择得好，会使 SOR迭代法的收敛大大加速，本例中 1.3是最佳松弛因子。
松弛因子
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
满足误差 xk x* 105
2
22
17
12
11
14
的迭代次数
松弛因子
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
满足误差
17 23 33 53 109
a x(k1) ij j
n
aij x(jk ) )
ji1
x ( k 1) 1
0.4 x1(k )
0.7(1
x(k) 2
x ( k 1) 2
0.4 x2(k )
0.7( x1(k1)
) x(k)
3
)
x ( k 1) 3
0.4 x3(k )
0.7(1.8
x2(k1) )
(k 0,1, 2,L )
aii
j1
ji
(i 1,2, , n; k 0,1),
SOR 方 法
SOR迭代法是Gauss—Seidel 迭代法的一种修正，可由下述思想得到.
设已知x(k) 及已计算x(k1) 的分量x(jk1) ( j 1, 2,L , i 1)
松
(1) 首先用Gauss—Seidel 迭代法定义辅助量x~i(k1) ,
弛 迭
i 1
n
x%i(k1) (bi
a x(k1) ij j
aij
x
(k j
)
)
/
aii
.
(2.13)
代
j1
ji1
法
(2) 再由xi(k ) 与x~i(k1) 加权平均定义xi(k1) ，即
x(k1) i
(1 )xi(k)
x%i( k 1)
x(k) i
( x%i(k1)
xi(k) )
(2.14)
x
k
3
1
x3k
1
x1k 1
x2k 1
4 x3k
x4k
4;
x4k
1
x4k
1
x1k 1
x2k 1Hale Waihona Puke x3k 14 x4k
4;
典型例题
取 1.3第11次迭代结果为
x11 0.9999646, 1.0000310, 0.9999953, 0.9999912T ,
11 0.64 105. 2
x (k1) j
aij x j(k ) ) / aii
ji
ji
(i 1,L , n;k 0,1,L ).
松弛法的基本思想
xi
i 1
b x(k1) ij j
j1
n
bij
x
(k j
)
ji1
gi
x(k) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k1) ij j
j1
n
aij
x
(k j
)
)
ji1
x(k) i
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理
2 Jacobi迭代法 3 高斯-塞德尔迭代法 4 松弛迭代法
5 迭代法的收敛性与稳定 性
松弛法的基本思想 松弛法的矩阵表示 松弛法的程序 迭代法收敛性的其它判定方法