1.1探索勾股定理(二)
第1章勾股定理第2课时 勾股定理的简单应用PPT课件(北师大版)
13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C)
A．4 B．6 C．16 D．55
14．如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C，测得CA＝50米，CB＝40米，求：
(1)A，B两点间的距离； (2)点B到直线AC的距离．
解：作BD⊥AC于点D.(1)由勾股定理得AB＝30米 (2)由面积 法： 12 AB×BC＝ 12 AC×BD，得BD＝24(米)．答：A，B两点间的距离 是30米，B点到直线AC的距离是24米
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
9．如图所示是一段楼梯，高BC＝3 cm，斜边AB是5 m，如果 在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯( C )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
10．如图，一个透明的圆柱形状的玻璃杯，由内部测得其底面 半径为3 cm，高为8 cm，今有一支12 cm的吸管任意斜放于杯中， 若不考虑吸管的粗细，吸管露出杯口长度最少为____cm2.
17．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图的 AB所在的直线上建一图书阅览室．该社区有两所学校，所在 的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.已知AB ＝25 km，CA＝15 km，DB＝10 km.试问：阅览室E建在距点A 多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等．
11．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请你帮他计算 阳光透过的最大面积．
解：在直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长 为5 m，所以长方形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)即阳光 透过的最大面积是100 m2
1.1-探索勾股定理-(第二课时)立峰
总统证法
c a
b
cb
面积法
a
S梯形
1 (a b)(a b) 2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
1 (a b)(a b) 1 (ab ab c2)
2
2
化简得 a2 b2 c2.
环节三：合作探究—拼图验证 c
a
右图有四个全等的直角三
b
角形，
c a
用这四个三角形拼一 拼、摆一摆, 看看是否得到 a
b c
一个含有以斜边c为边长的 正方形, 你能利用它说明勾
b c
股定理吗? 小组合作交流. a
b
环节三：层层设问，完成验证一
b
利
用a c 面
积
法
c
b
a
c
b
(a+b)2
= C2+4×
1
2 ab
a2+b2+2ab=c2+2ab
c
a 可得:a2+b2=c2
a
b
这四个直角三角形还能怎样拼？
环节三：自主探究—完成验证二
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
复习旧知
上节课学习了勾股定理,它的内容是什么? 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方.
c
a
b
a2+b2=c2
环节一：目标定位
1、在上节课对具体的直角三角形探索发 现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的 验证过程，体会数形结合的思想和从特殊 到一般的思想. 2、掌握勾股定理及其验证，并能应用勾 股定理解决一些实际问题. 3、在勾股定理的验证活动中，培养探究 能力和合作精神；通过对勾股定理历史的 了解，感受数学文化，增强爱国情感，并 通过应用勾股定理解决实际问题，培养应 用数学的意识.
1.1探索勾股定理(2)教学设计
《1.2探索勾股定理（第2课时）》教学设计夏县泗交初中孙安平【教材分析】本节课是北师大版《数学（八年级上册）》第一章第一节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.【学情分析】学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.【教学目标】1、能用拼图的方法、面积法验证勾股定理，体会数形结合的思想；2、能熟练地运用勾股定理解决实际问题.【教学重难点】重点：能熟练用拼图的方法验证勾股定理；难点：用勾股定理解决实际问题。
【资源准备】制作 PPT 课件，包括：出示学习目标；通过自主探索、猜测、验证突破重难点；课堂小结；达标检测。
【课时安排】第二课时【教学过程】环节一：复习回顾1.勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.◆设计意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课的探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的欲望.环节二：新知探究◆探究活动一：教师导入，小组拼图今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）◆探究活动二：层层设问，完成验证1.学生通过自主探究，小组讨论得到如图1、图2的两个图形.2.教师提问：（1）如图1，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书()22142a b ab c +=⨯+，并得到222c b a =+）3.学生自主探究，利用图2验证勾股定理.◆设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，又培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问的引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.然后让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理，目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了难点.环节三：延伸拓展，能力提升1.议一议：观察图3，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足222.a b c +=图1 图2bc a b a - _b_a a_c _b _c图32.已知：一个直角三角形的斜边为20 cm ，且两直角边的长度比为3:4，求两直角边的长.◆设计意图：在前面已经讨论了直角三角形三边的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a ，b ，c 不满足222a b c +=.通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判定打下基础.环节四：例题讲解例 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4 000 m 处，过了20 s ，飞机距离这个男孩子头顶 5 000 m ，飞机每小时飞行多少千米？解：设点A 为男孩头顶，点C 为正上方时飞机的位置，点B 为20 s 后飞机的位置，如图4，则222AB BC AC =+，即2229000000BC AB AC =-=， 所以BC=3 000，所以飞机的速度为3 000÷20=150（m/s ）=540（km/h ），答：飞机每小时飞行540 km.◆设计意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.图4环节五：例题讲解约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若一个正方形的边长是1，则它的对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪，实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.1881年，这位中年人——伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.◆设计意图：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料.介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；通过让部分学生搜集材料，展示材料，既可以让学生得到充分的锻炼，同时也可以活跃课堂气氛.环节五：课堂小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.◆设计意图：归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力.环节六：作业布置习题1.2第1，2，3题.◆设计意图：巩固本节课的内容，充分发挥勾股定理的育人价值.【达标检测】1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )A．16 B．12 C．9 D．72.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π， S2 ＝2π，试求出S3的面积.3.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.◆设计意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.【板书设计】1.2探索勾股定理（第2课时）。
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的简单运用
10．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的13 ，斜边长为 10，它的面积 为( B )
A．10 B．15 C．20 D．30
11．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正
方形．如图，直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4，则中间小正方形的面积
占整个大正方形面积的( C )
解：100 m2
9．在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周 长为32.
(1)连接BD，求∠ADB的度数； (2)若BD＝8，求BC的长．
解：(1)如图，连接 BD，因为 AB＝AD＝8，∠A＝60°，所以∠ADB＝21 (180 °－∠A)＝60°
(2)因为∠BDC＝150°－60°＝90°，四边形的周长为 32，所以 DC＋BC＝32－ AB－AD＝16，设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BC2＝CD2＋BD2，即 x2＝(16－x)2＋82，解得 x＝10，所以 BC＝10
17 ． 在 △ ABC 中 ， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ， 若 ∠ C ＝ 90° ， 如 图 ① ， 则 直 角 △ABC的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角 形，如图②，图③，请你类比直角三角形三边的这一关系式，猜想a2＋b2与c2的大小 关系，并证明你的猜想．
16．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大 正方形面积为49，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)， 下列四个结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝3；③2xy＋9＝49；④x＋y＝10，其中正确 的是( B )
A.①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理 教案学案练习测试全
第一章勾股定理1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级：A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：________ 姓名：________1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm 在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64 ∴AD =8 cm ∴S △ABD =21BC ·AD =21×12×8=48(cm 2)3.解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm ∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25 ∴AB =3.5 cm ∵S △ABC =21AC ·BC =21AB ·CD∴AC ·BC =AB ·CD ∴CD =ABBC AC ⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm)(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得： AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2－CD 2=2.12－1.682 =(2.1+1.68)(2.1－1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2)5.解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x 在Rt △ABF 中由勾股定理得： AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102， ∴BF =6 cm∴CF =BC －BF =10－6=4(cm)在Rt △ECF 中由勾股定理可得： EF 2=CE 2+CF 2，即(8－x )2=x 2+42 ∴64－16x +x 2=x 2+16 ∴x =3(cm),即CE =3 cm参考例题［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D 在Rt △ACD 中，∠A =60° ∠ACD =90°－60°=30° AD =21AC =12(cm)CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432， DB =AB －AD =15－12=3. 在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°， ∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS ) 则OC =OD =21AB =21×6=3米.连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2 所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.。
特殊三角形—探索勾股定理（二）（详细解析考点分析名师点评）
探索勾股定理（二）—勾股定理的应用一、选择题（共20小题）1、已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A、100B、180C、220D、2602、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A、米B、米C、（+1）米D、3米3、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A、12≤a≤13B、12≤a≤15C、5≤a≤12D、5≤a≤134、在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（）A、一定不会B、可能会C、一定会D、以上答案都不对5、有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、cmB、cmC、cmD、cm6、园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（）A、24米2B、36米2C、48米2D、72米27、如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（）A、150米B、100米C、100米D、50米8、如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（）A、105mB、210mC、70mD、105m9、由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A、8mB、10mC、16mD、18m10、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A、2mB、2.5mC、2.25mD、3m11、放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（）A、600米B、800米C、1000米D、以上都不对12、为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A、0.7米B、0.8米C、0.9米D、1.0米13、小明相知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（）A、11米B、12米C、13米D、14米14、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A、10米B、15米C、25米D、30米15、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里16、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（）A、8cmB、10cmC、4cmD、20cm17、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A、9分米B、15分米C、5分米D、8分米18、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米19、一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A、13，12，12B、12，12，8C、13，10，12D、5，8，420、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米二、填空题（共5小题）21、钝角三角形的三边长分别为4，6，8，则其面积为_________．22、如图，在四边形ABDC中，连接BC，∠A=∠BCD=90°，∠D=30°，∠ABC=45°，如果，那么S四边形ABDC= _________．23、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_________米．24、（2008•莆田）如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是_________．25、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为_________mm．三、解答题（共5小题）26、在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．表示：_________表示：_________表示：_________（注：横线上填入对应的无理数）27、已知等腰三角形ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AD的长．28、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．29、如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）30、小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）。
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
八年级数学上册第1章《探索勾股定理(2)》优质教案(北师大版)
第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算3、4、5这组勾股数，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量直角三角形边长的情况？”（如测量墙角到地面的距离）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
五、教学反思
在今天的课程中，我们探索了勾股定理的验证，这是一节理论与实践相结合的课程。我注意到，在理论讲解部分，学生对勾股定理的概念接受得相对顺利，但到了实际操作和验证环节，部分学生显得有些吃力。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重学生对知识的应用和实践。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，他们积极讨论、动手操作，试图通过自己的努力去验证勾股定理。这让我感到很欣慰，因为他们能够将所学知识应用到实际中去。但同时，我也发现了一些问题，比如学生在进行代数推导时，对平方的概念理解不够深入，导致计算过程中出现错误。这提示我在今后的教学中，需要加强对基础概念的讲解和巩固。
探索勾股定理练习题
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为米．2．如图1-1-1，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为m．3．如图1-1-2，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为．（π不取近似值）4．底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为cm．5．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距km．提高训练6．一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端滑动m．7．如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是cm2．8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若14=+ba cm，10=c cm，则Rt△ABC的面积为（）．（A）24cm2（B）36cm2（C）48cm2（D）60cm29．如图1-1-4，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）．（A）321SSS>+（B）321SSS=+（C）321SSS<+（D）无法确定10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝. 他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km．知识拓展12．如图1-1-7，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．BAE5米3米31．斜边为cm 17，一条直角边长为cm 15的直角三角形的面积是（ ）(A) 60 (B) 30 (C) 90 (D) 120 2. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）（A ）25 （B ）14（C ）7 （D ）7或25 4. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______.5. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .6. 如图1-1-8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.提高训练7. 如图1-1-9，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.8. 如图1-1-10，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.9．伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用两个全等的三角形拼成如图图形，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线，证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．知识拓展10．如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.12. 已知，如图1-1-22，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90积。
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案 新版北师大版
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第一章“探索勾股定理”的目的是让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵，并能够运用勾股定理解决实际问题。
本节课是该章节的第一课时，主要让学生验证勾股定理。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形、直角三角形等概念有一定的理解。
但他们对勾股定理的发现过程和证明方法可能还不够深入了解，因此需要通过本节课的教学，让学生从实践中感受勾股定理的真理，提高他们的数学思维能力。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵。
2.培养学生运用几何图形进行推理和验证的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和探索精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实际操作，验证勾股定理。
2.教学难点：引导学生理解并证明勾股定理。
五. 教学方法1.实践教学法：让学生通过实际操作，发现并验证勾股定理。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成验证勾股定理的任务。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。
2.制作课件，展示勾股定理的发现过程和证明方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
然后提出问题：如何验证这个定理呢？3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用教具和直尺，尝试构造直角三角形，并测量两条直角边和斜边的长度。
每组学生将自己的测量结果填入表格中。
4.巩固（5分钟）教师邀请几组学生汇报自己的测量结果，引导学生发现：不论直角三角形的直角边和斜边的长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。
5.拓展（5分钟）教师提出挑战性问题：如何证明这个结论对所有的直角三角形都成立呢？引导学生进一步思考和探索。
北师大版初中八年级上册数学：勾股定理的图形验证
精彩纷呈的证明方法 印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
达芬奇证法
详细操作步骤:
三 勾股定理的应用
例:飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩子头顶上方4 km处，过了20 s，飞机距离 这个男孩子头顶5 km，飞机每小时飞行多少千米？
第一种类型：等面积 两算法 以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的
朱实
中黄实 c b (b-a)2
截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系；a
第二种类型：无字证明 以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。
第三种类型：欧氏几何证明
以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏 几何的基本定理进行证明；
北师大版八年级数学（上）
1.1 探索勾股定理(第2课时)
甘肃省兰州市第五十四中学: 陈丽英
点击上方 红色勾股定理 即可观看视频。
二 探究勾股定理的证明方法
方法一：毕达哥拉斯的证明
一 问题背景
二 探究思路与方法
几何画板探究毕达哥拉斯证明方法
方法二：赵爽弦图
一 历史背景
朱实 中黄实 c b (b-a)2来自a2.如图2，是某沿江地区交通平面图，为了加快经济图发1 展，该地区 拟修建一条连接B，C，E三城市的沿江高速，已知沿江高速的 建设成本是100万元/ km，该沿江高速的造价预计是多少？
解：Rt △ ABC中，由勾股定理得： BC2 =A B2 + AC2 即BC 2 =30 2 + 402， 所以 BC=50 Rt △ CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2 即CE 2 =50 2 + 1202， 所以 CE=130
北师大版初二数学上册1.1探索勾股定理(第2课时)课时过关练习.1探索勾股定理(第2课时)课时过关练习
§1.1.2《探索勾股定理》课时过关练习一、填空题1．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a ∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为 .4.在△ABC 中，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°．5.等边三角形的边长为6 cm ，则它的高为__________．6.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．7.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．8.若一个三角形的三边长分别为3，4，x ，则使此三角形是直角三角形的x 的值是__________．二、选择题9.等腰三角形的腰长为13 cm ，底边长为10 cm ，则面积为（ ）.A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm 210. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另 一直角边长为6 cm ，则它的斜边长( ).A.4 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm11.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，则AC 等于( ).A.3B.4C.5D.1312. 直角三角形的一条直角边是另一条直角边的31，斜边长为10,它的面积为( ). A.10 B.15 C.20 D.30三、解答题13．轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9 km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.14．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？。
2022年北师版数学《认识勾股定理2》精品教案
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？弦股勾（教师板演解题过程） 练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容： 教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．?225100x1517意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动． 效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．教学设计反思 （一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．a bcabc第1课时 代入法1．会用代入法解二元一次方程组．(重点)一、情境导入 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？我们可以设树上有x 只鸽子，地上有y 只鸽子，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3（y －1），x －1＝y ＋1.可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？二、合作探究探究点：用代入法解二元一次方程组 【类型一】 用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，①y ＋14＝x ＋23.②解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x ＝1－5y ，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12.解：(1)由②，得x ＝1－5y.③把③代入①，得2(1－5y)＋3y ＝－19， 2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3.把y ＝3代入③，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝3.(2)将原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5.④由③，得x ＝3y ＋12.⑤把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5， 3y ＝－7，y ＝－73.把y ＝－73代入⑤，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－73.方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．【类型二】 整体代入法解二元一次方程组解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11.②解析：把(x ＋1)看作一个整体代入求解．解：由①，得x ＋1＝6y.把x ＋1＝6y 代入②，得2×6y－y ＝11.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＋13＝2×1，x ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．3解析：把解代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，.方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，即将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．三、板书设计解二元一,次方程组)⎩⎪⎨⎪⎧基本思路是“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．充分体现了转化与化归思想．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力．。
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a “三六五”课堂教学模式导学案
年级 学科组 总课时数 主备教师 审查人 时间
§1.1探索勾股定理（2）
一、学习目标
1、 经历用拼图和分割的方法验证勾股定理的过程，培养观察、猜想、推理能力，体会数形结合的思想。
（难点）
2、 熟练运用勾股定理解决一些实际问题。
（重点） 二、自学感知
自学课本第8---14页解决下列问题：
1、 如图，直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边长为c,正方形的边长为c ，其中直角三
角形有若干个，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
(1) 画出拼成的这个图形的示意图；（2）用这个图形证明勾股定理。
2、如图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。
三、合作交流
1、 我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。
他赶
紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
2、 如图，某遂道的截面是一个半径为3.6米的半圆形， 一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过该隧道吗？
四、展示风采
1、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？
2、如图是美国总统Garfield 于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理？说一说你的证明过程。
3、一个直角三角形的斜边为20㎝，且两直角边的长度比为3：4，求两直角边的长。
4、将一根长24㎝的筷子，置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，试探究h 的取值范围，并说出你的理由。
五、小结
通过本节课的学习，总结一下自己获得了哪些知识？
六、达标检测
1、如图1所示，从电线杆距顶端2米处拉一条长10米的缆绳，地面固定点A 到电线杆底部B 的距离为6米，则电线杆的高度为 米。
2、如图2所示，两个正方形A 、B 的面积分别为：S A =9,S B =25,则直角三角形的面积（ ）。
3、放学后，贝贝和京京从学校分手，分别沿西南方向和东南方向回家，已知两人行走的速度都是40米/分。
贝贝用15分钟到家，京京用20分钟到家，那么贝贝与京京家的距离是（ ）。
A 、600m B 、800m C 、1000m D 、无法计算
4、一个零件的形状如图所示，已知∠A=∠CBD=900,AC=3㎝,AB=4㎝，BD=12㎝,求CD 的长。
5、如图所示，在一个高BC 为6米，长AC 为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能算出铺满整个楼梯至少需多少钱吗?
七、学（教）后反思与错题集锦
班级 姓名 完成时间 小组评价 个人评价。