2016年华南师范基础数学专业(613)考研真题凯程独家分析
华南师范大学数学科学学院613数学分析考研初试概况解题技巧历年真题答案详解考试大纲
《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案，共四册）》由鸿知华师考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，与该专业课优秀研究生合作汇编而成。
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《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案）》全书编排根据：华东师范大学数学系《数学分析》名校经典教材《数学分析》===往年华南师范大学考研参考书目===刘名生等编《数学分析（一）》、《数学分析（二）》；耿堤等编《数学分析（三）》，科学出版社结合提供的往年华师考研真题内容与答案解析，帮助报考华南师范大学硕士研究生的同学通过华师教材章节框架分解、配套的习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。
通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。
同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。
适用范围适用院系：数学科学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、数学教育适用科目：613数学分析内容详情本书包括以下几个部分内容：一、考试解读：part 1 学院专业考试概况①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:613数学分析的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含华南师范大学数学学院各专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含华南师范大学考研专业课613数学分析各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧根据华南师范大学613数学分析考试科目的考试题型（计算题、证明题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 近年真题分析最新真题是华南师范大学考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的华师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
2016年华南师范西方哲学史考研真题(完整版)凯程首发
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第 1 页 共 1 页 2016年华南师范西方哲学史考研真题
（完整版）凯程首发
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一、名词解释〈8选5〉8分
1.精神接产术
2.洛克白板说
3.唯实论
4.绝对命令
5.天赋观念
6.公意
7.泰勒斯水本原
8.流溢说
二、简答题〈5选4〉10分
1.原子论伊壁鸠鲁
2.莱布尼茨前定和谐
3.亚里士多德四因说
4.奥古斯丁的信仰与理性的关系
5.培根四假象说
三、论述题〈4选2〉35分
1.柏拉图洞穴喻
2.哥白尼式革命
3.叔本华生命意志哲学
4.黑格尔理性遐想。
华南师范大学《613数学分析》历年考研真题专业课考试试题
2005年华南师范大学数学分析考研真题
2004年华南师范大学数学分析考研真题
2003年华南师范大学数学分析考研真题
2000年华南南师范大学数学分析考研真题
2013年华南师范大学数学分析考研真题
2010年华南师范大学数学分析考研真题
2009年华南师范大学数学分析考研真题
2008年华南师范大学数学分析考研真题
2007年华南师范大学数学分析考研真题
2006年华南师范大学数学分析考研真题
目 录
2014年华南师范大学数学分析考研真题 2013年华南师范大学数学分析考研真题 2010年华南师范大学数学分析考研真题 2009年华南师范大学数学分析考研真题 2008年华南师范大学数学分析考研真题 2007年华南师范大学数学分析考研真题 2006年华南师范大学数学分析考研真题 2005年华南师范大学数学分析考研真题 2004年华南师范大学数学分析考研真题 2003年华南师范大学数学分析考研真题 2000年华南师范大学数学分析考研真题
2016考研数一考研真题
2016考研数一考研真题2016年的考研数学一科目的真题涵盖了多个领域的数学知识，从基础的代数和几何知识到高级的微积分和概率统计等。
本文将以真题为基础，从各个领域逐步讲解解题思路和方法。
第一部分：代数代数部分主要考察对代数方程和不等式的理解和运用。
以2016数学一真题为例，以下是一道典型的代数题目：**题目1:**已知函数 $f(x) = \frac{x^2+2x+3}{x+1}$，则满足 $f(f(x)) = 7$ 的实数 $x$ 的个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3解析：我们可以先求出 $f(f(x))$ 的表达式，然后将其与7相等得到方程，再求解该方程即可得到答案。
解答思路：首先求出 $f(f(x))$ 的表达式：$f(f(x)) = f\left(\frac{x^2+2x+3}{x+1}\right)$将 $\frac{x^2+2x+3}{x+1}$ 代入 $f(x)$：$f(f(x)) = f\left(\frac{x^2+2x+3}{x+1}\right) =f\left(\frac{\left(\frac{x^2+2x+3}{x+1}\right)^2+2\left(\frac{x^2+2x+3}{x+ 1}\right)+3}{\left(\frac{x^2+2x+3}{x+1}\right)+1}\right)$化简上式，我们得到：$f(f(x)) = f(x^2+2x+3) =\frac{(x^2+2x+3)^2+2(x^2+2x+3)+3}{(x^2+2x+3)+1}$将 $f(f(x)) = 7$ 代入上式并解方程，得到：$\frac{(x^2+2x+3)^2+2(x^2+2x+3)+3}{(x^2+2x+3)+1} = 7$对方程进行化简和整理后，最终得到：$(x^2+2x+3)^2-4(x^2+5x+3) = 0$$(x-1)(x+3)(x^2+4x+3) = 0$通过观察和计算，我们可以得到方程的根为 $x=-3$ 和 $x=1$，因此满足 $f(f(x))=7$ 的实数 $x$ 的个数是2。
考研数学一2016年真题及详细答案解析(跨考教育文字版)
2016考研数学（一）真题及详细答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ）（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111x x A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 【答案】（D ）（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似 【答案】（C ）（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）柱面 【答案】（B ）（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 【答案】（B ）（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）（缺失）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx【答案】21（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA 【答案】()1,1,0-y（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz【答案】dy dx 2+-（12）设函数()21arctan ax xx x f +-=，且()10''=f ，则________=a【答案】21（13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 【答案】432234++++λλλλ（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.【答案】()8.10,2.8三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.【答案】3325+π （16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.【答案】()II k3 （17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值 【答案】3（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑【答案】21（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.【答案】略（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】2-=a 时，无解；1=a 时，有无穷多解，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21211133k k k k X ；2-≠a 且1≠a 时，有唯一解，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=01240231a a a a X （21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016年考研数学三试题解析(完整版)
2016年考研数学（三)试题及解析（完整版）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=y 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1.【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==. 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x u 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x u 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d . )23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤bab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xadt t F x G )()(， 由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==bababa babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(， 由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰ba dx x G ，即 0)(≤⎰b adx x xF .因此 ⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解： ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=．(Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为 a k 111-=, c ak +=12, c k =3， 其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b b n A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z【分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ， 令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ， 解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为武汉文都 第 21 页 },,,m in{ˆ21n X X X α．。
2016年考研数学二真题与详解详析
1
(−
x2
+
2x
+ 1)dx
5 20
0
3
14 ． 设 二 次 型
f
( x1 , x2 , x3 )
=
x12
−
x
2 2
+
2ax1 x3
+
4x2 x3
的负惯性
指数是
1，则 a 的取值范围
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是
．
【详解】由配方法可知
f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − x22 + 2ax1 x3 + 4 x2 x3 = ( x1 + ax3 )2 − ( x2 − 2 x3 )2 + (4 − a 2 ) x32
(1 + y'2 )3
K
dx
本题中
dt
= 2t, dy dt
= 2t + 4 ，所以 dy dx
=
2t + 4
2 d2y
2t = 1+ t ， dx 2
=
−
2 t2
2t
1 = − t3
，
对应于 t = 1的点处 y'= 3, y"= −1，所以 K =
y" = 1 ，曲率半径 R = 1 = 10 10 ．
∂u ∂u
∂2u
∂2u
∂2u ∂2u
内部存在驻点 ( x0 , y0 ) ，也就是 ∂x = ∂y = 0 ，在这个点处 A = ∂x 2 ,C = ∂y 2 , B = ∂x∂y = ∂y∂x ，由
条件，显然 AC − B 2 < 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
2016 年全国硕士研究生入学统一考试(数学)真题及答案解析
11
(B)
dx .
1 1 x2
(D)
1 0
1 x2
1
e x dx
.
()
(5) 函数 f x，g x 都有二阶连续导数且满足 f 0 0, g 0 0, f 0 g0 0 ，则
函数 z f x g y 在 0, 0 处取得极小值的一个充分条件是
()
(A) f 0 0, g0 0 .
(B) x 2 是 y f (x) 的极小值点.
(C) 2, f (2) 是 y f (x) 的拐点.
(D) x 2 不是 y f (x) 的极值点，且 2, f (2) 也不是 y f (x) 的拐点.
(4) 下列积分中发散的是
(A) ex2 dx . 0
(C) 1 ln xdx . 0x
向量组线性无关，则 r(B* ) ________.
(14)
设 X1, X 2,, X n 为 来 自 总 体 X
~ N(, 2) 的简单随机样本，记 X
1n n i1 X i
，
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
，则 E(S 4)
.
三、解答题:15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定的位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)
数学（一）试题 第 2 页 （共 4 页）
1
已知 lxim01
x2 f x esin x ex
ln cos x
e12 ，求 lim x0
fx x3
.
(16) (本题满分 10 分）
(I)证明柯西中值定理：设函数 f ( x), g ( x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可 导，且 g ( x) 0 ，则至少存在一点 (a,b) ，使得
2016年华师新传专硕考研真题(完整版)凯程首发
2016年华南师范大学新传专硕考研真题（完整版）凯程首发
刚考完2016考研初试，凯程教育的电话瞬间变成了热线，同学们兴奋地汇报自己的答题情况，几乎所有内容都在凯程考研集训营系统训练过，所考专业课难度与往年相当，答题的时候非常顺手，相信凯程的学员们对此非常熟悉，预祝亲爱的同学们复试顺利。
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334
一.名词解释（5*4）
1.UGC
2.描述型导语
3.白平衡
4.版心
5.座谈式访问
二.简答（10*4）
1.手机媒体对传播活动的影响
2.新闻失实的表现，成因
3.电视现场报道相比其他报道优势
4.编辑对新闻的再创造包括哪些内容
三.策划题30分
11月11号前后，都市报，写一个报道策划
四.改写消息30分
五.新闻评论30分
材料是成都女司机被打事件
440.
一.名词解释（5*6）
1.内省式思考
2.说服性传播
3.新闻要素
4.公共电视
5.长尾效应
二.简答（15*4）
1.香农韦弗模式，以及对传播学的意义
2.麦克卢汉技术理论，及评价
3.事实与新闻事实的区别
4.一带一路背景下如何构建媒介公信力
三.论述（30*2）
1.用培养理论分析如何构建中国国家形象
2.结果毕福剑视频事件，媒体融合环境下舆论格局现状及应对措施。
2016华师数学分析选论练习
1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：5．第5题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：4．第4题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：3．第3题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：4．第4题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：5．第5题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：3．第3题标准答案：4．第4题标准答案：1．第1题标准答案：3．第3题标准答案：5．第5题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：4．第4题标准答案：5．第5题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：4．第4题标准答案：5．第5题标准答案：6．第6题标准答案：1．第1题标准答案：2．第2题标准答案：3．第3题标准答案：6．第6题标准答案：2．第2题标准答案：4．第4题标准答案：6．第6题标准答案：。
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第 1 页 共 1 页 2016年华师高等代数考研真题（完整版）
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第一题考线性方程组，1.求入的值；2证明A 的行列式等于0.
第二题证明存在可逆矩阵P ，使PAP 的逆的后n-r 行为0
第三题空间向量的题目，证明基，证明坐标，证明核
第四题求A 的所有特征根（不是计算，是抽象的矩阵）
第五题证明对称变换，求V 的维数和求V 的垂直的一个基
第六题用正交变换化二次型为标准型
第七题有向维向量空间证明三小问，1垂直和，2零向量在子空间表示唯一，3一个基和另一个基为另一个子空间的一个基
第八题考查零元多项式的证明（较难）。
2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析
2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析戴又发(1)设函数y f(x)在(,)连续，其导函数的图象如图所示，则(C)函数f (x)有3个极值点，曲线y f (x)有1个拐点(D)函数f(x)有3个极值点，曲线y f(x)有2个拐点解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x轴的切点，不是函数f ( x)的极值点，所以函数f (x)有2个极值点；又因为导函数有2个极值点，当然是曲线y f(x)的拐点；另外，导函数的图象还有1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线y f (x)的1个拐点.故选(B)xe(2)已知函数 f (x,y) -------- ,则x y(A)函数f x f y 0(B)函数f x f y 0(C)函数f x f y f(D)函数f x f y fx x x x0 / 、e . (x y)e e 正e解析：由f(x,y) ------- 得f x 一；----------- &一，f y -------------------x y (x y) (x y)x x x(x y)e e e f是 f x f y--2~72f ，故选 (D)(x y) (x y)(3)设 J i 3/xTydxdy(ii,2,3)，其中 D i (x, y)0 xD iD 2 (x, y)0 x i,0 y Vx , D 3(x, y)|o x(A) JiJ2 J3(B)J3 J i J2(C) J 2 J 3 J i(D) J 2 J i解析：在平面坐标系中， D 2, D i , D 3所表示的区域分别为:(k 为常数)(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与k 有关i)sin(n k)、n isin(n k) 1 1因为 而Jn 1(Jn &__1)<n /n1«n nn 1) njni,x 2----- O在区域D i y x,于 在区域D i D 3上, y x,于0,即 J i所以J 3Ji J2 ,故选(B)i ni (nsin(n k)DiD 2上, D20,即 J i O., 是3x y J3 ；解析：由n i所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛.故选( A)(5)设A, B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(A)A T与B T相似.1 1 I(B)A与B相似(C) A A T与B B T相似1 1(D) A A与B B相似1 .解析：由A与B相似的定义，存在可逆矩阵P ,使得P AP B .对于(A),因为(P 1AP)T B T得P T A T(P T)1 B T ,所以A T与B T相似;1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 对于(B),因为(P AP) B得PAP B,所以A与B相似；对于(D),因为P1(A A1)P P 1AP P1A1P B B 1 , 1 1所以A A与B B相似.故选(C)(6)设二次型f(x1，X2,X3) a(x2 x2 x2) 2x1X2 2x2X3 2x1X3的正负惯性指数分另IJ为1,2,则(A) a 1(B) a 2(C) 2 a 1(D)a 1 或a 2解析：考虑用特殊值法.当a 0时，f(x1,X2,X3) 2x1X2 2x2X3 24％,0 1 1其矩阵为1 0 1,由此求得特征值为2, 1, 1,满足正惯性指数为1,负惯性指数1 1 0为2,即a 0成立.故选(C)⑺ 设A,B为两个随机事件，且0 P(A) 1,0 P(B) 1 ,如果P(AB)(A)P(B|A) 1(B)P(AB) 0(C)P(A B) 1(D)P(B|A) 1解析：由P(AB) 1 知，P(AB) P(B), P(A B) P(A).PZOM P(AB) P(A~-B) 1 P(A B)P( B A) 1P(A) 1 P(A) 1 P(A)故选(A)(8)设随机变量X与Y互相独立，且X ~ N(1,2) , Y ~ N(1,4),则D(XY)(A) 6(B)8(C)14(D)15解析：由随机变量X与Y互相独立，则D(XY) E(XY)2 [E(XY)]2 EX2 EY2 (EX EY)2[DX (EX)2] [DY (EY)2] (EX EY)2(2 12) (4 12) (1 1)2 14.故选(C)\1 f(x)sin2x 1f(x)满足lim -------- 3^- ---------------- 2,则limf(x)(9)已知函数x 0 e 1 x 0 ----- J f (x)sin 2x 1解析：因为hm-------- 3^- ------- 2,用等价的无穷小替换，x 0 e 131 •,、一当 x 0时，e 1~3x, %：1 f(x)sin2x 1~ - f (x)sin2x1，，、「5f (x)sin2xf(x)于是有 lim - ------------ 2,即lim ------ 2x 03xx 03所以lim f (x) 6 ,答案6 x 0..1 , . 1 (10)极限 lim -r (sin - nn n ..1 , . 12 解析：由 lim 2 (sin 2sinnn n n1 1 12 2 n nlim -(-sin- -sin- -sin —) nn n n n nn n11x sin xdx xd cosx x cosx 0cos1 sin 1 sin1 cos1,答案 sin 1 cos122(11)设函数f(u,v)可微，z z(x)由方程(x 1)z y x f(x z,y)确定，则dz(0,1)22解析：由(x 1)z y x f(x z, y)有 x 0, y 1时 z 1, 222(x 1)dz zdx 2ydy 2xf (x z, y) x f u (x z, y)(dx dz) x f v (x z,y)dy将 x 0,y 1, z 1 代入，得 dz dx 2dy . 答案 dx 2dy2sin 2n.n 、nsin —) n -- n 、 nsin )n1 1cosxdx0 022(12)设 D (x, y)|x| y 1, 1 x 1,则 x e ydxdy11 y2 1 11112 1 2、 丁 7ec 丁 丁 二 二二-•答案：二(1一) 3e 3 0 3e 3e 3 3 3e 3 e1 00 1(13)行列式° °4 3 2 1 0 01 0 解析：00 1 432 1120 1 4 223212 . 2432(2) 342 3 4..43 一 2一答案：432 23 4(14)设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4的概率为解析： 若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有.2 y 2x e dxdy120dy2e y 2dx1 0y 3 y 2e dydey 213y2e y 2 e y 2d( y 2)0 0 113次取球，无论2红1白还是2白1红，概率都是3 1 27 9于是最后一次取到黑球后停止的概率为2 1 2 一——,9 3 27同理最后一次取到红球或白球后停止的概率都为27，……… ……2 Q 2…2所以取球次数恰好为 4的概率为—3W •答案：- 2 79 91(15)(本题满分10分)求极限lim(cos2x 2xsinxtx 01e 3.(16)(本题满分10分)设某商品最大需求量为 1200件，该商品的需求函数 Q Q(p),... p需求弹性 ------------ (0), p 为单元价(万元)120 p(I)求需求函数的表达式；(n)求p 100万元时的边际收益，并说明其经济意义.p dQ pdQ dp解析：(i)由弹性公式，可得 — —— ------ ,分离变量，得 — ----------- -Q dp 120 p Q p 120两边积分，得 lnQ ln( p 120) ln C ,即 Q C( p 120) 因为最大需求量为1200件，所以Q(0) 1200,解得C 10 故 Q 10( p 120) 1200 10P.2(n)收益R Qp 1200p 10p ，边际收益为d R dR d p _ (1200 20p)( —) 2p 120dQ dp dQ 10'dR i一一 一p 100万元时的边际收益为 -p 100200 12080.dQ其经济意义是：需求量每提高1件，能增加收益8 0万元.(17)(本题满分10分)设函数f(x)j t 2 x 2dt(x 0),求f (x)并求f(x)的最小值.解析:14lim (cos2 x 2 xsinx)xlim ecos2x 2xsin x4 xX"e4x 2 24Y4 x 3 1 --- ---- 2x( x — ) 1 o( x )2 4! 3!4 x一、.2 2 ..解析：对于f(x) 0 t x dt , x| 2 2 1 2 2 当1 x 1 时，f(x) 0 (x t )dt |x|(t x )dt,4 j3 2 13x x 3, 一12 2 2 1当|x| 1 时，f(x) 0 (x t )dt x - 32 1 1x -, x 13f(x)为偶函数，f(x)4 3 1-x x2—，x 13 32x,x 14x2 2x, 1 x 04x2 2x,0 x 12x,x 1f(x)为偶函数，在［0,)上，0 x 1, f(x) 0； x 1, f(x) 0；所以f(x)的最小值为f(1)(18)(本题满分10分)设函数f (x)连续，且满足x x0 f (x t)dt 0(x t)f(t)dt e x 1,求f(x).x 0 x 解析：令u x t,则0 f(x t)dt x f (u)d( u) 0 f (u)du所以 f (x)2n 2x(19)(本题满分10分)求哥级数 -------- --- —~2 ---- n 的收敛域及和函数.n 0(n 1)(2n 1)再两边积分 S(x) (1 x)ln(1 x) (1 x)ln(1 x)1,且方程组2a 2Ax 无解.(i)求a 的值；(n)求方程组 A T Ax A T 的通解.解析：(i)由方程组Ax 无解，知IA 0,解析：令S(x)2n 2x(n 1)(2n 1)'两边求导S(x) 2n 0 2n 1x2n 1 '两边再求导S (x)2n xn 0两边积分，得S (x)in 1，且 S(0) 0,易知，S(x)2n 2xn 0 (n 1)(2n 1) 的收敛半径为1,又 x 1,x 1时级数收敛,即其收敛域为［ 1,1],所以S(x) (1x)ln(1 x) (1 x)ln(1 x),x [1,1].(20)(本题满分 11分)设矩阵由a 0时, r(A) r(A,)而2 2时，r(A) r(A,),于是(A T A,A T )1所以，方程组A T Ax A T 的通解为x k 12, k 为任意实数.1 01 1（21）（本题满分11分）已知矩阵 A23 00 0 02100 .、(n)设3 阶矩阵 B ( 1, 2, 3)满足 B BA,记 B ( 1, 2, 3),将 1, 2, 3分别表示为 1, 2, 3的线性组合.解析：（I ）由| E A 0求得矩阵A 的特征值为10, 2 1, 3 2,所以A~121、32 ,求得矩阵A 属于1、 2、 3特征向量分别为:3 1 1设P 2 1 2 ,可知A2 0 0所以 a 0.(n)当 a 0时，A T A3 2 22 2 2 A T2 2 2分别就1 0、29999 1P P 1,于是 A P P .399 991 c所以A P P 222(n)因为B ( 1, 2, 3),由 BBA ,可得 B 3 B 2A BAA BA 2, B 4 B 2A 2 BA 3, 所以，B100( 1, 2, 3) BA 99( 1, 2, 3)A 993(2 298) 1 (2 299) 2.（22）（本题满分11分）设二维随机变量（X,Y ）在区域（I ）写出（X,Y ）的概率密度;（n ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由;1求矩阵P 的逆矩阵P122 122 2992 2100299 2100298 299D (x,y)0 x 1,x2y «x 上服从均匀分布，令 U1,X Y0,X Y2991 2 2 1 2B 100BA 99,2 2993) 2 2100299 2100298 299(2 299) 1 2 2100) (1 299) 1(1 2100) 2；（出）求Z U X 的分布函数F （z ）.解析：（i ）先计算二维随机变量 （X,Y ）所在区域的面积,__31V x 3f- 2 2 3 13s(D)0dx x 2 dy«x x )dx (-x 4-x ) 3 3而（X,Y ）在D 上服从均匀分布，所以（X,Y ）的概率密度为3, x y xf(x ，y)〜L0淇他 11(n)因为 PU2,X2所以U 与X 不相互独立.1 111事实上 P U ,X P U 0,X P X Y,X 2 2 2 2(出)由 F(z) P{U X z}P{U X zU 0}P{U 0} P{U X zU 1}P{U 1} P{X z,X Y} P{1 X z,X Y}.3,z4其中 P{Xz ,XY}|z 20,z z 3,0z1;131 120,z 0 3 2 3z z ,0 z 12133 oc 2(z 1)2 3 1)2,1 z 2221,z 23X 2 n .3,0 X,,,(23)(本题满分11分)设总体 X 的概率密度为f(x，)3，其中0,其他(0,)为未知参数，X 1，X 2,X 3为来自总体X 的简单随机样本，令 T maXX 1,X 2,X 3). (I)求T 的概率密度； (n)确定 a ,使 E(aT) .解析：(I)因为X1，X2, X3为来自总体 X 的简单随机样本，显然互相独立, 于是T 的分布函数为F T。
2016年华南师范大学硕士研究生入学考试《教育综合》真题及标准答案
2016年华南师范大学硕士研究生入学考试《教育综合》真题(总分：140.00，做题时间：180分钟)一、名词解释(总题数：6，分数：60.00)1.广义教育（分数：10.00）_________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 正确答案：(教育具有广义和狭义之分。
广义的教育指的是，凡是有目的地增进人的知识技能，影响人的思想品德，增强人的体质的活动，不论是有组织的或是无组织的，系统的或是零碎的，都是教育。
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第一大题计算题（5小题）
1计算极限，用到分母有理化的方法
2计算极限，求1的无穷型的极限
3求某个分段函数的导数
4求函数的亚皮诺余项
5求不定积分
第二题
第三题给出一个函数在某个范围内连续，有2个端点的极限处于无穷，证那函数在那个范围有最大值。
第四题证明积分中直定理
第五题已知某函数在某区间一致连续，证在那个区间连续
第六题证明一个分段函数的偏导数在原点处不连续，第二问证明该函数可微。
第七第二型曲线积分
第八极限的证明。