自动控制原理B-2(2005)

t域 s域
微分方程 初始条件
拉氏变换
代数方程
方程的解
拉氏反变换
方程的解
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
一、 Laplace变换的定义 变换的定义 1. 定义 时有定义， 设函数 f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分 (
∫
+∞
0
f ( t )e dt
+∞
− st
( s = σ + jω 为复变量)
=∫
+∞ 0
1 jω t e − e − jω t e − st dt 2j
(
)
ω 1 1 1 = − = s2 + ω 2 2j s − jω s + jω
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第二章 控制系统的数学模型
6、单位脉冲函数(δ函数 、单位脉冲函数 函数)
δ(t)
δ函数的表达式为 函数的表达式为
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第二章 控制系统的数学模型
建立系统数学模型的方法， 一般采用解 建立系统数学模型的方法 ， 一般采用 解 析法和 析法和实验法 。 所谓解析法， 所谓解析法，即依据系统及元部件各变量 解析法 之间所遵循的物理、 之间所遵循的物理、化学定律列写出变量 间的数学表达式，并经实验验证， 间的数学表达式，并经实验验证，从而建 立系统的数学模型。 立系统的数学模型。 实验法是对系统或元件输入一定形式的信 实验法是对系统或元件输入一定形式的信 阶跃信号、单位脉冲信号、 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 根据系统或元件的的输出响应， 等），根据系统或元件的的输出响应，经 过数据处理而辨识出系统的数学模型。 过数据处理而辨识出系统的数学模型。
R
i(t) ur(t)
C
uc(t)
RC无源网络 无源网络
i(t)为流经电阻 和电容 的电流，消去中 ( )为流经电阻R和电容 的电流， 和电容C的电流 间变量i( ) 间变量 (t)，可得
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第二章 控制系统的数学模型
duc ( t ) RC + uc ( t ) = ur ( t ) dt
−1
一般由F(s)求 f(t)， 常用部分分式法 。 首 求 ， 常用部分分式法。 一般由 先将F(s)分解成一些简单的有理分式函 先将 分解成一些简单的有理分式函 数之和， 数之和 ， 然后由拉氏变换表一一查出对 应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。 应的反变换函数，即得所求的原函数 。
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第二章 控制系统的数学模型
F(s)通常是 的有理分式函数 ， 即分母多项式的阶 通常是s的有理分式函数 通常是 的有理分式函数， 次高于分子多项式的阶次， 次高于分子多项式的阶次，F(s)的一般式为 的一般式为
b0 s + b1 s + L + bm −1 s + bm F ( s) = n n −1 s + a1 s + L + an −1 s + an
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第二章 控制系统的数学模型
线性定常系统的数学模型
微分方程
传递函数
频率特性
脉冲传递 函数
状态方程
微分方程
传递函数
频率特性
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第二章 控制系统的数学模型
2.1 控制系统微分方程的建立 首先必须了解系统的组成、 工作原理， 首先必须了解系统的组成 、 工作原理 ， 然后根据支配各组成元件的物理定律， 然后根据支配各组成元件的物理定律 ， 列 写整个系统输入变量与输出变量之间的动 态关系式，即微分方程。 态关系式，即微分方程。 列写微分方程的一般步骤： 列写微分方程的一般步骤： 分析系统和各个元件的工作原理， ① 分析系统和各个元件的工作原理 ， 找 出各物理量（ 变量） 之间的关系， 出各物理量 （ 变量 ） 之间的关系 ， 确定 系统和各元件的输入、输出变量。 系统和各元件的输入、输出变量。
f (t ) = L [ F ( s )]
−1
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第二章 控制系统的数学模型
二、几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数1(t) 单位阶跃函数 数学表达式为
1 f ( t ) = 1( t ) = 0 t≥0 t<0
+∞ − st
f(t) 1
0
t
其拉氏变换为
F ( s ) = L[ f ( t )] = ∫ =∫
+∞ − st 0 0
f ( t )e dt
+∞ 0
1 − st 1 ⋅ e dt = − e s
1 1 = − [0 − 1] = s s
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f(t)
2、单位斜坡函数 数学表达式为
t f ( t ) = t ⋅ 1( t ) = 0 t≥0 t<0
+∞
斜 率 =1
其拉氏变换为
t≥0 t<0
− at
(a为实数 )
F ( s) = L e
= ∫ e e dt 0 +∞ 1 −( s+a )t dt = =∫ e 0 s+a
+∞
− at
− st
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5.正弦函数 5.正弦函数sinωt 正弦函数 正弦函数定义为
sin ω t t ≥ 0 sin ω t = t<0 0 其拉氏变换为 +∞ F ( s ) = L[sin ω t ] = ∫ sin ω te − st dt 0
lim f ( t ) = lim sF ( s )
t →∞ s →0
该式为求系统的稳态误差（ →∞ 该式为求系统的稳态误差（即t→∞ ）提供了 方便。 方便。
e(∞ ) = lim e( t ) = lim sE ( s )
t →∞ s →0
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5. 位移定理 设F(s)=L[f(t)]，则有 ，
1 1 2 − st =− t e s 2
+∞ 0
t ⋅ e − st dt
1 1 1 = − 0 − 0 − 2 = 3 s s s
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4.指数函数 -at 指数函数e 指数函数 数学表达式为
e − at f (t ) = 0
d2 f (t ) L = s 2 F ( s ) − sf (0) − f ′(0) dt 2
L[ f
(n)
( t )] = s F ( s ) − s
n
n −1
f (0) − ⋅⋅⋅ − f
( n −1)
(0)
式中： ( ),f′′ ),…f ′′( 式中 ： f(0), ′′(0), (n-1)(0) 为 f(t) 及其各 () 阶导数在t= 处的值。 阶导数在 =0处的值。
令RC=T，则上式又可写为 ，
duc ( t ) T + uc ( t ) = ur ( t ) dt
式中： 称为无源网络的时间常数 单位为秒(s) 称为无源网络的时间常数,单位为秒 式中：T称为无源网络的时间常数 单位为秒 一般情况下把输出变量写在等式的左边, 一般情况下把输出变量写在等式的左边, 输入变量写在等式的右边。 输入变量写在等式的右边。
其拉氏变换为
F ( s ) = L[ f ( t )] = ∫ 1 − st = − te s 1 = 2 s
0
− st +∞
t
0
0
f ( t )e dt = ∫
+∞ − st 0
t ⋅ e − st dt
+∞ 0
−∫
= − 1 0 − 0 − 1 t ⋅ e dt s s
L[af1 ( t ) + bf 2 ( t )] = aL[ f1 ( t )] + bL[ f 2 ( t )] = aF1 ( s ) + bF2 ( s )
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2.微分法则 2.微分法则 设F=L[f (t)]，则有 ，
df ( t ) L = sF ( s ) − f (0) dt
0
t
∞ t = 0 δ (t ) = 0 t ≠ 0
其拉氏变换为
且 ∫ δ ( t )dt = 1
−∞
+∞
F ( s ) = L[δ ( t )] = ∫ δ ( t )e dt = 1
− st 0
+∞
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三、拉氏变换的基本法则 1.线性法则 1.线性法则 设 F1=L[f1(t)]，F2=L[f2(t)]，a 和 b 为 常 数 ， ， ， 则有
L [ f ( t − τ 0 )] = e
及
at
−τ 0 s
F ( s)
L e f ( t ) = F ( s − a )
分别称为时域中的位移定理和复域中的 位移定理。 位移定理。
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四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
1 σ + jω st L [ F ( s )] = f ( t ) = ∫σ − jω F ( s )e dt 2π j
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2.2 拉普拉斯 拉普拉斯(Laplace)变换 变换
拉普拉斯变换简称为拉氏变换， 拉普拉斯变换简称为拉氏变换， 它是一种函数之 间的积分变换。 间的积分变换 。 拉氏变换是研究控制系统的一个 重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成 它可以把时域中的微分方程 重要数学工具 它可以把时域中的微分方程变换成 复域中的代数方程 代数方程， 复域中的 代数方程 ，从而使微分方程的求解大为 简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。 简化。 同时还引出了传递函数、频率特性等概念。