高中 名师数列知识点总结

数列
第一部分 等差数列
一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d
a n d
=+-⎧⎨
=+-⎩
一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三 前n 项和公式：
1()
2
n n n a a S +=
………… ①
na =中间项 ………… ②
1(1)
2
n n na d -=+
…… ③ 按照序号顺序，使用公式。

即首选①公式解题，再选②、③
一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四 性质结论
(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
(二)a 与b 的等差中项2
a b
A +=；
在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则
m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=；
(三)若等差数列的项数为2()
+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-
1
+=
n n
a a S S 偶
奇； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()
n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，
1
-=
n n S S 偶
奇 (四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。

设12,n A a a a =++⋯+，
122n n n B a a a ++=++⋯+，
21223n n n C a a a ++=++⋯+，则有C A B +=2；
(五)10a >,m n S S =,则前2
m n S +(m+n 为偶数)或12
m n S +±(m+n 为奇
数)最大
第二部分 等比数列
一 定义：1
(2,0,0){}n
n n n a q n a q a a -=≥≠≠⇔成等比数列。

二 通项公式：11-=n n
q a a ，n m n m a a q -=
数列{a n }是等比数列的一个等价条件是：
(1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，）当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。

三 前n 项和：1
111(1)(1)(1)11n
n n na q S a a q a q q q q +=⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩
；
(注意对公比的讨论)
四 性质结论：
(一)a 与b 的等比中项
G 2
G ab G ⇔=⇔=(,a b 同号)； (二)在等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅；
若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；
(三)设12,n A a a a =++⋯+，122n n n B a a a ++=++⋯+，
21223n n n C a a a ++=++⋯+， 则有2B A C =⋅
第三部分 求杂数列通项公式n a
一 构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。

第一类：
11132503(5)2(5)
52
{5}53
n n n n n n n a a a a a a a -----=⇒-=--⇒=⇒-- 是公比为32的等比数列1
1)3
2)(5(5--=-⇒n n a a ，从而求出n a 。

第二类：
11134802(1)53(25)2(1)5
3
25
n n n n n n a a n a n a n a n a n +++---=⇒+++=+++++⇒
=++
}52{++⇒n a n
是公比为3的等比数列113)7(52-⋅+=++⇒n n
a n a .
第三类：n a a n n 31=--，系数之比为1的时候用叠加法。

第四类：既有n S 又有n a 利用n n n a S S =--1，将所有S 换成a ，或者将所有a 换成S 。

第五类：关于n a 与1-n a 的二次式，或者n S 与1-n S 的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。

二 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。

第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，
例如：
11
21
11-=----n n n a a a ，
两边取倒数}1
1{112111-⇒-=+-⇒-n n n a a a 是公差为2的等差数列)1(21
1
111-+-=-⇒
n a a n ，从而求出n a 。

第二类：
221(1)(1)n n n a n a n n ---=-⇒ 1111n n n n a a n n -+-=⇒-1n n a n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列 1111211
n n n n a a a n n ++⇒=⇒=+
三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

例如()12
11n n n n n a n a a n n a a n a --=⇒=-⇒⋅⋅⋅⋅=!
【注: !(1)(2)1n n n n =-- 】
求通项公式n a 的题，不能够利用构造等比或者构造等差求n a 的时候，一般通过递推来求n a 。

第四部分 求前n 项和n S
一 裂项分组法： 1111122334111111111
()()()()1223341
11111
n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅+-+-+-++-+=-=
++ （）、11111,2,3,4,n 39278111111234392781+ 的前和是：
（++++）+（+++）
二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)
++++++≠ 23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)++++++≠ ①
234n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠ ② ①减②得：
()()()()23n-1n n+1n 2n-1n+1
(1x)S =x 2x 2x 2x 2x 2n 1x 2x 1x x 2n 1x
1x
-+++++---=+
---
从而求出n S 。

错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式 (3)用①-②，错位相减 (4)化简计算
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
1：等差数列求和：
n 123n 2n 1n n n n 1n 2321
S =a a a a a a S =a a a a a a ----++++++++++++
两式相加可得：
()()()()()()()n 1n 2n 13n 23n 22n 11n 1n n
2S =a a a a a a a a a a a a n a a S ----++++++++++++=+⇒
2
：设
()f x =
.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 (5)(4)......(0)......(5)(6)f f f f f -+-++++的值为_________. (5)(4)(5)(6)n S f f f f =-+-+++ ①
(6)(5)(4)(5)n S f f f f =+++-+- ②
①+②得
[][][][]
2(5)(6)(4)(5)(5)(4)(6)(5)n S f f f f f f f f =-++-++++-++-
()(1)2f n f n -++=
+= ,
∴n S =。