人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

Lesson6 数列

知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d .

3．等差中项

a ＋b

如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为.

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列．

5．等差数列的前n 项和公式

n (a 1＋a n )n (n －1)

设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22.

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

d d 2⎛

S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ．

⎝⎭

7．等差数列的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值．

[难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定

(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.

2．等差数列与等差数列各项和的有关性质

(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1) a n .

n

(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．

31

例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－(n ≥2，

a n －1

1

n ∈N *) ，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *) ．

a n －1

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．

11

(1)证明∵a n ＝2－(n ≥2，n ∈N *) ，b n ＝.

a n －1a n －1

11

∴n ≥2时，b n －b n －1＝a n －1a n －1－1

11

＝1a n －1－1⎛

2a －1⎝n －1⎭a n －11－＝1. a n －1－1a n －1－1

5

∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．

712

(2)解由(1)知，b n ＝n －2，则a n ＝1＋b 1＋

2n －7n

2

设函数f (x ) ＝1＋

2x －7

7⎛7⎛⎫

易知f (x ) 在区间－∞，2和 2，＋∞⎪内为减函数．

⎝⎭⎝⎭

∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.

例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.

(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．

－15

解 (1)由题意知S 6＝S 3，a 6＝S 6－S 5＝－8.

5

⎧5a 1＋10d ＝5，所以⎨

⎩a 1＋5d ＝－8.

解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一∵S 5S 6＋15＝0，

∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0，

2

即2a 21＋9da 1＋10d ＋1＝0.

因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1) ＝d 2－8≥0，

解得d ≤－22或d ≥2. 方法二∵S 5S 6＋15＝0，

∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d ) ＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.

故(4a 1＋9d ) 2＝d 2－8. 所以d 2≥8.

故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.

例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知

数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．

解方法一∵a 1＝20，S 10＝S 15，

10×915×145

∴10×20＋2d ＝15×20＋2d ，∴d ＝－3.

565⎛5∴a n ＝20＋(n －1) × －3＝－3＋3⎝⎭

∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n

12×11⎛5⎫

∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×202× －3⎪

⎝⎭

＝130.

5

方法二同方法一求得d ＝－3n (n －1)⎛52523 125521255－n －∴S n ＝20n 2·3＝－6n ＋6＝－6＋242⎝⎭⎝⎭

∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1) －25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝

4×1－25＝－21.

所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．⎧a n ＝4n －25

11

由①得n

n (n －1)

⎧21n ＋⎪2×(－4) (n ≤6)T n ＝⎨(n －6)(n －7)

66＋3(n －6)＋×4 (n ≥7)⎪⎩2

2

⎧－2n ＋23n (n ≤6)，＝⎨2 ⎩2n －23n ＋132 (n ≥7).