2016-2017学年河南郑州一中高一上期中数学试卷

2016-2017学年河南郑州一中高一上期中数学试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上1．若全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,2,3U M N ===，则集合{}5,6等于（ ） A ．M N ⋃ B ．M N ⋂ C ．()()U U C M C N ⋃ D ．()()U U C M C N ⋂ 2．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10xy =的定义域和值域相同的是（ ）A ．y x =B ．lg y x =C ．2xy = D ．1y x=3．函数()1xxa y a x=>的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()()3log 21a f x x =--的图象一定经过点（ ） A ．()3,1- B ．()2,1- C ．()3,0 D ．()2,05．已知函数()()()2433,0log 11,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．若()f x =，则()f x 的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 7．已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D. ()1,2 8．三个数0.377,0,3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 9．若*,x R n N∈∈，规定：()()()121n x H x x x x n =+++-，例如：()()()()44432124H -=-⨯-⨯-⨯-=，则()52x f x x H -=的奇偶性为（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 10．已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数()()221y f x fx λ=++-只有一个零点，则实数λ的值是（ ）A ．14 B ．18 C ．78- D ．38-11．已知符号[]x 表示不超过x 的最大整数，函数()[]()0x f x x x=>，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域为[]0,1B ．函数()f x 没有零点C ．函数()f x 是()0,+∞上的减函数D ．函数()()g x f x a =-有且仅有3个零点时3445a <≤ 12．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ，则1122m m x y x y x y ++++++=（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m13．已知集合{}{}(){}0,1,2,3,|,,A B M x ab a b a A b B ===+∈∈，则集合M 的真子集的个数是___________． 14．若函数2123ax y ax ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________． 15．函数()212log 451y x x =-+-的单调递增区间为___________．16．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任意实数(),x f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是____________．17．已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数()()1102xg x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为集合B ． （1）求A B ；（2）若集合[],21C a a =-，且C B B =，求实数a 的取值范围．18．计算： （1(lg9lg 27lg8lg 0.3lg1.2+；（2）()()11201130.25435270,0081381100.02768----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦．19．若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()21f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-<⎪⎝⎭． 20．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式；（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）21．已知二次函数()f x 有两个零点0和-2，且()f x 最小值是-1，函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称．（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）若()()()h x f x g x λ=-在区间[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围． 22．已知函数()()2210,1g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[]2,3上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=． （1）求,a b 的值；（2）不等式()220x x f k -≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程()2213021xx f k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．参考答案1．D 【解析】试题分析：元素5,6既不是M 的元素，也不是N 的元素，故选D.考点：集合交集、并集和补集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2．D 【解析】试题分析：函数lg 10xy =的定义域为{}0x >和值域为{}0y >.A 选项定义域和值域都是R ，B 选项值域为R ，C 选项定义域为R ，故D 选项符合. 考点：定义域和值域. 3．B 【解析】试题分析：()()1x xa f x a x=>.()11f a =>，排除C ，D 选项；()()111,0f a -=-∈-，排除A ，故选B.考点：函数图象． 4．A 【解析】试题分析：当3x =时，()31f =-，所以函数过点()3,1-. 考点：对数函数过定点. 5．C 【解析】试题分析：由于函数在R 上单调递增，所以4302131a a a -⎧-≥⎪⎪>⎨⎪≥⎪⎩，解得13,34a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.考点：函数的单调性. 6．A 【解析】试题分析：需满足被开方数大于零，所以10211,,12x x ⎛⎫<-<∈⎪⎝⎭.考点：定义域. 7．B【解析】试题分析：由23,32ab==，得23log 3,log 2,1a b ab ===，()11110f a b --=--=-<， ()3011log 20f b =-=->.所以零点在区间()1,0-.考点：零点与二分法. 8．A 【解析】 试题分析：0.307077,0.30.3,ln 0.3ln1a b c =>=<=<，所以a b c >>.考点：比较大小. 9．B 【解析】试题分析：()()()()()()()52222211214x f x x H x x x x x x x x x -=⋅=--++=--，()()f x f x -=，所以函数为偶函数，不是奇函数.考点：函数的奇偶性. 10．C 【解析】试题分析：()()2210y f x fx λ=++-=，()()()221f x f x f x λλ+=--=-，221x x λ+=-有唯一解，即221x x λ-+=-有唯一解，即在函数顶点位置，221721248x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以78λ-=，78λ=-.考点：函数的奇偶性与单调性.11．D 【解析】试题分析：当()0,1x ∈时，()0f x =，故B 选项错误；当[)1,2x ∈时，()11,12f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；当[)2,3x ∈时，()22,13f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；当[)3,4x ∈时，()33,14f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；依此类推函数的值域为{}10,12⎛⎤⋃⎥⎝⎦，故A 选项错误，且函数在定义域上不是单调递减函数C 选项错误.综上，选D.考点：函数的值域、零点与单调性.【思路点晴】本题考查函数的值域，考查函数的单调性，考查零点问题，考查分段函数.第一步是理解取整函数：“符号[]x 表示不超过x 的最大整数”，由此可知，在实数的每一个区间，都有不同的正数和其对应.所以我们从()0,1x ∈开始，对每个区间段的函数()f x 的取值情况，列举前几个，找出函数变化的规律，由此利用排除法得到答案. 12．B 【解析】试题分析：依题意，函数()()110f x f x -+--=，所以，函数()()1F x f x =-为奇函数，图象关于原点对称，故函数()f x 图象关于()0,1对称.同时111x y x+==+图象也是关于()0,1对称.所以两个函数图象交点成对，且对称点横坐标和为零，纵坐标和为m ，所以1122m m x y x y x y m ++++++=.考点：函数的奇偶性与对称性.【思路点晴】本题考查函数的奇偶性，考查函数图象的对称性，考查函数图象平移.已知条件()()2f x f x -=-经过变形之后，变为()()110f x f x -+--=，这个类似与奇函数的定义()()0f x f x +-=，但是向下平移一个单位之后是奇函数，图象关于原点对称，所以向上平移一个单位后关于()0,1对称.另一个函数也是关于()0,1对称，所以交点也关于()0,1对称，利用对称性可求得坐标和.13．7 【解析】试题分析：当0a =时，M 的元素为0；当1a =时，M 的元素为6,12，所以集合M 有3个元素，故真子集有7个. 考点：真子集. 14．[)0,3【解析】试题分析：当0a =时，符合题意.当0a ≠时，分母恒不为零，判别式小于零，即24120,03a a a -<<<.综上，a 的取值范围是[)0,3.考点：函数的定义域. 15．5,18⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：先求定义域24510x x -+->，解得1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数2451y x x =-+-开口向下，对称轴为78x =，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在区间5,18⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.考点：复合函数单调性.【思路点晴】本题主要考查复合函数的单调性.本题函数是对数函数和二次函数符合而成的函数，因此，根据对数函数的定义，首先求函数的定义域，即令24510x x -+->，解得1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.然后求得内部函数2451y x x =-+-的对称轴为78x =，该函数左增右减，根据复合函数单调性同增异减，对数函数12log x 是减函数，故函数在区间5,18⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.16．()0,8 【解析】试题分析：注意到()01f =是正数.当0m =时，()()81,0f x x g x =-+=，不一定有正数.当0m >时，函数()g x 在()0,+∞上为正数，在(),0-∞为负数，即()f x 在(),0-∞要恒为正数，注意到()01f =所以只需0∆<或对称轴402mx m-=>，解得()0,8x ∈.当0m <时，函数()g x 在()0,+∞上为负数，由于函数()f x 开口向下，所以一定有同时为负数的地方，不符合题意. 考点：函数的值域.【思路点晴】本题主要考查一次函数和二次函数的值域.m 的位置对二次函数来说，影响二次函数的开口方向和对称轴，而()f x 显然是过()0,1的；m 还影响一次函数的单调性.所以我们需要分类讨论函数的取值情况.当0m =时，不一定有正数.当0m >时，一次函数部分在(),0-∞为负数，需要()f x 在(),0-∞要恒为正数，转化为0∆<或对称轴402mx m-=>，由此解得m 的范围.当0m <时，二次函数开口向下，一定有负值，不符合题意.17．（1）{}2A B ⋂=；（2）3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）被开方数为非负数，对数真数大于零，由此求出[)2,A =+∞.利用函数的单调性求得[]1,2B =，所以{}2A B ⋂=；（2）由于CB B =，所以C B ⊆，分成,C C =∅≠∅两类，讨论a 的取值范围.试题解析：（1）()2log 10x -≥，即11x -≥，解得2x ≥， ∴其定义域为集合[)2,A =+∞；()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵10x -≤≤，∴()12g x ≤≤，集合[]1,2B =∴{}2A B ⋂= （2）∵CB B =，∴C B ⊆．当C φ=时，21a a ≥-，即1a ≤；当C φ≠时，211212a aa a ->⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，∴312a <≤综上所述，3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦考点：函数的定义域与值域，子集. 18．（1）32-；（2）83-. 【解析】试题分析：（1）原式()()()331lg3lg33lg 2322lg31lg32lg 212⎛⎫-+-⎪⎝⎭==--+-；（2）原式1210128333333-⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭.试题解析： （1）原式332322lg3lg 2lg10⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()()331lg3lg33lg 2322lg31lg32lg 212⎛⎫-+-⎪⎝⎭==--+-（2）原式()1123114344430.333100.32-⎛⎫⨯-⎛⎫⎪⎛⎫⨯-⎝⎭⎪⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1210128333333-⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭考点：指数和对数运算.19．（1）()10f =；（2）()0,1x ∈. 【解析】试题分析：（1）令0x y =>，则()10f =；（2）令4,2x y ==求得()42f =.原不等式可化为()()()34f x x f +<，根据定义域和单调性，有()301034x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得()0,1x ∈.试题解析：（1）令0x y =>，则()10f =；（2）∵()21f =，令4,2x y ==，∴()()()242f f f =-，即()42f = 故原不等式为：()()134f x f f x ⎛⎫+-<⎪⎝⎭，即()()()34f x x f +< 又()f x 在()0,+∞上为增函数，故原不等式等价于：()301034x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩ 得()0,1x ∈考点：函数的单调性、用单调性和奇偶性解不等式.20．（1）()()60,010062,1005505051,550x x P f x x x N x <≤⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥⎪⎩；（2）6000,11000. 【解析】试题分析：（1）没有超过100时，价格为60；100450有优惠，价格为6250x-；超过550的，价格就固定为51，由此求得函数的解析式；（2）根据（1）订购500个时，利用第二段表达式来计算出厂价并计算利润，订购1000个时，利用第三段表达式来计算利润. 试题解析：（1）当0100x <≤时，60P =，当100550x <<时，()600.021006250x P x =--=-， 当550x ≥时，51P =． 所以()()600100621005505051550x x P f x x x N x <≤⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥⎪⎩（2）设工厂获得的利润为L 元，当订购500个时，5006240500600050L ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭元； 当订购1000个时，()5140100011000L =-⨯=元因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元考点：函数应用问题.21．（1）()22f x x x =+,()()22g x f x x x =-=-+；（2）(],0-∞. 【解析】试题分析：（1）依题意，设()()()20f x ax x a =+>，对称轴是1x =-，所以()121f a a -=-=-，所以1a =，即()22f x x x =+.()g x 与()f x 关于原点对称，所以()()22g x f x x x =-=-+.（2）化简()()()2121h x x x λλ=++-，当1λ=-时，()4h x x =满足在区间[]1,1-上是增函数；当1λ<-时，函数开口向下，只需对称轴大于或等于1；当1λ>-时，函数开口向上，只需对称轴小于或等于1-.综上求得实数λ的取值范围．试题解析：（1）依题意，设()()()20f x ax x a =+>，对称轴是1x =-，∴()121f a a -=-=-，∴1a =，∴()22f x x x =+ 由函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称，∴()()22g x f x x x =-=-+ （2）由（1）得()()()()22222121h x x x x x x x λλλ=+--+=++-①当1λ=-时，()4h x x =满足在区间[]1,1-上是增函数；②当1λ<-时，()h x 图象在对称轴是11x λλ-=+，则111λλ-≥+， 又∵1λ<-，解得1λ<-③当1λ>-时，有111λλ-≤-+，又∵1λ>-，解得10λ-<≤ 综上所述，满足条件的实数λ的取值范围是(],0-∞考点：函数的单调性与最值.【方法点晴】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次函数单调性.第一问待定系数法求解析式，主要根据题目给定的条件是函数的零点，所以设二次函数的零点式，根据函数的对称轴和极值，就可以求得二次函数的解析式.第二问是引入一个新的函数()h x ，它是一个含有参数的函数，所以根据二次项系数和对称轴进行分类讨论实数λ的取值范围.22．（1）1,0a b ==；（2）0k ≤；（3）1429k -<<-. 【解析】试题分析：（1）函数的对称轴为1x =，当0a >时，()g x 在[]2,3上为增函数，根据最值求得10a b =⎧⎨=⎩，当0a <时，()g x 在[]2,3上为减函数，无解，故1,0a b ==；（2）原不等式分离参数得2111222x k k ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，利用配方法求得右边函数的最小值为0，所以0k ≤；（3）先化简原方程得()()2212321120x x k k --+-++=，利用换元法和二次函数图象与性质，求得1429k -<<-. 试题解析： （1）()()211g x a x b a =-++-，对称轴1x =，当0a >时，()g x 在[]2,3上为增函数，∴()()21441113496140g a a b a g a a b b =⎧⎧-++==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩， 当0a <时，()g x 在[]2,3上为减函数，∴()()24441413196113g a a b a g a a b b =⎧-++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++==⎪⎩⎩⎩， ∵1b <，∴1,0a b ==，即()()2121,f 2g x x x x x x=-+=+- （2）方程()220k k f k -≥可化为12222x k x k +-≥， ∴2111222x k k ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，令21,212k t k t t =≤-+， ∵[]1,1x ∈-，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()221h t t t =-+，∴()min 0h t =，∴0k ≤ （3）方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭，可化为()122123021x x k k +-+-+=-， 即()()2212321120x x k k --+-++=，210k -≠， 令21x m -=，则方程可化为()()()223120,0m k m k m -+++=≠， ∵ 方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解， 由21x m =-的图像可知，()()()223120,0m k m k m -+++=≠有两个根1212,0m 1m m m <<<、，令()()()22312m m k m k ϕ=-+++()()()()()22341202301201201123120k k k k k k ϕϕ⎧∆=+-+>⎪+⎪<<⎪⎨⎪=+>⎪=-+++>⎪⎩，∴1429k -<<- 考点：函数的单调性与最值，恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的单调性与最值，恒成立问题.第一问利用函数的单调性待定系数.由于函数的对称轴是一个定值，且在题目所给区间[]2,3的左边，所以只需根据开口方向，判断函数在区间[]2,3上的单调性，结合最值，就可以取出,a b 的值.第二问恒成立问题，采用的是分离参数法，即将参数分离出来，利用配方法求得右边函数的最值，从而求得参数的取值范围.。