一次函数之存在线答案

二、精讲精练1． 解：（1）方法一：由2y x =+知A （0，2），B （-0） ∴OA =2，OB=∵12OA AC = ∴AC =4，则点C 坐标为（0，6） ∴可设CD ：y =kx +6 又直线CD ⊥AB∴k=-1∴k =-∴直线CD：6y =+联立26y x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴P） 方法二：由2y x =+知OA =2，OB=ABO =30°∵12OA AC = ∴AC =4，则OC =6 ∵CD ⊥AB ∴∠BDP =60°∴OD=过P 作PE ⊥x 轴于点E设DE =m在Rt △PDE 中，∠PDE =60° ∴PE在Rt △PBE 中，∠PBE =30° ∴BE =3mDE +BE =BD ，即m +3m=+∴mOE=∴P3）（2）存在；满足题意的点M 如图所示: ∵B （-0），D（0），P3）∴13)M，23)M，3(3)M 2． 解：（1）过点B 作BE ⊥x 轴于点E在Rt △BCE 中，∠BCO =45°，BC=∴BE = CE=6 ∵C （-9，0） ∴OC =9∴OE =OC -CE =9-6=3 ∴B （-3，6）（2）∵AB //OC ，BE ⊥OC ，AO ⊥OC ∴四边形ABEO 是矩形 ∴AO =BE ∵OD =3 ∴AD =AO -OD =3 ∴对于直线BD ，313AD k AB===，b =3OD = ∴直线BD ：y =-x+332（3）①如图，作OD的垂直平分线交直线BD于点P，交y轴于点E，则△POD为等腰三角形∴OE=12OD=32∴P的纵坐标为3 2∵直线BD：y=-x+3∴32=-x+3解得：x=3 2∴P33, 22⎛⎫ ⎪⎝⎭②如图，以O为圆心，以OD长为半径作圆，交直线BD于点P）∵1k=∴1ODOF=∴OD=OF又F在直线BD上∴F点即为P点，P（3,0）①如图，以D为圆心，以OD为半径作圆，交直线BD于点1P，2P，分别过点1P，2P向y 轴作垂线，垂足为G，H∵11DGkPG==∴在Rt△1P GD中，DG=1PG=∴6322OG OD DG+=+=+=∴1622P⎛+-⎝⎭同理，可得2P H DH==∴OH=3OD DH -==∴26(22P -综上，P 点坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭、（3,0）622⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭、6()22-．4．解：（1）∵OA =6，OB =12，∴A （6，0），B （0，12） ∴直线AB ：y =-2x +12联立2122y x y x =-+⎧⎨=⎩，得36x y =⎧⎨=⎩∴C （3，6）（2）如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ． 在Rt △ODE 中，OD = ∴OE =2，DE =4 ∴D （2，4） ∴直线AD ：y =-x +6（3）①当OA =OP 时，如图，P 1（0，6），∴Q 1（6，6）②当AO =AP 时，如图，过点P 2、P 3分别作P 2M ⊥x 轴于点M ，P 3N ⊥x 轴于点N在Rt △AP 2M 中，∠OAP 2=45°，AP 2=6， ∴AM =P 2M=∴P 2（6-同理P 3（6+-∴Q 2（-，Q 3（- ① 当PO =P A 时，如图，P 4（3，3），∴Q 4（3，-3）综上，Q 1（6，6），Q 2（-，Q 3（-，Q 4（3，-3）5． 解：（1）∵直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点 ∴A （-4，0），B （0，2）∵C （-3，0） ∴OC =3∵P （x ，y ）是直线122y x =+上的一个动点 ∴S △OPC =113323224x x ⨯+=+∴33443344OPCx x S x x ⎧+>-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩△（2）当x ＞-4时，由题意得:327+3=48x∴x =12 ∴19(,)24P当x ＜-4时，由题意得： 3273=48x --∴x =172-∴179(,)24P --综上可得：19(,)24P 或179(,)24P --．（3）①如图，△EOF ≌△BOAE （-2，0），F （0，-4） 直线EF 解析式：y =-2x -4联立24122y x y x =--⎧⎪⎨=+⎪⎩得：44x y =⎧⎨=⎩∴P（124,55 -）②如图，△EOF≌△BOA E（2，0），F（0，4）直线EF解析式：y=-2x+4联立24122y xy x=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：44xy=⎧⎨=⎩∴P（412,55）综上可得：P（124,55-）或P（412,55）．【参考答案】【1题】解：（1）如图，过C作CD⊥OB于点D∵A（-，0），B（0，2）在Rt△ABO中，OB＝2，OA＝∴AB＝4=∴∠CAO＝30°∴∠BCD＝∠BOC＝30°在Rt△OCB中，OB＝2，∴BC＝1∴在Rt△CBD中，BD＝12，CD∴OD＝OB-BD＝32∴C（-2，32）（2）P1（4--，0），P2（4-0），提示：如下图，以A为圆心，AB长为半径作圆，与x轴交于P1，P2两点，P1，P2即为所求．AP1＝AP2＝4，结合A点坐标，可求得P1，P2坐标．P3（0）提示：如下图，以B为圆心，BA长为半径作圆，交x轴于A、P3两点，P3点即为所求．连接BP3，则△BAP3为等腰三角形，利用三线合一的性质，求得点P3坐标．P4（0）提示：如下图，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点P4，利用∠BAO＝30°求此点坐标．【2题】解：（1）由条件知：A（1，0），B（0）∴在Rt△ABO中，AB2 =在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°∴AC∴S△ABC＝3（2）S四边形POAB ＝S△OBP＋S△AOB∵S△OBP＝12·（-m）＝-2mS△AOB＝12·1∴S四边形POAB＝-2m＋2∵S△AOP＝12·1·2＝4∴S△APB＝S四边形POAB- S△AOP＝-2m＋4（m＜0）当S△APB＝3时m即m＝56-（3）存在．QQ1（-1，0），Q2（3，0），Q3（0，提示：以A为圆心，AB长为半径作圆，分别交坐标轴于点Q1，Q3，Q2．则Q1A＝Q2A＝2，由A点坐标可知Q1、Q2坐标．连接AQ3，则△BAQ3为等腰三角形，由三线合一可得Q3点坐标．Q4（0，2），Q5（02-）提示：以点B为圆心，AB长为半径作圆，交y轴于点Q4，Q5（因为△ABQ1为等边三角形，则其与x轴交点即为Q1，A）．由BQ4＝BQ5＝2，结合B点坐标，可得Q4，Q5坐标．Q6（0）提示：作AB的垂直平分线交y轴于点Q6（因为△ABQ1为等边三角形，则其与x轴交点即为Q1）．由垂直平分线性质，可以在Rt△AQ6O中，利用∠Q6AO＝30°，求得OQ6的长，即得点Q6坐标．【3题】解：（1）∵点B是直线y＝x＋1与x轴的交点∴点B的坐标为（-1，0）∵点C是直线y＝-34x＋3与x轴的交点∴点C的坐标为（4，0）∵点A为直线y＝x＋1与直线y＝334x-+的交点联立：1334y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得：87157xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点A的坐标为（815,77）（2）图1如图1，当四边形OAED 为平行四边形时 ∵AB ∥OD∴直线OD 解析式为：y ＝x∵点D 为直线OD 与直线AC 的交点联立：334y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 解得：127127x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴D （1212,77） ∵A （815,77）∴E （2027,77）图2如图2，当四边形ODAE 为平行四边形时 ∵OE ∥AC∴直线OE 的解析式为：y ＝34-x∵点E 为直线OE 与直线AB 的交点联立：341y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩解得：4737x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴E （43,77-）图3如图3，当四边形OADE为平行四边形时∵OE∥AC∴直线OE的解析式为：y＝3 4 -x∵点E为直线OE与直线AB的交点联立：341 y x y x⎧=-⎪⎨⎪=+⎩解得：4737 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴E（43,77 -）综上可得：E的坐标为（2027,77）或（43,77-）【4题】【5题】解：（1）∵y ＝162x -+分别与x 轴、y 轴交于点B ，C∴C （0，6），B （12，0） ∵A 为直线l 1 、l 2交点∴联立：16212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：63x y =⎧⎨=⎩即A （6，3） （2）设D （x ，12x ） 06x ＜＜ 则S △COD ＝12x ·6＝3x ＝12 ∴x ＝4∴D （4，2）设直线CD 表达式为：y ＝kx ＋b ，将C 、D 坐标代入得2460k bb =+⎧⎨=+⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝-x ＋6（3）存在．Q1（6，6）提示：以点O为圆心，OC长为半径作圆，与射线CD交于点P1，把△P1OC沿P1C翻折，得到△P1Q1C,则Q1即为所求．因为直线CD斜率为-1，所以∠OCD＝45°，P1即为射线CD与x轴交点．此时菱形为正方形．Q2（-提示：以点C为圆心，CO长为半径作圆交射线CD于P2点，将△OCP2沿OP2翻折得到△OQ2P2，则Q2点即为所求．过P2向y轴做垂线，交y轴于点E，则△CEP2是等腰直角三角形，可以得P2坐标，再由P2Q2∥OC，且P2Q2＝OC，可得Q2坐标．Q3（-3，3）提示：作线段OC的垂直平分线交射线CD于点P3，将△OCP3沿OC翻折得到△OCQ3，则Q3点即为所求．此时菱形为正方形．可得Q3点坐标．【参考答案】1．解：（1）在1=-y kx中，令x=0，则y=-1，∴C（0，-1），OC=1∵12=OCOB∴OB=2，B（2，0）∵B在直线1=-y kx上∴210-=k∴12=k（2）由题意知2>x，当2>x时，过点A作AD⊥x轴于点D，如图1.111212222⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅-=⎪⎝⎭AOBS OB AD x△∴62=>x，满足题意.∵点A在直线112=-y x上∴A （6，2）（3）由（2）得=OA 2. ①当OA =OP 时，以O 为圆心，OA 的长为半径作圆，得()10-P，()20P ②当OA =AP 时，以A 为圆心，OA 的长为半径作圆， 得()3120P ,当OP =AP 时，取OA 的中点为E ，过点E 作OA 的垂线，交x 轴于点4P . 在Rt △4ADP 中， P 4D =OD -OP 4=6-OP 4，22244AP AD P D =+∴()2224426OP OP =-+∴4103OP =∴41003P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴存在点P ，使△POA 是等腰三角形， (1-P 或41003P ⎛⎫⎪⎝⎭，.【参考答案】1. 解：（1）在Rt △ABO 中 ∵∠BAO =30° ∴∠ABO =60° ∵折叠之后点O 、D 重合 ∴∠EBO =30° 在直角△BEO 中 ∵∠EBO =30° ∴OBOE又∵点B （0， 所以直线BE ：+y①如图，以点D 为圆心DA 长为半径画圆，与x 轴交于异与点A 的点1P （此时点1P 与点O 重合）,连接D 1P ，则△DA 1P 是等腰三角形，所以1P （0，0）；图1②如图，以点A 为圆心，以AD 长为半径画圆，交x 轴与点2P 、3P ，连接2DP 、3DP ，则△2ADP 、△3ADP 是等腰三角形；在Rt △AOB 中，∵∠BAO =30°，OB= ∴OA =6 在Rt △ADE 中， ∵∠DAE =30°，DE =2， ∴AD=∴2AP =3AP = AD=∴2OP=6+3OP =6-∴点2P ()6--，点3P ()60, ③如图，过线段AD 的中点M ，作线段AD 的中垂线4MP 交x 轴与点4P ，连接4DP ，则△4ADP 是等腰三角形；在Rt △4AMP 中，AM =12AD4MAP =30° ∴4AP =2∴4OP =4，则点()440-,P∴AF =2，OA =BC =4，AB =3 在Rt △BFG 中， 由轴对称性质 FG =AF =2∵BF =AB -AF =1 ∴BG = ∴G （3，4） （2）设y =kx +b ∵在Rt △BFG 中， BF =12FG ∴∠BGF =30°∴∠AFE =∠EFG =60° 在Rt △AEF 中，AF =2，∴AE=∴E（0，4-∴b=4-∵|k|=AE AF∴yx+4-(3) 存在；图1①如图1，过E作AF的平行线，过A作EF的平行线，两直线交于M1点．∵四边形A M1EF是平行四边形∴E M1∥AF，且E M1=AF=2又∵E（0，4-∴M1（-2，4-图2②如图2，过E作AF的平行线，过F作AE的平行线，两直线交于M2点．∵四边形AEM２F是平行四边形∴E M2∥AF，且E M2=AF=2又∵E（0，4-）∴M2（2，4-图3③如图3，过A作EF的平行线，过F作AE的平行线，两直线交于M3点．∵四边形AEF M３是平行四边形∴FM3∥AE，且FM3=AE=又∵F（2，4）∴M 3（2，4+3. 解：（1）∵点A ，B 是直线y =-x +8与x 轴、y 轴的交点 ∴A （8，0），B （0，8）∴在等腰Rt △AOB 中，OA =OB =8，∠BAO =45°当x <8时，过P 作PE ⊥OA 于E ，则△APE 为等腰直角三角形 ∴PE =AE =8-x∴11==6(8)=24322POC S OC PE x x ⋅⋅⋅⋅--△当x >8时，过P 作PE ⊥OA 于E ，则△APE 为等腰直角三角形∴PE =AE =x -8∴11==6(8)=32422POC S OC PE x x ⋅⋅⋅⋅--△综上所述： 243(<8)=324(>8)POC xx S x x -⎧⎨-⎩△,y )（2）当x <8时，=243=15POC S x -△，解得x =3，此时 P （3，5）当x >8时, =324=15POC S x -△，解得x =13，此时P （13，- 5）综上所述，当P 点坐标为（3，5）或（13，-5）时，△PCO 的面积为15. （3）存在，当P 点坐标为（0，8）时，△EOF ≌△BOA。